Toán cho vật lý III lý thuyết nhóm và tenxơ

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ I TRƯỞNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự■ NHIÊN ■ a — — NGUYỄN ĐÌNH DŨNG * LÝ THUYẾT NHÓM * TENXO TT TT-TV * ĐHQGHN 530.15 NG-D 2007 VV-D5/18364 \_X7 N H À XUẤT B Ả N K H O A H O C V À K Ỹ THT NGUN ĐÌNH DŨNG TỐN CHO VẬT LỶ III ■ L Ý THUYẾT NHĨM •TENXƠ U J NHÀ X U Ấ T BẢN K H O A HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI - 0 Chịu trách Iihiệm xuất bản: Biên tập: PGS TS T O Đ A N G H A I N guyễn Kim Dung, N guyền SI Hiệp V ẽ bìa: Hương Lan N H À XUẤT BẲN K H O A H Ọ C VÀ KỸ T H U Ậ T 70 Trần Hưng Đạo, Hà Nội In 300 cuốn, khổ 14,5 X 20,5 cm, Nhà in Khoa học công nghệ Giấy phép xuất s ố : 193-2007/CXB/3-06/KHKT, Cục xuất cấp ngày 18 tháng năm 2007 In xong nộp lưu chiểu tháng năm 2007 LỜI MỞ ĐẦU Cuốn sách soạn thảo theo chương trình giảng dạy mơn Lý thuyết nhóm tenxơ cho sinh viên khoa vật lý, sinh viên hệ cử nhân khoa học tài năng, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia duyệt Cuốn sách viết nhằm giúp cho sinh viên, học viên cao học nghiên cún sinh nắm cơng cụ tốn học phục vụ cho việc học tập, nghiên cứu vấn đề vật lý đại Trong sách trình bầy kiến thức lý thuyết nhóm , lý thuyết biểu diễn nhóm, đại -cương nhóm Lie, đại số giải tích tenxơ, ứng dụng tenxơ lý thuyết tương đối hẹp Phần tập giúp cho việc nắm kiên thức Phần phụ lục giúp học viên hiểu nắm vững khái niệm tính chất khơng gian tuyến tính hàm Cuốn sách soạn thảo dựa vào giảng lý thuyết nhóm tenxơ m chúng tơi trình bầy năm gần Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Chúng tham khảo sách giáo khoa lý thuyết nhóm tenxơ xuất nước Cuốn sách viết chủ yếu cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh K hoa vật lý Trường Đại học Khoa học Tự nhiên làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, nghiên cứu sinh Trường Đại học khác V ì k i n h n g h i ệ m c ò n c h o n ê n c h ắ c c h ắ n c u ố n s c h n y nhiều thiếu sót Chùng tơi chân thành m onạ bạn đọc góp ý kiến phê bình để sách ngày m ột hồn thiện rrĩ ' • ? I ác gia PGS TS N G U Y Ễ N Đ ÌN H DŨNG MỤC LỤC m • Trang Lời nói đ ầ u Mục lục Chương I: LÝ THUYẾT NHÓM §1 Khái niệm vế nhóm .7 §2 §3 §4 §5 Một số ví dụ vé nhóm 10 Các lớp ké nhóm, nhóm bất biến .16 Tính đồng cấu đẳng cấu hai nhóm 18 Nhóm phép quay không gian Euclide thực hai chiếu SO(2) 19 §6 Nhóm phép quay khơng gian Euclide ba chiếuSO (3) 21 §7 Tích trực tiếp hai nhóm 24 §8 Nhóm trực giao ba chiều 26 §9 Nhóm SU(2) phép biến đổi unita cổ định thứcbằng không gian Euclide phức hai chỉéu ’ 26 §10 Nhóm đối xứng phân tử tinh th ể 32 §11 Khái niệm nhóm điểm tinh th ể 33 §12 Các nhóm điểm tinh thể học 37 Chương II: ĐẠI CƯƠNG VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHĨM 41 §13 Định nghĩa biểu diễn nhóm .41 §14 Một số ví dụ vế biểu diễn nhóm .43 §15 Biểu diện khả quy biểu diễn bất khả q u y 45 §16 Biểu diễn tương đương, hàm đặc biểu biểu diễn 49 §17 Biểu diễn unita 53 §18 Các bổ đé Shur 61 §19 Các định lý vé biểu diễn tối giản (các hệ thức trựcgiao), hệ v é c tơ 65 sở không gian hàm nhóm §20 Các định lý vé hàm đặc biểu biểu diễn tốigiản .75 §21 Tích trực tiếp hai biểu diễn .80 §22 Biểu diễn iiên hợp (Biểu diễn đối ngẫu) 84 Chương III: ĐẠI CƯƠNG VẾ NHỎM LIE 87 §23 Các khái niệm vé nhóm Tơpơ nhóm Lie 87 §24 §25 §26 §27 §28 §29 Các tính chất nhóm Lie 90 Các số cấu trúc định lý vé nhóm L ie 92 Biểu diễn phần tử nhóm theo vi t .98 Đại số Lie nhóm Lie 99 Một số ví dụ vé nhóm L ie .100 Nhóm Lie liên thơng, nhóm Lorentz tổng q u t 103 Chương IV: CÁC KHÁI NIỆM VÉ TENXƠ VÀ ĐẠI s ố TENXƠ 107 §30 Các toạ độ hiệp biến phản biến v é c tơ 107 §31 Hệ toạ độ cong không gian ba chiếu 109 §32 Các phép biến đổi toạ độ tổng quát 112 §33 Véctơ phản biến, véctơ hiệp biến 113 (íenxơ phản biến, tenxơ hiệp biến hạng một) §34 Định nghĩa tenxơ phản biến, tenxơ hiệp biến, tenxơ hỗn hợp 115 §35 Định nghĩa tenxơ đối xứng, lenxơ phản đối xứng 117 §36 Đại sốtenxơ 118 §37 Vi phân cung đường (khoảng), tenxơ m etric 122 §38 Giả tenxơ (tenxơ tương trọng số T ) 126 Chương V: GIẢI TÍCH TENXƠ 128 §39 Các ký hiệu Christoffel 128 §40 Đạo hàm hiệp biến 132 §41 Dạng tenxơcủa gradient, divergence, rota, Laplacian 135 §42 Đạo hàm tuyệt đối tenxơ 137 §43 Tenxơ độ cong Riemann - Christoffel 138 Chương VI ỨNG DỤNG TENXƠ TRONG LÝ THUYẾTTƯƠNG ĐÓI H Ẹ P 141 §44 Nguyên lý tương dối Einstein 141 §45 Khoảng thời gian riêng vật 143 §46 Không gian Minkovski 146 §47 Các phép biến đổi Lorentz 149 §48 Các phương trinh chuyển động tương đối tín h .157 §49 Tích phân tác dụng hạt tương đối tính .164 §50 Phương trinh Lagrange tổng quát, tenxơ xung lượng .168 §51 Thế bốn chiéu mật độ dòng bốn chiéu 174 §52 Các phương trình trường điện từ dạng bốn chiéu 176 §53 Các bất biến trường điện từ 180 §54 Tenxơ xung lượng trường điện t 182 Bài tậ p 184 Phụ lục: Khơng gian tuyến tính hám 200 Tài liệu tham khảo 208 Chưo ng I LÝ THUYẾT NHĨM §1 KHÁI N I Ệ M V Ề N H Ó M Đ ịn h nghĩa nhóm Nếu tập hợp G, có xác định luật hợp thành đó, gọi phép nhân nhóm, cho phép lập từ cặp hai phần tử a, b E G đại lượng xác định, gọi tích ký hiệu ab, thoả mãn tiên đề sau: • Tính kín a b e G với m ọ i a, b E G • Tính kết hợp a(bc) = (ab)c với a, b, c E G • T ín h có đơn vị Có tổn m ột phần tử đơn vị e E G cho ea = ae = a với a E G • Tính có nghịch đảo Với phần tử a e G , có tồn phần tử xác định a " 1e G , cho a a ' = a'*a = e, với a e G, tập hợp G gọi nhóm N h ó m G gọi nhóm giao hoán hay n hóm Abel, với a, b E G ta có ab ==ba Đ ịnh n gh ĩa nhóm Một tập hợp E nhóm G, làm thành nhóm phép nhân n h ó m G, gọi nhóm G Tất nhiên phần tử đơn vị e tồn nhóm G nhóm G Hai nhóm gọi nhóm tầm thường Những nhóm khơng tầm thường nhóm thực N hóm hữu hạn, vơ hạn liên tục - Số phần tử nhóm gọi cấp nhóm Nếu cấp nhóm m ộ t số hữu hạn n h ó m gọi hữu hạn Trong trường hợp ngược lại, nhóm gọi vơ hạn - Nếu phần tử nhóm vô hạn G hàm liên tục tham s ố hồn tồn xác định giá trị tham số này, nhóm G gọi nhóm liên tục Ta quy ước tham số biến số đ ộ c lập - Nếu phần tử nhóm liên tục G hàm khả vi theo tham số độc lập, nhóm G gọi nhóm Lie Nhóm tuần hồn (nhóm vòng) Do tính chất kết hợp phép nhân nhóm ta ký hiệu _ = an n lần N hóm hữu hạn sinh m ột phần tử a, nghĩa gồm phần tử có dạng a, a2, a \ an = e gọi nhóm tuần hồn hay nhóm vòng Bảng nhân nhóm Với nhóm hữu hạn ta trình bày phép nhân nhóm dạng bảng nhóm thiết lạp bảng nhân số thực thơng thường, ta có sơ đồ nhân sau: G: e •• • • fii • • gl • - g„ gi glgl- ■■ glÌ2- • • glgi- • ■ glgn • • • gi gĩgỉ- ■■ gígl- • • g2gi- • • gỉgn- • • §J gjg gjg2 gjgi gjgn g„ ênêl ễnỗ2 Snẽi gngn Tất n h iê n việc cho bánẹ nhân nhóm tương đương với định nghĩa nhóm Ví dụ: N h ó m quaternion Q Q: e -e -e i i -i j e -i i i -e e -j k i e -e - -i k -k J -k -k k J -j -k k -j -j j -j -k k -e e i j -i -J k J -k k -k e -e - i i J -j -i i -e e -k k -j J i -i e -e N hó m quaternion nhóm gồm phần tử e, -e, i, -i, j, -j, k, -k mà phép nhân kết hợp xác định theo bảng Trong đại số học người ta thường gọi số quaternion tổ hợp tuyến tính ae + bi + cj + dk; a, b, c, d E R, R trường số thực Tập hợp số quaternion với phép nhân xác định theo bảng trên, làm thành m ộ t cấu trúc đại số gọi thể quaternion • Người ta thường m rộng nhóm để lập đại số Một đại số m ộ t tập hợp phần tử lập thành khồng gian tuyến tính ngồi phép cộng người ta định nghĩa phép nhân tuân theo tiên đề nhóm, trừ phần tử khơng đại số khơng có phần tử nghịch đảo Đ ịnh nghía phần tử liên hợp Phần tử a nhóm G gọi liên hợp với phần tử b nhóm có phần tử Xnào dó thuộc nhóm G mà x a X-1 = b (1.3) Quan hệ liên hợp quan hệ tương đương thoả m ã n ba tính chất Ị.1.j = g ' k [ i j k ] = g lk[ j i , k ] Ski ‘ ' Ị ‘ JJ b) Ị = = Ski g ' r [ i j ’P ] = s k [ i j p ] = [ i j k ] Bài tàp : Xác định ký hiệu Christoffel loại hai toạ độ vuông góc, toạ độ trụ, toạ độ cầu K ết quả: Vì với cá hệ toạ độ trực giao (vng góc) g ịj = i ^ j • T rong toạ độ vng góc g ii = < = l‘J T rong toạ d dộ trụ X1 = p , X2 = cp , X* = z T a biết g u = , g 22 = p 22 21 , g „ = ỡ g 22 gM ỡx' 2 ị = _ 12 g 22 ổ õp -(p )2 ỡ§22 õx ar ( p r có ký hiệu christoffel = -p * p ổp trường hợp khác chúng không , X = ọ g , , = , g 22 = r S ĩ ì = r s in • * chí i = i = Đó : Lĩ j 22 194 g n ỡ g 22 ỡx -f-(r)2 ôr p i = , 1J T rong hệ toạ dộ cầu : x' = r , X2 = = = 2 ỡ g 22 ổ 12 2g 22 x' 2r2 ỡr 1 33 gn 2 g 22 Ị 13] ổx 5r 23 ỡx2 2g 33 ( r sin ) = - r s i n l ỡ ( r s i n 9) = s i n c o s r2 Ổ0 ( r sin2 ) = - 2r2 si n ỡ r dt 1 õêx í 31 > M— < 31 132, ổ - - Ể1 2 g „ 5x' 31 ôg; 33 ỡg„ (r) — —— — (r r sin 0 ổX ■ A\ „ sin ) = c o t g B i táp : Chứng m inh đạo hàm hiệp biến cùa tenxơ dư i gij.s = ; SJM = g* = ổg jk,i q ổxq ôgjk a) ổ*4 b) g |jq ỈẾẰ d g jk ôx4 ỡx4 + ỠXH dôi õ k — -M ỡx4 c) = - kq - [jq.k] - [jq.k] = g jk ỉk glk “ = k J qi í 1I s fg + qi 'gjk = |' 4s! í l k c lj 1/ U' /* «v f , = JÌ >+ < l kcỉj Mk j 195 Bài t â u 27: Chứng m in h R Ịj k m ột tenxơ Kết quả: A ijk - A l kj = R 'jk A, tenxơ, => R |jk m ột tenxơ (theo định luật thương §36) Bài táp : Nếu A j tenxơ tương trọng số Tị T-> Hãy chứng tỏ tích tích ngồi chúng Tx + r , tenxơ tương trọng số K ết quả: Theo giả thiết ta có s = Jtl ? - õX J = ỡx4 ỡx = r , a r J ổx ỡ x s ổ X1 m Jaco biên phép biến đổi õ X Tích ngồi _ yT|T, d \ ? x J ô x r d \ ' õ x m Tp n, q Sl ỡx' ỡ x ỡ x k ỡ x s ỡ x ’ k lm‘ m ột tenxơ tương trọng số T| + x Bất kỳ tích nào, nghĩa thực phép cuộn với tích cho m ột tenxơ tương trọng số X, + T2 • Bài táp : Chứng m inh y[g m ột tenxơ tương trọng số Ký hiệu phần tử định thức g gjj với quy Kết quả: luât biến đổi ỡx' g kl ỡxk ỠXJ ^ —1 o ij Ổx õ X' ỔXJ ỡ xk ổx' g = 196 gg = J g = J yfg dó J = V ậy ỡx Jacobien phép biến đối ị ãx g tenxơ tương trọng số Bài tâp : Chứng mi nh dV = y[g d x d x d x n m ột b ất biến K ết quả: T tập ta suy dV yịg d x đ x d x n = = = J d x d x d x n = ổx d x d x d x 11 = õ X = d x d x d x n = dV T kéo theo cp m ộ t vơ hướng ta có í ! ; ;.: í odV = í í V í ° (IV V b ấ t kỳ hệ toạ độ Ở tích phân lấy theo thể tích k h n g gian n chiều.x B ài t p : Viết đạo hàm hiệp biến tenxơ Aị^ị xq K ết quả: A Jk l q Bài táp : AJ kl ỡx < s kcỉ > ASI , (a í b ;;- ) , q = B ài táp 3 : Chứng mi nh K ết quả: a L +' ’j ì A skl 4-s T im đạo h àm hiệp biến A Jk B đ ố i với xq K ết quả: (g*A _ {ỊlqSỊỊ Aị.„BỈ” + A ị B l ; = s *j k A Í " q T hật 197 M r O q - Bài táp : I m A -“ + ** A »^ - 8» A í” Biểu diẻn div véctơ A p toạ đ ộ trụ Kết quả: T rong toạ độ trụ x ' = p , X = 0 p2 0 q> , X = z = p Vỗ = p Ap = VẼ7 A1 = A A,p = yfẽ22 A —p A •A A , = V§ 33 A = divAp = õ iê ỡx (Vĩ A*)= Bài tâp : Biểu diễn div véctơ A p to đ ộ cầu Kết quả: X1 g Ar 0 r 0 — ylê II A = r2 Vậy div A p = = , X2 = = r s in , x ' = (p yịg = r sin r sin — A = r A , A (() = - A - -v/ g 22 A — A* = r s i n A - A - Ụg A k) = / g ổxk ổ / 2A X Ổ ỔA “V — (r A r ) + — — ( s i n A n ) + — -r ỡr r s i n Ỡ0 r s i nG ổ(p Bài táp : 198 _a (PA p ) + ^ - ( A ip) + ^ - ( A z ổp ỡz ổcp Biêu thị Laplaxien o toạ độ trụ V 2(\1 = div g Kết quả: d p õp l r2 l 3z2 J Biểu thị Laplaxien cùa toạ độ cầu v K ết quả: A ỡr + + "T [ởcp ; p ỡp B ài tá p : õxr r a 2o l p dd> ki ỔO "ãT 20 = d f ỡxk ô + kr \/g g sin r s i n ỡ0 l ỠO 50 50) dx 5xr ổ 2o + r s in ỡ = chi không f = (IV 1) Rõ ràng định nghĩa bao trùm định nghĩa tích vơ hướng thơng thường m ục trước giới hạn khơng gian tuyến tính có phần tử thực 204 Chííng ta minh hoạ định nghĩa cho sơ trường hợp cụ thể sau: a) Tích vó hướng không gian hàm đối sổ D ẻ d àng thấv rằng, số phức xác đị nh sau: h (f g ) = ( f ( x ) , g ( x ) ) = j f ' ( x ) g( x) d x ( I V 2) a (ò- a, b số) tích vồ hướng thoả mãn tính chất (IV 1) C ác giới hạn tích phân a, b phụ thuộc vào trường hợp cụ thể C hẳng hạn, với hàm e = ~ f1= - - T , bK =- 7i exp i m x , a = p n theo ( I V 2) ta có tích vơ hướng ị Ị ( e m, e m ) = — Ị e x p ( - im x ) e x p ( i m x ) d x 71 j • % ( e tn, e n ) = —— e x p i ( n 271 - J^ - m ) x dx = 71 =— 271 J dx = m * II N h t hế ( e m, e n ) = ỗ mn b) Tích vơ hướng khơng gian hàm ba đối sô C ũ ng trên, dề dàn g thấy ràng số phức h, h h, ( f , g) = ( f ( x ,y ,z ),g ( x y z ) ) s I I |f * ( x y z ) g ( x , y , z ) d x d y d z (IV 3) HI a •> ii ị ( a , , b ị , (i,j, = ,2 ,3 ) số có gía trị xác định tuỳ tnrờng hợp cụ thể) m ột tích vô hướng không gian hàm ba đối số X, y, z c) Tích vơ hướng khơng gian hàm với toạ độ cầu D o dV = dx dy dz = r s i nOdr d0dcp tích vơ hướnsí khơng gian ba chiều nói với toạ độ cầu, viết dạng 205 J Ị j f * ( r ,e ,( p ) g ( r , ,(p)r s in d rd d c p (f,g )= (f(r,e,{ p ),g (r,e ,c p ))= () (IV 4) Từ đó, trường hợp tách biến số: f(r,0,cp) s R ( r ) p ( ,ọ ) g (r, 9, cp) = S (r)Q (0,cp) tích vơ hướng viết dạng: (f, g) = ( R( r ) P( , c p ) , S ( r ) Q( , c p ) ) = = |R * ( r)S (r)r dr X Ị |p * (9 ,c p )Q (9 ,(p )s in d d (p () () K h ỏn g gian H ilbert Các khơng gian tuyến tính, có chiều hữu hạn hay b ằ n s vơ có định nghĩa m ộ t tích vơ hướng thoả m ãn tính chất (IV 1) gọi khơng gian unita hay không gian Hiỉbert Không gian Hilbert sở cơng cụ tốn học củ a lượng tử Nói chung, với khái niệm tích vồ hướng, đại số tiếp cận sâu vào vật lý học khái niệm sở vật lý n h chiểu dài, khoảng hai kiện học tương đối tính, xác suất biểu thị tích vơ hướng Hệ trực chuẩn Với tích vơ hướng, đến khái niệm tương tự chiều dài véctơ góc véctơ khơng gian ba chiều thông thường sau: Cho khổng gian Hilbert với tích vơ hướng (IV 1) T h ế thì, theo định nghĩa, đại lượng |f| = yỊ(f , f ) gọi chuẩn véctơ f không gian Hilbert Tiếp theo đai lương (f g) c o s a = T-rpr gọi góc véctơ f không gian Hilbert Nếu (f, g) = hai véctơ f g gọi trực g iao với 206 |f | |g| Một hệ gồm có véctơ trực giao với tìmg đơi có chuẩn đơn vị, gọi hệ trực chuẩn V í dụ: Hệ véctơ e = —jL= e x p ( i m x ) v tt , m nguyên , (a = - 7i , b = 71) (IV ) làm thành m ột hệ trực chuẩn H ộ sỏ k h n g gian tuyến tính tổng qt T rong khơng gian tuyến tính tổng qt có thẻ chọn m ột hệ trực ch u ẩn tối đa đó, tức tập hợp tối da véctơ độc lập tuyến tính với nhau: (e.n.e„) = s mn (IV 7) Tập hợp gọi hệ sở không gian Tiếp theo ta khai triển véctơ f theo véctơ sở f = £ f m em rn (I V 8) Khai triển gọi phép khai triển Fourier Các thành phần fm gọi thành phần F o u rier hệ sở em cho Đ ể tìm thành phần Pourier, ta lợi dụng tính chất trực giao (IV 7), nhân hai v ế cùa ( I V ) với en ta f„ = (e„, f) (IV.9) Tập hợp tất thành phần fn gọi biểu diễn f theo sở en Ví dụ: T heo (IV 9) với không gian hàm đối số f(x), theo sở (1V.6) ta có biểu diễn sau: fm = [exp(-imx)f(x)dx (IV 10) V2 tt 207 TÀI LIỆU THAM KHẢO G Ia Liubarski Lý thuyết nhóm ứng dụng lý thuyết nhóm vật lý NXB Kỹ t h u ậ t Quốc gia, Moskva, 1958 (Tieng Nga) M H a m e rm e s h Group theory and its application to physicaỉ problems Addision - Wesley M assac h u se tts, 1964 N guyễn H ồng Phương Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử NXB Khoa học Kỹ thuật, H Nội, 2002 N guyễn Văn Hiệu Những giáng lý thuyết nhóm lý thuvết biêu diễn nhóm, tậ p Hội v ậ t lý Việt Nam, H Nội, 1999 A la Xkhouten Giải tích tenxơ nhà vật lý NXB Khoa học Moskva, 1965 (Tiếng Nga) B E Pobedria Những giảng giải tích tenxơ NXB Đại học Tổng hợp Moskva 1974 (Tiếng Nga) Đào H uy Bích Phép tính tenxơ sô ứng dụng học, vật lý NXB ĐH&THCN H Nội, 1997 T rịnh Phơi Phép tính tenxơ NXB Giáo dục, H Nội, 1997 L Đ L anđau E M Lifshitz Lý thuyết trường NXB Khoa học, Moskva, 1967 (tiếng Nga) 10 N guyễn Đ ình Dũng Cơ lý thuyết, NXB Đại học Quổc gia Hà Nội, 2000 208 ... công cụ toán học phục vụ cho việc học tập, nghiên cứu vấn đề vật lý đại Trong sách trình bầy kiến thức lý thuyết nhóm , lý thuyết biểu diễn nhóm, đại -cương nhóm Lie, đại số giải tích tenxơ, ứng... n gh ĩa nhóm Một tập hợp E nhóm G, làm thành nhóm phép nhân n h ó m G, gọi nhóm G Tất nhiên phần tử đơn vị e tồn nhóm G nhóm G Hai nhóm gọi nhóm tầm thường Những nhóm khơng tầm thường nhóm thực... Chương I: LÝ THUYẾT NHÓM §1 Khái niệm vế nhóm .7 §2 §3 §4 §5 Một số ví dụ vé nhóm 10 Các lớp ké nhóm, nhóm bất biến .16 Tính đồng cấu đẳng cấu hai nhóm