Ứng dụng nguyên tắc điriclê trong chứng minh bất đẳng thức

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TS Phạm Văn Cường – P.GĐ sở GDĐT Huỳnh Tấn Châu – GV trường THPT chuyên LVC Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) nêu định lí mà sau người ta gọi Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý phát biểu sau: “Nếu nhốt vào n lồng số thỏ mà số lượng lớn n ta tìm lồng mà có nhiều thỏ” Chúng ta biết bất đẳng thức (BĐT) dạng toán hay khó, thường có kì thi học sinh giỏi (HSG) Quốc gia Quốc tế Có nhiều phương pháp để chứng minh BĐT: phương pháp chứng minh quy nạp, phương pháp chứng minh phản chứng, dùng BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki, Chebyshev,…phương pháp đạo hàm, phương pháp lượng giác hóa, Bài viết muốn giới thiệu phương pháp chứng minh BĐT thú vị ứng dụng nguyên lí Dirichlet Với phương pháp này, giúp chứng minh số toán BĐT cách gọn gàng độc đáo Từ nguyên lí Dirichlet có mệnh đề có ý nghĩa ứng dụng quan trọng Đó là: Mệnh đề Trong số thực x, y , z phải có số dấu Đây mệnh đề quan trọng, ta chọn “điểm rơi” (tức đẳng thức toán) ta áp dụng mệnh đề để chứng minh BĐT Chẳng hạn đẳng thức xảy a b c k ta giả sử số (a k ) , (b k ) dấu, (a k )(b k ) Chúng ta nghiên cứu số ví dụ sau để thấy ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet việc giải BĐT Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a Lời giải Dự đoán điểm rơi a b b2 c c2 2abc 2(ab bc ca) Theo nguyên lí Dirichlet số a , b , c dấu Không tính tổng quát, giả sử a b 2c a b Do ta cần chứng minh a b2 c2 2abc 2bc 2c 2ab a 2c 2ca b c BĐT Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: Ta chứng minh BĐT với số thực thay đổi chút: a2 b2 c2 a 2b2 c 2 2(ab bc Theo nguyên lí Dirichlet ca) c2 a2 (b2 1) a 2b2 c c2 b2 c c2 a2 Nên ta cần chứng minh a2 b2 b2c c2a2 ab bc ca a b BĐT hiển nhiên Đẳng thức xảy a Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 2abc bc b ca c (a 1)(b 1)(c 1) Lời giải Sau nhân vế cho BĐT tương đương với a2 b2 c2 2abc ab bc ca 2(a b c) Theo toán 1, ta cần chứng minh a2 b2 c2 a b c a BĐT Đẳng thức xảy a Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 (b2 2)(c 2) a b b b c c c abc Lời giải BĐT tương đương với 2(a 2b2 Theo BĐT AM 3a2 3b2 3c2 b2 c c2 a2 ) 4(a GM 2a2b2 3ab b2 c2 ) 2b2c2 2abc 2c2 a2 9(ab 4ab bc 4bc ca) 4ca 3ca Từ kết hợp với toán ta suy điều phải chứng minh 3bc Đẳng thức xảy a b Bài toán Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: (a c 2)(b 2)(c 2) a b c Lời giải BĐT cho tương đương với 2(a 2b2 b2 c c2 a2 ) a2 b2 c2 a 2b c 6(ab bc ca) Theo nhận xét toán 1, ta cần chứng minh a 2b b2c c2 a2 ab bc ca ab bc BĐT Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: Các toán làm chặt cho toán sau Bài toán (USA – 2001) Cho số a, b, c cho a b2 Chứng minh ab bc ca abc c2 ca abc Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet số a , b , c dấu Không tính tổng quát, giả sử a b c a b c2 ab c c abc bc 2c ca Nên ab bc ca abc ab c Mà a2 b2 c2 abc 2ab c2 abc 2 ab ab c Từ hai BĐT ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c Với giả thiết a b2 c abc , đại đa số nghĩ đến việc lượng giác hóa cách đặt : a 2cos A, b 2cos B, c 2cos C Nhưng lời giải tương đối phức tạp đòi hỏi học sinh phải tính toán nhiều Bài toán (IRAN – 2002) Cho số a, b, c cho a b2 Lời giải 1.Áp dụng toán 1, ta có a b c c2 abc Chứng minh a abc a2 b2 c2 b c Từ đó, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a Lời giải 2.Tương tự toán 5, ta có điều sau a b ab 1, ab c b c Từ hai gợi ý suy điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán dùng phương pháp lượng giác hóa để chứng minh, hai cách giải gọn gàng độc đáo Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh b a Lời giải Đặt x 1 c b ,y b a ,z c b b 1 c c c BĐT viết lại thành a x y 1 a 1 a c y z 1 b a z x 1 3 Theo nguyên lí Dirichlet số x , y ,( z 2) dấu Không tính tổng quát, giả sử x y xy xyz abc 2x abc 2y x x y z y z x (1) 2z xy 2 xy 2z xy z z Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y z , hay a = b = c = y z z z xy xy yz xy (2) xy Từ ta suy x y zx Bài toán Cho số thực dương a, b, c cho a b c Chứng minh rằng: (a2 a 1) b2 b c2 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet ta giả sử b c b2 b c2 a2 a c 1 b2 b2 bc b c b c2 c b c Nên ta cần chứng minh a2 a a2 4a a Khi : c b2 b a2 c2 c c2 b b c b c 1 a c a b (a c 4a 5) BĐT đúng.Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: BĐT với nhiều biến Các bạn thừ giải mở rộng sau nhé: Mở rộng Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn Nếu n 13 x12 x22 x1 x2 xn2 xn a bp b cp x2 c xn n r2 Mở rộng Cho số thực dương a, b, c cho a b c Chứng minh a p x1 r r , với p Bài toán (UK TST – 2005) Cho số thực dương a, b, c cho abc a Chứng minh b a b c c Lời giải Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Bổ đề 1 1 a b c 1 a b a b c c a b c 1 Chứng minh Bổ đề BĐT tương đương với ab bc ca 2(a b c) ab bc ca a b c a a b b c c a2 b2 c2 Mà theo BĐT AM GM a2 b2 3 a 2b c c2 Vậy Bổ đề chứng minh Chứng minh Bổ đề Theo nguyên lí Đirichlet số a , b ,(c 1) dấu, không tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 Ta có Nên a b 1 a a 2 ab 1 ab b 1 Do 1 ab b a ab b b a (đúng) c c 1 c c 1 c a b c c c 1 c 1 c 1 c b c c Vậy Bổ đề chứng minh Trở lại toán BĐT cho tương đương với 1 a Mà theo bổ đề ta có 1 b 1 a b b b a 2 b a b 2 b 2 2 b 2 1 b a 1 b a c b 1 Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a Bài toán 10 (MOSKVA – 2000) Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng: x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx  (1) Đẳng thức xảy ? Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet :  x  1 y  1   xy  x  y    xyz  xz  yz  z Theo BĐT Cauchy : x  y  z  3 xyz  BĐT (1) chứng minh ta chứng minh được: x  y  z    xy  yz  zx  (2) Ta có x  y  z   x  y  z  xyz   x  y  z   xz  yz  z    xy  z   xz  yz   z   xy  yz  zx  (đpcm) Bài toán 11 (VMO – 1996) Cho số thực không âm a, b, c cho ab bc ca abc Chứng minh a b c ab bc ca Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet số a , b ,(c 1) dấu, không tính tổng quát, giả sử a b Khi c a b 0 Từ giả thiết ab bc ca c ac abc bc abc Do ta cần chứng minh a suy c a b ab abc ab , b ab Thay vào BĐT thức ta BĐT thức tương đương là: a b ab a ab b ab a b a b ab ab a b a b BĐT hiển nhiên Phép chứng minh hoàn tất Nhận xét Bài toán giải phương pháp dồn biến Bài toán 12 (TRƯỜNG ĐHKHTN – ĐHQGTPHCM) Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: abc 2 [(a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 ] a b c Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet số a , b ,(c 1) dấu Không tính tổng quát, giả sử a b minh c( a Hay b 1) ab [(a 1)2 b Vì để hoàn tất toán ta cần chứng a [(a 1)2 (b 1)2 (b 1)2 (c 1)2 ] b 2) 2 (c 1) (a (c 1)2 ] b a b c 2)(1 c) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: (a 1)2 (b 1) (a (c 1) 2 (a b 2)(1 c) 2(a b 2)(1 c) Phép chứng minh hoàn tất Bài toán 13 (APMO – 2004) Chứng minh : x  2 y  2z  2  9 xy  yz  zx , x, y, z  Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet ba số xy – 1, xz – 1, yz – tồn hai số không trái dấu, chẳng hạn: xy – 1, yz – 1, nên :  xy  1 yz  1  Suy xy z   xy  yz Khi : x y z  y   2xy z  1  2 xy  yz  BĐT cần chứng minh viết lại:     3x  y  z   3( xy  yz  zx) Ta có x y z  y   2( xy  yz) (1) ; y   xy , nên 2x y  y z  z x    4( xy  yz  zx) (3) x  z x y z  x y  y z  z x  x  y  z   9( xy  yz  zx) Vì : x 2 2 2 2 2 2 2 (2)  2xz (4) Cộng BBDT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta có:     x y z  x y  y z  z x  x  y  z   9( xy  yz  zx) Đẳng thức xảy x = y = z = Qua số toán trên, ta thấy nguyên lí Dirichlet có ứng dụng việc giải toán rời rạc, toán số học, tổ hợp, … mà có hiệu việc chứng minh số toán BĐT, số trường hợp cho ta lời giải vô đẹp đẽ sáng (ví dụ toán 5, 6, 10), góp phần việc nâng cao tư tạo hứng thú cho học sinh yêu thích môn toán Hy vọng rằng, với suy nghĩ ví dụ góp phần bổ sung thêm kiến thức kinh nghiệm việc chứng minh BĐT TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức – Định lí áp dụng, Nxb GD Phan Đức Chính (1993), Bất đẳng thức, Nxb GD G.H Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya (2002), Bất đẳng thức, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội Các Thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 – 2006), Nxb GD 2007 Các nguồn tài liệu Internet Tạp chí Toán học Tuổi trẻ ... c a b c 1 Chứng minh Bổ đề BĐT tương đương với ab bc ca 2(a b c) ab bc ca a b c a a b b c c a2 b2 c2 Mà theo BĐT AM GM a2 b2 3 a 2b c c2 Vậy Bổ đề chứng minh Chứng minh Bổ đề Theo nguyên lí Đirichlet... hai gợi ý suy điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán dùng phương pháp lượng giác hóa để chứng minh, hai cách giải gọn gàng độc đáo Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh b a Lời giải Đặt... dương a, b, c cho a b c Chứng minh a p x1 r r , với p Bài toán (UK TST – 2005) Cho số thực dương a, b, c cho abc a Chứng minh b a b c c Lời giải Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Bổ