t ề t ố ọ ó t ó tr trì tờ tr ỳ t ọ s ỏ t số ọ q ế t tố tứ số tổ ợ Cnp tờ t ó ố ọ s ị ý s ột tr ữ ị ý ẹ ủ ý tết t tố ết tệ tr ổ ề ộ ị ý ứ ụ ột số t số ọ q ế t tố ệ ó ý ĩ tự tễ tr ọ t t tr ọ ổ t ì t số ọ t ó tr q trì ọ t tr ề t ọ s ỏ ù ố ó ẽ t ệ ò ữ ế tế sót ì t rt ợ ý ế ó ó ủ ệ ọ qết ề sở ý ủ ề m, n số sử ể ễ sở p ủ m, n ị ý s tự p ột số tố m = mk pk + mk1 pk1 + + m1 p + m0 n = nk pk + nk1 pk1 + + n1 p + n0 mi , ni p 1, i = 0, 1, k ó n Cm k i=0 ni Cm (mod p) Cab = a < b i ứ ế m = n tì ị ý ể ú t tí tổ qt sử m > n j j ó ét (x + 1)p xp (mod p), j N k ó m (1 + x) = (1 + x) mi pi i=0 k i (1 + xp )mi i=0 r (1 + x)m k mi i=0 j=0 n t ệ số ủ i j Cm xj.p (mod p) i x ế ủ tứ tr s r ề ứ ự tr ủ ề r ỳ t ọ s ỏ t số ọ ột t ó ố ọ s t t q ế t tố tứ số tổ ợ Cnp tờ t ó ố ọ s ứ trớ t tế ọ s tờ rt ú tú ết tế qết ề tế ết ọ s ột ể tế qết ột số t tr ị ý s ệ tế ể qết ề ột số í ụ ụ tể ể ọ sử ụ ị ý s tr t số ọ q ế t tố q ữ í ụ ó ọ ì ợ ý ủ t tự rút r t ỹ sử ụ ị ý í ụ số n số tố p ứ r n Cnp (mod p) p sử ể ễ sở p ủ n n = nk pk + nk1 pk1 + + n1 p + n0 ị ý s t ó n p Cnp Cn11 n1 í ụ ì tt số (mod p) n s Cnm số ọ m = 0, 1, , n ì ét tí ủ Cnm t ét ể ễ ủ n, m t ệ số p = sử n, m ể ễ t ệ số k k i n= mi 2i ; ni , mi {0, 1} ni , m = i=0 i=0 ó t ị ý s t ó k Cnm Cnmi i (mod 2) i=0 ó Cnm , m = 0, 1, , n số ỉ mi ni ni = 1, i = 0, 1, k Cnm , m = 0, 1, , n số ỉ tr ể ễ t số ủ n ỉ ó ữ số tứ n = 2s í ụ ị tt số ọ n k = 0, 1, , [ ] n k s Cnk số C2ms (mod 2), m 2s ó s r n + ũ từ ủ ì ế t t s = [log2 s] ét í ụ tr t ó 2s+1 k = n (2 1) = n s n n n = 2 k Cnk = C2ks ột số tr ề ệ ủ t ợ n = 2s ế số ữ số t ệ tr k ể ễ ị ủ n k k t ị ý s s r Cnk n (mod 2), k = 0, 1, , [ ] n = 2s tỏ t ó C2kn ề số ọ k = 1, 2, , 2n ó ú ột số tr số ó ết 2n k1 k C2n , k = 1, 2, , 2n rớ ết từ tứ C2n = k s r tt số C2kn ề số ữ ũ từ tứ tr s r tt số C2kn ề ộ ủ ọ k = 2n1 n1 n1 k = 2n1 tì C22n = 2.C22n 11 ì 2n ỉ ứ ú ột ữ số tr ể ễ t ệ số n1 n1 t ị ý s s r C22n 11 ột số ứ tỏ C22n ết í ụ ứ r tt số p ột số tố ì tt số n s Cn1 , Cn2 , , Cnn1 ề ết p í ụ sử tr ệ số p n ó ể ễ n = nk pk + nk1 pk1 + + n1 p + n0 , ét m n , n1 , , n k p1 n sử m ể ễ tr ệ số p m = mk pk + mk1 pk1 + + m1 p + m0 , m , m1 , , m k p1 ị ý s t ó k Cnm Cnmi i (mod p) i=0 ế n = pk tì ể tỏ t ế n = pk tì nk > t ét m = pk < n ó t ó Cnm nk 1.1 nk (mod p) k1 n = pk tỏ t Sn tổ ì ệ số tr trể ị tứ (1 + x) tr ó n số x số tự t ỳ ứ r S2n + ết ọ n í ụ ọ n ệt (1 + x)2n = (1 + x)n (x + 1)n s r tứ 2n n i C2n x2ni n Cni xni = i=0 i=0 t ệ số ủ i=0 xn tr tứ tr s r n n C2n 2n Cni Cnni = n , n N Sn = C2n tế t ứ k sử 3i , 2n = (Cni )2 = i=0 ó Cnni xi i=0 2n + 1) 3, n N (C4n 2, i = 0, 1, , k i=0 ế {0; 1}, i = 0, 1, , k tì 2ai {0; 2}, i = 0, 1, , k tr ệ số tì k 2ai 3i 4n = i=0 k k ột số t ể ễ tr s r i=0 ị ý s t ó k k k C2a +1 i 2n C4n +1 i=0 = 2t, t N i=0 2ai + 2i=0 + 22t + (mod 3) i=0 ế tồ t = t tí tổ qt sử j ỉ số ỏ t tr ỉ số 0, 1, , k aj = ó ệ số t ứ t ị trí j tr ể ễ t ệ số ủ 4n C12 = t ị ý s t ó k 2n C4n C2a +11 i +1 (mod 3) i=0 tr ọ trờ ợ t ề ó S2n + ết ệ q ủ s ế ệ r ột số í ụ ọ ứ ụ ủ ị ý s tù t t ú t ể ễ ố tợ t ệ số tí ợ ể ợ ết q ố í ụ tr ợ t tr ợt t t ỳ t ọ ọ s ỏ ố ỳ t ọ ộ tể ố ự t ố tế ộ tể ủ trờ ù tr ữ q ó ọ s ữ ợ ị ý ó ỹ sử ụ t tr ị t t ệ tế t ột ì ể qết ề t ố t số ọ q ế t tố ết ề ị r q trì t tr ộ tể ọ s ỏ t t tr ị ế tứ ọ s ề ế tứ ủ tt số ố ọ tí ổ ợ s ó t q ệ tố í ụ ợ ị từ ễ ế ó từ ế ể ọ ý tết t ứ ú ọ s ể ộ ý tết ó ỹ ụ t ế tứ qết ề ết tr ột í ụ ọ t tở ó ột số t r ệ n số ứ r 2n1 C4n + C4n + + C4n 2n1 (mod 2) n số ứ r 2n C4n (8n + 4) p số tố ứ r k Cp1 (1)k số tố (mod p), k p p số a b ứ r pb Cpa Cab số tố p số k ứ r Cpak số tố (mod p) (mod p), < a < pk p số tự k, a : a pk ứ r Cpak (1)a (mod p) số n ứ r số số m {0, 1, , n} s Cnm ũ từ ủ ì tt số k Cki tố số tố n s tồ t số n ọ i = 0, 1, , k p ứ r p ủ t n = spk ỳ ột tr số Cn1 , Cn2 , , Cnn1 ỉ k N ,1 s p Pủ ị ị t ỳ số k số n s Cni ết k ọ tồ t i n