phuong phap tam thuc bac 2 trong chung minh bat dang thuc

Tailieumontoan.com  Nguyễn Quốc Bảo PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ : SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KiÕn thøc cÇn nhí Xét tam thức bậc hai f ( x )= ax + bx + c= (*) ( a ≠ 0) Ta có biệt thức ∆= b − 4ac 1) Điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai : - Nếu ∆ ≥ phương trình f ( x ) = có nghiệm - Nếu ∆ < phương trình f ( x ) = vơ nghiệm 2) Hệ thức Viet : Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình f ( x ) = b  x1 + x2 = −   a   xx =c  a  Đặt S = x1 + x2 , P = x1 x2 ta có bất đẳng thức : S ≥ P B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + x − Hướng dẫn giải Ta có x + x − − A =0 (1) Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆ ≥ ⇔ 32 − ( −1 − A ) ≥ ⇔ 13 + A ≥ ⇔ A ≥ − Dấu “=” xảy ∆ =0 hay x = − 13 x = − Vậy giá trị nhỏ A − 2 Thí dụ Cho x, y thỏa mãn: x + y =x + 13 ( 6) Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P= x + y Hướng dẫn giải Ta có P = x + y ⇒ x = P − y thay vào (6) ta được: Liên hệ tài liệu tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (P − 2y) + y2 = ( P − y ) + ⇔ y + (1 − P ) + P − P − = (7) Để phương trình (7) có nghiệm thì: ∆'= (1 − P ) − ( P2 − P − 2) ≥ ⇔ P − P − 11 ≥ ⇔ 1− 1+ ≤P≤ 2 Ta có: 1− 2a − 5 y == +) P = − ,x = − 5 10 1+ 2a − 5 y= +) P = = , x= + 5 10 1− 1+ = , max P 2 Vậy P = Thí dụ Tìm cặp số (x, y) cho y nhỏ thỏa mãn : x + y + y + xy − = (Trích đề chuyên ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2004 -2005) Hướng dẫn giải Viết lại điều kiện dạng: x + xy + y + y − = (1) Vì x, y thỏa mãn (1) nên phương trình (1) có nghiệm x hay ∆ 'x ≥ ⇔ y − ( y + y − 3) ≥ ⇔ y + y − ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ y = −3 x = −2 y = Vậy giá trị nhỏ y −3 x = Thí dụ Tìm số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = (1) x + y + z = ( 2) cho x đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải Từ (1) suy z =1 − x − y , thay vào biến đổi ta được: y + ( x − 1) y + x − x − = ( 3) Để phương trình ( 3) có nghiệm thì: ∆ ' =9 ( x − 1) − 20 x + 30 x + =−11x + 12 x + 14 ≥ ⇔ Vì x đạt giá trị lớn nên = x − 190 + 190 ≤x≤ 11 11 + 190 15 − 190 10 − 190 = ⇒y = ,z 11 55 55 Thí dụ Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: P =9 xy + 10 yz + 11zx Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Thay z =1 − x − y vào P ta có: P= xy + z (10 y + 11x )= xy + (1 − x − y )(10 y + 11x ) = −11x + (11 − 12 y ) x − 10 y + 10 y hay 11x + (12 y − 11) x + 10 y − 10 y + P = Để phương trình có nghiệm điều kiện ∆ ≥ ⇔ (12 y − 11) − 4.11(10 y − 10 y + P ) ≥ hay 2 74  22 121  74  11  495 495 Do −296 y + 176 y + 121 − 44 P ≥ ⇔ P ≤ −  − y + y− ≤ =− y−  + 11  37 296  11  27  148 148 495 25 11 27 đạt GTLN P = x = ;y = ;z 148 74 37 74 x2 + Thí dụ Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P = x − x +1 Hướng dẫn giải 1  Ta có x − x + =  x −  + > , P ln xác định với x 2  x2 + ⇔ ( P − 1) x − Px = + P −1 x2 − x + • Với P = x = ( *) = P • Với P ≠ , ta có: ∆ = P − ( P − 1) = −3P + P − Để phương trình (*) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ P ≥ (1) P ≤ (2) Dấu (1) xảy x = −1 Dấu (2) xảy x = Vậy giá trị nhỏ P x = −1 , giá trị lớn P x = x − xy + y Thí dụ Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P = x + xy + y Hướng dẫn giải Với y = P = x x   − +1 y y x a2 − a + (đặt = a ) Với y = ≠ ta có P = 2 y a + a +1 x x + +   y  y 1  Ta có a + a + 1=  a +  + > , P ln xác định với a 2  a2 + a + ⇔ Pa − Pa + P = a + a + ⇔ ( P − 1) a − ( P + 1) x + ( P − 1) = a2 − a + • Với P = a = P= • ( *) Với P ≠ , ta có: ∆ = ( P + 1) − ( P − 1) = −3P + 10 P − Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 2 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Để phương trình (*) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ 3P − 10 P + ≤ ⇔ ( 3P − 1)( P − 3) ≤ ⇔ ≤ P ≤ ( a ≠ 1) a =1 ⇔ x = y ≠ Với P = a =−1 ⇔ x =− y ≠ Với P = x= y ≠ , giá trị lớn P x =− y ≠ Thí dụ Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị lớn Vậy giá trị nhỏ P nhỏ biểu thức: P = ( x + xy ) + xy + y Hướng dẫn giải ( x + xy ) ( x + xy ) P = = + xy + y x + y + xy + y Nếu y = x = Suy P = Xét y ≠ Ta có:  x   x  +      ( x + xy )  y   y    x 2t + 12t = = = P = t  2 2 y x + xy + y t + 2t +  x x   + 2  +  y  y ⇔ ( P − ) t + ( P − ) t + 3P = (1) Với P = 2, phương trình (1) có nghiệm t = Với P ≠ , phương trình (1) có nghiệm nghi ∆ ' = −2 P − P + 36 ≥ ⇔ −6 ≤ P ≤ x P=3 = P = −6 x = = ,y 10 10 10 ,y = − 10 10 x = ,y = − − 13 13 13 x = − ,y = Vậy giá trị lớn P 3, giá trị nhỏ P -6 Thí dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = xy với x, y 3y + số thực thỏa mãn: x y + y + = Hướng dẫn giải Ta có: x y + y + = ⇔ y = Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 − x2 y − TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P = xy xy xy + P = ⇔ 3P ( xy ) + 2= 2 2 ( − x y − 1) + −3 x y − (1) • Trường hợp 1: P = xy = • Trường hợp 2: P ≠ ta có (1) phương trình bậc hai với ẩn xy, để phương trình có nghiệm thì: ∆ = − 12 P ≥ ⇔ − ≤P≤ ,y = − 3 1 Giá trị nhỏ P − x = − ,y = − 3 ax + b Thí dụ 10 Tìm a, b để biểu thức biểu thức P = đạt giá trị lớn 4, giá trị x +1 nhỏ -1 Vậy giá trị lớn P x = Hướng dẫn giải Gọi m giá trị biểu thức P = ax + b , phương trình sau phải có nghiệm x: x2 + ax + b ⇔ mx − ax + m = − b ( *) x2 + Vì giá trị lớn giá trị nhỏ khác nên m ≠ Do phương trình (*) phương trình bậc hai có nghiệm ∆ ≥ , hay = m a − 4m ( m − b ) ≥ ⇔ 4m − 4bm − a ≤ (**) Gọi m1 , m2 ( m1 < m2 ) hai nghiệm phương trình 4m − 4bm − a = (***) Khi (**) có nghiệm m1 ≤ m ≤ m2 nên P đạt giá trị nhỏ m1 , đạt giá trị lớn m2 Do u cầu tốn thỏa mãn phương trình (***) có hai nghiệm -1 4, tức  + 4b − a =  b= ⇔ ⇔a= ±4, b =  a = 16 64 − 16b − a = Vậy giá trị cần tìm a, b là= a 4,= b a = −4, b = Thí dụ 11 Tìm m để giá trị lớn biểu thức biểu thức y = 2x + m x2 + Hướng dẫn giải Gọi a giá trị biểu thức y = 2x + m , phương trình sau phải có x2 + nghiệm x 2x + m ⇔ ax − x + a = −m x2 + +) Rõ ràng a = giá trị biểu thức = a Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 ( *) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com +) Nếu a ≠ (*) tam thức bậc có nghiệm khi: − a ( a − m ) ≥ ⇔ a − ma − ≤ ⇔ m − m2 + m + m2 + ≤a≤ 2 m + m2 + m đạt a = , nên yêu cầu 2 Do giá trị lớn biểu thức tốn trở thành m + m2 + = ⇔ m + = − m Do m + > nên − m > Bình phương hai vế ta m + = ( − m ) ⇔ m + = 16 − 8m + m ⇔ m = Vậy giá trị lớn biểu thức m = Thí dụ 12 Cho phương trình x + 2mx + m − = , với m tham số Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A= x1 x2 + x + x22 + ( x1 x2 + 1) Hướng dẫn giải ( m − 2) Ta có ∆= m − ( m − 1= ) ≥ , với m Do phương trình ln có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Viet, ta có: x1 + x2 = m x1 x2= m − Ta có: x12 + x22 = = Suy A ( x1 + x2 ) − x1 x2 = m − ( m − 1) = m − 2m + x1 x2 + 2m + = 2 x1 + x2 + ( x1 x2 + 1) m + Gọi a giá trị biểu thức a = 2m + , phương trình sau phải có nghiệm m: m2 + 2m + ⇔ am − 2m + 2a= −1 m +2 ( *) Nếu a = m = − Nếu a ≠ để phương trình (*) có nghiệm thì: ∆ ' =( −1) − a ( 2a − 1) ≥ ⇔ 2a − a − ≤ ⇔ ( a − 1)( 2a + 1) ≤ ⇔ − Nếu a = − ≤ a ≤ 2m + 1 =− ⇔ m + 4m + =0 ⇔ m =−2 2 m +2 Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nếu a = 2m + = ⇔ m − 2m + = ⇔ m = m +2 Vậy GTLN A m = GTNN A − m = −2 Thí dụ 13 Giả sử phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm thuộc [ 0;3] 18a − 9ab + b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Q = 9a − 3ab + ac Hướng dẫn giải Vì phương trình bậc có nghiệm nên a ≠ Biểu thức Q có dạng đẳng cấp bậc ta chia b b 18 − +   a a tử mẫu Q cho a Q = b c 9− + a a b  −  x1 + x2 = a Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình, theo Viet ta có:  x x = c  a b b 18 − +   a  a  18 + ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) Vậy : Q = = b c + ( x1 + x2 ) + x1 x2 9− + a a * Ta GTLN Q: Ta đánh giá ( x1 + x2 ) qua x1 x2 với điều kiện x1 , x2 ∈ [ 0;3] 2  x1 ≤ x1 x2 Giả sử ≤ x1 ≤ x2 ≤ ⇒  ⇒ ( x1 + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 ≤ + x1 x2  x2 ≤ ⇒Q≤ 18 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 + = + ( x1 + x2 ) + x1 x2 Ta đánh giá theo cách:  x1 ( x1 − 3) ≤ 2   x + x2 ≤ ( x1 + x2 ) ≤ x1; x2 ≤ ⇒  x2 ( x2 − 3) ≤ ⇒ ⇒ x12 + x2 ≤ x1 x2 +  x1 x2 + ≥ 3( x1 + x2 )  ( x1 − 3)( x2 − 3) ≥ ⇔ ( x1 + x2 ) 18 + ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) 18 + ( x1 + x2 ) + + x1 x2 ≤ = ≤ x1 x2 + Suy Q = + ( x1 + x2 ) + x1 x2 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 2 Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  b  b − = − =  x = x = = − b a   b = −3a  a  a Đẳng thức xảy ⇔  hay   ⇔ ⇔ = x2 c = a c =  x1 0;= c = c =  a  a Ta có Q − = ( x1 + x2 ) + x12 + x22 ≥ ⇒ Q ≥ + ( x1 + x2 ) + x1 x2 Đẳng thức xảy ⇔ x1 = x2 = ⇔ b = c = Vậy GTLN Q GTNN Q Thí dụ 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + xy + x + 16 y + 25 *Phân tích: Ta giải toán sau: 1 2 ( x + y + 5) + ( x − 1) + ( y + 3) + ≥ 0, ∀x, y ∈ R 2 A= x = Tuy nhiên ta dễ dàng mà phân tích biểu y = −  Khi A= ⇔  thức A Sau cách giải toán dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai tồn nghiệm Hướng dẫn giải A giá trị biểu thức ⇔ ∃x, y ∈ R : x + y + xy + x + 16 y + 25 = A ⇔ ∃y ∈ R, pt : x + 2( y + 2) x + y + 16 y + 25 − A =0 có nghiệm x ⇔ ∃y ∈ R : ∆ x =' ( y + 2) − y − 16 y − 25 + A ≥ Khi đó: A ≥ y + 12 y + 21= ( y + 3) + ≥ x =  y = −3 Vậy A= ⇔  Cách khác: 2 A =x + y + xy + x + 16 y + 25 =x + ( y + ) x + ( y + ) + 3 y + 16 y + 25 − ( y + )    = = ( x + y + 2) ( x + y + 2) 2 + ( y + 12 y + 21) = ( x + y + 2) + ( y2 + y + 9) + + ( y + 3) + ≥ x =  y = −3 Khi A= ⇔  Liên hệ tài liệu tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 + 2+ = Tìm giá trị lớn a b c 1 + + 2 2 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Thí dụ 15 Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn biểu thức: P = Hướng dẫn giải Dễ thấy vai trò a, b, c nên ta dự đoán dấu biểu thức P đạt giá trị lớn a= b= c Lại a b 5a + 2ab + 2b không đối xứng nên để khử thức nghĩ tới việc đánh giá: 5a + 2ab + 2b ≥ ( αa + β b ) 5a + 2ab + 2b = ( αa + β b ) + m (a − b) ( *) tức phải phân tích để làm điều dựa phương pháp sử dụng tam thức bậc ta làm sau: 5a + 2ab + 2b = 5a + 2ab + 2b − m ( a − b ) + m ( a − b ) 2 = ( − m ) a + (1 + m ) ab + ( − m ) b  + m ( a − b ) Để phân tích thành dạng (*) ta cần tìm m cho phương trình ( − m ) a + (1 + m ) ab + ( − m ) b có ∆ ' =0 tức (1 + m ) − ( − m )( − m ) =0 ⇔ m + 2m + − m + m − 10 =0 ⇔ 9m − =0 ⇔ m = Do ta có: 5a + 2ab + 2b = 5a + 2ab + 2b − ( a − b ) + ( a − b ) = ( 4a Do đó: + 4ab + b ) + ( a − b ) = ( 2a + b ) Do đó: P ≤ + ( a − b ) ≥ ( 2a + b ) = 5a + 2ab + 2b Làm tương tự ta được: ( 2a + b ) 2 + (a − b) 5b + 2bc + 2c ≤ ≤ ; 2b + c 1 = ( 2a + b ) 2a + b 5c + 2ca + 2a ≤ 2c + a 1 + + 2a + b 2b + c 2c + a Với x, y, z số thực dương, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1 1 + + ≥9 x y z  ( x + y + z) Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) ta có: 1 1 11 1 + +  ≥ 3 xyz =9 ⇒ ≤  + +  xyz x+ y + z 9 x y z  x y z ( x + y + z) Liên hệ tài liệu tốn zalo: 039.373.2038 ( *) TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com Áp dụng (*) ta được: Tương tự: 1 1 1 1 1 1 = ≤  + + =   +  2a + b a + a + b  a a b   a b  1 1 ≤  + ; 2b + c  b c  1 1 ≤  +  2c + a  c a  Cộng lại theo vế ta được: 1 1 1  1 1 P≤  + + ≤ 3 + +  = 3 a b c   a b c  Vậy max P = Đẳng thức xảy a= b= c= Thí dụ 16 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức B = 2x + y + x2 + y + Hướng dẫn giải B xác định ∀x; y ∈ R B giá trị biểu thức ⇔ tồn x,y thỏa mãn B = 2x + y + x2 + y + ⇔ ∃y : Bx − x + By − y + 3B − =0 (2) có nghiệm x ln có nghiệm x, y ∈ R, y =−1 − x + Nếu B = (2) thành −2 x − y − = + Nếu B ≠ (2) có nghiệm x ⇔ ∃y : ∆ ' = − B y + By − 3B + B ≥ ⇔ − B y + By − 3B + B + ≥ 1  ⇔ −B2  y2 − y + B 4B   1    − 3 B − B +  + + + ≥ 36  12   2 1    ⇔ 3 B −  ≤ − B2  y −  ≤ 6 2B    2 ⇔ − ≤ B− ≤ ⇒− ≤B≤  y=  y = −   Vậy B = ; max A = ⇔  − ⇔  x = −2 x =  Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com a + b + c = Thí dụ 17 Chứng minh số a, b, c thỏa mãn:  thì: ab + bc + ca = 7 ≤ a ≤ ;1 ≤ b ≤ ;1 ≤ c ≤ 3 Hướng dẫn giải a + b + c = b + c = − a b + c = − a ⇒ ⇒ Ta có :  ab + bc + ca =8 bc =8 − a (b + c) bc =8 − a (5 − a ) Các số b, c nghiệm phương trình: x − (5 − a ) x + (a − 5a + 8) = Để phương trình có nghiệm ta phải có ∆ ≥ ⇔ ( − a ) − 4(a − 5a + 8) ≥ ⇔ a − 10a + 25 − 4a + 20a − 32 ≥ ⇔ −3a + 10a − ≥ ⇔ ( a − 1)( − 3a ) ≥ ⇔ −1 ≤ a ≤ 7 Chứng minh tương tự ta có: ≤ b ≤ ;1 ≤ c ≤ 3 Thí dụ 18 Biết số x, y thỏa mãn điều kiện x + y = Hãy tìm GTNN F= x3 + y Hướng dẫn giải S = 2 x + y = S =  S= x + y  Đặt  ta có:  ⇔ ⇔ 8− F P= F F  P = xy x + y =  S − 3SP =   8− F Vậy x, y nghiệm phương trình : t − 2t + = x, y tồn ⇔ (*) có nghiệm tức ∆ ' ≥ ⇔ − (∗) 8− F ≥0⇔ F ≥2 ⇒ Min F = ⇔ x = y = xyz x + y + z = Thí dụ 19 Cho số x, y, z ≠ thỏa mãn điều kiện   x = yz Chứng minh x ≥ Hướng dẫn giải xyz  y + z = xyz − x = x3 − x x + y + z = ⇔ Ta có:  2  yz = x  x = yz (*) Vậy số y, z nghiệm phương trình: t + ( x3 − x ) t + x = Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Website:tailieumontoan.com Do tồn x, y, z thỏa mãn điều kiện đầu nên phương trình (*) phải có nghiệm Phương trình (*) có nghiệm 1 − x ≤ −2 2 2   ⇔ ( x − x ) − x ≥ ⇔ x (1 − x ) −  ≥ ⇔ (1 − x ) ≥ ⇔  ⇔ x2 ≥   1 − x ≥ 2 2 Thí dụ 20 Giả sử phương trình ax + bx + cx + d= ( a ≠ ) có hai nghiệm khác x1 , x2 Chứng minh rằng: x1x ≥ 4ac − b 4a Hướng dẫn giải Vì x1 , x2 nghiệm phương trình ax + bx + cx= +d ( a ≠ 0) nên ta có: ax13 + bx12 + cx1 + d =  ax2 + bx2 + cx2 + d = ⇒ a ( x13 − x23 ) + b ( x12 − x2 ) + c ( x1 − x2 ) = ⇔ a ( x1 + x2 ) + b ( x1 + x2 ) + c = − ax1 x2 ( x1 ≠ x2 ) Dễ thấy x1 + x2 nghiệm phương trình aX + bX + c − ax1 x2 = Để phương trình aX + bX + c − ax1 x2 = có nghiệm 4ac − b ⇔ ∆= b − 4a ( c − ax1 x2 ) ≥ ⇔ 4a x1 x2 ≥ 4ac − b ⇔ x1 x2 ≥ ⇒ đpcm 4a 2 2 C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x + x − 2) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn x, y thỏa mãn x + y − 12 xy − 24 x + 14 y + 12 = 3) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức B= x + y với x, y số thực thỏa mãn 3x + y + xy + = x + y 4) Xét số thực dương x, y thỏa mãn x2y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x x + y + x 5) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = xy + 2yz + 3zx 6) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức 2x2 + 4x + x2 + 7) Tìm GTLN, GTNN (nếu có) = H xy + y , biết số x, y thỏa mãn x2 + y = Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com 8) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A = xy − y x2 + y 9) Cho số thực x, y thỏa mãn x + y − 12 xy − 24 x + 14 y + 12 = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn x, y  x+ y+z = 2 x + y + z = 10) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ a 11) Tìm m, n để biểu thức P = 20 x + mx + n đạt đượcgiá trị lớn 7, giá trị nhỏ 3x + x + 12) Cho phương trình bậc hai x2 − ( m + ) x + + m =0 , m tham số Gọi hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính giá trị biểu thức P sau theo m : P= x1 x2 + Từ tìm giá trị m để P đạt giá trị lớn tìm x + x22 + ( x1 x2 + 1) giá trị m để P đạt giá trị nhỏ 13) Cho số a, b, c thỏa mãn a > 0, = bc 4a , 2a + b= + c abc Chứng minh a ≥ ( 14) Cho số thực x, y thỏa mãn x − y + ) + x2 y + x2 − y = Hãy tìm tất cặp nghiệm (x ;y) cho = A x + y đạt giá trị nhỏ 15) Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x + xy + y ≤ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P =x + xy − y 16) Cho phương trình: ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện: ≤ x1 ≤ x2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = Liên hệ tài liệu toán zalo: 039.373.2038 2a − 3ab + b 2a − ab + ac TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... x2 ) qua x1 x2 với điều kiện x1 , x2 ∈ [ 0;3] 2  x1 ≤ x1 x2 Giả sử ≤ x1 ≤ x2 ≤ ⇒  ⇒ ( x1 + x2 ) = x 12 + x 22 + x1 x2 ≤ + x1 x2  x2 ≤ ⇒Q≤ 18 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 + = + ( x1 + x2 ) + x1 x2... 2   x + x2 ≤ ( x1 + x2 ) ≤ x1; x2 ≤ ⇒  x2 ( x2 − 3) ≤ ⇒ ⇒ x 12 + x2 ≤ x1 x2 +  x1 x2 + ≥ 3( x1 + x2 )  ( x1 − 3)( x2 − 3) ≥ ⇔ ( x1 + x2 ) 18 + ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) 18 + ( x1 + x2... ) ≥ ( 2a + b ) = 5a + 2ab + 2b Làm tương tự ta được: ( 2a + b ) 2 + (a − b) 5b + 2bc + 2c ≤ ≤ ; 2b + c 1 = ( 2a + b ) 2a + b 5c + 2ca + 2a ≤ 2c + a 1 + + 2a + b 2b + c 2c + a Với x, y, z số