34 kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức

SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói tốn bất đằng thức nói chung tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng tốn quan tâm đến nhiều kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt với xu hướng đề chung Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học tốn bất đẳng thức tốn khó đề thi cần sử dụng số bất đẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen Trong q trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu tơi thấ y là da ̣ng toán khơng chỉ khó mà còn khá hay , lơi ć n đươ ̣c các em ho ̣c sinh khá giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu tốn cực trị đặc biệt trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chun đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần u thích mơn, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận , vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học , tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ thầ y hơ ̣i đờ ng bơ ̣ mơn Toán của sở GD, Ban Giám hiê ̣u, đờ ng nghiê ̣p tở Toán – Tin ho ̣c trường THPT hàm Rồng Tơi mạnh dạn viết chun đề “Kü tht chän ®iĨm r¬i bất đẳng thức” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức học, tập luyện tập - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học u thić h mơn ho ̣c - Có sự khích lệ từ kết học tập học sinh thực chun đề - Được sự động viên BGH, nhận động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập - Đa sớ ho ̣c sinh ́ u bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp tốn liên quan đến bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN số lượng học sinh biết vận dụng thể qua bảng sau: Nhận biết, khơng biết vận dụng Khơng nhận biết 60 66,7 Số lượng Tỉ lệ ( %) 20 22,2 Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hồn chỉnh 9,9 Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh 1.1 III NỘI DUNG CHUN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh khơng kiế n thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiế n thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiế n thức nâng cao cách tự nhiên(chứ khơng áp đă ̣t kiế n thức nâng cao ) Nơ ̣i dung 2.1 BÀI TỐN MỞ ĐẦU  a, b  Bài tốn Cho  , tìm GTNN a  b  P 1  a  b2  2ab Giải Lời giải Ta có: P  1 a  b 2  4    2 2 2ab a  2ab  b  (a  b)  1  a  b  2ab (a  b)2    (vônghiệ m) Vậy khơng a  b  a  b  Dấu “=” xảy   tồn MinP ? ? Lời giải Ta có: P 1 a  b 2  1 4      2 6ab 3ab a  6ab  b  3ab (a  b)  1 4ab 3ab ab Mặt khác ab     Vậy P     ab 2     Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng   ab 6     SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com 1  a  b2  3ab  ab Dấu “=” xảy  a  b a  b   Lời bình: Bài tốn áp dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách 1   Lời giải sai? a b ab 1   ? ? Làm nhận biết điều đó…? 2ab 6ab 3ab Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chun đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải tốn cực trị 2.1 PHƢƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, cơng cụ hồn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực khơng âm a1, a2 , , an (n  2) ta ln có: a1  a2    an n  a1a2 an Dấu “=” xảy a1  a2    an n * Một vài hệ quan trọng:    1 1 (a1  a2    an )        n2 vớ i ai  0, i  1, n an   a1 a2 1 n2    vớ i ai  0, i  1, n a1 a2 an a1  a2    an Cho 2n số dương ( n  Z , n  ): a1, a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có: n (a1  b1)(a2  b2 ) (an  bn )  n a1a2 an  n b1b2 bn Trong chứng minh bất đẳng thức, đơi việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở khơng thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện ln thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy kĩ thuật ta vào số ví dụ sau: Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com Ví dụ 1: Cho a  3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+ a Phân tích tìm tòi lời giải Xét bảng biến thiên a, a a 3 S S để dự đốn Min S a 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 … … 30 30 … 30 30 Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy a tăng S lớn từ dẵn đến việc dự đốn a=3 S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu tạo sự ấn tượng ta nói Min S= 10 đạt “Điểm rơi : a=3” Do bất đẳng thức cơsi xảy dấu điều kiện số tham gia phải ,nên “Điểm rơi:a=3”ta khơng thể sử dụng bất đẳng thức cơsi 1  Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức a a a cơsi cho cặp số  ,  cho “điểm rơi:a=3”thì  tức ta có lược đồ  a  a  trực tiếp cho số a “điểm rơi” sau đây: Sơ đồ: a       9 a=3    1   a Từ ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu a  10 a 1 8a Lời giải: S=a+ =    +   + = 9 a a a Vậy với a=3 Min S= 10 Ví dụ 2: Cho a  6.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a + 18 a Sơ đồ điểm rơi :  18 36     a=6    a  18  a Lời giải: S=a +  18 36    18 18      a a 36      18 a  a2 = 2  18   a 18    + a + 1       a     a  6 a  6 Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC a a =6  + 1   Baigiangtoanhoc.com 6     1  .6 =36 +3 a  6  6 6 Vậy với a=6 Min S=2a+3  a, b  1 , tìm GTNN biểu thức P  2   4ab ab a b a  b  Ví dụ 3: Cho  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : 1 4      4ab  2   4ab    4ab  2  2ab 2ab a b a  b  2ab 2ab (a  b)  2ab  1 Mặt khác  4ab  4ab  2 Vậy P   2 nên MinP  2(2  2) 2ab 2ab P Sai lầm 2: P 1   1 1    4ab   4ab   4 2  6  2 4ab  4ab (a  b) 2ab 4ab 4ab 4ab a  b ab  a  b2  2ab  1   a  b  Thay a  b  Dấu xảy  a 2b2  vào ta 16  a  b   P   MinP  a  b  Ngun nhân sai lầm: Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1   ab 2ab 2ab thói quen để làm xuất a2  b2  2ab  (a  b)2 a  b   MinP   2    4ab  VN Dấu “=” bất đẳng thức khơng xảy  ab  a  b  khơng kết luận MinP   2 Sai lầm 2: Học sinh có khái niệm điểm rơi, dự đốn dấu ab 1 nên tách số hạng MinP  a  b  đúng, 2 bước cuối học sinh làm sai Ví dụ (1 x)2  x  x , dấu xảy x   Min ( x  1)2  x   1?? Lời giải đúng: Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com Do P biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đốn MinP đạt a  b  , ta có: 1   1   ab     ab  7   4ab  4ab (a  b)2 2ab a  b2 2ab  ab 4    a  b2  2ab  1  ab Dấu xảy  a 2b2  16  a  b    a, b  1 Ví dụ 4: Cho  , tìm GTNN biểu thức S  3   a b a b ab a  b  P Sai lầm thường gặp: Ta có: 1 2 2 1       3    2 2 2  a b ab  a  b 3a b 3ab 3a b 3ab a  b  3a b  3ab  1 59       (a  b)3 ab  a b   ab ab 3.    59 MinS  a  b3  3a 2b  59  a  b (vn) Ngun nhân sai lầm: MinS  a  b   S Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu xảy a  b  , ta thấy: a3  b3  3a2b  3ab2  (a  b)3 ta muốn xuất (a  b)3 , ta áp dụng bất 1 đẳng thức 3   vậy: a b 2a b 2ab 1    a3  b3 2a2b 2ab2 (a  b)3  ab(a  b) Ta khơng đánh giá tiếp ta phải áp dụng bất đẳng thức cho số: S 1 1 25       2 a  b 2a b 2ab 2a b 2ab (a  b)  ab(a  b) 25  20 3 (a  b) ( a  b)  Dấu xảy a  b  Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải tốn liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức Bunhia Cho 2n số dương ( n  Z , n  ): a1, a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có: (a1b1  a2b2    anbn )2  (a12  a22    an2 )(b12  b22    bn2 ) a a a Dấu “=’ xảy      n (quy ước bi    0) b1 b2 bn * Một vài hệ quan trọng Dạng 1: a1  a22   an2 b12  b22  bn2   a1 b1  a2 b2   an bn  Dạng 2: a12  a22   an2  b12  b22  bn2   a1b1  a2 b2 .an bn Dạng 3: a12  a22   an2  b12  b22   bn2   a1 b1  a2 b2   an bn Dấu bằng: Dạng 1, dạng  a a a1 a a a    n ;dạng     n  b1 b2 bn b1 b2 bn a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a  b  c  Ví dụ 1:Cho  S= a  1  b2   c2 2 b c a Phân tích tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:   Dấu xẩy  [a12  a22 ] b12  b22  a1b1  a2 b2 a1 a  0 b1 b2 Ý nghĩa: chuyển đổi biểu thức thành biểu thức khác ngồi Xét đánh giá giả định với số α, β a2  + 1  2 b  2 1 b   c  2 c2  1  a 2 2   2  2 a          b    2      a   b  (1)   2    b   (2) b         2 a  c            2 c   a          2 2 Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng    c   a  (3) SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC    1   (a  b  c)    a  b  c   S    S Baigiangtoanhoc.com 2 2 Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đốn S=So điểm rơi a=b=c=2, tất bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy dấu tức ta có sơ đồ điểm rơi sau: Sơ đồ: a=b=c=2  a  b b  a b c b         c  1 1 b c a c   a  4  1 Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi cối ” ta có lời giải sau: Lời giải đúng: + a2  1   2  1   a  (4  )   4a   b b b  17  17  b2  1  1 2  1   b  (4  )   4b   c c c  17  17  c2  1   2  1   c  (4  )   4c   a a a  17  17  _  1 1 15  a b c 1  ( a  b  c )          4a  4b  4c       a b c 17  17   4 a b c   15 a b c 1 1 17    66          4 a b c   45  17  17      17 Với a=b=c=2 Min S=  S a,b,c > Ví dụ 2: Cho Tìm Min S= a2  1  b2  c2  bc ca ab abc  Bình luận lời giải Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với số  ,  Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC   2         a  a   bc  b  c    (1)   2         b  b   ca  c  a    (2)   2         c  c   ab  a  b    (3)   + Baigiangtoanhoc.com         S   (a  b  c)        S  a  b  c     2       ab bc ca  1      S o ab bc c  a    Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=So điểm rơi a=b=c=2, bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy dấu tức có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a a=b=c=2   b b  a b c         b  1 1 b c a c   a   4  1 Từ ta có lời giải sau đây: *Lời giải đúng:   2  2   (4  )  4a  a   bc  b  c    +   2  2   (4  )  4b  b   ca  c  a      2  2   (4  )  4b  c   ab  a  b      1   17.S  4(a  b  c)     bc ca  ab Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC  4(a  b  c)   4(a  b  c)  a  b b  c c  a  4(a  b  c)  Baigiangtoanhoc.com ab  bc  ca  4(a  b  c)  (12  12  12 )a  b  b  c   c  a  31 abc 9  ( a  b  c)    8 6(a  b  c) 6(a  b  c)  6(a  b  c) 31 abc 9 93 51   33     8 4 2 6(a  b  c) 6(a  b  c) S 51  17 3.17 3.17  2.17 Với a=b=c=2 S= 17 Ví dụ3: Cho a, b, c > thoả mãn a+b+c+ 2abc  10 Chứng minh S= 9b c a 9c a b 9a b c         6 4 a2 b2 c2 *Lời giải: Dự đốn điểm rơi: a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức bunhiacơpski có: +  18  9b c a     9b  ca a a2  18  9c a b     9c  ab b b2  18  9a b c     9a  bc c c2  1 1  24 S  4    +9(a+b+c)+ab+bc+ca a b c 4  4  4     a     b     c   (2a  bc)  (2bb  ca)  (2c  ab)  6(a  b  c) a  b  c  4 a  b   c  abc  abc  abc  6(a  b  c) a b c  12  6(a  b  c  2abc )  12  6.10  72  S  72 / 24  6 2 * Bài tập tƣơng tự (trích dẫn đề thi đại học)  x, y , z  , chứng minh rằng:  xyz  Bài1: Cho  m  x3  y m  y3  z3 m  z  x3    3 , với xy yz zx m  N  : Nế u m  làđềthi Đại học khố i D nă m 2005 Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng 10 SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com Bài 2: Cho x, y, z số thỏa x  y  z  , chứng minh rằng:  4x   4y   4z  (đề tham khảo 2005) ab c   bc a   ca b  abc Bài 4: Cho a,b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  3b  b  2c  c  3a  (ĐTK 2005) Bài 3: Cho a  2,b  3, c  , tìm GTLN: P   a , b, c  , tìm GTNN biểu thức sau: a  b  c  1 1 P 2 2   ab bc ca a b c 1 1 1 S 2 2    ab bc ca a b b c c a 1 1 1 Q      a  bc b  ca c  ab ab bc ca Bài 5: Cho  Chú ý: Cần ý hai bất đẳng thức Cơsi Bunhiacơpxki, biết dấu hiệu dùng bất đẳng thức nào.Phát dấu hiệu có bình phương thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện số dương khả nghĩ tới Cơsi Cách giải phải ngược qui trình thơng thường Đầu tiên phải dự đốn điểm rơi xảy đâu, sau lồng ghép số bất đẳng thức cho xảy dấu điểm rơi dự đốn… IV KẾT QỦA Chun đề thực giảng dạy tơi tham gia dạy 10NC Lu ̣n thi Đa ̣i ho ̣c hai năm gầ n Trong q trình học chun đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng gặp tốn liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết sau thực chun đề: Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng 11 SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Số lượng Tỉ lệ ( %) Khơng nhận biết 0.0 Nhận biết, khơng biết vận dụng 3.3 Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hồn chỉnh 50 55.6 Baigiangtoanhoc.com Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh 37 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kü tht chän ®iĨm r¬i bất đẳng thức nói chung đa dạng phong phú Mỗi tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chun đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đa ̣t kế t quả cao học sinh cần lu ̣n tâ ̣p nhiề u , có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Q trình áp dụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, tơi hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Hiệu sau sử dụng Sau học sinh học xong chun đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho ho ̣c sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học tự nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chun đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biế t vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chun đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng 12 SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Baigiangtoanhoc.com Chun đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh VII KẾT LUẬN Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc khơng dễ Do chun đề rấ t nhiề u chun đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh khơng sợ đứng trước tốn khó mà tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung chun đề rộng , song khn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, tốn điển hình Rất mong sự đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chun đề đầy đủ hồn thiện VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Tốn LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nơ ̣i năm 2002 263 bất đẳng thức Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục Bất đẳng thức Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009 Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013 Người thực Lê Thị Thuỷ Biên soạn: Lê Thị Thủy- GV trường THPT Hàm Rồng 13