Phương pháp sử dụng nguyên lý dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức lê việt hưng

Chuyên đề: Phương pháp áp dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức Ngày tháng năm 2017 Lời nói đầu Bất đẳng thức mảng Toán khó, có không ứng dụng , nguyên lý định lý việc chứng minh bất đẳng thức Nhưng kỹ thuật mà tâm đắc áp dụng nguyên lý Dirichlet kỹ thuật thú vị mà hôm muốn gửi tới bạn Nguyên lí Dirichlet (Hay gọi nguyên lý ngăn kéo) để xuất nhà toán học Đức Johann Dirichlet (1805 - 1859) Lý thuyết 2.1 Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Dirichlet phát biểu sau: Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng luôn có chuồng chứa hai thỏ 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức Nguyên lí Dirichlet có nhiều ứng dụng Toán Học, điển hình bất đẳng thức Chúng thường áp dụng để giải số toán bất đẳng thức không Hôm đưa số ví dụ để bạn hiểu vấn đề Trong số a, b, c có số nằm phía với số m (Hay lớn m bé m) Bài tập ứng dụng Bài Toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ (ab + bc + ca) Định hướng lời giải: Cách Dễ nhận thấy đẳng thức xảy a = b = c = Dựa nguyên lý Dirichlet ba số a − 1, b − 1, c − có hai số dấu Giả sử hai số a − 1, b − 1, ta có: c(a − 1)(b − 1) ≥ Bất đẳng thức cho tương đương với: 2 (a − b) + (c − 1) + c (a − 1) (b − 1) ≥ Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Cách Ngoài cách sử dụng nguyên lý Dirichlet cách sử dụng bất đẳng thức Schur bậc xin đưa để bạn tham khảo thêm Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: √ 3abc 9abc 2abc + = abc + abc + ≥ a2 b2 c2 = √ ≥ a + b+c abc Đưa toán chứng minh: a2 + b2 + c2 + 9abc ≥ (ab + bc + ca) a+b+c ⇔ a(a − b)(a − c) + b(b − a)(b − c) + c(c − a)(c − b) ≥ (Đây bất đẳng thức Schur) Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán [APMO 2005] Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 Định hướng lời giải: Cách Nhận thấy đẳng thức xảy a = b = c = Dựa nguyên lý Dirichlet ba số a2 − 1, b2 − 1, c2 − có hai số dấu Giả sử hai số a2 − 1, b2 − 1, ta có: (a2 − 1)(b2 − 1) ≥ Từ ta có bất đẳng thức sau : a2 + b2 + = a2 + b2 + + a2 − b2 − ≥ a + b2 + Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức sau: a + b2 + c2 + ≥ (a + b + c) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: a + b2 + + + c2 ≥ (a + b + c) Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Cách 2.Nhận xét: Đây bất đẳng thức đối xứng không với biến a,b,c nằm độc lập Vì ta cần giảm bớt biến bất đẳng thức cho việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3(a + b + c)2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: (a + b + c) ≤ a2 + 1+ (b + c) Đưa toán chứng minh bất đẳng thức sau: b2 + ⇔ c2 + ≥ + (b + c) b2 + c2 + b2 c2 + ≥ 3bc Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: b2 + c2 ≥ bc b2 c2 + ≥ 2bc 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c dương a2 + (b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c) + (abc − 1) Định hướng lời giải: Bất đẳng thức cho tương đương với: 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + 2abc + ≥ 9(ab + bc + ca) Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta thu được: 2a2 b2 + + 2b2 c2 + + 2c2 a2 + ≥ 4ab + 4bc + 4ca 3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ 3ab + 3bc + 3ca Từ Bài Toán ta có được: a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) Cộng bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + ≥ (a + b + c + 1) 16 Định hướng lời giải: Trong ba số a,b,c có số nằm phía với Không tính tổng quát, giả sử b2 c2 nằm phía với ta có: 1 b2 − c2 − ≥0 4 Vì ta có bất đẳng thức sau: b2 + c2 + = b2 − c2 − 5 15 5 15 + b2 + c2 + ≥ b2 + c2 + 4 16 4 16 Ta cần chứng minh: 4b2 + 4c2 + a2 + ≥ (a + b + c + 1) Sử dụng bất đẳng thức C-B-S ta có: 4b2 + 4c2 + + 1 + + a2 + 4 ≥ (a + b + c + 1) Từ bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: (a2 − a + 1)(b2 − b + 1)(c2 − c + 1) ≥ Định hướng lời giải: Dựa nguyên lý Dirichlet số a − 1, b − 1, c − với a + b + c = có số dấu Không tính tổng quát, giả sử (a − 1)(b − 1) ≥ 0.Ta có: (b + c)2 − (b + c) + (b2 − b + 1)(c2 − c + 1) = bc(b − 1)(c − 1) + b2 + c2 − b − c + ≥ b2 + c2 − b − c + ≥ Ta lại có: 1 (b + c)2 − (b + c) + = (3 − a)2 − (3 − a) + = (a2 − 4a + 5) 2 Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức sau: (a2 − a + 1)(a2 − 4a + 5) ≥ ⇔ (a − 1)2 (a2 − 3a + 3) ≥ Bài Toán minh rằng: [Lê Khánh Sỹ] Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng a2 a2 b2 c2 + + ≥1 − 2a + b − 2b + c − 2c + Định hướng lời giải: Cách Trong ba số a,b,c có số nằm phía với Không tính tổng quát, giả sử b c nằm phía với ta có: (b − 1) (c − 1) ≥ Vì ta có bất đẳng thức sau: 2 b2 + c2 ≤ b2 + c2 + (b − 1) (c − 1) = + (b + c − 1) = + (2 − a) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: 2 b2 c2 (b + c) (3 − a) (3 − a) + ≥ ≥ = 2 b − 2b + c − 2c + (b + c2 ) − (b + c) + + (2 − a2 ) − (3 − a) + a − 2a + Ta cần chứng minh: (3 − a) a2 + ≥1 a2 − 2a + a2 − 2a + Sau khai triển rút gọn ta bất đẳng thức sau: (a − 1) a2 − 4a + ≥ Bất đẳng thức với a Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Cách Ngoài cách sử dụng Nguyên lý Dirichlet cách giải khác thú vị kỹ thuật nhân với biểu thức anh Lê Ngọc Nghĩa Tôi xin đưa cách giải để bạn tham khảo thêm Nhân vế bất đẳng thức với a2 − 2a + + b2 − 2b + + c2 − 2c + rút gọn ta : a2 b2 + c2 − 2b − 2c + ≥6 a2 − 2a + Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: b2 + c2 − 2b − 2c + ≥ 1 2 (b + c) − (b + c) + = (3 − a) − (3 − a) + = a − 2a + 13 2 Tương tự: b − 2b + 13 2 c − 2c + 13 a2 + b2 − 2a − 2b + ≥ c2 + a2 − 2c − 2a + ≥ Vì , ta có bất đẳng thức sau: a2 b2 + c2 − 2b − 2c + ≥ a2 − 2a + a2 a2 − 2a + 13 = (a2 − 2a + 4) a2 + 9a2 (a2 − 2a + 4) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: a2 ≥ a − 2a + (a + b + c) = a2 − a + 12 a2 + Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta thu được: VT ≥ 81 a2 + a2 + = a2 + + 81 a2 + −3≥6 Từ việc chứng minh bất đẳng thức hoàn tất Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán dương [USA MO 2003] Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c số thực (2a + b + c) 2a2 + (b + c) + (2b + c + a) 2b2 + (c + a) 2 + (2c + a + b) ≤8 2c2 + (a + b) Định hướng lời giải: Do bất đẳng thức với biến a,b,c nên ta chuẩn hóa a + b + c = Bất đẳng thức cho viết lại thành: (a + 1) 2a2 + (1 − a) + (b + 1) 2b2 + (1 − b) ⇔ + (c + 1) 2c2 + (1 − c) ≤8 (a + 1) (b + 1) (c + 1) ≤2+ 3− + 3− 3a2 − 2a + 3b − 2b + 3c − 2c + ⇔ 2 (a + 1) 2(2b − 1) 2(2c − 1) ≤2+ + 3a2 − 2a + 3b − 2b + 3c2 − 2c + 1 nên không tính tổng quát, giả sử b − 3 Trong có số nằm phía so với b2 + c2 ≤ b2 + c2 + b − c− = 1 + b+c− = + −a c− ≥ ta có: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có 2 4a2 (2c − 1) (2b + 2c − 2) (2b − 1) + ≥ ≥ 3b2 − 2b + 3c2 − 2c + (b2 + c2 ) − (b + c) + + −a = 12a2 9a2 − 6a + − (1 − a) + Ta cần chứng minh: (a + 1) 24a2 ≤ + 3a2 − 2a + 9a2 − 6a + Sau khai triển rút gọn ta được: (3a − 1) 15a2 − 6a + ≥ Bất đẳng thức với c Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán [Lê Khánh Sỹ] Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 b + b2 c + c2 a = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + ≥ (a2 + b2 + c2 ) (a3 b + b3 c + c3 a) Định hướng lời giải: Không tính tổng quát giả sử b nằm a c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a3 + b3 + c3 + a2 b + b2 c + c2 a ≥ (a2 + b2 + c2 ) (a3 b + b3 c + c3 a) Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có: a3 b + b3 c + c3 a b c3 a 3 = a b + b + bc + a + b c + b (a2 + b2 + c2 ) (a3 b + b3 c + c3 a) ≤ b(a2 + b2 + c2 ) + Do ta cần chứng minh: c3 + c2 a ≥ bc2 + c3 a ⇔ c2 (c − b)(b − a) ≥ b Từ đây, việc chứng minh bất đẳng thức hoàn tất Đẳng thức xảy khi: a = b = c Bài Toán [Lê Khánh Sỹ] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh ta có a+b b+c c+a + + ≥2 c a b (a + b + c) a b c + + bc ca ab Định hướng lời giải: Không tính tổng quát giả sử b nằm a c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: abc(a + b + c) + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc(ab + bc + ca)(ab2 + bc2 + ca2 ) Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có: abc(ab + bc + ca)(ab2 + bc2 + ca2 ) ≤ ac(ab + bc + ca) + b(ab2 + bc2 + ca2 ) = a2 bc + abc2 + a2 c2 + ab3 + b2 c2 + a2 bc Ta cần chứng minh: a2 b2 + ab2 c ≥ ab3 + a2 bc ⇔ ab(c − b)(b − a) ≥ Hoàn tất việc chứng minh Đẳng thức xảy khi: a = b = c Bài Toán 10 [VMO 1996] Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca + abc = Chứng minh rằng: a + b + c ≥ ab + bc + ca Định hướng lời giải: Dưa nguyên lí Dirichlet số a − 1, b − 1, c − có số dấu.Không tính tổng quát, ta giả sử (b − 1)(c − 1) ≥ ta có: c (a − 1) (b − 1) ≥ ⇒ c ≥ ac + bc − abc Do ta cần chứng minh : a + b ≥ ab + abc Theo giả thiết: ab + bc + ca + abc = Suy ra: c= Thay c = − ab a + b + ab − ab vào bất đẳng thức cho ta có Bất đẳng thức cho tương đương với: a + b + ab a + b ≥ ab + − ab a + b + ab ⇔ (a + b) (a + b + ab) ≥ ab (4 + a + b) ⇔ (a − b) ≥ Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán 11 minh rằng: [Nguyễn Việt Hùng] Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng a3 + b3 + c3 + 8(ab + bc + ca) ≤ 27 Lời giải: Trong số a, b, c có số nằm phía với Không tính tổng quát, ta giả sử: (a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ ab ≥ a + b − = − c Bất đẳng thức cần chứng minh: a3 + b3 + c3 + 8(ab + bc + ca) = (a + b)[(a + b)2 − 3ab] + c3 + 8[(a + b)c + ab] (a + b)2 ] (3 − c)2 = 27 ≤ (3 − c)[(3 − c)2 − 3(2 − c)] + c3 + (3 − c)c + ≤ (a + b)[(a + b)2 − 3ab] + c3 + 8[(a + b)c + Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài Toán 12 [ MOSP 2005 ] Cho a, b, c ≥ không đồng thời , thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a+b b+c c+a Lời giải Từ điều kiện ab + bc + ca = ta có được: ≥ ab, ≥ bc, ≥ ca Trong số dương a, b, c có số nằm phía so với 1, ta giả sử số a, b Từ suy ra: (a − 1)(b − 1) ≥ ⇒ + ab ≥ a + b ⇒ ≥ + ab ≥ a + b − ab ≥0 Ta có: ab + bc + ca = ⇒ c = a+b − ab Thay c = vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được: a+b a+b a+b + + ≥ a + b + b2 + a2 ⇔ 1 + + ≥ (a + b)2 + b2 + a2 2(a + b) Theo AM − GM ta có: 1 b2 a2 b a a+b + = − + − ≥1− +1− =2− 2 2 1+b 1+a 1+b 1+a 2 Ta cần chứng minh: a+b ≥ +2− (a + b)2 2(a + b) + ⇔ − ≥ (a + b)3 a+b 2(a + b)2 Đặt x = 1 ≥ , bất đẳng thức trở thành: a+b x3 + 2x − ≥ x2 ⇔ (x − 1)2 (2x − 1) ≥ 2 Đẳng thức xảy khi: a = b = 1, c = hoán vị tương ứng Bất đẳng thức với x ≥ Bài tập Rèn luyện Bài Toán 13 [Romania TST 2006] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a2 + b2 + c2 a b c Bài Toán 14 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 + b2 + c2 + a + b + c ≥ 2(ab + bc + ca) Bài Toán 15 [Japan MO 1997] Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương (c + a − b)2 (a + b − c)2 (b + c − a)2 + + ≥ a2 + (b + c)2 b2 + (c + a)2 c2 + (a + b)2 Bài Toán 16 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1) Bài Toán 16 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z + = 4xyz Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≥ x + y + z ... chứng minh bất đẳng thức sau: b2 + ⇔ c2 + ≥ + (b + c) b2 + c2 + b2 c2 + ≥ 3bc Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: b2 + c2 ≥ bc b2 c2 + ≥ 2bc 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh. .. ta bất đẳng thức sau: (a − 1) a2 − 4a + ≥ Bất đẳng thức với a Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Cách Ngoài cách sử dụng Nguyên lý Dirichlet cách giải khác thú vị kỹ thuật nhân với biểu thức anh Lê. .. chứng minh bất đẳng thức sau: a + b2 + c2 + ≥ (a + b + c) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: a + b2 + + + c2 ≥ (a + b + c) Đẳng thức xảy khi: a = b = c = Cách 2.Nhận xét: Đây bất đẳng