Chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức

PP Điểm rơi http://mathisthinking.tk/ Ch n i m r i Bài toán chọn lọc: l co m Bản chất ñiểm rơi chọn hệ số phù hợp cho trình sử dụng bất ñẳng thức ñược thuận lợi dấu xảy Để rơi thành công cần biết số ñiều: • Thông thường dấu xảy với biến có vai trò Biến có vai trò ñổi chỗ vị trí biến toán không thay ñổi VD: Cho a + b + 2c = Tìm Min M = a + b3 + 3c a,b biến có vai trò • Do dấu BĐT Cô-si xảy biến nên ta thường sử dụng pp tách: Tách a a a a thành m số: a = + + + , tách a m = a.a a m m m • Hệ số phụ thuộc vào yếu tố sau : +Dấu BĐT +Mục ñích BĐT (hạ bậc, khử biến, tạo giả thiết,…) +Tỉ lệ hệ số biểu thức cần tìm cực trị giả thiết • Dấu thường xảy trùng với dấu BĐT giả thiết (nếu có) • Ta cần chọn hệ số + + a b c Tư duy: Rất ñơn giản từ giả thiết mà CS ta có a m b n c p ≤ ? Rồi CS M cho tạo ñược mẫu a mbn c p Nhưng nói làm ? Bài giải: 1 Để M dễ nhìn ta ñặt a = , b = , c = giả thiết thành x + y + 21z ≤ 12 xyz x y z M = x + y + 3z x y Giờ rơi z = = có m n hi eu vg hy @ gm Cho a, b, c > 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm M =   x  m  y 8 n  m +8 n +21 x  y 12 xyz ≥ x + y + 21z = 2m   + 8n   + 21z ≥ (2m + 8n + 21)      z 21    m n  m   n   ⇒ x 21+8 n y 21+ m z m +8 n ≥ ?   x  m  y  2n  m+ 2n +3 x  y Đến lượt M M = x + y + z = m   + n   + z ≥ (m + 2n + 3)      z   m   n   m n   Bài toán thành công m : 2n : = (21 + 8n) : (21 + 2m) : (2 m + 8n) Ta viết thành 2 m2 + 8mn = 24n + 63 2n 2m − 63 m = = → ⇒n= 21 + 8n 21 + 2m 2m + 8n 8(3 − m) 16n + 4mn = 6m + 63  2m2 − 63  2m − 63 = 6m + 63 Giờ ñừng có ñâm ñầu Thế vào thằng thứ có 16   + 4m 8(3 − m)  8(3 − m)  vào giải mà lấy FX cho m = 15 → n = Từ ñây ta tìm ñược x = 3, y = , z = Important Note: Haizz! Đọc xong lời giải thấy ñau ñầu, ñừng lo, mục ñích cuối viết ñể bạn làm ñược dễ tác giả ñã mừng ! hieuvghy@gmail.com PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/ I.Tính chất hạ bậc • Hạ bậc ñơn biến CS m biến x m m-n số α (x m + x m + + x m ) + (α + α + + α ) ≥ m m α m − n x n ax m + bx n = x m + x m + + x m + y n + y n + y n ≥ (a + b) a +b x am y bn am ) bn co m • Hạ bậc ña biến CS a biến x m b biến y n tạo ñơn thức tích xy có tỉ lệ bậc l Nhận xét: -Hạ bậc cho phép ta mô tả f (a, b, c ) từ g (a, b, c ) ñó bậc g lớn f -Điểm rơi giúp ta chọn m,n, α Chú ý: -Hai dạng nêu mang tính tiêu biểu trình làm xin nhớ cho nguyên tắc: Mỗi số ñều tách thành m số CS hệ số α (ña thức bậc không) ->khi ñó bậc sau CS thay ñổi VD1.Cho a, b, c > 0, a + b + c = Tìm Min M = a + 64b + c3 Do a,c có vai trò nên ta giả sử dấu xảy a = c = m, b = n ⇒ 2m + n = (*) Khi ñó a + m3 + m3 ≥ 3m (a ) a + m3 + m3 ≥ 3m (c) |=>ñể dùng ñược giải thiết số a,b,c tức hi eu vg hy @ gm | 3m = 64.3n (**) | Từ (*) (**) rút ta có m=24/17 n=3/17 64b3 + 64n3 + 64n ≥ 64.3n (b) VD2.Cho a, b, c > 0, 2a + 4b + 3c = 13 Tìm Min M = a + b + c3 Giả sử dấu xảy a = m, b = n, c = p ⇒ 2m + 4n + p = 13 (*) Ta CS sau a + m + ≥ m( a ) b + n + ≥ n (b ) => ñể dùng ñược giải thiết c + p + p ≥ p (b) 2m 2n p (**) = = Xử lý (*) (**) tính chất dãy tỉ số có 2m 4n p 13 = = = ⇒ m = 1, n = 2, p = 13 VD3.Cho a, b > 0, a + b = Tìm Min M = a + b Giả sử dấu xảy a = m, b = n ⇒ m2 + n = 5(*) Ta CS sau  m3 3m2 ≥ − + a (a )  a + a + m ≥ 3m (a ) 3m n5  2 = (**) ⇔ =>ñể dùng ñược GT  6 6 6 5 5 b + b + b + b + b + m ≥ n (b ) b ≥ − m + 6n (b5 )  5 20 25 Từ (*) (**) ta rút ñể có m = , n = 9 VD4 Cho a, b > 0, a 2b = 2011 Tìm Min M = a + b 3 2 Ta khoan quan tâm ñến dấu mà ñem CS m số a n số b5 sau: a7 a7 a b b5 b5 a m b5 n 7m + + + + + + + ≥ (m + n) m + n m n =>ñể dùng ñược giải thiết = nên ta m m m n n n m n 5n a b5 = a b3 = 2011 (luôn có a b ñó !) chọn m=10 n=21 Dấu xảy 10 21 16 VD5 Cho a + b + c + ab = Tìm Max M = ab + bc + ca 25 hieuvghy@gmail.com PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/ Giống VD1 dấu xảy a=b Ta CS sau: =>Ta ñã làm xong trình mô tả biến a + b ≥ 2(ab ) chưa ñủ biến a + mc ≥ m(ac) mang theo hệ số Lần lượt nhân b + mc ≥ 2m(bc) BĐT với x,y,z,t ta có hệ thức ab ≥ (ab) co m  x(a + b ) ≥ x(ab )  2  y (a + mc ) ≥ 2my(ac)  2  z (b + mc ) ≥ 2mz (bc) tab ≥ t ( ab )  50 16 , a + b + c + ab = Thôi tự giải tiếp 41 25 hi eu vg hy @ gm Có m dấu chi khó a = b = c l Giờ cần có t  x + y x + z m( y + z ) = = = = (nhìn vào GT)  y = z  ⇒ 1 16 / 25  t = 16 / 25  x + t = my = 2mz ( Look at M)  x + y 2my  x = / 50  = =  ⇒ ⇒  y = 41/ 50 2 x + 16 = 2my m = 50 / 41   25 II.Tính khử kiểu tích A Xét phân số B • • Khử nội phân số: ta phân tích B thành nhân tử tách A làm thừa số cho sau CS A + A2 + ? ? A1 A2 có ñược ñiều muốn ≥ B1 B2 B1 B2 Khử mở rộng: phân tích B thành nhân tử cộng phân số với nhân tử B A cho CS có ñược ñiều muốn + B1 + B2 ≥ ? ? A B1.B2 Nhận xét: -Việc nhìn nhận B1 , B2 dễ dàng -Điểm rơi giúp ta chọn hệ số cho biến ñem CS sau cho phù hợp VD1.Cho x,y,z>0 thoả mãn x + y + z = ✸ CMR: x  + y  y  +✽ z  +✽ + z  x  +✽ ≥ ✹ ✾ − ✭x ✷ + y ✷ + z ✷✁ ✂✄ Vai trò x,y,z nên dấu chúng Ta phân tích toán ñể tìm biến CS : x    y +✽ Nhưng = x  ✷ ( y + ✂✁( y − ✂ y + ✹✁ x    y +✽ = ✶ ✾ , (y+2)=3, ( y ☎ − ✂ y + ✹✁ =3 nên ta làm sau Làm tương tự có VT≥ VD2.CMR nên ta chọn thêm biểu thức ( y + ✂✁✱ ( y ☎ − ✂ y + ✹✁ ñể thực ✷ ✶✵( x + y + z✁ − ( x + y✷ + z✷ ✁ − ✶✽ ✂✄ = ✷ ✶✂ − ✭ x x    y +✽ + y+✂ + y✷ + z✷ ✁ ✂✄ ✂✄ + y✷ − ✂ y + ✹ ✂✄ ≥ x ✸ (Ẹnoy!) a b3 c + + ≥ 2a + b với a, b, c > b c ca a hieuvghy@gmail.com co m PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/ Nhìn vai trò a,b,c không thử cho a=b=c ta ñược dấu Nếu ñược thử liều xem a4 + b + b + c ≥ 4a b 2c b3 a b3 c + c + a ≥ 3b ⇒ + + ≥ a + b Bài xoáy thật ! ca b c ca a c + a ≥ 2c a 16c a2 b2 + + ≥ (64c − a − b) với a, b, c > b+c c+a a+b Nhìn ñi: a,b có vai trò nên ta ñăt a=b=mc dấu xảy (mc) (mc )2 16c 2m + + ≥ (64c − mc − mc) ⇔ + = (32 − m) mc + c c + mc mc + mc m +1 m Nhét vào Fx570ES cho m=2.Và ñó ta làm sau: a 4 + (b + c ) ≥ a b+c b a2 b2 4 16c + (a + c) ≥ b ⇒ + + ≥ (64c − a − b) c+a b+c c+a a+b 16c + (a + b ) ≥ 8c a+b hi eu vg hy @ gm l VD3.CMR VD4.Cho x,y>0 x+y=4 Tìm Min M = x + y + 10 + x y 6  x + mx ≥ 6m  mx = 6 10 => Dấu xảy  Ta CS sau  ⇒ + = 4(*) 10 m n ny 10 =    + ny ≥ 10 y  y Và phần lại M (2 − m) x + (3 − n) y ñể giải ñược cần − m = − n hay n = m + (**) Từ (*) (**) ta có 10 + = nhét máy tính ñi cho m=3/2 -> n=5/2 m m +1 VD5.Cho a ≥ Tìm Min M = a + a2 Có dấu a=2 mà làm M = a a a + + + ≥ + 3 = a 8 y ) VD6 Tìm Min M = (1 + x)(1 + )(1 + x y Ta CS 1+x cách tách ✆ thành a số x thành b số Khi ñó tạo y y khử CS (1 + ) cách tách ✆ a số b số tức tạo x x a +b a+b xb Và thằng yb Nếu làm xb x y   dấu xảy = = ⇒ y = x ⇒ M = (1 + x)(1 + )  = (10 + x + ) Thế x có a b xb x  x  thể y Lời giải chuẩn sau  3 33  x x x y y y x3 y3 ) ≥ 4 4 M = (1 + + + )(1 + + + )(1 + + +   = 256 3 3x 3x 3x (3 x)3  ( y )3  y y y hieuvghy@gmail.com PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/ xyz (1 + x)( x + y )( y + z )( z + 6) Ta CS thừa số tích sau VD7.Cho x,y,z>0 Tìm Min M = (1 + x) tách ✝ thành a số ✞x thành b số tạo biến a+b x b dấu 3x = a b a +b x a y b Dấu co m Để khử ñược x (bậc1) từ ( x + y ) tách x thành a số ✟ y thành b số tạo biến x 8y = a b Lập luận tương tự có 3x x y y z z a y x z a   = = = = ⇒ = = = = ⇒  = ⇒ x = 2, y = , z = 1, = a b a b a b a b b x z y  x  3.9.8.6 b Ta có − x = − x + x + x nên cần tìm m,n cho l Lời giải hoàn chỉnh sau 3x 3x 8y 8y 9z 9z (1 + + + )( x + + + )( y + + + )( z + + + 1) ≥ xyz 6 6 6 x −x+3 VD8.Tìm Min M = − x3 hi eu vg hy @ gm m(1 − x) + n(1 + x + x ) = x − x + = nx + (n − m) x + m + n ⇒ n = m − n = Bài toán ñược giải sau M = x2 − x + − x3 = 2(1 − x) + (1 + x + x ) − x3 m+n ⇒ m = 2, n = ≥2 CMR M = x + y + z ≥ 3 Ta ñi cm BĐT sau x + y + z ≥ ( x + xy + xyz) Để CS ta cần tách x làm số, y làm số sau 1 x x y x x  ( x) +2 x + y + z = + + + + + z ≥ ( xy ) + 3 ( xyz) Ta có ñược hệ sau a b d  c e bd ce  a VD9.Cho x + xy + xyz =  a=  1 1  = 33 = (look VP )  =  a bd ce ⇔  = ( )2   + + = + = (cách tách)  bd  a b c d e 1  ce = ( )  1  d + e =  1 + =  b c (3 / 8) 16 1 + c   = Nhờ Fx570ES cho c=16 b = ,e=4, d = 1/ − 1/ c 3 4 1 Lời giải sau có dấu x + x.4 y + x.4 y.16z ≤ ( x + y + z ) Rút lung tung ta có III.Tính khử kiểu tổng Ta thường tách từ Am thành m biến A dùng ñiểm rơi chọn hệ số phù hợp cho biến VD1.Cho x ∈ [0;2] Tìm Max M = x3 (2 − x)5 hieuvghy@gmail.com PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/ Để khử ñược hết x ta phân tích M thừa số x bậc chọn hệ số cho chúng sau m+ n 5(2 − x)   x +  m = x x x (2 − x) (2 − x) (2 − x) (2 − x) (2 − x)  m n M= ≤  ⇒ = ⇒ m m m n n n n n m+n m n n =     co m VD2 Cho x ∈ [0;1] Tìm Max M = 13 x − x + x + x 13 13 mx + (1 − x ) nx + (1 + x ) mx (1 − x ) + nx (1 + x ) ≤ + m n m n Để dấu xảy khử hết biến x  m2 x = − x m + = n −  Lại nhờ Fx cho ta 2 2 13(1 − ) 9( + 3) m m 13(1 − m ) 9(n + 1)  = ⇔ 13(1 − m ) 9(n + 1) ⇒ =  m n m = m2 + m = , n =   m n  n2 x = + x  IV.Bài toán khó 1.Dùng phép thử ñơn giản tìm dấu l Ta làm sau + + ≥ (a=2,b=3,c=4) a 2b c 1 121 ≥ (a=3,b=4,c=2) VD2:Cho a, b, c > 0, ab ≥ 12, bc ≥ CMR M = a + b + c + 2( + + ) + ab bc ca abc 12 a 2b3 32c3 VD3:CMR + + ≥ 22a − 12b − 24c với a, b, c > (a=2b=4c) bc ca ab VD4:Cho (a + a + 2)(b + 1) (c + 3c) = 64 Tìm Max M = a 3b c5 (a=b=c=1) hi eu vg hy @ gm VD1:Cho a, b, c > 0, a + 2b + 3c ≥ 20 CMR M = a + b + c + VD5:Cho a = max {a, b, c} Tìm Min M = a b c + + + 3 + (a=b=c) b c a 2.Giả thiết lừa VD1:Cho < x ≤ Tìm Min x1995 + x 2011 Đã lừa làm bình thường mà tách x1995 2011 số a ≥ 4, b ≥ 2, c ≥ 1995 VD2:Cho  a + b + c = 2011 x 2011 1995 số Tìm Max M = abc Bài toán không ñơn giản Nếu nhìn vào toán ta thấy biến khác biệt nhiều Tuy nhiên xem ñến 1995 dường ñặc biệt Ta dự dấu a=b=8 c=1995 Khi ñó  8.2011 + 1987(a + b)  8M = [8(2011 − a − b)] (1995 − b)(1995 − a ) ≤  ≤ 159603    V.Vài c✠ m nh✫ n nhỏ *1.Cho x ∈ [0;1] CMR t − 2t + + t + 4t + ≤ + 11 hieuvghy@gmail.com PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/ Dấu t=1 ta CS có t − 2t + 11 t + 4t + t − 2t + t + 4t + + 11 .1 ≤ ( + 1) + ( + 1) 11 2 11 + 11 11  11 2 =( + − )t +   t + 22   11 co m t − 2t + + t + 4t + = Nhưng tam thức bậc ñó max t=-1 ????? … =>Qua toán muốn nói có dấu làm ñược Bài toán bình phương lên xét hiệu có ñáp án ! *2.Cho x,y>0 x + y = Tìm Min S = + x + 40 + y Ta dùng B.C.S sau S = (a + b )(1 + x ) + (c + d )(40 + y ) ≥ a + 2bx + 10c + 3dy hi eu vg hy @ gm l  a + b = 9; c + d =  a =    x 40 y b = / Việc chọn a,b,c,d thỏa mãn  = ; = ⇒  b c d a c = 10 x + y = d =   … => Như ñã nắm ñược nguyên lý hoạt ñộng pp ta dùng với loại BĐT không riêng CS Sau ñây vài ví dụ PP phân phối lại 5b − a 5c − b 5a − c3 Cho a,b,c>0 CMR + + ≤ a +b+c ab + 3b bc + 3c ca + 3a 5b − a a + b 5b − a Không thể lấy nên ta nghĩ ñến việc tìm m,n ñể ma nb − + − ≥0 ab + 3b ab + 3b Cũng có nghĩa (ma + nb )(ab + 3b ) − (5b − a ) = a + ma 2b + (3m + n )ab + (3n − 5)b3 ≥  f ( x) = ax + bx + cx + d f ( x) ≥ ✧x ⇔ 3ax12 + 2bx1 + c = Kiến thức bổ trợ: Cho  = f ( x )  a Chia cho b3 ñặt x = ⇒ f ( x) = x + mx + (3m + n) x + (3n − 5) ≥ Dấu lại xảy x = nên b  f (1) = + m + (3m + n) + (3n − 5) =  m = −1 ta có hệ  ⇔ 3 + 2m + (3m + n ) = n = 5b3 − a a  ≥ ⇔ f ( x) = x3 − x − x + = ( x − 1)( x + 1) ≥  x =  b ab + 3b  ❈hú ý: Đây kĩ thuật mạnh chứng minh toán phân thức có bậc vừa phải.Kiến thức bổ sung ñạo hàm bậc hàm ña thức nhiên không cần hiều bạn cần nhớ với hàm ña thức bậc ta ñi xét 4ax3 + 3ax + 2bx + c = Các bậc nhỏ coi hệ số bậc lớn Sau ñọc xong toán có nhìn tổng quát nhiều cho báo “Hành trình ñi ñến toán tổng quát” (THTT số 371 tháng 8/2008) “Một phương pháp chứng minh bất ñẳng thức”(THTT số 403 tháng 1/1011) Trở lại toán ta có (−a + 2b) − Bài t p cho pp iểm r i  a, b, c >  2 Cho  47 Tìm Min M = 3a + 4b + 5c  a + b + c = 12 Cho a+b+c=2011 Tìm Max M = a 4b c1995 hieuvghy@gmail.com PP Điểm rơi //mathisthinking.tk/ 2c + + d + c d Cho < b ≤ a ≤ 4, a + b ≤ 7, ≤ c ≤ ≤ d Tìm Min M = a2 + b2 Cho a,b,c>0 a b + b c + c a = Tìm Min M = 2(a + b ) + c a b 4c + + ≥ a + 3b b c a Cho a,b,c,d>0 c+d=4, 4a + b = Tìm Max M=2ac+bd+cd a3 b3 c2 b + + ≥ a+ CMR Với a,b,c>0 b (c + a ) c ( a + b ) b + c 2 2 Tìm Max M = ( x + z )( y + t ) biết x + y + z + 2t = 11   + 1 +  2x  x  10 Tìm Max M = x + − x − x 11 Biết x, y ≥ 0, z ≥ 60, x + y + z = 100 Tìm Max M = xyz x+ y 12 Cho x, y, z ≥ x + y + z = Tìm Min M = xyz l Tìm Min M = x + co m CMR Với a,b,c>0 13 Tìm cực trị M = x(99 + 101 − x ) 14 Cho x, y, z ≥ x + y + z = xyz Tìm Min M = x + y + z hi eu vg hy @ gm  a, b > a b  15 Cho  Tìm Min M = 32 + 1999 b a 1 ≥ a + b 3a 4b 5c 16 Cho x + y + z ≤ Tìm Tìm Min M = + + bc ca ab Bài t p rèn luy n k n ng sử d ng ô-si LT3:Cho ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ Tìm max M = (3 − x)(4 − y )(2 x + y ) LT4:Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh: a b c 3 + + ≥ 2 2 2 b +c c +a a +b 2010 2011 + LT5:Cho x ∈ [0;1] Tìm Min M = a 1− a ab a + b + LT6: Tìm Min M = a+b ab b2 + c 1 LT7: Cho a,b,c>0 a ≥ b + c Tìm Min M = + a2 ( + ) a b c LT10: Tìm Min M = LT11: Min M = 2a + 2009 + 2010 − x + 2011 − x2 32 với a>b>0 (a − b)(2b + 3)2 a3 b3 c2 a+b+c + + ≥ b (c + 2a ) c(a + 2b) a (b + 2c) + LT16: Cho x,y,z>0 xy+yz+zx=3 Tìm Min M = xyz ( x + y)( y + z )( z + x) LT17: Tìm Max M = x (1 − x ) với 0