Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử Biên tập bởi: Nguyễn Văn Hiệu Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử Biên tập bởi: Nguyễn Văn Hiệu Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu Phiên bản trực tuyến: http://voer.edu.vn/c/d4aa7723 MỤC LỤC 1. Cơ sở lý thuyết nhóm 1.1. Khái niệm về nhóm 1.2. Các ví dụ về nhóm 1.3. Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều 1.4. Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide phức 2 chiều 1.5. Nhóm Lie và đại số Lie 1.6. Phụ lục cơ sở lý thuyết nhóm 2. Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm 2.1. Khái niệm về biểu diễn nhóm 2.2. Các phép tính đối với các biểu diễn 2.3. Hàm đặc trưng của biểu diễn 2.4. Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm 3. Các nhóm điểm tinh thể học 3.1. Phân loại các nhóm điểm tinh thể học 3.2. Họ các điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci 3.3. Họ các nhóm điểm Sn 3.4. Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd 3.5. Họ các nhóm điểm T, Th, Td 3.6. Họ các nhóm điểm O , Oh 3.7. Sự đối xứng của các phân tử 3.8. Sự đối xứng của các tinh thể 3.9. Nhóm đối xứng của các điểm đặc biệt trong các ô Wigner - Seitz của các mạng hệ lập phương Tham gia đóng góp 1/166 Cơ sở lý thuyết nhóm Khái niệm về nhóm Định nghĩa nhóm Tập hợp G các yếu tố a, b, c,… được gọi là một nhóm nếu có các tính chất sau đây: 1) Trên tập hợp G tồn tại một phép tính gọi là phép nhân của nhóm. Phép tính này đặt tương ứng với mỗi cặp hai yếu tố a và b bất kỳ của tập hợp G một yếu tố c cũng thuộc tập hợp này, gọi là tích của a và ba và ký hiệu là ab : a ∈ G, b ∈ G tendsto: 2 args.ab = c ∈ G 2) Phép nhân của nhóm có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi yếu tố a, b, c của tập hợp G ta luôn có (ab) c = a (bc) 3) Trân tập hợp G tồn tại một yếu tố e, gọi là yếu tố đơn vị, mà với mọi yếu tố a ∈ G ta luôn luôn có e a = a e = a 4) Với mọi yếu tố a ∈ G bao giờ cũng có một yếu tố ( a −1 ) ∈ G , gọi là nghịch đảo của a, sao cho a -1 a = a a -1 = e Do tính chất kết hợp của phép nhân ta có thể viết Các định nghĩa khác Nếu phép nhân của nhóm G có tính chất giao hoán, nghĩa là với mọi cặp yếu tố a ∈ G, b ∈ G ta luôn luôn có hệ thức a b = b a, 2/166 thì nhóm G được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. Nếu nhóm G chỉ có một số hữu hạn các yếu tố khác nhau thì nhóm này được gọi là nhóm hữu hạn, còn số lượng các yếu tố khác nhau được gọi là cấp của nhóm. Trong trường hợp ngược lại, khi nhóm G có vô số yếu tố khác nhau, nó được gọi là nhóm vô hạn. Với các nhóm hữu hạn ta có thể trình bày quy tắc phân nhóm một cách cụ thể dưới dạng một bảng nhân nhóm được thiết lập như sau. Ta kẻ một bảng vuông với số hằng và số cột bằng số yếu tố của nhóm. Ở phía trái của bảng, đầu mỗi hang, và ở trên của bảng, đầu mỗi cột, ta ghi tất cả các yếu tố khác nhau của nhóm theo một thứ tự nào đó g 1 , g 2 , …, g n . Sau đó trên ô chung của hang thứ j và cột thứ j ta ghi yếu tố là tích g j g i . Nhìn bảng phân nhóm ta thấy ngay quy tắc nhân nhóm đối với từng cặp yếu tố. Bảng nhân nhóm Nếu trong nhóm G có một tập hợp các yếu tố a 1 , a 2 , …, a n với tính chất sau đây: mọi yếu tố của nhóm G đều có thể viết dưới dạng một tích mà mỗi thừa số là một trong các yếu tố này (một yếu tố có thể được dùng làm thừa số nhiều lần), thì ta nói rằng nhóm G được sinh ra bởi các yếu tố a 1 , a 2 , …, a n , còn các yếu tố này được gọi là các yếu tố sinh. Nhóm hữu hạn được sinh ra bởi một yếu tố a, nghĩa là gồm các yếu tố có dạng a, a 2 , …, a n = e, được gọi là nhóm vòng. 3/166 Nếu mọi yếu tố của nhóm G đều là một hàm liên tục của những thông số nào đó và hoàn toàn được xác định bởi giá trị của những thông số này, thì nhóm G gọi là nhóm liên tục. Ta quy ước rằng các thông số này là các biến số độc lập. Nếu mọi yếu tố của nhóm liên tục G đều là hàm khả vi của các thông số độc lập, thì nhóm G được gọi là nhóm Lie. Từ định nghĩa nhóm phát biểu ở trên suy ra ngay một số mệnh đề sau đây. 1. Mỗi nhóm chỉ có một yếu tố đơn vị. 2. Nghịch đảo của tích của hai yếu tố bằng tích các nghịch đảo của chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là (a b) -1 = b -1 a -1 3. Mỗi yếu tố của nhóm chỉ có một yêu tố nghịch đảo. Định nghĩa yếu tố liên hợp Yếu tố a của nhóm G được gọi là liên hợp với yếu tố b của nhóm này nếu có một yếu tố nào đó c G mà a c a -1 = b Có thể chứng minh được rằng quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương, nghĩa là 1 o ) Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính chất đối xứng). 2 o ) Yếu tố a liên hợp với chính nó (tính tự liên hợp). 3 o ) Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì a liên hợp với a (tính chuyển tiếp). Lớp các yếu tố liên hợp Vì rằng mối quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương cho nên tất cả các yếu tố của nhóm G liên hợp với một yếu tố xác định nào đó đều liên hợp với nhau, và do đó ta có thể chia nhóm G thành các tập hợp con mà tất cả các yếu tố trong mỗi tập hợp con đều liên hợp với nhau. Mỗi tập hợp con các yếu tố liên hợp với nhau của nhóm G được gội là một lớp các yếu tố liên hợp. Chú ý rằng hai lớp khác nhau không có một yếu tố chung nào cả, nghĩ là không giao nhau. 4/166 Định nghĩa nhóm con Một tập hợp con G 1 của nhóm G được gọi là nhóm con của nhóm G nếu đối với phép nhân của nhóm G tập hợp G 1 này cũng tạo thành một nhóm, nghĩa là nếu G 1 thỏa mãn những điều kiện sau đây: 1) Nếu a và b là hai yếu tố của G 1 thì tích ab cũng là một yếu tố của G 1 : a ∈ G 1 ,b ∈ G 1 implies: 2 args. a b ∈ G 1 Ta nói rằng tập hợp con G 1 là kín đối với phép nhân nhóm: G 1 G 1 G 1 2) Tập hợp con G1 chứa yếu tố đơn vị e của nhóm G: e ∈ G 1 3) Nếu a là một yếu tố của G 1 thì a -1 cũng là một yếu tố của G 1 : a ∈ G 1 ⇒ a -1 in: 2 args.G 1 Ta nói rằng tập hợp G 1 là kín đối với phép nghịch đảo: G −1 1 G 1 Dễ thấy rằng từ các điều kiện 1) và 3) suy ngay ra điều kiện 2). Thực vậy, lấy một yếu tố tùy ý a của tập hợp con G 1 . Theo điều kiện 3) ta có a ∈ G 1 ⇒ a -1 in: 2 args. G 1 Theo điều kiện 1) thì a ∈ G 1 , a -1 in: 2 args. G 1 ⇒ e = a a -1 in: 2 args. G 1 Đó là điều kiện 2). Chú ý rằng phép nhân của nhóm con G1 chắc chắn có tính chất kết hợp, vì đó là phép nhân của nhóm G. Định nghĩa tích trực tiếp của hai nhóm Cho hai nhóm G1 và G2 hoàn toàn độc lập với nhau, với các yếu tố a 1 , b 1 , c 1 , … G 1 và a 2 , b 2 , c 2 , … G 2 . Xét tập hợp G 1 ⊗ G 2 mà mỗi yếu tố là một cặp { a 1 ,a 2 } , { b 1 ,b 2 } , { c 1 ,c 2 } 5/166 , … gồm hai yếu tố của hai nhóm. Ta định nghĩa tích của hai yếu tố của G 1 ⊗ G 2 như nhau: { a 1 ,a 2 }{ b 1 ,b 2 } = { a 1 b 1 ,a 2 b 2 } Gọi e 1 và e 2 là hai yếu tố đơn vị của G 1 và G 2 , a 1 -1 và a 2 -1 là hai yếu tố nghịch đảo của a 1 và a 2 trong G 1 và G 2 . Ta coi là yếu tố đơn vị của G 1 ⊗ G 2 , {a 1 -1 và a 2 1 } là yếu tố nghịch đảo của {a 1 , a 2 }trong G 1 ⊗ G 2 . Tập hợp G 1 ⊗ G 2 với phép nhân nhóm, với yếu tố đơn vị và yếu tố nghịch đảo định nghĩa như vậy tạo thành một nhóm, gọi là tích trực tiếp G 1 ⊗ G 2 của hai nhóm đã cho. Tính chất kết hợp của phép nhân trên G 1 ⊗ G 2 suy ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trên từng nhóm G 1 và G 2 . Có những nhóm mà các yếu tố có bản chất khác nhau nhưng các phép tính toán dưới dóc độ là các yếu tố của nhóm thì lại tương tự nhau. Sự tương tự đó được phát biểu như sau. Định nghĩa sự đồng cấu và sự đẳng cấu Nhóm G 1 gọi là đồng cấu với nhóm G 2 nếu có một phép tương ứng giữa các yếu tố a 1 , b 1 , c 1 … của G 1 với các yếu tố a 2 , b 2 , c 2 … của G 2 , G 1 ∋ a 1 → a 2 ∈ G 2 , Sao cho ứng với mỗi yếu tố a 1 in: 2 args. G 1 có một yếu tố duy nhất a 2 in: 2 args. G 2 gọi là ảnh hưởng của a 1 trong G 2 , mỗi yếu tố a 2 in: 2 args. G 2 là ảnh hưởng của ít nhất một yếu tố a 1 in: 2 args. G 1 , và phép tương ứng này bảo toàn phép nhân nhóm, nghĩa là nếu tương ứng với a1 in: 2 args. G 1 có a 2 in: 2 args. G 2 , tương ứng b 1 in: 2 args. G 1 có b 2 in: 2 args. G 2 , thì tương ứng có a 1 b 1 in: 2 args. G 1 , có a 2 b 2 in: 2 args. G 2 : Nếu sự tương ứng nói trên là duy nhất theo cả hai chiều, nghĩa là nếu mỗi yếu tố a 2 in: 2 args. G 2 chỉ là ảnh hưởng của một yếu tố duy nhất a 1 in: 2 args. G 1 , và do đó có phép tương ứng ngược lại G 2 ∋ a 2 → G 1 ∈ a 1 thì gọi là có phép tương ứng 2 chiều G 1 ∋ a 1 ↔a 2 ∈ G 2 6/166 thì ta gọi hai nhóm G 1 và G 2 là đẳng cấu. Từ điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm suy ra rằng ảnh hưởng của yếu tố đơn vị e 1 trong G 1 phải là yếu tố đơn vị e 2 trong G 2 , ảnh hưởng của hai yếu tố nghịch đảo với nhau a 1 và a 2 -1 của G 2 . Về phương diện cấu trúc đại số thì hai nhóm đẳng cấu có cấu trúc đại giống hệt nhau và có thể xem là cùng một nhóm, nghĩa là ta không phân biệt các nhóm đẳng cấp với nhau khi ta chỉ quan tâm đến cấu trúc đại số của chúng. 7/166 Các ví dụ về nhóm 1. Tập hợp R các số thực tạo thành các nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng thông thường: tổng x + y của hai số thực x và y được xem là tích của hai yếu tố x và y của nhóm. Ta biết rằng phép cộng các số thực có tính chất kết hợp. Yếu tố đơn vị của nhóm là số 0. Nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x. Vì phép cộng các số thực có tính chất giao hoán nên R là một nhóm giao hoán. Tương tự như vậy, tập hợp R n các vectơ trong không gian vectơ thực n chiều tạo thành nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng các vectơ: tổng x+y của hai vectơ được xem là tích của hay yếu tố x và y, yếu tố đơn vị là vectơ 0 (tất cả các thành phần đều bằng không), nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x. Đây là một nhóm giao hoán. Nhóm các số nguyên là một nhóm con của nhóm các số thực đối với phép cộng. 2. Tập hợp R – {0} các số thực khác không cũng như tập hợp C – {0} các số phức khác không đều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm là phép nhân thông thường có tính kết hợp. Yếu tố đơn vị của nhóm là số 1. Nghịch đảo của x là 1 x . Các nhóm này cũng là các nhóm giao hoán. Nhóm các số dương khác không là nhóm con của nhóm các số thực khác không đối với phép nhân, nhóm các số thực khác không là nhóm con của nhóm các số phức khác không đối với phép nhân. 3. Tập hợp các ma trận n x n có nghịch đảo tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận. Ta nhắc lại rằng nếu A và B là hai ma trận với các yếu tố ma trận A ij và B ij , i, j = 1, 2, …, n, thì AB là ma trận với các yếu tố ma trận (AB) ik = ∑ k = 1 n A ik B kj ≡ A ik B kj Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nhưng nói chung không giao hoán. Yếu tố đơn vị của nhóm là ma trận đơn vị I mà các yếu tố ma trận bằng I ij = δ ij Yếu tố nghịch đảo của ma trận A là ma trận nghịch đảo A − 1 A − 1 A = AA − 1 = I Chú ý rằng ma trận tích AB có nghịch đảo là (AB) − 1 = B − 1 A − 1 Tùy theo các yếu tố ma trận là các số thực hay các số phức mà nhóm này được ký hiệu là GL(n, R) hay GL (n, C). Vì các ma trận trên có thể thay đổi liên tục cho nên các nhóm 8/166 [...]... ta có nhóm SU(n) 15/166 Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều Trong mục này ta khảo sát chi tiết nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều, vì đây là nhóm đối xứng rất thường gặp trong nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử: vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý hạt sơ cấp Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu các phép quay của mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ, tạo thành nhóm SO(2)... cùng một phép quay O Vậy trong phép đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) hai yếu tố trái dấu nhau của nhóm SU(2) tương ứng với cùng một yếu tố của nhóm SO(3) Nhóm SO(3) đồng cấu nhưng không đẳng cấu với nhóm SU(2) 32/166 Nhóm Lie và đại số Lie Khi nghiên cứu về các nhóm SO(3) và SU(2) chúng ta đã thiết lập các hệ thức giao hoán giữa các vi tử của mỗi nhóm này và thấy rằng các vi tử đó tạo thành đại số... áp dụng khi nghiên cứu những vấn đề trong nhiều lĩnh vực của vật lý lượng tử Trong hệ vectơ đơn vị cơ sở giao chuẩn hoa smooix phép biến đổi thuộc nhóm SU(2) được diễn tả bởi một ma trận 2 x 2 unita U U+ = U-1, Và có định thức bẳng 1, det U = 1 Yếu tố đơn vị của nhóm là ma trận đơn vị I Yếu tố có ma trận bằng U-1 là nghịch đảo của yếu tố có ma trận bằng U Để tìm các tham số độc lập cũng như các vi tử. .. trận Pauli σi, i = 1, 2, 3 và ma trận đơn vị I ký hiệu là σ0, X( αi) = 1 α0σ0 + 1 ασ 2 2 Ngoài ba nhóm con một tham số gồm các biến đổi U(k)( φ) đã xét ở trên bây giờ ta có thêm một nhóm con một tham số nữa là nhóm U(1) với các phép biến đổi 1 U(0) ( φ) = e − 2 φ Các biến đổi này giao hoán với các biến đổi của nhóm SU(2) và do đó nhóm U(2) là tích trực tiếp của nhóm U(1) và nhóm SU(2) U(2) = U(1) ⊗SU(2)... trận σ2σi và σiσ2là các ma trận đối xứng, (σ2σi)T = ( σ2σi), ( σiσ2)T = ( σiσ2), nghĩa là (σ2σi)αβ= (σ2σi)βα, (σiσ2)αβ= (σiσ2)βα, So sánh các kết quả vừa thu được đối với nhóm SU(2) và các kết quả trình bày ở trên về nhóm quay SO(3), ta thấy có một sự tương tự: cả hai nhóm đều là các nhóm Lie bat ham số, các vi tử của chúng thỏa mãn những hệ thức giao hoán giống hệt nhau Ta hãy chứng minh rằng nhóm SO(3)... a Yếu tố đơn vị của nhóm là T0=I Dễ thử lại rằng T -a = (T a ) -1 Các nhóm tịnh tiến không gian thực n chiều tạo thành nhóm tịnh tiến T(n) Đó là một nhóm giao hoán Nhóm tịnh tiến đẳng cấu với nhóm các vectơ trong không gian mà phép nhân nhóm là phép cộng các vectơ 7 Tập hợp các phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị của một không gian vectơ n chiều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như... [Si,Sj]= i εijk Sk, Trong đó εijk là tenxơ hoàn toàn phản đối xứng hạng 3 trong không gian ba chiều, với ε123 = 1 23/166 Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide phức 2 chiều Trong đoạn này chúng ta khảo sát chi tiết về nhóm SU(2) các biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng và có định thức bằng 1 của không gian Euclide phức hai chiều Nhiều công thức và một số lập luận... φ) = Các góc ψ và φ thay đổi từ 0 đến 2 π, còn góc θ thay đổi từ 0 đến π Nhóm SO(3) là nhóm Lie ba thông số Trong đoạn trước ta đã định nghĩa các yếu tố liên hợp Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất liên hợp của hai phép quay cùng một góc quanh hai trục khác nhau 19/166 Mệnh đề Trong nhóm quay SO(3) hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay khác nhau luôn luôn liên hợp với nhau Chứng minh Ký hiệu... Cho U là một yếu tố của nhóm SU(2) và xét phép biến đổi tuyến tính sau đây của ma trận R R → R ’ = U RU + Ký hiệu vectơ trong không gian ba chiều tương ứng với ma trận R’ là r’: R ’ = r’ σ Trong phép biến đổi R thành R’, vectơ r chuyển thành r’ R → R’ r → r’ Ta ký hiệu phép biến đổi này của không gian ba chiều là O, r ’ = O r, và thiết lập được sự tương ứng giữa mỗi yếu tố U của nhóm SU(2) với một phép... biến đổi biến đổi O tương ứng của không gian ba chiều Kết quả là ta có sự tương ứng sau đây giữa các yếu tố U (k)( φ), k = 1, 2, 3 và các phép quay Cx (φ), Cy (φ), Cz (φ),: U(1) (φ) → Cx (φ), U(2) (φ) → Cy (φ), U(3) (φ) → Cz (φ) Dễ thử lại rằng sự tương ứng nói trên giữa các yếu tố của hai nhóm bảo toàn phép nhân nhóm Vậy ta đã thiết lập được sự đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) Chú ý rằng nếu . Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử Biên tập bởi: Nguyễn Văn Hiệu Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử Biên tập bởi: Nguyễn Văn Hiệu Các. gian Euclide thực ba chiều, vì đây là nhóm đối xứng rất thường gặp trong nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử: vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý hạt sơ cấp. Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu các phép. không gian Euclide phức 2 chiều 1.5. Nhóm Lie và đại số Lie 1.6. Phụ lục cơ sở lý thuyết nhóm 2. Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm 2.1. Khái niệm về biểu diễn nhóm 2.2. Các phép tính đối với các