Nguyen ly dirichle trong chung minh bat dang thuc

Tailieumontoan.com  Tài liệu sưu tầm NGUYÊN LÝ DIRICHLET CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tài liệu sưu tầm, ngày 25 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com KĨ THUẬT ÁP DỤNG NGUYÊN TẮC DIRICLET ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Nguyễn Minh Sang GV THCS Lâm Thao- Lâm Thao- Phú Thọ Cơ sở phương pháp dựa nguyên lí DIRICHLET nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) nêu định lí mà sau người ta gọi Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý phát biểu sau: “Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (m,n ∈ N ,n>m) ta tìm lồng mà n khơng   + thỏ” m Từ ngun lí Dirichlet có mệnh đề có ý nghĩa ứng dụng quan trọng Đó là: Mệnh đề: Trong số thực x, y, z phải có số có tích không âm Đây mệnh đề quan trọng, ta chọn “điểm rơi” (tức đẳng thức tốn) ta áp dụng mệnh đề để chứng minh BĐT Chẳng hạn đẳng thức xảy a  b  c  k ta giả sử số a − k ; b − k ; c − k có số có tích khơng âm Giả sử số ( a  k ) , (b  k ) có tích khơng âm ( a  k )(b  k )  A Các ví dụ : I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải tập chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b  c  2abc   2(ab  bc  ca ) Lời giải Nếu a= b= c a  b  c  2abc   2(ab  bc  ca )  3a  2a   6a  2a  3a    2a  2a  a  a  a    a 12a  a 1   a 1 2a  1   a  Nên dự đoán điểm rơi a  b  c  Theo ngun lí Dirichlet số a 1,b 1,c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử a 1b 1  2c a 1b 1   2abc  2bc  2ca  2c Ta có a  b  c  2abc   a  b  c   2bc  2ac  2c  a  b   c  1  2bc  2ac  2c Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  a  b  c  2abc   a  b   c  1  2bc  2ac  2c  a  b  c  2abc   2ab  2c  2bc  2ac  2c  2(ab  bc  ca ) ( a − 1)( b − 1) =  ⇔ a = b = c =1 Đẳng thức xảy  a = b c =  Ví dụ Cho x,y, z dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng: x + y + z + x + y + z ≥ ( xy + yz + zx ) 2 Lời giải Nếu x= y= z x + y + z + x + y += z ( xy + yz + zx ) ⇒ x + 3= x 6x2 ⇒ x (1 − x ) = ⇔ x = 1;( vi x > 0) Dự đoán điểm rơi x= y= z= Theo ngun lí Dirichlet số  x 1,  y 1,  z 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử  x 1 y 1  Nên ( x − 1)( y − 1) ≥ ⇒ xy − x − y + ≥ ⇒ xyz ≥ xz + yz − z Theo BĐT Cauchy : x + y + z ≥ 3 xyz = BĐT (1) chứng minh ta chứng minh được: x + y + z + x + y + z ≥ x + y + z + ≥ ( xy + yz + zx ) Ta có x + y + z + = x + y + z + xyz + ≥ x + y + z + ( xz + yz − z ) + 2 ⇔ ( x + y ) + ( z + 1) + ( xz + yz − z ) ≥ xy + z + ( xz + yz ) − z= ( xy + yz + zx ) Nên x + y + z + x + y + z ≥ ( xy + yz + zx ) Dấu “=’ xảy 2 ( x − 1)( y − 1) =  ⇔ x = y = z =1 x = y = z  z = Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a  2(b2  2)(c  2)  9(ab  bc  ca) Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a  2(b2  2)(c  2)  9(ab  bc  ca)  a  2 Nếu a=b=c  a  6a  12a   27 a  27 a 2 a  6a 15a    a 1 a  8   a  1;(vi a  0) Dự đốn điểm rơi a= b= c= Theo ngun lí Dirichlet số a − 1; b − 1; c − có số có tích khơng 2 âm sử số a − 1; b − nên 2 (a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ a 2b − a − b + ≥ ⇔ a 2b + 2a + 2b + ≥ 3a + 3b + ⇔ ( a + )( b + ) ≥ ( a + b + 1) ⇔ ( a + )( b + )( c + ) ≥ ( a + b + 1)(1 + + c ) Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy Dãy a , b ,1 dãy : , ,c ta có ( a + b + 1)(1 + + c ) ≥ ( a + b + c ) ≥ 9(ab + bc + ca ) nên a  2(b2  2)(c  2)  9(ab  bc  ca) (a − 1)(b − 1) = Dấu “=” xảy  ⇔ a = b = c =1 a=b=c=1 a = b = c  Ví dụ Cho a,b,c không âm Chứng minh ( a + b + c ) + abc + ≥ 5(a + b + c) Lời giải Nếu a= b= c ( a + b + c ) + abc + 8= 5(a + b + c) ⇔ 6a + a + 8= 15a ⇔ a + 6a − 15a + 8= ⇔ ( a − 1) ( a + ) = ⇒ a = ;(vi a > 0) Dự đoán điểm rơi a=b=c=1 Theo ngun lí Dirichlet số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử a 1b 1   a 1b 1   abc  bc  ac  c ( Nên a + b + c 2 ) + abc + ≥ ( a + b + c ) + bc + ac − c + (*) Ta cần chứng minh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( a + b + c ) + bc + ac − c + ≥ 5(a + b + c) ⇔ ( a + b + c ) + bc + ac + ≥ 5(a + b) + 6c (**) Ta có ( a + b + c ) + 2bc + 2ac + 16 = ( b + c ) + ( a + c ) + ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) + = P 2 2 ⇒ P = ( b + c ) +  + ( a + c ) +  + ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1)     ⇒ P ≥ 4(b + c) + 4(a + c) + 6a + 6b + 4c= 10a + 10b + 12c ⇒ ( a + b + c ) + bc + ac + ≥ 5(a + b) + 6c ( Vậy BĐT (**) chứng minh Từ (*) & (*) ta có a + b + c 2 ) + abc + ≥ 5(a + b + c) ( a − 1)( b − 1) =  Dấu “=” xảy b + c = a + c = ⇔ a = b = c = a = b = c =  Ví dụ Cho a, b, c dương abc=1 Chứng minh 1 + + + ≥ 2(a + b + c) a b2 c2 Lời giải Nếu a= b= c 1 + + + = 2(a + b + c) ⇔ + = 6a ⇔ 6a − 3a − = ⇔ 2a − a − = a b c a ⇔ ( a − 1) ( 2a + a + 1) = ⇒ a = Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo ngun lí Dirichlet số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử a 1b 1   a 1b 1   ab   b  a  2ab  2c   2a  b  c (1) Ta cần chứng minh 1 + + + ≥ 2ab + 2c + 2 a b c Ta có Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 a 2b + b c + c a 3 a 2b + b c + c a + + + += += 2 2 a b c abc ⇔ a 2b + b 2c + c a + 3= ( a 2b + 1) + c ( a + b ) + ≥ 2ab + 2c ab + 2= 2ab + 2c + (2) Từ (1) & (2) ta có 1 + + + ≥ 2(a + b + c) dấu “=” xảy a b2 c2 ( a − 1)( b − 1) =  ab = ⇔ a = b = c =1  = abc  a = b Ví dụ Cho a,b,c khơng âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 9abc + ≥ 4(ab + bc + ca ) Lời giải Nếu a= b= c 9abc += 4(ab + bc + ca ) ⇒ 9a += 12a ⇔ 9a − 12a += 1 ⇒ ( 3a − 1) ( 3a − 3a − 1) = ⇒ a = ;(do a + b + c = 1) Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo nguyên lí Dirichlet số 3a 1, 3b 1, 3c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử 3a 13b 1   9ab  3a  3b    9abc   3(ac  bc)  c  Ta phải chứng minh 3( ac + bc) − c + ≥ 4( ab + bc + ca ) (1) Vì = a + b + c ⇒ = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2 Nên 3(ac + bc) − c += 3(ac + bc) − c + a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 3(ac + bc) − c + 1= 4(ab + bc + ca ) + c(a + b + c) − c+ ( a − b ) ≥ 4(ab + bc + ca ) ⇔ 3(ac + bc) − c + ≥ 4(ab + bc + ca ) (2) Từ (1) & (2) ta có 9abc + ≥ 4(ab + bc + ca ) Dấu “=” xảy ( 3a − 1)( 3b − 1) =  ⇔ a =b =c = a + b + c = a = b  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com II Áp dụng ngun tắc DIRICHLET giải tốn tìm cực trị đại số Ví dụ Cho số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm GTNN biểu thức A= ( x4 + )( y + )( z + ) Lời giải x =1  x = −1 Nếu x= y= z xy + yz + zx =3 ⇒ x =3 ⇒  Dự đoán điểm rơi x= 4 y= z= Theo nguyên lý Dirichlet số ( x − 1) ; ( y − 1) ( z − 1) tồn số có tích khơng âm ( ) ( ) Khơng tính tổng qt giả sử x − y − 4 Suy ra: (x − 1)( y − 1) ≥ ⇒ x y ≥ x + y − ⇒ x y + x + y + ≥ x + y + ⇒ ( x + )( y + ) ≥ ( x + y + 1) ⇒ ( x + )( y + )( z + ) ≥ ( x + y + 1)( z + ) Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta có: (x Suy ra: A = + y + 1)(1 + + z ) ≥ ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) = (x + )( y + )( z + ) ≥ 27   xy + yz + zx =  Dấu “=” xảy ⇔  x = y4 = ⇔ x =y =z = ±1  4  x= y= z4  Vậy MinA = 27 ⇔ x =y =z = ±1 Ví dụ Cho ba số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = a + b + c + 2abc + 18 ab + bc + ca Lời giải Dự đoán điểm rơi a= b= c= Xét ba số a − 1, b − 1, c − Theo nguyên tắc Dirichlet có số có tích khơng âm Giả sử : a − 1; b − nên Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (a − 1)(b − 1) ≥ ⇒ ab ≥ a + b − ⇒ abc ≥ (a + b − 1)c ⇒ 2abc ≥ 2ac + 2bc − 2c ⇒ a + b + c + 2abc ≥ a + b + c + 2ac + 2bc − 2c ⇒ a + b + c + 2abc ≥ (a − b) + (c − 1) + 2(ab + bc + ca ) − ⇒ a + b + c + 2abc ≥ 2(ab + bc + ca ) − Do đó: B ≥ 2(ab + bc + ca ) + 18   −=  ab + bc + ca +  − ab + bc + ca ab + bc + ca   Với x, y > ta ln có x + y ≥ xy nên: ab + bc + ca + 9 ≥ (ab + bc + ca ) = ab + bc + ca ab + bc + ca Do B ≥ 2.6 − = 11 Vậy Min( B ) = 11 Khi  (a − 1)(b − 1) =  ⇔ a = b = c =1 a = b; c =1  ab + bc + ca = ab + bc + ca  Ví dụ Cho số thực dương a, b,c thỏa mãn a+b+c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = a + b + c + abc Lời giải Nếu a = b = c thi a + b + c = ⇒ 3a = ⇒ a = Dự đoán điểm rơi a= b= c= Xét ba số a − 1, b − 1, c − Theo ngun tắc Dirichlet có số có tích khơng âm Giả sử số a − 1, b − ⇒ ( a − 1)( b − 1) ≥ ⇔ ab − a − b + ≥ ⇔ abc ≥ ac + bc − c Nên C = a + b + c + abc ≥ a + b + c + ac + bc − c 2C ≥ 2a + 2b + 2c + 2ac + 2bc − c =( a + c ) + ( b + c ) + a + b − 2c 2 2 2C ≥ ( a + c ) + 22  + ( b + c ) + 22  + (a + 1) + (b + 1) − 2c − 10 = Q     Áp dụng bất đẳng thức x + y ≥ xy Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 dấu “=” xảy x=y TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2C ≥ Q ≥ 4(a + c) + 4(b + c) + 2a + 2b − 2c − 10 = 6(a + b + c) − 10 = a − = b − a + c =   Min(C) = ⇔ b + c = ⇔ a = b = c =1 a + b + c =   a= b= Ví dụ Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = x2 + y + z + xyz Lời giải Nếu x = y = z thi x + y + z =1 ⇒ x =1 ⇒ x = Dự đoán điểm rơi a= b= c= 3 Theo nguyên tắc Dirichlet số − x;1 − y;1 − z có hai số có tích khơng âm giả sử − x;1 − y nên (1 − 3x )(1 − y ) ≥ ⇔ xy − 3x − y + ≥ ⇔ xyz ≥ 3xz + yz − z Nên D = x2 + y + z + ( x + y) ≥ Mà xz yz z + − xyz ≥ x + y + z + 2 2 3z z D/ ( x + y) − + z2 = 2 x + y =1 − z D ⇒ D ≥= / + (1 − z ) 2 + 3z z − z + z 3z 3z z z z − + = − + − + z 2= − ( ) 2 2 2 1 − x = 1 − y = 1  Min(D) = ⇔  ⇔ x=y=z= x = y  x + y + z = Ví dụ Cho a,b,c khơng âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức E= ( ab + bc + ca ) − abc Lời giải Dự đoán điểm rơi a= b= c= Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Theo ngun lí Dirichlet số a  2, b  2, c  2 có tích khơng âm.Khơng tính tổng qt, giả sử a  2b  2   ab  2a  2b    abc  2ac  2bc  4c  E  3ab  bc  ca   abc  3(ab  bc  ca )  2ac  2bc  4c  3ab  ac  bc  4c 3a  b  E  3ab  bc  ca   abc   c  a  b   4c c  36  c  E  ab  bc  ca  2abc   c 6  c  4c  28   1  28   2 ( a − )( b − ) =  ⇔ a =b =c = Max(E)=28  a = b c =  Ví dụ Cho a,b,c số không âm a + b +c =1 Tìm giá trị lớn : F = ab + bc + ca − 3abc Lời giải Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo nguyên tắc Dirichlet ba số 2a − 1;2b − 1;2c − có số có tích khơng âm Giả sử ≤ c ≤ b ≤ a a+b+c=1,nên c < Giả sử 2a-1; 2b-1 dấu ta có ( 2a − 1)( 2b − 1) ≥ ⇔ 4ab − 2a − 2b + ≥ ⇔ 4abc ≥ 2ac + 2bc − c ⇔ abc ≥ ac + bc c −  1 a+b  1  ac + bc c  F ≤ ab + bc + ca −  −  = ab − c  a + b −  ≤   − c a + b −  = P 4  2    2  2 1− c    F= ≤P   − c − c    2  1 1− c    1− c   Do = P  − c − c  ≤ ≤ 1; c  − c  ≥ Suy > c ≥ 0; nên    2 2   2     Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com   2a − =     2a − = a= b= ⇔ c = ⇔ Max(F) = a + b + c =  c =  a = b Do vai trò a,b,c nên Max(F) = 1 có số số B Bài tập áp dụng I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải toán chứng minh bất đẳng thức Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b  c  abc   2( ab  bc  ca ) 2 Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a  b  c  Theo ngun lí Dirichlet số a  2,b  2,c  2 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử a  2b  2  c a  2b  2   abc  2bc  2ca  4c Ta có a  b  c  abc   a  b  c   2bc  2ac  4c  a  b   c  4  2bc  2ac  4c  a  b  c  2abc   a  b   c  4  2bc  2ac  4c  a  b  c  2abc   2ab  4c  2bc  2ac  4c  2(ab  bc  ca ) Đẳng thức xảy a  b  c  Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a  4(b2  4)(c  4)  36(ab  bc  ca) Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo ngun lí Dirichlet số a − 2; b − 2; c − có số có tích khơng 2 âm Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com sử số a − 2; b − nên 2 (a − 2)(b − 2) ≥ ⇔ a 2b − 4a − 4b + 16 ≥ ⇔ a 2b + 4a + 4b + ≥ 6a + 6b + 12 ⇔ ( a + )( b + ) ≥ ( a + b + ) ⇔ ( a + )( b + )( c + ) ≥ ( a + b + )( + + c ) Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy Dãy a , b , dãy : , ,c ta có ( a + b + )( + + c ) ≥ 12 ( a + b + c ) ≥ 36(ab + bc + ca ) nên a  4(b2  4)(c  4)  36(ab  bc  ca) Dấu “=” xảy a=b=c= Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a  b  c  2abc   (a  1)(b  1)(c  1) Hướng dẫn a  b  c  2abc   (a  1)(b  1)(c  1)  a  b  c  2abc   ab  a  b  1(c  1)  a  b  c  2abc   abc  ab  bc  ca  a  b  c   2a  b  c   2abc   2ab  bc  ca   2a  b  c (*) Dự đoán điểm rơi a=b=c=1 Theo nguyên lí Dirichlet số a  1,b 1,c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử a 1b 1   a 1b 1   abc  bc  ac  c   2abc   2a  b2  c   2bc  ca  c  (1) 2 Ta chứng minh 2a  b  c   2bc  ca  c    2ab  bc  ca   2a  b  c   Nên a  b  c 2 Ta có 2a  b  c   2bc  ca  c   a  b   a  1  b  1  2c  1  2bc  ca  c a  b2   a  1  b2  1  2c  1  2bc  ca  c  2ab  2a  2b  4c  2bc  2ac  2c  2a  b  c   2bc  ca  c   2ab  bc  ca   2a  b  c (2) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Website:tailieumontoan.com Từ (1) &(2) suy BĐT (*) chứng minh hay a  b  c  2abc   (a  1)(b  1)(c  1) Dấu “=” xảy a= b= c= Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh          a  1b  1  b  1c  1  c  1a  1   b  c   c  a   a  b  Hướng dẫn Đặt x  a  1 , y  b  , z  c  BĐT viết lại thành b c a  x 1 y 1   y 1 z 1   z 1 x 1   xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z    xy  yz  zx  2 x  y  z  Dự đoán điểm rơi x= y= z= Theo ngun lí Dirichlet số  x  2, y  2,( z  2) có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử  x  2 y  2   xy   x  y  2 x  y  z   z  xy   z  xy   2 x  y  z  (1) Ta phải chứng minh xy  yz  zx  z  xy     1 1 1 xyz  a  b  c    abc  a bc      b  c  a abc a b c  xyz  abc   x  y  z   x  y  z   xy  z abc  z  xy 1    xy 1  z   xy 1   z xy   z xy  yz  zx  xy  z ( x  y )  xy  z xy  xy  2 z  2  z  xy   xy  yz  zx  z  xy  Từ 1 2 ta suy xy  yz  zx   x  y  z  hay  x 1 y 1   y 1 z 1   z 1 x 1  suy          a  1b  1  b  1c  1  c  1a  1   b  c   c  a   a  b  Đẳng thức xảy x  y  z  , hay a = b = c = Bài tập Cho số thực khơng âm a, b, c Chứng minh rằng: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com abc   [(a 1)  (b 1)  (c 1) ]  a  b  c Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo ngun lí Dirichlet số a 1,b 1,(c 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử a 1b 1   ab  a  b 1  abc  ac  bc  c [(a 1)  (b 1)  (c 1) ]  ac  bc  c   [(a 1)  (b 1)  (c 1) ] a bc  [(a 1)  (b 1)  (c 1) ]  (a  b  2)(1  c) abc   Áp dụng BĐT Cauchy ta có: (a 1)  (b 1)  (c 1)  (a  b  2)  (c 1)  (a  b  2)(1  c)  2(a  b  2)(1  c) Dấu “=” xảy a= b= c= Bài tập Cho số thực a,b,c Chứng minh a  b  c  a 2b 2c   2(ab  bc  ca ) Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= 2 Theo ngun lí Dirichlet số a − 1; b − 1; c − có số có tích không 2 âm giả sử số a − 1; b − nên 2 c a 1(b 1)   a 2b 2c  c  b 2c  c a Thay vào ta có a  b  c  a 2b c   a  b   b c  c a  a  b  c  a 2b 2c   a  b   1  b 2c   1  a 2c   2(ab  bc  ca ) Dấu “=” xảy a  b  c  1 Bài tập Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh ( a + b + ab )( b + c + cb )( a + c + ca ) ≥ 27abc Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a  b  c  Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 14 Website:tailieumontoan.com Theo ngun lí Dirichlet số bc  a , ac  b, ab  c  có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử ac  bcb  a    ab  a c  bc  abc 2 ( b + c + cb )( a + c + ca ) = ( − a + cb )( − b + ca ) 3b − 3ca − 3a + ab − a 2c + 3bc − b 2c + abc = P =− P= 3(3 − b − a + ac + cb) + (ab − a 2c − b 2c + abc ) P ≥ ( − b − a + ab + ac )= ( c + cb + ac ) Ta chứng minh ( Áp dụng Bunhicopsky ta có ( c + ac + bc )( ab + b + a ) ≥ abc + abc + abc ) = 9abc nên ( a + b + ab )( b + c + cb )( a + c + ca ) ≥ 27abc a + b + c = ⇒ a = b = c =1 ab= bc= ca= a= b= c Dấu “=” xảy  Bài tập Cho số thực dương a,b,c Chứng minh 16 ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≥ ( a + b + c + 1) Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c=  1  1  1 Theo ngun lí Dirichlet số a  ;b  ;c   có tích không âm       2 Giả sử  1  1 2 2 a  ;b     a b  a  b   4 4 16 15 a  b2    16 15 16 a  1b2  1  a  b2   16  a  1b2  1c  1  4a  4b  3c  1  a 2b  a  b      Ta chứng minh 4a  4b  c   a  b  c  1 2 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có 1 1 4a  4b2  3c  1  4a  4b2   2   c    a  b  c  12 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com ( )( )( ) Vậy 16 a + b + c + ≥ ( a + b + c + 1) Dấu”=” xảy a= b= c= 2 2 II Áp dụng ngun tắc DIRICHLET giải tốn tìm cực trị đại số Bài tập Cho số thực dương a, b,c thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức: a+b+c = G= 2(ab + bc + ca ) − abc Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= Xét ba số a − 1, b − 1, c − Theo nguyên tắc Dirichlet có số có tích khơng âm Giả sử số a − 1, b − ⇒ ( a − 1)( b − 1) ≥ ⇔ ab − a − b + ≥ ⇔ −abc ≤ c − c(a + b) Nên G = 2(ab + bc + ca ) − abc ≤ 2ab + 2bc + 2ca + c − c(a + b) = 2ab + c(b + a ) + c = Q −c + 2c + 10 − (c − 1) ( a + b) (3 − c) + c(a + b= + c(3 − c= = ≤5 G≤Q≤ )+c )+c 2 2 a − = b − a = b  ⇔ a = b = c =1 Max(G) = ⇔  = c   a + b + c = Bài tập Cho số a, b, c  cho a  b  c  abc  2 Tìm giá trị lớn biểu thức H  ab  bc  ca  abc Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo nguyên lí Dirichlet số a 1,b 1,c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử a  1b  1   c a 1b 1   abc  bc  ca  2c Nên ab  bc  ca  abc  ab  c Mà  a  b  c  abc  2ab  c  abc   c  ab c  2   c  ab  ab  c  Từ hai BĐT ta suy Max(H)=2 a  b  c  Bài tập Cho số thực dương a, b, c cho abc  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 16 Website:tailieumontoan.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức K  a 3 a  1  b3 b  1  c3 c  1 Hướng dẫn Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: 1    1 1 a 1 b 1 c 1 a  b  c 1 1    1 2 1  a 1  b 1  c a  b  c  Bổ đề Bổ đề Chứng minh Bổ đề BĐT tương đương với  ab  bc  ca  2(a  b  c)  a  b  c   a  b2  c2   ab  bc  ca  a  b  c 1 a  b  c Mà theo BĐT AM  GM a  b  c  a b c  2 2 Vậy Bổ đề chứng minh Chứng minh Bổ đề Theo ngun lí Dirichlet số a 1, b 1,(c 1) có tích khơng âm , khơng tính tổng qt giả sử c 1  ab   a  b c 1 2 Ta có    ab 1  a  b  (đúng) 2 1  a  1  b  ab a 1)(b 1   Nên 1  a  b  1  c   ab c  Do 1  a   1  b  1  c c 1    1 a  b  c  c  c  12 c   c  c  Vậy Bổ đề chứng minh Trở lại tốn Mà theo bổ đề ta có  a  1  1 2      2  a  b  b a  1 b  1 b  1 b  1  b  1  1   a  b  c 1 Vậy Min (K)=3 a  b  c  Bài tập Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M    a  2a  b  2b  c  2c  Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo ngun lí Dirichlet số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử b 1c 1  Nên b + c ≤ b + c + ( b − 1)( c − 1) =1 + ( b + c − 1) =1 − ( − a ) 2 2 2 Ta có b  c b2 c2   2 2 b  2b  c  2c  b  c  2(b  c)  3  a 3  a    2  2  a   2(3  a)  a  2a  2 Ta chứng minh 3  a a2 M    a 1 a  4a  8  với a a  2a  a  2a  Vậy Min(M)=1 a= b= c= Bài tập Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức N = a + b + c + ( ab + bc + ca ) 3 Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo nguyên lí Dirichlet số a 1,b 1,c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử a 1b 1   ab   c N = a + b3 + c3 + ( ab + bc + ca ) = ( a + b ) + c3 − 3ab(a + b) + ( ab + bc + ca ) N = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab  + c3 + c ( a + b ) + ab      a + b ( ) N ≤ ( a + b ) ( a + b ) − 3(2 − c)  + c + c ( a + b ) +        c − ( ) 27 ⇔ N ≤ ( − c ) ( − c ) − 3(2 − c)  + c + c ( − c ) + =     Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com ( a − 1)( b − 1) =  Max(N)=27 ⇔  a + b + c = ⇔ a = b = c =1 a = b  Bài tập Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q = ab + bc + ca − 2abc Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a= b= c= Theo ngun lí Dirichlet số 3a 1,3b 1,3c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử 3a 13b 1   9ab  3a  3b    9abc  3ac  3bc  c  2abc  2ac 2bc 2c 2ac 2bc 2c    ab  bc  ca  2abc  ab  bc  ca    3 3 2c  a  b  2c  ab  bc  ca  2abc  ab  c a  b    c  a  b  9 1  c 2c  c 1  c  1 1 1  ab  bc  ca  2abc   c  c    c  2c    12 18 12   27  ab  bc  ca  2abc  1 1   c    27 12  3 27 Max ( Q ) = a= b= c= 27 Bài tập Cho a,b,c dương , abc = Tìm giá trị nhỏ P= 1 + + (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Hướng dẫn P= 1 1 2 = + + ≥ + + (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b )(1 + c ) (1 + a ) bc + b + c + Theo nguyên tắc Dirihlet ba số a − 1; b − 1; c − có số có tích khơng âm Giả sử ( b − 1)( c − 1) ≥ ⇔ bc − b − c + ≥ ⇔ b + c ≤ bc + Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com P≥ 2 abc ≥ = + + + (1 + a ) bc + b + c + (1 + a ) 2(bc + 1) (1 + a ) bc + abc a a2 + a + = = + (1 + a ) + a (a + 1)2 1 a + a + a + 2a + − (a + 1) + Ta có 1− = = + 2 (a + 1) (a + 1) a + (a + 1) 1 Đặt = x ⇒1− + = x2 − x + = a +1 a + (a + 1) 1 3  x −   + ≥ 2 4  ⇒a=1  = b + c +  ⇔ a = b = c =1 Nên Min(P) = ⇔ ( b − 1)( c − 1) = abc =  a = dấu “=” x = Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Nguyễn Minh Sang GV THCS Lâm Thao- Lâm Thao- Phú Thọ Cơ sở phương pháp dựa ngun lí DIRICHLET nhà tốn học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859)... DIRICHLET giải toán chứng minh bất đẳng thức Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b  c  abc   2( ab  bc  ca ) 2 Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a  b  c  Theo nguyên lí Dirichlet... ( a  k )(b  k )  A Các ví dụ : I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải tập chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b  c  2abc   2(ab  bc  ca ) Lời giải