Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong số học

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Lý thuyết nhóm và ứngdụng trong số học " là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗlực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đ

Trước khi trình bày khóa luận của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong Khoa Toán – Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian

em theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Đỗ Văn Kiên– Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trựctiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi trongsuốt quá trình làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếusót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinhviên và bạn đọc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênTrịnh Thị Tiến

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo Th.S Đỗ Văn Kiên.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Lý thuyết nhóm và ứngdụng trong số học " là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗlực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênTrịnh Thị Tiến

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Nhóm, nhóm xyclic và nhóm con 7

1.2 Định lý Lagrange, đồng cấu nhóm 10

1.3 Định lí Sylow 12

1.4 Nhóm đối xứng 14

1.5 Định lý Cauchy 15

1.6 Bài tập về nhóm 17

1.7 Bài tập về định lý Lagrange 19

2 Tác động của nhóm lên tập hợp 21 2.1 Tác động của nhóm lên tập hợp 21

2.2 Công thức các lớp và định lý Burnside 23

3 Ứng dụng vào các bài toán số học 27 3.1 Một số ứng dụng đơn giản 27

3.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange 33

3.3 Ứng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside 35

3.4 Tổng quát các định lí Fermat nhỏ, Lucas và Wilson 39

3.5 Bài tập 44

3.6 Bài tập tự luyện 45Kết luận 47Tài liệu tham khảo 48

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đại số là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học Trongquá trình nghiên cứu về lý thuyết nhóm trong chương trình đại học, tôinhận thấy lý thuyết nhóm là một phần có thể gọi là nền tảng của đại

số, tạo tiền đề xây dưng một số cấu trúc trong đại số như nhóm, vành,trường, Trong nội dung đã được nghiên cứu tôi quan tâm đến ứngdụng của lý thuyết nhóm trong số học và nhận thấy đây là nội dung rấthay và có thể đi sâu vào nghiên cứu Đồng thời cùng sự động viên, khích

lệ của thầy cô trong bộ môn Toán-khoa sư phạm Đại học Sư phạm HàNội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Th.S Đỗ Văn Kiên-giảng viên trường Đai học Sư phạm Hà Nội 2 nên tôi quyết định chọn

đề tài: "ứng dụng của lý thuyết nhóm trong số học" để làm luận văntốt nghiệp cuối khóa

2 Mục đích nghiên cứu

Khi thực hiện đề tài: "ứng dụng của lý thuyết nhóm trong số học"mục đích của tôi là tập nghiên cứu một vấn đề toán học, rèn luyện kỹnăng trình bày một vấn đề Với những kiến thức đã có và kết hợp vớinghiên cứu thêm một số tài liệu, tôi cố gắng xây dựng hệ thống ứngdụng của nhóm lên tập hợp, trình bày lý thuyết cơ bản đến ví dụ và bàitập áp dụng

3 Nội dung nghiên cứu

Nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Tác động của nhóm lên tập hợp

Chương 3: Ứng dụng vào các bài toán số học

Trong đó, chương 3 là nội dung chính của đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứusau

.) Tổng kết một số kiến thức đã học

.) Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, trên mạng

.) Tự nghiên cứu và trao đổi với giáo viên

.) Dịch tài liệu tiếng anh và hệ thống lại theo hướng dẫn của giáo viên

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lựcbản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏinhững thiếu sót Tôi rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến củacác thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quảcao hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

i) Với mọi a, b, c thuộc G thì a(bc) = (ab)c.

ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex = xe = x với mọi x thuộc G

iii) Với mỗi x thuộc G, tồn tại x−1 thuộc G sao cho x−1x = xx−1 = e.Một nhóm G được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm abel) nếu phéptoán là giao hoán Nếu G có hữu hạn phần tử thì số phần tử của G đượcgọi là cấp của G Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn

Ví dụ 1.1 Tập các số nguyên Z, tập các số hữu tỉ Q, tập các số thực

R, tập các số phức C cùng với phép cộng thông thường là các nhóm giaohoán cấp vô hạn

Ví dụ 1.2 Tập S(X) các song ánh từ một tập X đến chính nó với phéphợp thành các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm đối xứng của X Nếu

X có n phần tử thì S(X) có cấp n! và nhóm này không giao hoán khi

n > 3

Ví dụ 1.3 Với mỗi số tự nhiên m ≥ 1, tập Zm các lớp thặng dư theo

mô đun m với phép cộng các lớp thặng dư là một nhóm giao hoán cấp

m Tập Z∗m các lớp thặng dư khả nghịch là một nhóm giao nhân hoáncấp ϕ(m), với ϕ là hàm Euler

Mệnh đề 1.1 Cho G là một nhóm với đơn vị e Khi đó các khẳng địnhsau là đúng

i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất

ii) Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử của G là duy nhất

iii) Mọi phần tử của G đều chính qui, tức là thỏa mãn luật giản ước.iv) Trong nhóm phương trình a.x = b có nghiệm duy nhất x = a−1.b.v) Với mọi x1, x2, , xn thuộc G ta có (x1x2 xn)−1 = x−1n x−1n−1 x−11 vi) (x−1)−1 = x, với mọi x thuộc G

Định nghĩa 1.2 Tập con H của một nhóm G được gọi là nhóm concủa G nếu H cùng với phép toán cảm sinh trên G lập thành một nhóm

Mệnh đề 1.2 Cho H là tập con khác rỗng của G Khi đó H là nhómcon của G khi và chỉ khi với mọi a, b thuộc H thì ab−1 thuộc H.

Định nghĩa 1.3 Một nhóm con A của một nhóm X gọi là chuẩn tắcnếu và chỉ nếu x−1ax thuộc A, với mọi a thuộc A và x thuộc X Điềunày tương đương với Ax = xA với mọi x thuộc X

Định nghĩa 1.4 Giả sử a là một phần tử bất kì của một nhóm X và

A là nhóm con sinh bởi a Phần tử a gọi là có cấp vô hạn nếu A vô hạntrong trường hợp này không tồn tại một số nguyên dương n nào sao cho

an = e Phần tử a gọi là có cấp m nếu A có cấp m Trong trường hợpnày m là số nguyên dương bé nhất sao cho am = e

Một phần tử a thuộc X có cấp 1 khi và chỉ khi a = e

Mệnh đề 1.3 Giao của một họ bất kì các nhóm con của một nhóm X

Định nghĩa 1.6 Một nhóm G được gọi là xyclic nếu tồn tại a thuộc Gsao cho < a >= G

Mệnh đề 1.4 Một nhóm G là xyclic khi và chỉ khi tồn tại a thuộc Gsao cho G = {an|n ∈ Z}.

Định nghĩa 1.7 Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn (hay vô hạn) nếutập X là hữu hạn (hay vô hạn) phần tử

1.2 Định lý Lagrange, đồng cấu nhóm

Định nghĩa 1.8 Cho H là một nhóm con của một nhóm G, với mọi

a, b ∈ G ta định nghĩa quan hệ ∼ trên G như sau Ta nói a ∼ b nếu

ab−1 ∈ H

Quan hệ ∼ là quan hệ tương đương trên G Hơn nữa với mỗi a ∈ G, kíhiệu a là lớp tương đương của a thì

a = {ha|h ∈ H} = HaMỗi lớp tương đương Ha được gọi là một lớp ghép trái của H trong G.Tập thương của G theo quan hệ tương đương ∼ được kí hiệu bởi G/H.Khi H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của H trong G, kíhiệu (G : H) là số lớp ghép trái của H

Định lý 1.1 (Định lý Lagrange) Trong một nhóm hữu hạn, cấp củamột nhóm con là ước của cấp của nhóm

Hệ quả 1.1 i) Cho G là nhóm cấp n và a ∈ G Khi đó cấp của a làước của n Hơn nữa an = e

ii) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic sinh bởi môt phần tử tùy

ý khác đơn vị của nhóm

iii) Mọi nhóm cấp nhỏ hơn bằng 5 đều giao hoán.

iv) Nếu p là số nguyên tố, a là số bất kì thì ap− a chia hết cho p.Định nghĩa 1.9 Cho G là một nhóm, H là nhóm con chuẩn tắc của

G Trên tập thương G/H trang bị phép toán như sau

HaHb = Hab, ∀Ha, Hb ∈ G/HKhi đó G/H cùng với phép toán này lập thành một nhóm và gọi là nhómthương của G theo H

Ví dụ 1.5 i) Trong một nhóm abel mọi nhóm con là chuẩn tắc

ii) Mọi nhóm con có chỉ số 2 đều là nhóm con chuẩn tắc

Định nghĩa 1.10 Cho G và H là các nhóm Ánh xạ f : G → H đượcgọi là đồng cấu nhóm nếu f (xy) = f (x).f (y) với mọi x, y ∈ G Một đồngcấu nhóm được gọi là đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh(toàn ánh, song ánh) Hai nhóm G và H được gọi là đẳng cấu với nhau,viết là G ∼= H nếu có một đẳng cấu giữa G và H

Ví dụ 1.6 i) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu gọi

Tính chất 1.1 Ta có các khẳng định sau

i) Hợp thành của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm

ii) Nếu f : G → H là đồng cấu nhóm thì f (x−1) = (f (x))−1 và f (e) = evới mọi x ∈ G

iii) Nếu f : G → H là đồng cấu nhóm, A là nhóm con của G và B lànhóm con của H thì f (A) là nhóm con của H và f−1(B) là nhómcon của G Hơn nữa nếu B là nhóm con chuẩn tắc thì f−1(B) lànhóm con chuẩn tắc

Định lý 1.2 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một nhóm X đếnmột nhóm Y , p : X → X/kerf là toàn cấu chính tắc từ nhóm X đếnnhóm thương của X trên hạt nhân của f Thế thì

(i) Có một đồng cấu duy nhất f : X/Kerf → Y sao cho tam giác sau

Định nghĩa 1.11 Cho p là số nguyên tố

i) Nhóm H được gọi là một p-nhóm nếu cấp của H là một lũy thừa của

p, tức là |H| = pn

ii) G là nhóm, H được gọi là nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G, vừa là mộtp-nhóm.

p-iii) Nhóm H được gọi là một p-nhóm con Sylow của G nếu H vừa làmột p-nhóm con của G và |H| = pn là lũy thừa cao nhất của p chiahết cấp của G

Định lý 1.3 ( Định lý Sylow ) Giả sử G là nhóm hữu hạn và p là một

số nguyên tố và pm là ước của |G| Khi đó G có một nhóm con cấp pm.Đặc biệt luôn tồn tại một p-nhóm con Sylow trong một nhóm hữu hạn.Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo |G|

Nếu |G| = 1 thì p0 là ước của |G| và do đó G chính là một nhóm concủa nó có cấp p0 Giả sử |G| > 1 và định lí đúng cho tất cả các nhóm

có cấp nhỏ hơn |G| Theo công thức lớp:

|G| = |C(G)| + [G : C(a1)] + [G : C(a2)] + + [G : C(ar)]

trong đó [G : C(ai)] > 1 với mọi i Hơn nữa |C(G)| ≥ 1 (vì e ∈ C(G))

và |C(ai)| < |G| Giả sử tồn tại một chỉ số j sao cho p không là ước của[G : C(aj)] Theo định lí Lagrange, |G| = |C(aj)| [G : C(aj)] và do pm

là ước của |G| nên pm phải là ước của |C(aj)| Vì C(aj) là một nhómcon của G có cấp nhỏ hơn |G| nên theo giả thiết qui nạp ta có C(aj)

có một nhóm con cấp pm Tất nhiên dẫn đến G cũng có một nhóm concấp pm Ngược lại, nếu p là ước của [G : C(ai)] với mọi i thì p cũng làước của C(G) Do C(G) là một nhóm Abel nên nó chứa một phần tử c

có cấp p Gọi N là nhóm con xyclic sinh bởi c Khi đó N là một nhóm

con cấp p và nó cũng là một nhóm con chuẩn tắc của G Cấp của nhómthương G/N là |G|: p nhỏ hơn |G| và nó chia hết cho pm−1 Theo giảthiết qui nạp, G/N có một nhóm con T có cấp là pm−1 Do đó tồn tạimột nhóm con H của G sao cho N ⊂ H và T = H/N Theo Định líLagrange, |H| = |N | |H/N | = |N | |T | = ppm−1 = pm Trong trường hợpnày G cũng có một nhóm con cấp pm Định lí được chứng minh 

1.4 Nhóm đối xứng

Định nghĩa 1.12 Cho X là một tập hợp khác rỗng Gọi SX là tập cácsong ánh X → X Khi đó SX cùng với phép hợp thành ánh xạ tạo thànhmột nhóm gọi là nhóm đối xứng trên X Đặc biệt khi X = {1, 2, n}thì SX được kí hiệu bởi Sn được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử(hay nhóm hoán vị trên n phần tử ), nhóm này có cấp n!

Mỗi phần tử của Sn được gọi là một phép thế

Định lý 1.5 Cho n > 1, khi đó An là một nhóm con chuẩn tắc của Sn

Trường hợp 1 G giao hoán Nếu G là nhóm đơn, tức là G chỉ có 2nhóm con là {e} và chính nó thì nhóm này phải là nhóm xyclic cấpnguyên tố và dĩ nhiên sẽ tồn tại một phần tử có cấp p Nếu G khôngphải là nhóm đơn thì tồn tại một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường

H trong G Nếu p chia hết |H| thì theo giả thiết qui nạp, trong H tồn tạimột phần tử cấp p và do đó G cũng tồn tại môt phần tử có cấp p Ngượclại theo định lí Lagrange, p phải chia hết chỉ số [G : H] Khi đó theo giảthiết qui nạp trong nhóm thương G

H sẽ tồn tại một phần tử có cấp p Và

do đó trong G tồn tại một phần tử x thỏa mãn (Hx)p = Hxp = H Khi

đó tồn tại một phần tử h trong H sao cho hxp = e Ta thấy mọi phần

tử a trong H, tồn tại phần tử b trong H sao cho bp = a nên tồn tại mộtphần tử h2 trong H sao cho hp2 = h Do đó h2 có cấp là p và kết thúcchứng minh cho trường hợp G giao hoán

Trường hợp 2 G không giao hoán Trong trường hợp này Z là nhóm

con không tầm thường của Q Nếu p chia hết cấp của tâm hóa tử CG(a)với a là một phần tử nào đó không thuộc Z thì CG(a) là một nhóm conkhông tầm thường và do đó theo giả thiết qui nạp trong CG(a) tồn tạiphần tử có cấp p Ngược lại, nếu p chia hết cấp của CG(a) thì khi đó pchia hết chỉ số [G : CG(a)] với a là một phần tử nào đó không thuộc Z.

Từ |G| = |Z(G)| +P

i

G : CG(xi ta có p chia hết cấp của Z và do đó tâmchứa một phần tử có cấp p, hay G chứa một phần tử có cấp p 

Giải a, Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của (Q, ∗).

Giả sử (Q, ∗) lập thành nhóm Suy ra (−1) ∈ (Q, ∗) luôn có phần tửnghịch đảo là b Khi đó 0 = (−1) ∗ b = −1 + b + (−1).b = −1 (vô lí).Suy ra (Q, ∗) không lập thành một nhóm

b, Gọi a, b ∈ Q\{−1}

Giả sử a ∗ b = −1 Khi đó a + b + ab = −1

⇔ b(a + 1) = −a − 1 ⇔ b = −a − 1

a + 1 = −1( trái với giả thiết a, b ∈Q\{−1}) Nên a ∗ b 6= −1

Suy ra A là nhóm con của nhóm X.

Bài tập 1.3 Cho A, B là nhóm con của nhóm X Chứng minh rằng

A ∪ B là nhóm con của X ⇔ A ⊆ B hoặc B ⊆ A

Giải Giả sử A ⊆ B hoặc B ⊆ A Khi đó A ∪ B = B hoặc A ∪ B = A

Bài tập 1.6 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp vô hạn đều có vô hạnnhóm con.

Bài tập 1.7 Tìm tất cả các nhóm con chuẩn tắc của nhóm các phépthế S3

1.7 Bài tập về định lý Lagrange

Bài tập 1.8 Cho f : X → Y là một đồng cấu từ nhóm hữu hạn X đếnnhóm hữu hạn Y Chứng minh rằng

a, Cấp của a ∈ X chia hết cho cấp của f (a)

b, Cấp của X chia hết cho cấp của f (X)

Giải a, Giả sử cấp của a là m, khi đó am = e

Khi đó [f (a)]m = f (am) = f (e) = e

Vậy cấp của f (a) là ước của m

b, Do X là hữu hạn nên cấp của x

kerf bằng chỉ số của kerf là một ướccủa cấp của X( theo định lý Lagrange)

Vậy cấp của f (X) là một ước của cấp của X

Bài tập 1.9 Chứng minh rằng mọi cấp nguyên tố đều là nhóm Xyclic.Giải Gọi X là nhóm có cấp p (p là số nguyên tố) và x ∈ X\ {e}.Khi đó |X| > 1 Theo định lý Lagrange thì |x| là ước của p

Do p nguyên tố nên |x| = p, do đó X =< x >

Vậy X là nhóm Xyclic

Bài tập 1.10 Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị là e, a ∈ X cócấp là n Chứng minh rằng ak = e khi và chỉ khi k chia hết cho n.Bài tập 1.11 Cho a, b là hai phần tử tùy ý của một nhóm Chứng minh

d, ở đây d là ƯCLN của k và n.

b) b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi k nguyên tố với n

Bài tập 1.14 Giả sử a, b là hai phần tử của một nhóm, và giả sử ta

có cấp của a bằng r, cấp của b bằng s, với r, s nguyên tố cùng nhau, vàthêm nữa ab = ba Chứng minh cấp của ab bằng rs

i) es = s, với mọi s ∈ S.

ii) (xy)s = x(ys), với mọi x, y ∈ G, s ∈ S

Tương tự ta có định nghĩa tác động phải của G lên S

Khi có một tác động trái từ G lên S thì ta nói S là một G-tập và ảnh

của phần tử (x, s) ∈ G × S qua tác động này đươc kí hiệu là xs hoặcx.s Ta chỉ xét tác động trái, để thuận tiện ta gọi chung là tác động Tagọi phần tử xs là tác động của x lên s Với x ∈ G, ánh xạ cho tương ứng

s ∈ S với x.s ∈ S được gọi là ánh xạ liên kết của x

Từ định nghĩa này ta dễ dàng có nhận xét sau

Nhận xét 2.1 Nhóm G tác động lên tập hợp S khi và chỉ khi có đồngcấu nhóm G −→ Aut(S)

Ví dụ 2.1 Cho G là nhóm Khi đó ánh xạ

G × G → G(g, h) 7→ gh

là một tác động của nhóm G lên tập G gọi là tác động chính quy

Ví dụ 2.2 Cho G là nhóm Khi đó ánh xạ

G × G → G(x, a) 7→ xax−1

là một tác động của nhóm G lên tập G gọi là tác động liên hợp

Ví dụ 2.3 Cho G là nhóm Kí hiệu S là tập các tập con của G Khi đónhóm G tác động lên tập S bởi

G × S → S(x, H) 7→ xH

2.2 Công thức các lớp và định lý Burnside.

Bổ đề 2.1 Cho G là nhóm, S là một G-tập Với s ∈ S, đặt Gs = {a ∈G|as = s} Khi đó Gs là nhóm con của G

Chứng minh Cho s ∈ S Vì es = s nên e ∈ G Cho x, y ∈ Gs Khi đó

xs = s, ys = s

Suy ra (xy)s = x(ys) = xs = s, suy ra xy ∈ Gs

Cho x ∈ Gs Khi đó xs = s Suy ra s = es = (x−1x)s = x−1(xs) = x−1s.Suy ra x−1 ∈ Gs

Từ đó Gs là nhóm con của G

Nhóm con Gs ở trên được gọi là nhóm con đẳng hướng (hay nhóm

Định nghĩa 2.2 Cho G là nhóm, S là một G-tập và s ∈ S Tập hợporb(s) = G.s = {xs|x ∈ G} được gọi là quĩ đạo của s trong S

Ví dụ 2.4 Xét tác động chính qui của G lên chính nó Với a ∈ G quỹđạo của a trong G là orb(a) = {xa|x ∈ G = G} Vì thế tác động này chỉ

có một quĩ đạo, đó là G

Nhóm con đẳng hướng ứng với a là Ga = {x ∈ G|xa = a} = {e}

Ví dụ 2.5 Xét tác động liên hợp của nhóm G lên chính nó Với a ∈ G,quĩ đạo của a trong G là orb(a) = {xax−1|x ∈ G}, tập các phần tử liênhợp của a trong nhóm G Nhóm con đẳng hướng ứng với a là

Ga = {x ∈ G|xax−1 = a} = {x ∈ G|xa = ax}

Ví dụ 2.6 Kí hiệu S là tập các nhóm con của một nhóm G Xét tácđộng của nhóm G lên S bằng phép liên hợp x.H = xHx−1, với mọi