chuyen de bat dang thuc va cuc tri

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Thanh Hóa, ngày 23 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG ĐA THỨC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Bất đẳng thức toán cực trị nội dung quan trọng hấp dẫn Các tốn chun đề bao gồm: • Bất đẳng thức dạng đa thức, cách chứng minh bất đẳng thức, bất đẳng thức thơng dụng, có bất đẳng thức Cơ-si bất đẳng thức B-nhia-cốp-xki • Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng đa thức với biến nhiều biến Vài nét lịch sử CÔ – SI VÀ BU-NHI-A-CỐP-XKI Cô – si (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857) nhà toán học Pháp, Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pa-ri Ơng có 800 cơng trình nhiều lĩnh vực Số học, Đại số, Giải tích, Cơ học, Quang học, Thiên Văn học Ông xây dựng nhiều vấn đề lí thuyết cách chặt chẽ, khoa học, giúp cho Tốn học có bước tiến đnags kể Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân n số khơng ân a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1 a2 a3 an n Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cô – si đưa cách chứng minh độc đáo, ông người đề xuất bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki (Viktor Bunyakovsky, 1804 – 1889) nhà tốn học Nga, Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm khoa học Pê – tec – bua Ơng học Tốn Pari học trị Cơ – si Ơng có 128 cơng trình Lí thuyết số, Lí thuyết xác suất, Giải tích, Hình học Đại số Ơng có nhiều đóng góp nâng cao trình độ khoa học giảng dạy toán học trường đại học trung học Để ghi nhớ công lao ông với giáo dục Nga, năm 1875 giải thưởng mang tên ông lập để trao cho sáng chế Toán học Bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki với hai n số ( a1 , a2 , , an ) ( b1 , b2 , , bn ) (a + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cô – si – Bu – nhi – a – cốp – xki – Svac, Cơ – si đề xuất bất đẳng thức đó, Bu – nhi – a – cốp – xki mở rộng kết cho tích phân, cịn Svac (Schwarz, nhà tốn học Đức, 1843 – 1921) mở rộng kết cho khơng gian vectơ Bài tốn thực tế Khu đất nhốt gia súc Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bác Tâm có lưới sắt dài 60 m, bác muốn dùng lưới căng thành ba đoạn thẳng AB, BC , CD với tường có sẵn làm thành hình chữ nhật ABCD để nhốt gia súc Hãy tính độ dài AB để khu đất hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn Giải Đặt AB = CD = x (mét) BC = 60 − x Diện tích S hình chữ nhật ABCD S= x ( 60 − x ) = −2 x + 60 x = −2 ( x − 30 x ) = −2 ( x − 30 x + 225 ) + 450 = −2 ( x − 15 ) + 450 ≤ 450 max S= 450 ⇔ x= 15 Độ dài AB = 15m, khu đất có diện tích lớn 450 m I BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG ĐA THỨC Ta gọi hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b ) bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức, ta thường dùng cách sau: - Dùng định nghĩa: Để chứng minh a > b ta chứng minh a − b > - Dùng phép biến đổi tương đương: Chứng tỏ bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với bất đẳng thức - Dùng phương pháp phản chứng: Để chứng minh a ≥ b ta chứng tỏ a < b sai Cần nhớ số bất đẳng thức thông dụng sau: a) Liên hệ trung bình cộng trung bình nhân ( bất đẳng thức Cô – si) a+b ≥ ab với a, b ≥ (1) Xảy đẳng thức a = b b) Liên hệ tổng bình phương bình phương tổng ( a + b2 ) ≥ ( a + b ) ( 2) ( a + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c ) ( 3) Ta cịn có ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) Tổng quát bất đẳng thức ( ) ( 3) , ta có bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki (a (a + b )( x + y ) ≥ ( ax + by ) + b + c )( x + y + z ) ≥ ( ax + by + cz ) ( 4) a b c Xảy đẳng thức = = x y z ( 5) ( xyz ≠ ) Bất đẳng thức ( ) trường hợp đặc biệt bất đẳng thức ( ) với x= y= Bất đẳng thức ( 3) trường hợp đặc biệt bất đẳng thức ( ) với x= y= z= Khi a, b, c, x, y, z không âm bất đẳng thức ( ) ( ) viết dạng ( a + b )( x + y ) ≥ ( ax + by ( a + b + c )( x + y + z ) ≥ ( ) ax + by + cz Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 ) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ 84 Chứng minh đẳng thức ( a − b )( c − d ) ≤ ( ac − bd ) (1) Giải (1) ⇔ a 2c − a d − b2c + b2 d ≤ a 2c − 2abcd + b2 d ⇔ ≤ a d + b c − 2abcd ⇔ ≤ ( ad − bc ) ( 3) Bất đẳng thức ( 3) Vậy bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy ad = bc Ví dụ 85 Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y không âm ( x + y ) ( x + y ) ≥ ( x + y ) Giải Cách Xét hiệu hai vế ( x + y ) ( x3 + y ) − ( x + y ) = x + xy + x3 y + y − x − x y − y = xy ( y + x − xy = ) xy ( x − y ) ≥ Đẳng thức xảy x = 0, y = 0, x = y Cách Với a, b, x, y ≥ 0, theo bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki ( a + b )( x + y ) ≥ ( ax + by ) Với= a x= , b y ta có ( x3 + y ) ( x + y ) ≥ ( x x + y y ) = (x + y2 ) Ví dụ 86 Chứng minh bất đẳng thức x + y ≤ xy + với x ≥ 1, y ≥ Giải Do x ≥ y ≥ nên ( x − 1)( y − 1) ≥ ⇒ xy − x − y + ≥ ⇒ x + y ≤ xy + Đẳng thức xảy x = y = Ví dụ 87 Cho a + b ≥ Chứng minh đẳng thức a + b3 ≥ a + b Giải Cách (1) ⇔ a − a + b3 − b ≥ ⇔ a ( a − 1) + b ( b − 1) ≥ (1) ( 2) Đặt a = + x b = + y Do a + b ≥ nên x + y ≥ Ta có ( ) ⇔ (1 + x ) x + (1 + y ) y ≥ ⇔ x + y + ( x + y ) + ( x3 + y ) ≥ ( 3) Ta có x + y ≥ x + y ≥ nên x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) ≥ Suy ( 3) Vậy (1) Đẳng thức xảy a = b = Cách Do a + b ≥ nên a + b − ≥ Để chứng minh a + b3 − a − b ≥ ta chứng minh a + b3 − a − b ≥ a + b − ( 3) ( 3) ⇔ a + b3 − a − b − a − b + ≥ ⇔ a − a − a + + b3 − b − b + ≥ ⇔ ( a − 1) ( a + a + 1) + ( b − 1) ( b + b + 1) ≥ ( 4) Do ( ) nên ( 3) Vậy (1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh bất đẳng Ví dụ 88 Cho số a b không âm thỏa mãn a + b = thức a) a + b3 ≤ b) a + b3 ≥ Giải nên a ≤ b ≤ Suy a ≤ a b3 ≤ b a) Do a + b = Do a + b3 ≤ a + b3 = Đẳng thức xảy a = b = b) Ta chứng minh ( a + b ) ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) (xem Ví dụ 85) ⇒ a +b 3 (a ≥ + b2 ) a+b = a+b (1) Ta lại có ( a + b ) ≤ ( a + b ) = ⇒ a + b ≤ 2 Từ (1) ( ) suy a + b3 ≥ ( 2) Đẳng thức xảy a= b= II CỰC TRỊ DẠNG ĐA THỨC Ví dụ 89 Tìm giá trị nhỏ (min) biểu thức A = x − x + với a) x b) x ≥ Giải  3 3 a) A = x − x + + =  x −  + ≥ 4  2 4 3 A = x = b) Cách Do x ≥ ta đặt x= + y với y ≥ Ta có A = (2 + y) − ( + y ) + = y + y + ≥ (do y ≥ ) A =1 ⇔ y =0 ⇔ x =2 Cách Ta có A ( ) = 22 − 3.2 + = Ta chứng minh với x ≥ A ≥ Ta có A − = x − x + = ( x − 1)( x − ) Với x ≥ x − > 0, x − ≥ nên A − ≥ , A ≥ A = x = Lưu ý Khi biến x nhận giá trị tùy ý tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ ) đạt cực đại x= − b 2a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi biến x nhận giá trị hạn chế khơng chứa − b tam thức bậc hai đạt cực trị giá trị 2a biên biến Ví dụ 90 Tìm giá trị nhỏ = x3 − 48 x với x ≥ a) A = x − 32 x b) B Giải a) A =x3 − 48 x =x3 + x − x − 64 x + 16 x + 128 − 128 = ( x − x + 16 ) ( x + ) − 128 = ( x − ) ( x + ) − 128 ≥ −128 Vậy A = −128 x = b) B = x − 32 x = x + 16 − x + x + 32 − 32 x − 48= (x − ) + ( x − ) − 48 ≥ −48 2 Vậy B = −48 x = Ví dụ 91 Tìm giá trị nhỏ của= A x ( x + ) với x ≥ Giải Do x ≥ ta đặt x= + y với y ≥ Ta có A = ( + y ) ( + y ) = y + 10 y + 28 y + 24 = y ( y + 10 y + 25 ) + y + 24 = y ( y + ) + y + 24 ≥ 24 Vậy A = 24 y = tức x = Ví dụ 92 Cho số x, y khơng âm thỏa mãn x3 + y = Tìm giá trị lớn (max) a) A= x + y b) B = x2 + y Giải a) Ta có = x3 + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) = ( x − xy + y ) A x − xy + y = ( x + y ) − xy = A2 − xy ( 2) xy ≤ ( x + y )= A2 ⇒ −3 xy ≥ − A2 ( 3) Từ ( ) ( 3) suy x − xy + y ≥ A2 − Từ (1) ( ) suy ≥ A2 A = 4 (1) ( 4) A2 A ⇒ A3 ≤ ⇒ A ≤ x = y max A = ⇔  ⇔ x = y =1 x + y = b) Với x, y khơng âm ta có ( x + y ) ( x + y ) ≥ ( x + y ) (theo bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki theo Ví dụ 85) nên A.2 ≥ B ⇒ B ≤ A ≤ 2.2 = Vậy max B = ⇔ x = y = Ví dụ 93 Cho x ≥ x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ A = x2 + y Giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chọn x nhỏ Khi x = y ≥ Xét biểu thức x + y Theo bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki ( 42 + 22 )( x + y ) ≥ ( x + y ) Do x > x + y ≥ 12 nên x + y ≥ 20 (1) ( 2) Từ (1) ( ) suy 20 A ≥ 202 ⇒ A ≥ 20 x y 4 =  x = A = 20 ⇔  x = ⇔ y = x + y =   Ví dụ 94 Cho số dương a, b thỏa mãn a + b = = A ab ( a + b ) Tìm giá trị lớn Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có 2ab + ( a + b ) ( a + b )2 2= A 2ab ( a + b ) ≤ = = 2 1 ⇒ A≤ ⇒ A≤ 1 maxA = ⇔ a = b = Ví dụ 95 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ( a + b )( a + c ) = 2 Tìm giá trị lớn của= A abc ( a + b + c ) Giải: Ta có ( a + b )( a + c ) =8 ⇒ a ( a + c ) + ab + bc =8 ⇒ a ( a + b + c ) + bc = (1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có a ( a + b + c ) + bc A = a ( a + b + c ) bc ≤ = = 2 ⇒ A ≤ 16 A = 16 ⇔ a ( a + b + c ) = bc = b= c= b= c= ⇔ maxA = 16 khi, chẳng hạn  a= 2 − a + 2= Ví dụ 96 Tìm giá trị lớn A = a + b + c biết −1 ≤ a, b, c ≤ và: a) a + b + c = b) a + b + c = Giải: a) Do −1 ≤ a ≤ nên ( a + 1)( a − 3) ≤ ⇒ a ≤ 2a + Tương tự, b ≤ 2b + 3, c ≤ 2c + nên A ≤ ( a + b + c ) + 9= 2.5 + 9= 19 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com maxA = 19 ba số a, b, c có hai số , số −1 b) Do −1 ≤ a, b, c ≤ nên ( a + 1)( b + 1)( c + 1) + ( − a )( − b )( − c ) ≥ ⇒ ( a + 1)( bc + b + c + 1) + ( − a )( − 3b − 3c + bc ) ≥ ⇒ ( ab + bc + ac ) − ( a + b + c ) + 28 ≥ ⇒ ( ab + bc + ac ) − 8.4 + 28 ≥ ⇒ ( ab + bc + ac ) ≥ (1) Ta có A = a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = 16 − ( ab + bc + ca ) ( ) Từ (1) ( ) suy A ≤ 14 maxA = 14 ba số a, b, c có số , số , số −1 Lưu ý: Cách giải câu a ) gọn ta gặp thuận lợi: cực trị xảy a, b, c nhận giá trị −1 , tức nhận giá trị biên biến Cách giải câu a ) không vận dụng cho câu b) câu b) cực trị xảy có số , khơng phải giá trị biên biến a, b, c Như cách giải câu b) tổng qt Ví dụ 97 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn d , biết số a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d =  2 2 a + b + c + d = Giải: Ta có a + b + c = − d ; a + b + c = − d Áp dụng bất đẳng thức ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) ( − d ) ≥ ( − d ) ⇔ 2d − 5d + ≤ ≤d ≤2 ; max d = a= b= c= Vậy d = a= b= c= 2 Ví dụ 98 Cho số a, b, c, d khơng âm có tổng Tìm giá trị lớn ⇔ ( d − )( 2d − 1) ≤ ⇔ A = ab + bc + cd Giải: A = ab + bc + cd ≤ ab + bc + cd + ad = ( a + c )( b + d ) (1) Ta lại có ( a + c )( b + d ) ≤ ( a + c + b + d ) = 22 = Nên ( a + c )( b + d ) ≤ ( 2) Từ (1) ( ) suy A ≤ a + c = b + d = 1 , c= Vậy max A= ⇔  chẳng hạn a= 0, b= d= ad = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DẠNG PHÂN THỨC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề bao gồm hai nội dung: − Bất đẳng thức dạng phân thức, có bất đẳng thức cộng mẫu số − Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng phân thức, có tốn tìm cực trị mà biến nằm khoảng định, cần dự đốn giá trị biến để xảy cục trị Tính nhẩm vào đời sống CHIA NHANH Bạn Vinh cần làm phép chia 1:1, 03 làm tròn đến hàng phần trăm Vinh loay hoay tính tốn khơng có máy tính bỏ túi tay Hà nói với Vinh: Bạn cần lấy trừ 0, 03 được! ( 0, 03 phần số chia so với ) Vinh ngạc nhiên sau kiể tra lại máy tính: 1:1, 03 = 0,9708 ≈ 0,97 ( = − 0, 03) Vinh thử vài trường hợp khác thấy = 1:1, 04 0,9615 ≈ 0,96 = 1:1, 07 0,9345 ≈ 0,93 a) Bạn giải thích điều b) Có phải kết tính theo cách ln nhỏ kết hay không? Giải: a số nhỏ so với 1+ a 1 − a2 ≈ − 1 a Khi nên = = 1− a 1+ a 1+ a 1 − a2 1− a > = b) Do > − a nên 1+ a 1+ a Vậy kết tính theo cách nhỏ kết I BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC Ngoài bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân (bất a) Giả sử cần tính đẳng thức Cơ-si), liên hệ tổng bình phương bình phương tổng (bất Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) nêu Chuyên đề 7, cần nhớ bất đẳng thức liên hệ tổng số tổng nghịch đảo chúng: 1 với x, y > + ≥ x y x+ y 1 + + ≥ với x, y, z > x y z x+ y+z (1) (2) Bạn đọc nên biết bất đẳng thức tổng quát bất đẳng thức cách chứng minh chúng để cần, sử dụng chúng bổ đề: a b2 ( a + b ) + ≥ với x, y > x y x+ y (3) a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ với x, y, z > x y z x+ y+z (4) 2 Bất đẳng thức (1) trường hợp đặc biệt bất đẳng thức (3) a= b= Bất đẳng thức ( ) trường hợp đặc biệt bất đẳng thức ( ) a= b= c= Ta gọi bất đẳng thức bất đẳng thức cộng mẫu số Ví dụ 99 Chứng minh bất đẳng thức ( 3) ( ) nói Giải: Chứng minh bất đẳng thức ( 3) sau: a b2 ( a + b ) a y + b2 x ( a + b ) + ≥ ⇔ ≥ x y x+ y xy x+ y 2 ⇔ ( a y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + 2ab + b ) ⇔ a y + b x ≥ 2abxy ⇔ ( ay − bx ) ≥ a b = x y Xảy đẳng thức Chứng minh đẳng thức ( ) sau: Cách Áp dụng bất đẳng thức ( 3) hai lần ta có:  a b2  c2 ( a + b ) c2 a y + b2 x ( a + b + c ) + + ≥ + ⇔ ≥   y z x+ y z xy x+ y+z  x 2 Cách Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:  a   b   c      +  +    x   y   z      ( x ) + ( y ) + ( z )  ≥ ( a + b + c ) 2 2  a b2 c2  ⇒  + +  ( x + y + z ) ≥ (a + b + c) y z   x Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 53 Website:tailieumontoan.com 1 4 + ≥ = =(1) a + b − c b + c − a a + b − c + b + c − a 2b b Tương tự: 1 + ≥ ( 2) c+a −b b+c−a c 1 + ≥ ( 3) c+a −b a +b−c a Cộng (1) , ( ) , ( 3) vế với vế ta có: ⇒ 1 1 1 + + ≥ + + a +b−c b+c−a c+a −b a b c Dấu xảy ⇔ a = b = c Bài 22 ( Đề thi thử vào 10 THCS Giảng Võ– Hà Nội 2017-2018) x x2 + Tìm GTNN biểu thức sau: P =+ (voi x > 0) x Lời giải 2 Bình phương hai vế ta P − 2Px + x = x + ⇔ 2Px − xp + = (1) x Vì P > nên phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ P − 8P ≥ ⇔ P(P − 8) ≥ ⇔ P ≥ ( P > ) Dấu xảy x = Vậy P = ⇔ x = (các em thay P = vào (1) để tìm x ) 2 Bài 23 ( Đề thi thử vào 10 THCS Cát Linh– Hà Nội 2017-2018) = xy ( x − )( y + ) + 12x + 3y + 18y + 36 − 24x Chứng minh P Cho biểu thức P dương với x, y ∈ Lời giải P= xy(x − 2)(x + 6) + 12x + 3y + 18y + 36 − 24x = xy(x − 2)(x + 6) + 12(x − 2) + 3(y + 6) + 36 = x(x − 2) [ y(y + 6) + 12] + 3[ y(y + 6) + 12] = (y + 6y + 12)(x − 2x + 33) 2 = ( y + 3) + 3 ( x − 1) + 32     Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 Website:tailieumontoan.com ( y + 3)2 + > Vì  với x, y ∈ ( x − 1) + 32 > Vậy P dương với x, y ∈ Bài 24 ( Đề thi thử vào 10 Học Mãi – Hà Nội 2018-2019) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = TÌm giá trị nhỏ ab + 3c + 2a + 2b + ab biểu thức A = Lời giải Ta có: ( ab + 3c = ab + c(a + b + c) = c + c ( a + b ) + ab ≥ c + 2c ab + ab = c + ab ( a + b ) ≥ a + b + 2ab= Do A ≥ (a + b) = ) ab ( v× : a + b > ) c + ab + a + b + ab = = + ab + ab Dấu “=” xảy với a = b Vậy A = với a = b Bài 25 ( Đề thi thử vào 10 THCS ARCHIMEDES– Hà Nội 2017-2018) 2  a   b   c  Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:   +  +  ≥ a+b b+c c+a Lời giải 2 a a 3a  a   a  + ≥ 33  = Ta có:   +   b + c  2(b + c)  b + c  2(b + c) 2(b + c) a  a  ⇒ −  ≥ b+c b+c 2 c b  c   b  − −  Tương tự ta có   ≥  ≥ a+c a+c a+b a+b Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: 2 a b c  a   b   c  + + −   +  +  ≥ b+c a+c a+b b+c a+c a+b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 55 Website:tailieumontoan.com Ta cần chứng minh a b c + + ≥ b+c a+c a+b Đây bất đẳng thức Nesbit quen thuộc Nhận xét: a b c 1   + + = (a + b + c)  + + −3 b+c a+c a+b a+b b+c a+c BĐT 1   ⇔ (a + b + c)  + + −3≥ a+b b+c c+a 1   ⇔ (a + b + c)  + + ≥ a+b b+c c+a 1   ⇔ [ (a + b) + (b + c) + (c + a)]  + + ≥ 9(*)  a + b b + c c + a  Ta có bất đẳng thức (*) ln Vì (a + b) + (b + c) + (c + a) ≥ 3 (a + b)(b + c)(c + a) 1 1 1 + + ≥ 33 a+b b+c c+a a+b b+c c+a Nhân vế với vế bất đẳng thức ta thu (*) Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c Bài 26 ( Đề thi thử vào 10 THCS Quận Long Biên– Hà Nội 2017-2018) 2 Cho ba số x, y, z không âm x + y + z ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ P = ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) Lời giải Áp dụng BĐT Cơsi ta có : (x + 1) + (y + 4) + (z + 1) ≥ 2x + 4y + 2z ⇔ 3y + ≥ 2x + 4y + 2z (do x + y + z ≤ 3y.) ⇔ ≥ 2x + y + 2z Với a, b số dương ta chứng minh 1 + 2≥ a b (a + b) Dấu “ = ” xảy a = b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 56 Website:tailieumontoan.com Áp dung BĐT ta có: P = P≥ 64.4 (2x + y + 2z + 10) ≥ ( x + 1) + y   + 1 2  + ( z + 3) ≥ y 1   x +1+ +  2  + ( z + 3) 256 = (6 + 10) Vậy Pmin = khi= x 1;= y 2;= z Bài 27 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2018-2019) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  ac  bc  2018ab Lời giải * Tìm GTLN: (a  b  c)2 Ta có P  ac  bc  2018ab  c(a  b)  2018ab  c(a  b)   (1) theo B ĐT cosi (2) 4 Dấu “=” xảy  Dấu “=” (1), (2) đồng thời xảy thỏa mãn điều kiện cho  a0       a.b  b  c         c  a  b b     a  b  c         a c      b   a0     Vậy Pmax =    a  c  b c     2  * Tìm GTNN: Ta có a  b  ab (BĐT Cosi)  (a  b)2  ab (3) (a  b)2 (a  b)2  P  ac  bc  2018ab  c(a  b)  2018  2018 (4) theo B ĐT cosi (3) 4 a  b  c   a  b  (5) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 57 Website:tailieumontoan.com  P  2018 (a  b)2 2018 1009   4 Dấu “=” xảy  Dấu “=” (3), (4), (5) đồng thời xảy thỏa mãn điều kiện cho   c0   c0       a  b    a b    a b c       c   1009 Vậy Pmin =    a  b   Bài 28 ( Đề thi thử vào 10 THCS Đặng Ái, Thanh Trì - Hà Nội 2018-2019) Tính giá trị nhỏ bieur thức Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = P= a+b abc Lời giải Áp dụng B Đ T cosi, ta có: a + b ≥ ⇒ (a + b) ab ⇔ ab ≤ (1) a+b P ≥ ≥ ⇒= ab ( a + b ) abc ( a + b ) c Áp dụng B Đ T cosi, ta có: ( a + b ) + c ≥ ⇒P≥ ( a + b ).c ⇔ ( a + b ) (a + b + c) c ≤ (2) 16 1) 16 (vì theo giả thiết a + b + c = = (a + b + c) Dấu “=” xảy ⇔ Dấu “=” (1) (2) đồng thời xảy thỏa mãn giả thiết  a = b a = b =   ⇔ a + b= c ⇔  a + b + c = c =   Vậy PMin = 16 ⇔ a = b = 1 ;c= Bài 29 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2018-2019) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 58 Website:tailieumontoan.com ab bc ca + + ≤ (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Lời giải ab bc ca + + ≤ ( a + b + c )(*) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: x, y > ⇒ ⇔ 1 1 11  ≤  +  ⇔ ( x + y) +  ≥ x+ y 4 x y  x y x y + ≥ ⇔ ( x − y ) ≥ (luôn đúng) y x Dấu “=” xảy x = y Áp dụng ta được: Tương tự ta có: ab ab  ab ab  = ≤  +  a + b + 2c a + c + b + c  a + c b + c  bc  bc bc  ca  ca ca  ≤  + ≤  + ;  b + c + 2a  b + a c + a  c + a + 2b  c + b a + b   ab ab bc bc ca ca  ⇒ VT (*) ≤  + + + + +  4 a+c b+c b+a c+a c+b a+b =  ab + bc ab + ac ac + bc  + + = ( a + b + c ) ⇒ dpcm   b+c a+b  4 a+c Bài 30 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2018-2019) Chứng minh rằng: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = 3 1 1  + +  + ( a + b + c ) ≥ 27 a b c Lời giải nên: < a < ; < b3 < ; < c3 < Ta có a + b + c = 3 Tổng quát: 3 + Xét < x < ⇒ x < < 4 4 − x3 4 − 2x >0 + Áp dụng BĐT cosi ta có: + ≥ = ⇒ + − 2x ≥ = x x x x x x 4 2  ⇒ ( x − 1) 1 + − 2x  ≥ ⇔ 5x + ≥ 2x + x  x  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 59 Website:tailieumontoan.com (Dấu “=” xảy ⇔ x = CHÚ Ý: Dấu “=” xảy không phụ thuộc vào việc dấu “=” BĐT cosi có xảy hay khơng mà phụ thuộc vào hiệu ( x − 1) thỏa mãn giả thiết) Áp dụng cho toán ta có: 5a + ≥ 2a + a (1) ; 5b + ≥ 2b3 + b (2) ; 5c + ≥ 2c3 + c (3) 1 1 + +  + ( a + b + c ) ≥ ( a + b3 + c3 ) + 21 a b c Cộng (1), (2) (3) vế theo vế ta có:  1 1 ⇒  + +  + ( a + b + c ) ≥ 27 a b c Dấu “=” xảy ⇔ dấu “=” (1), (2) (3) đồng thời xảy a + b + c = 3 ⇔ a=b=c=1 Bài 30 ( Đề thi thử vào 10 THCS Phan Huy Chú Hà Nội 2018-2019) Cho số thực không âm a, b thỏa mãn: a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4a + + 4b + Lời giải Cách 1: P2 = ( a + b ) + + ( 4a + 1)( 4b + 1) = 10 + 16ab + ( a + b ) + ≥ 10 + ( a + b ) + = 16 ⇒P≥4 Dấu đẳng thức xảy ( a, b ) hoán vị ( 0; ) Cách 4a= + x, 4b= + y thì: Đặt ≤ x, y ≤ ( ≤ a, b ≤ ) x − y2 − + =2 ⇔ x + y =10 4 ( x − 1)( x − 3) ≤ ( y − 1)( y − 3) ≤ Do  4x ≥ x + ⇒ ⇒ ( x + y ) ≥ x + y + = 16 ⇒ x + y ≥ 4y ≥ y + x 1,= y = y 1,= x hay ( a, b ) hoán vị Dấu đẳng thức xảy = số ( 0; ) Cách 3: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 60 Website:tailieumontoan.com x + k + y + k ≥ k + x + y + k với x, y, k ≥ (*) Chứng minh bổ đề: Chứng minh (*): Bình phương vế ta có: x + y + 2k + ( x + k )( y + k ) ≥ x + y + 2k 2 + 2k x + y + k Hay ( x + k )( y + k ) ≥ k 2 x + y + k ⇔ xy + ( x + y ) k + k ≥ ( x + y ) k + k ⇔ xy ≥ bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy xy = Áp dụng vào toán: 4a + + 4b + ≥ + + ( a + b ) = + = Dấu đẳng thức xảy a, b hoán vị ( 0; ) Bài 31 ( Đề thi thử vào 10 THCS Phương Liệt Hà Nội 2018-2019) 1 + + = 1+ a 1+ b 1+ c Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = abc Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: Lời giải Ta có: 1 + += 1+ a 1+ b 1+ c a , b, c > 1 = 1− +1− 1+ a 1+ b 1+ c b c = + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c ≥2 1+ a Tương tự bc (1 + b )(1 + c ) (Theo BĐT Cô Si) bc (1 + b )(1 + c ) ≥2 1+ b ac ≥2 ; (1 + a )(1 + c ) + c ab (1 + a )(1 + b ) Nhân vế với vế ta ≥8 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) a 2b c 2 = 2 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 8abc ⇔ abc ≤ (1 + a )(1 + b )(1 + c ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 Website:tailieumontoan.com Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c Vậy Qmax = 3 1 =2 ⇔ =1 + a ⇔ a = ⇒ a =b =c = 1+ a 2 1 a= b= c= Bài 32 ( Đề thi thử vào 10 THCS Lương Thế Vinh Hà Nội 2019-2020) Cho a, b số dương thỏa mãn ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a  b  2a  b2  a b Lời giải Ta có P  a  b  2a  b2  a b    a  b  với ab   1     a b Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta có: a  b  ab  (1)   a  b  2ab  (2) Do đó: P  2 1   1  a b a b  Dấu “ = ” xảy  Dấu “=” bất đẳng thức Cosi (1) (2) đồng thời xảy a  b   a b  a.b   Vậy Pmin =  a  b  Bài 33 ( Đề thi thử vào 10 Hà Nội 2019-2020) Cho số không âm a, b, c thỏa mãn Chứng minh a+ b+ c= a + ab + b + b + bc + c + c + ca + a ≥ 3 Lời giải a + ab + b + b + bc + c + c + ca + a ≥ 3 ⇔ 2a + 2ab + 2b + 2b + 2bc + 2c + 2c + 2ca + 2a ≥ ⇔ a + b2 + ( a + b ) + b2 + c2 + ( b + c ) + a + c2 + ( a + c ) ≥ 2 Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ki: x.a + y.b ≤ Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 (x + y )( a + b ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 62 Website:tailieumontoan.com Chứng minh: x.a + y.b ≤ (x + y )( a + b ) ⇔ ( x.a + y.b ) ≤ x 2a + y b + x b + y 2a ⇔ x b + y 2a − 2x.a.y.b ≥ ⇔ ( xb − ya ) ≥ (luôn đúng) a b = x y Dấu “=” xảy ⇔ Áp dụng cho toán: a+b≤ (1 + ) ( a b+c≤ (1 + ) ( b a+c≤ (1 + ) ( a 2 2 + b )= 2(a + b +c = ) 2(b + c +c = ) 2(a + c 2 2 2 2 )⇔a )⇔b )⇔a +b +c +c 2 (a + b) ≥ 2 ( b + c) ≥ 2 (a + c) ≥ (1) (2) (3) Do đó: a + b2 + ( a + b ) + b2 + c2 + ( b + c ) + a + c2 + ( a + c ) ≥ 3 2 ) ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + c= 2 2 = (đpcm) (2a + 2b + 2c) Dấu “=” xảy ⇔ dấu “=” (1), (2), (3) đồng thời xảy thỏa mãn a+ b+ c= ⇔ a= b= c= Bài 34 ( Đề thi thử vào 10 THCS Phụng Thượng Hà Nội 2019-2020) Cho x, y hai số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức = S ( x + y) ( x + y) + x + y2 xy Lời giải ( x + y) x + 2xy + y ( x + y ) x + y S= + = + +2 x + y2 xy x + y2 xy Áp dụng B Đ T cosi ta có: x + y ≥ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ( x + y) xy ⇔ xy ≤ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 63 Website:tailieumontoan.com ( x + y) Do đó: S ≥ x + y2 Dấu “=” xảy + ( x + y2 ) ( x + y) +2 ≥ BDT Cosi ( x + y) x + y2 ( x + y2 ) ( x + y) +2= y ⇔ Dấu “=” B Đ T cosi xảy ⇔ x = Vậy Smin = ⇔ x = y Bài 35 ( Đề thi thử vào 10 THCS Trần Nhân Tông Hà Nội 2019-2020) Với a, b số thực thỏa mãn a + b2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b + ab Lời giải 4) P= a + b + 4ab =+ −2a b + 4ab + 16 (vì a + b = ( a b2 ) − 2a 2b2 + 4ab = a + b =4 ≥ 2ab Áp dụng B Đ T cosi, ta có: ⇒ 4ab ≥ 2a b ⇒P= −2a b + 4ab + 16 ≥ −2a b + 2a b + 16 = 16 Dấu “=” xảy ⇔ Dấu “=” B Đ T cosi xảy thỏa mãn giả thiết a = ± a = b ⇔ ⇔ 2 b = ± a + b = 16 ⇔ ( a ; b ) ∈ Vậy Pmin = {( )( )( 2; , − 2;− , )( 2;− , − 2; )} Bài 36 ( Đề thi thử vào 10 THCS Nam Từ Liêm Hà Nội 2017-2018) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh : xy yz xz + + ≤1 x + y + xy y + z + yz x + z + xz Lời giải xy ≤ (1) x + y + xy > x + y + xy ≥ 3xy = > Ta có x + y ≥ 2xy = 2 2 Tương tự ta chứng minh : xz ≤ (3) x + z + xz xy yz xz + + ≤1 Cộng vế- vế (1),(2),(3) ta có: 2 x + y + xy y + z + yz x + z + xz yz ≤ (2) y + z + yz Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 64 Website:tailieumontoan.com Dấu '' = '' xảy ⇔ x = y = z =1 xy yz xz + + ≤ (đpcm) 2 x + y + xy y + z + yz x + z + xz Vậy Bài 37 ( Đề thi thử vào 10 THCS Phan Đình Giót Hà Nội 2017-2018) a>0;b>0 Cho P = a + b4 + a + b =a + b Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2020 (a + b) Lời giải Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ki: x.a + y.b ≤ (x Chứng minh: x.a + y.b ≤ (x + y )( a + b ) + y )( a + b ) ⇔ ( x.a + y.b ) ≤ x 2a + y b + x b + y 2a 2 ⇔ x b + y 2a − 2x.a.y.b ≥ ⇔ ( xb − ya ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng cho toán: a + b ≤ (1 + ) ( a Bất đẳng thức Cosi: ab ≤ a + b Mà 2 + b= ) ( a + b2 ) (1) (2) a + b =a + b , nên: a + b ≤ ( a + b ) ⇒ a + b ≤ ⇒ a.b ≤ P =a + b + 2020 2020 2 2 2 =( a + b ) − 2a b + (a + b) (a + b) voi a + b =a + b 2020 501 2020 2 + − 2a b ( a + b ) 505 505 ( a + b ) = (a + b) + Ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com (a + b) + 2020 ≥2 ( a + b ) 505 a +b≤2⇒ (a + b) 2020 = (BĐT cosi) (3) ( a + b ) 505 501 2020 ≥ 501 505 ( a + b ) a.b ≤ ⇒ −2a b ≥ −2 ⇒ P ≥ 507 ⇒ Pmin = 507 ⇔ Dấu “=” xảy ⇔ Dấu “=” (1), (2), (3) xảy thỏa mãn giả thiết a = b ⇔ ⇔ a = b =1 a + b = a + b  Bài 37 ( Đề thi thử vào 10 THCS Nghĩa Tân – Cầu Giấy 2018-2019) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + 2 28 + x y Lời giải P = x2 + y + 28 + x y   28  1 = ( x − x + ) + ( y − y + 1) +  + x  +  + y  + ( x + y ) −  x  y  1 2  28   = ( x − ) + ( y − 1) +  + x  +  y +  + ( x + y ) − y  x   Ta có ( x − ) ≥ 0; ( y − 1) ≥ 0; ( x + y ) ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương ta có 28 + x ≥ 28.7 = 28; + y ≥ x y Cộng bất đẳng thức chiều ta P ≥ 28 + + − = 24 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com x − =   28 = x x x =  Đẳng thức xảy  y − = ⇔  y =1 1  =y y x + y =  Bài 38 ( Đề thi thử vào 10 THCS Ngô Sĩ Liên Hà Nội 2019-2020) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Với số thức không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = biểu thức P = a b c + + a +1 b +1 c +1 Lời giải Nhận xét: Điểm rơi a= b= c= Áp dụng BĐT cosi, ta có: a a a = ≤ + a +1 a +1 a +1 (1) b b b = ≤ + b +1 b +1 b +1 (2) c c c = ≤ + c +1 c +1 c +1 (3) P Do đó= a b c  a b c  + + ≤ + + +  a +1 b +1 c +1  a +1 b +1 c +1 1, ta có: Với a + b + c = a b c a b c + += + + a +1 b +1 c +1 a + b + a + c b + a + b + c c + a + b + c a 1 a a  1 1  ≤  + ≤  +   (4) ⇒ a +b+c+a 4a +b c+a  a +b+c+a 4a +b c+a  1 1  b 1 b b  ≤  + ≤  +  (5) ⇒  a +b+b+c 4a +b b+c a +b+b+c 4a +b b+c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 67 Website:tailieumontoan.com 1 1  c 1 c c  ≤  + ≤  +  (6) ⇒  c+a +b+c 4c+a b+c c+a +b+c 4c+a b+c ⇒P≤ 1 a a b b c c  3 +  + + + + +  =+ = 4a +b c+a a +b b+c c+a b+c 4 Dấu “=” xảy ⇔ dấu “=” (1), (2), (3), (4), (5), (6) đồng thời xảy thỏa mãn giả thiết ⇔ a =b =c = Vậy P đạt giá trị lớn , a= b= c=  HẾT  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... đẳng thức Cơ – si – Bu – nhi – a – cốp – xki – Svac, Cơ – si đề xuất bất đẳng thức đó, Bu – nhi – a – cốp – xki mở rộng kết cho tích phân, cịn Svac (Schwarz, nhà tốn học Đức, 1843 – 1921) mở rộng... k1 = − a k2 = − a Ở hai câu a b vai trị bình đẳng a, b, c ta dự đoán cực trị xảy a = b = c = 1, k1 = − a = − =1 k2 = − a = − = 4 Dạng f ( x) + g ( x) Để tìm giá tri lớn dạng trên, trường hợp mà... − x ≥ x + (1 − x ) = A = ⇔ x= f ( x ) − g ( x ) f ( x ) − g ( x ) => m Dạng Để tìm giá trị lớn dang trên, ta dung bất đẳng thức Xảy đẳng thức chì g ( x ) = f ( x ) = g ( x ) Ví dụ 134 Tìm giá