Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Nếu mọi yếu tố của nhóm G đều là một hàm liên tục của những thông số nào đó và hoàn toàn được xác định bởi giá trị của những thông số này, thì nhóm G gọi là nhóm liên tục.Ta quy ước rằng

Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật

lý lượng tửBiên tập bởi:

Nguyễn Văn Hiệu

MỤC LỤC

1 Cơ sở lý thuyết nhóm

1.1 Khái niệm về nhóm

1.2 Các ví dụ về nhóm

1.3 Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều

1.4 Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclidephức 2 chiều

1.5 Nhóm Lie và đại số Lie

1.6 Phụ lục cơ sở lý thuyết nhóm

2 Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

2.1 Khái niệm về biểu diễn nhóm

2.2 Các phép tính đối với các biểu diễn

2.3 Hàm đặc trưng của biểu diễn

2.4 Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

3.7 Sự đối xứng của các phân tử

3.8 Sự đối xứng của các tinh thể

3.9 Nhóm đối xứng của các điểm đặc biệt trong các ô Wigner - Seitz của các mạng

hệ lập phương

Tham gia đóng góp

Cơ sở lý thuyết nhóm

Khái niệm về nhóm

Định nghĩa nhóm

Tập hợp G các yếu tố a, b, c,… được gọi là một nhóm nếu có các tính chất sau đây:

1) Trên tập hợp G tồn tại một phép tính gọi là phép nhân của nhóm Phép tính này đặt tương ứng với mỗi cặp hai yếu tố a và b bất kỳ của tập hợp G một yếu tố c cũng thuộc tập hợp này, gọi là tích của a và ba và ký hiệu là ab :

thì nhóm G được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.

Nếu nhóm G chỉ có một số hữu hạn các yếu tố khác nhau thì nhóm này được gọi là nhóm

hữu hạn, còn số lượng các yếu tố khác nhau được gọi là cấp của nhóm Trong trường

hợp ngược lại, khi nhóm G có vô số yếu tố khác nhau, nó được gọi là nhóm vô hạn.

Với các nhóm hữu hạn ta có thể trình bày quy tắc phân nhóm một cách cụ thể dưới dạngmột bảng nhân nhóm được thiết lập như sau Ta kẻ một bảng vuông với số hằng và sốcột bằng số yếu tố của nhóm Ở phía trái của bảng, đầu mỗi hang, và ở trên của bảng,

đầu mỗi cột, ta ghi tất cả các yếu tố khác nhau của nhóm theo một thứ tự nào đó g 1 , g 2 ,

…, g n Sau đó trên ô chung của hang thứ j và cột thứ j ta ghi yếu tố là tích g j g i Nhìnbảng phân nhóm ta thấy ngay quy tắc nhân nhóm đối với từng cặp yếu tố

Bảng nhân nhóm

Nếu trong nhóm G có một tập hợp các yếu tố a 1 , a 2 , …, a n với tính chất sau đây: mọi

yếu tố của nhóm G đều có thể viết dưới dạng một tích mà mỗi thừa số là một trong các yếu tố này (một yếu tố có thể được dùng làm thừa số nhiều lần), thì ta nói rằng nhóm G được sinh ra bởi các yếu tố a 1 , a 2 , …, a n, còn các yếu tố này được gọi là các yếu tố sinh

Nhóm hữu hạn được sinh ra bởi một yếu tố a, nghĩa là gồm các yếu tố có dạng a, a 2 , …,

a n = e, được gọi là nhóm vòng.

Nếu mọi yếu tố của nhóm G đều là một hàm liên tục của những thông số nào đó và hoàn toàn được xác định bởi giá trị của những thông số này, thì nhóm G gọi là nhóm liên tục.

Ta quy ước rằng các thông số này là các biến số độc lập Nếu mọi yếu tố của nhóm liên

tục G đều là hàm khả vi của các thông số độc lập, thì nhóm G được gọi là nhóm Lie.

Từ định nghĩa nhóm phát biểu ở trên suy ra ngay một số mệnh đề sau đây

1 Mỗi nhóm chỉ có một yếu tố đơn vị.

2 Nghịch đảo của tích của hai yếu tố bằng tích các nghịch đảo của chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là

(a b)-1= b-1a-1

3 Mỗi yếu tố của nhóm chỉ có một yêu tố nghịch đảo.

Định nghĩa yếu tố liên hợp

Yếu tố a của nhóm G được gọi là liên hợp với yếu tố b của nhóm này nếu có một yếu tốnào đó c G mà

a c a-1 = b

Có thể chứng minh được rằng quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương, nghĩa là

1o) Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính chất đối xứng).

2o) Yếu tố a liên hợp với chính nó (tính tự liên hợp).

3o) Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì a liên hợp với a (tính chuyển tiếp).

Lớp các yếu tố liên hợp

Vì rằng mối quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương cho nên tất cả các yếu tố của

nhóm G liên hợp với một yếu tố xác định nào đó đều liên hợp với nhau, và do đó ta có thể chia nhóm G thành các tập hợp con mà tất cả các yếu tố trong mỗi tập hợp con đều liên hợp với nhau Mỗi tập hợp con các yếu tố liên hợp với nhau của nhóm G được gội

là một lớp các yếu tố liên hợp Chú ý rằng hai lớp khác nhau không có một yếu tố chungnào cả, nghĩ là không giao nhau

Định nghĩa nhóm con

Một tập hợp con G1 của nhóm G được gọi là nhóm con của nhóm G nếu đối với phépnhân của nhóm G tập hợp G1 này cũng tạo thành một nhóm, nghĩa là nếu G1thỏa mãnnhững điều kiện sau đây:

1) Nếu a và b là hai yếu tố của G1thì tích ab cũng là một yếu tố của G1:

Dễ thấy rằng từ các điều kiện 1) và 3) suy ngay ra điều kiện 2) Thực vậy, lấy một yếu

tố tùy ý a của tập hợp con G1 Theo điều kiện 3) ta có

a ∈ G1 ⇒ a-1in: 2 args G1

Theo điều kiện 1) thì

a ∈ G1, a-1 in: 2 args.G1 ⇒ e = a a-1 in: 2 args.G1

Đó là điều kiện 2) Chú ý rằng phép nhân của nhóm con G1 chắc chắn có tính chất kết hợp, vì đó là phép nhân của nhóm G.

Định nghĩa tích trực tiếp của hai nhóm

Cho hai nhóm G1 và G2 hoàn toàn độc lập với nhau, với các yếu tố a 1 , b 1 , c 1 , … G 1và

a 2 , b 2 , c 2 , … G 2 Xét tập hợp G 1⊗G 2 mà mỗi yếu tố là một cặp{a1,a2},{b1,b2},{c1,c2}

, … gồm hai yếu tố của hai nhóm Ta định nghĩa tích của hai yếu tố của G1 ⊗ G2 nhưnhau:

{a1,a2}{b1,b2}={a1b1,a2b2}

Gọi e1và e2là hai yếu tố đơn vị của G1và G2, a 1 -1 và a 2 -1là hai yếu tố nghịch đảo của

a1 và a2trong G1 và G2 Ta coi là yếu tố đơn vị của G1 ⊗ G2, {a 1 -1 và a 2 1} là yếu tố

nghịch đảo của {a 1 , a 2 }trong G1⊗G2 Tập hợp G1⊗ G2với phép nhân nhóm, với yếu

tố đơn vị và yếu tố nghịch đảo định nghĩa như vậy tạo thành một nhóm, gọi là tích trực

tiếp G 1 ⊗G 2 của hai nhóm đã cho Tính chất kết hợp của phép nhân trên G 1⊗ G 2 suy

ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trên từng nhóm G 1 và G 2

Có những nhóm mà các yếu tố có bản chất khác nhau nhưng các phép tính toán dưới dóc

độ là các yếu tố của nhóm thì lại tương tự nhau Sự tương tự đó được phát biểu như sau

Định nghĩa sự đồng cấu và sự đẳng cấu

Nhóm G1gọi là đồng cấu với nhóm G2 nếu có một phép tương ứng giữa các yếu tố a 1 ,

b 1 , c 1 … của G 1 với các yếu tố a 2 , b 2 , c 2 … của G 2,

G1∋ a1→ a2∈ G2 ,

Sao cho ứng với mỗi yếu tố a1 in: 2 args G1có một yếu tố duy nhất a2 in: 2 args G2

gọi là ảnh hưởng của a1trong G2, mỗi yếu tố a2in: 2 args.G2 là ảnh hưởng của ít nhất

một yếu tố a1in: 2 args.G1, và phép tương ứng này bảo toàn phép nhân nhóm, nghĩa là

nếu tương ứng với a1in: 2 args.G 1 có a 2in: 2 args G 2 , tương ứng b 1in: 2 args G 1có

b 2in: 2 args G 2 , thì tương ứng có a 1 b 1in: 2 args G 1 , có a 2 b 2in: 2 args G 2:

Nếu sự tương ứng nói trên là duy nhất theo cả hai chiều, nghĩa là nếu mỗi yếu tố a 2

in: 2 args G 2 chỉ là ảnh hưởng của một yếu tố duy nhất a 1 in: 2 args G 1, và do đó cóphép tương ứng ngược lại

G2∋ a2→ G1∈ a1

thì gọi là có phép tương ứng 2 chiều

G1∋ a1↔a2∈ G2

thì ta gọi hai nhóm G1và G2là đẳng cấu.

Từ điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm suy ra rằng ảnh hưởng của yếu tố đơn vị e1trong

G1phải là yếu tố đơn vị e2 trong G2, ảnh hưởng của hai yếu tố nghịch đảo với nhau a1

và a2-1của G2

Về phương diện cấu trúc đại số thì hai nhóm đẳng cấu có cấu trúc đại giống hệt nhau và

có thể xem là cùng một nhóm, nghĩa là ta không phân biệt các nhóm đẳng cấp với nhaukhi ta chỉ quan tâm đến cấu trúc đại số của chúng

Các ví dụ về nhóm

1 Tập hợp R các số thực tạo thành các nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng thông

thường: tổng x + y của hai số thực x và y được xem là tích của hai yếu tố x và y của

nhóm Ta biết rằng phép cộng các số thực có tính chất kết hợp Yếu tố đơn vị của nhóm

là số 0 Nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x Vì phép cộng các số thực có tính chất giao hoán nên R là một nhóm giao hoán Tương tự như vậy, tập hợp R ncác vectơ trong không

gian vectơ thực n chiều tạo thành nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng các vectơ: tổng x+y của hai vectơ được xem là tích của hay yếu tố x và y, yếu tố đơn vị là vectơ 0 (tất cả các thành phần đều bằng không), nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x Đây là một

nhóm giao hoán Nhóm các số nguyên là một nhóm con của nhóm các số thực đối vớiphép cộng

2 Tập hợp R – {0} các số thực khác không cũng như tập hợp C – {0} các số phức khác

không đều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm là phép nhân thông thường có tính

kết hợp Yếu tố đơn vị của nhóm là số 1 Nghịch đảo của x là 1x Các nhóm này cũng làcác nhóm giao hoán Nhóm các số dương khác không là nhóm con của nhóm các số thựckhác không đối với phép nhân, nhóm các số thực khác không là nhóm con của nhóm các

số phức khác không đối với phép nhân

3 Tập hợp các ma trận n x n có nghịch đảo tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận.

Ta nhắc lại rằng nếu A và B là hai ma trận với các yếu tố ma trận A ij và B ij , i, j = 1, 2,

…, n, thì AB là ma trận với các yếu tố ma trận

(AB) ik= ∑k = 1 n A ik B kj ≡ A ik B kj

Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nhưng nói chung không giao hoán Yếu tố đơn

vị của nhóm là ma trận đơn vị I mà các yếu tố ma trận bằng

Tùy theo các yếu tố ma trận là các số thực hay các số phức mà nhóm này được ký hiệu

là GL(n, R) hay GL (n, C) Vì các ma trận trên có thể thay đổi liên tục cho nên các nhóm

này những nhóm liên tục Khi không cần chỉ rõ các yếu tố ma trận là các số thực hay số

phức thì ta viết GL(n) Nhóm GL (n, R) là nhóm con của nhóm GL (n, C).

Tập hợp các ma trận n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm đối với phép nhân

ma trận, vì rằng nếu A có định thức bằng 1 thì A-1cũng vậy,

detA− 1= detA1 = 1

nếu A và B đều có định thức bằng 1 thì tích AB cũng vậy,

det (AB) = (det A) (det B) = 1

Tùy theo các yếu tố ma trận là các số thực hay số phức mà ta ký hiệu nhóm này là SL (n, R) hay SL (n, C), còn khi không cần chỉ rõ số thực hay số phức thì ta ký hiệu là SL (n) Nhóm SL (n) là nhóm con của nhóm GL (n).

4 Tập hợn các ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận Ta

nhắc lại rằng ma trận chuyển vị A T của ma trận A có các yếu tố ma trận sau đây

T = O

2 − 1 O

1 − 1 = (O 1 O 2)-1

Quả thật các ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm, ký hiệu là O(n).

Tương tự, các ma trận trực giao n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm ký hiệu

là SO(i).

5 Tập hợp các ma trận unita n x n tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận Ta nhắc

lại rằng ma trận liên hợp hermitic A+của ma trận A có các yếu tố ma trận sau đây

+ = U

2

− 1 U 1

− 1 = (U 1 U 2 ) -1 Quả thật là các ma trận unita n x n tạo thành nhóm, gọi là nhóm U(n).

Tương tự, các ma trận unita n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm, gọi là nhóm SU(n) Nhóm SU(n) là nhóm con của nhóm U(n).

6 Tập hợp các phép tịnh tiến của một không gian thực n chiều tạo thành nhóm đối với

phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến, ta được phép

tịnh tiến gọi là tích của chúng Ký hiệu là T a và T bhai phép tịnh tính không gian trong

Các nhóm tịnh tiến không gian thực n chiều tạo thành nhóm tịnh tiến T(n) Đó là một

nhóm giao hoán Nhóm tịnh tiến đẳng cấu với nhóm các vectơ trong không gian màphép nhân nhóm là phép cộng các vectơ

7 Tập hợp các phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị của một không gian vectơ n chiều

tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện liên tiếp hai phép

biến đổi tuyến tính không kỳ dị A rồi đến B, ta được kết quả tương đương với thực hiện một phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị ký hiệu là BA và được coi là tích của A và B Xét hệ các vectơ cơ sở độc lập tuyến tính e1, e2, …, encủa không gian n chiều đã cho

Biến đổi tuyến tính A chuyển các vectơ này thành các vectơ e

1

', e

2

', , e n

'

Định nghĩa tích của hai phép biến đổi mà ta phát biểu vắn tắt ở trên được cụ thể hóa như

sau Xét một vectơ bất kỳ r trong không gian vectơ n chiều đã cho Phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị A chuyển vectơ này thành vectơ r’:

Be j = e k B kj

Tác dụng liên tiếp hai phép biến đổi A và B, ta có

B Ae i = B (e j A ji ) = (Be j ) A ji = e k B kj A ji = e k (B A) ki

Vậy biến đổi tích B A có ma trận là tích của hai ma trận của hai phép biến đổi B và A.

Biến đổi đồng nhất có ma trận là ma trận đơn vị Biến đổi nghịch đảo có ma trận là matrận nghịch đảo Vậy nhóm các biến đổi tuyến tính không kỳ dị của không gian vectơ n

chiều đẳng cấu với nhóm GL(n) các ma trận n x n có nghịch đảo mà ta đã xét ở trên Ta cũng gọi đó là nhóm GL (n).

8 Tập hợp các phép quay của không gian Euclide thực n chiều quanh gốc tọa độ tạo

thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện hai phép quay liêntiếp ta được một phép quay thứ ba là tích của chúng Phép biến đổi đồng nhất (khôngquay tí nào cả) là yếu tố đơn vị Phép quay ngược lại là yếu tố nghịch đảo Ta nhắc lại

rằng trong không gian Euclide thực n chiều ta có thể chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở e1, e2,

…, entrực giao chuẩn hóa, nghĩa là thỏa mãn điều kiện

' cũng trực giao chuẩn hóa

Thay vào đây các biểu thức viết ở trên biểu diễn e ' i qua e j và dùng tính chất trực giao

chuẩn hóa của các vectơ e i, ta thu được hệ thức

nghĩa là

det O = ± 1

Vì mà trận của phép biến đổi đồng nhất có định thức bẳng +1, mà các phép quay lại làcác phép biến đổi liên tục, cho nên định thức không thể nhảy từ +1 sang -1 Vậy ta phảicó

(ei, ej) = δ ij, i, j = 1, 2, …, n

Phép biến đổi từ U chuyển các vectơ này thành các vectơ đơn vị mới e

1

', e

2

', , e n

'

e = Ue = e u

Vì biến đổi U bảo toàn các tính vô hướng cho nên

Trong đó U+là ma trận liên hợp hermitic của U Do đó ta có hệ thức

U+U = I

hay là

U+= U-1

Ma trận của các phép biến đổi U bảo toàn tích vô hướng trong không gian Euclide phức

n chiều là các ma trận unita n x n Vậy nhóm các phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích

vô hướng trong không gian Euclide phức n chiều đẳng cấu với nhóm U (n) Ta cũng gọi

đó là nhosmm U (n) Nếu ta đặt thêm điều kiện định thức của các phép biến đổi phải bằng 1 thì ta có nhóm SU(n).

Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều

Trong mục này ta khảo sát chi tiết nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực

ba chiều, vì đây là nhóm đối xứng rất thường gặp trong nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử:vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý hạt sơ cấp Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu các

phép quay của mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ, tạo thành nhóm SO(2) Đó chính là nhóm quay không gian ba chiều quanh trục cố định Oz, một nhóm con của nhóm SO(3) Mỗi phép quay của mặt phẳng xOy được đặc trưng bởi góc quay φ và ký hiệu là O(φ) Thực hiện liên tiếp hai phép quay các góc φ1 và φ2, ta được phép quay góc φ1 + φ2làtích của hai phép quay nói trên

Vậy ma trận của phép biến đổi O (φ) là

O (φ)=[ cos φ

sin φ

−sin φcos φ ]

Mặt khác, vì r ’, i ’, j ’ thu được từ r, i, j sau cùng một phép quay cho nên hệ thức giữa r

’ và i ’, j ’ có dạng giống hệt như hệ thức giữa r và i, j, cụ thể là

r ’ = x i ’ + y j ’

Thay vào đây các biểu thức diễn tả i ’ và j ’ theo ivà j, ta suy ra

x ’ = cos φ x - sin φy

y ’ = sin φx + cos φy

Các công thức này còn được viết dưới dạng ma trận như sau

[ x'

y' ]=[ cos φ

sin φ

−sin φcos φ ][ x

y ]

Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc tọa độ O đồng thời cũng là các phép quay của không gian ba chiều quanh trục Oz Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở của không gian Euclide ba chiều là i, j, k, phép quay góc φ quanh trục Oz là Cz(φ) Phép quay này

chuyển các vectơ đơn vị cơ sở nói trên thành các vectơ đơn vị cơ sở mới sau đây

00

0

−sin φcos φ ]

C y(φ)=[ cos φ

0

−sin φ

010

sin φ0cos φ ]

Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3) Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc tọa độ O đều có thể được thực hiện dưới dạng tổ hợp của ba phép quay liên tiếp sau đây: phép quay góc φ quanh trục Oz chuyển các trục tọa độ Ox và Oy thành Ox’

và Oy’, phép quay gócθquanh trục mới Ox’ chuyển các trục mới Oy’ và Ox thành Oy’’

và Oz’’, phép quay gócψquanh trục mới Oz’’ (xem hình 1.2) Ba thông số φ,θ,ψgọi là

ba góc Euler Ký hiệu phép quay với ba góc Euler

φ,θ,ψlà O(ψ,θ,φ) Ma trận của phép quay này là tích của ba ma trận tương ứng với các phép quay quanh các trục Oz, Ox’ và Oz’’, cụ thể là

Mệnh đề Trong nhóm quay SO(3) hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay

khác nhau luôn luôn liên hợp với nhau.

Chứng minh Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở i, j, k của hệ tọa độ Descartes là ei, i = 1, 2,

3 và giả sử n và n’ là hai vectơ đơn vị có chung điểm đầu là gốc tọa độ O Có một phép quay R nào đó chuyển vectơ n thành vectơ n’ và giả sử rằng trong phép quay này các vectơ đơn vị cơ sở ei chuyển thành e

i

' Các phép quay góc φ quanh các trục n và n’ ký hiệu là Cn(φ) và Cn’(φ) Trong hệ tọa độ với các vectơ đơn vị cơ sở e

Vậy C Rn (φ) và C n (φ) là hai yếu tố liên hợp với nhau của nhóm SO(3).

Bây giờ bẳng những lập luận tổng quát chúng ta hãy thiết lập biểu thức của phép quay

C n(δ φ) một góc vô cùng bé δ φ quanh trục quay hướng theo vectơ đơn vị n trong phép

gần đúng cấp 1 theoδ φ Ta hãy đặc trưng phép quay góc δ φ quanh trục quay hướng theo vectơ n bằng vectơ δ φ có giá trị bằng δ φ và hướng theo trục quay,

Vậy ma trận X(δφ) chỉ chứa ba thông số độc lập Ta có thể chọn ba thàn phầnδφ k , k =

1, 2, 3, của vectơδφ làm ba thông số độc lập này và viết

X( δ φ) = - i δ φ S = - i δ φ k S k

trong đó S k , k = 1, 2, 3, là ba ma trận phản đối xứng 3 x 3 độc lập tuyến tính với nhau.

Ta đưa them đơn vị ảo –i vào công thức vừa viết để cho thuận tiện sau này Vì các yếu

tố ma trậ của X(δφ ) phải là các số thực cho nên các yếu tố ma trận của các ma trận S k

phải là các số ảo

Từ các biểu thức vừa viết ở trên của C n(δφ) và X (δφ) suy ra rằng các phép quay góc vô

cùng béδφquanh các trục Ox, Oy, và Oz có các ma trận sau đây

C x (δφ)=[ 1

0

0

01δφ

δφ0

00

1 ],

So sánh các biểu thức này với các công thức biểu diễn các ma trận Cx( δφ ), Cy( δφ) và

Cz(δφ ) qua các vi tử S1, S2, S3mà ta đã viết ở trên, ta thu được

Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide phức 2 chiều

Trong đoạn này chúng ta khảo sát chi tiết về nhóm SU(2) các biến đổi tuyến tính bảo

toàn tích vô hướng và có định thức bằng 1 của không gian Euclide phức hai chiều Nhiềucông thức và một số lập luận trình bày dưới đây thường hay được áp dụng khi nghiêncứu những vấn đề trong nhiều lĩnh vực của vật lý lượng tử Trong hệ vectơ đơn vị cơ sở

giao chuẩn hoa smooix phép biến đổi thuộc nhóm SU(2) được diễn tả bởi một ma trận 2

Do đó hai yếu tố chéo của ma trận X (δα i) phải là hai số thực

[X(δα i)]jj=[X(δα i)]jj, j = 1, 2

Còn hai yếu tố không chéo của ma trận này thì phải liên hợp phức với nhau

[X(δα i)]12=[X(δα i)]21

Nếu không đặt thêm điều kiện gì khác thì ma trận tự liên hợp X ( δα i) chứa bốn tham số

thực độc lập với nhau Nhưng ta còn có điều kiện định thức của U( δα i) phải bằng 1 Bỏqua các số hạng cấp cao ta có

det[U(δα i)]= 1 – i Tr[X(δα i)]

Vậy ma trận X ( δα i) phái có vết bằng không

Tr[X(δα i)]= 0

hai yếu tố chéo phải có độ lớn bằng nhau và ngược dấu Tóm lại, ma trận 2 x 2 tự liên

hợp và có vết bằng không X ( δα i) biểu diễn qua bat ham số thực độc lập vo cùng bé δα i,

i = 1, 2, 3 và ta có

U ( δα i ) = I – i δα i s i = I – i δα ⋅ s

Trong đó các vi tử si, i = 1, 2, 3 là ma trận 2 x 2 tự liên hợp độc lập tuyến tính và có vết

bằng không,δαlà vectơ ba chiều với các thành phầnδα i , s là ma trận vectơ ba chiều với

các thành phần si Để cho sau này được thuận tiện ta chọn các ma trận si bằng các matrận Pauliσi nhân với 12:

Dễ thử lại rằng các ma trận Pauli đều có bình phương bằng ma trận đơn vị

σ12= σ22= σ32= I ,

hai ma trận Pauli khác nhau phản giao hoán với nhau và có tích bằng

σ1σ2= -σ2σ1= iσ3,σ2σ3= -σ3σ2= iσ1,σ3σ1= -σ1σ3= i σ2

Các hệ thức của bình phương ma trận Pauli và tích hai ma trận Pauli khác nhau có thểviết gộp lại như sau

Coi các ma trận si, i = 1, 2, 3 là các yếu tố và giao hoán tử[s i ,s j]là tích của hai yếu tố si

và sj, ta thiết lập được một đại số Lie của nhóm SU(2) Ta thấy đó cũng chính là đại số Lie của nhóm SO(3) đã thành lập ở trên.

Sau khi đã thu được biểu thức của các biến đổi U( δα i) rất gần yếu tố đơn vị, với cáctham số vô cùng béδα i, bây giờ các hãy mở rộng các lập luận ở trên để thiết laapjbieeru

thức của phép biến đổi bất kỳ U(αi ) của nhóm SU(2) phụ thuộc vào các tham số thựcαi

, có các giá trị hữu hạn Ta cũng sẽ thấy rằng có ba tham số độc lập Trước hết ta chú ý

rằng mọi ma trận unita U(αi) đều có thể viết dưới dạng

U(α i ) = e −iX (αi),

Trong đó X(αi) là ma trận tự liên hợp

[X(α i)]+

= X(α i)

Làm một phép biến đổi thích hợp của hệ tọa độ để đưa ma trận tự liên hợp X(αi) về dạng

chéo, ta có thể chứng minh rằng định thức của ma trận U(αi) biểu diễn qua vết của matrậnX(α i)như sau

det[U(α i)]= e− 1Tr[X(αi) ]

Từ điều kiện định thức của U( αi) phải bằng 1 suy ra rằng vết của ma trận X( αi) phảibằng không

[X(α i)]= 0

Vì rằng có ba ma trận 2 x 2 độc lập tuyến tính, tự liên hợp và có vết bằng không, cho

nên ma trận 2 x 2 tự liên hợp có vết bằng không X(αi) phụ thuộc vào ba tham số thựcαi , i = 1, 2, 3 và có thể viết như sau

Mỗi loạt các phép biến đổi U(k)(φ) với k cố định tạo thành một nhóm con một tham số

của nhóm SU(2) Các ma trận U(k)( φ) là các hàm khả vi củaφ cho nên nhóm SU(2) là

U(αi) = cos α2 -i σαα sin α2

Các ma trận thuộc nhóm SU(2) có định thức bằng 1 Nếu ta không đòi hỏi định thức của

ma trận 2 x 2 của phép biến đổi unita phải bằng 1 thì ta có nhóm U(2) Bây giờ ma trận X(αi) không nhất thiết phải có vết bằng không và do đó phụ thuộc bốn tham số, ba tham

số là thành phần của vectơ ba chiềuαđã xét ở trên và một tham số mớiα0 Ma trận 2 x 2

tự liên hợp (αi) phụ thuộc bốn tham số được biểu diễn qua bốn ma trận 2 x 2 tự liên hợpđộc lập tuyến tính là ba ma trận Pauliσi, i = 1, 2, 3 và ma trận đơn vị I ký hiệu làσ0,

X(αi) = 12α0σ0+ 12ασ

Ngoài ba nhóm con một tham số gồm các biến đổi U(k)( φ) đã xét ở trên bây giờ ta có

thêm một nhóm con một tham số nữa là nhóm U(1) với các phép biến đổi

Bây giờ ta dẫn ra ở đây một số công thức đối với các ma trận Pauli mà ta thường dùngkhi nghiên cứu các vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực của vật lý lượng tử Trước hết ta chú ýrằng vết của các ma trận Pauli bằng không

Tr (σi) =(σi)αα= 0

còn tích của hai ma trận Pauli có vết bằng

Tr (σiσj) = (σi)αβ(σi)βα= 2δij

Ba ma trận Pauliσi và ma trận đơn vị I tạo thành bốn ma trận n x n độc lập tuyến tính.

Mọi ma trận 2 x 2 đều có thể triển khai theo bốn ma trận này như sau

(σ2σi)T= (σ2σi), (σiσ2)T= (σiσ2),

nghĩa là

(σ2σi)αβ=(σ2σi)βα,(σiσ2)αβ=(σiσ2)βα,

So sánh các kết quả vừa thu được đối với nhóm SU(2) và các kết quả trình bày ở trên

về nhóm quay SO(3), ta thấy có một sự tương tự: cả hai nhóm đều là các nhóm Lie bat

ham số, các vi tử của chúng thỏa mãn những hệ thức giao hoán giống hệt nhau Ta hãy

chứng minh rằng nhóm SO(3) đồng cấu với nhóm SU(2).

Xét một vectơ r trong không gian ba chiều Từ ba thành phần r 1 = x, r 2 = y, r 3 = z của

vectơ này ta hãy lập ra ma trận R sau đây

Dùng các tính chất của các ma trận Pauliσi mà ta đã trình bày ở trên, dễ thấy rằng các

thành phần của vectơ r được biểu diễn ngược lại qua ma trận R như sau

r i= 12Tr(Rσ i)

hay là

r = 12Tr(Rσ) Tính định thức của ma trận R, ta thu được det R = - r 2.

Cho U là một yếu tố của nhóm SU(2) và xét phép biến đổi tuyến tính sau đây của ma trận R

R→R ’ = U RU+.

Ký hiệu vectơ trong không gian ba chiều tương ứng với ma trận R’ là r’:

R ’ = r’σ.Trong phép biến đổi R thành R’, vectơ r chuyển thành r’

Trước hết, ta hãy chứng minh rằng phép biến đổi O bảo toàn chiều dài của các vectơ

trong không gian ba chiều Thực vậy, ta có

r’2 = - det R ’ = - det(U RU+) = - (detU) (det R) (det U+) = - det R = r2Vậy O là phép quay hoặc là tổ hợp của phép quay và phép nghịch đảo hoặc / và phép phản xạ gương Dùng các biểu thức đã cho ở trên của các yếu tố U (k) ( φ ), k = 1, 2, 3, của các nhóm con một tham số trong nhóm SU(2) rồi thực hiện phép nhân ma trận để tìm

các ma trận

U (k) ( φ ) RU (k) ( φ )+

ta thu được ngay ma trận của các phép biến đổi biến đổi O tương ứng của không gian ba chiều Kết quả là ta có sự tương ứng sau đây giữa các yếu tố U (k)( φ), k = 1, 2, 3 và các phép quay C x(φ), C y(φ), C z(φ),:

U(1)(φ) →Cx (φ),

U(2)(φ) →Cy (φ),

U(3)(φ) → Cz(φ)

Dễ thử lại rằng sự tương ứng nói trên giữa các yếu tố của hai nhóm bảo toàn phép nhân

nhóm Vậy ta đã thiết lập được sự đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) Chú ý rằng nếu tat hay U bằng –U thì ta vẫn được cùng một phép quay O Vậy trong phép đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) hai yếu tố trái dấu nhau của nhóm SU(2) tương ứng với cùng một yếu tố của nhóm SO(3) Nhóm SO(3) đồng cấu nhưng không đẳng cấu với nhóm SU(2).

Nhóm Lie và đại số Lie

Khi nghiên cứu về các nhóm SO(3) và SU(2) chúng ta đã thiết lập các hệ thức giao hoán

giữa các vi tử của mỗi nhóm này và thấy rằng các vi tử đó tạo thành đại số Lie Bây giờ

chúng ta mở rộng các lý luận đã trình bày khi nghiên cứu về các nhóm SO(3) và SU(2)

ra cho trường hợp một nhóm Lie G gồm các phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn nhữngđiều kiện nhấy định của một không gian vectơ nào đó và chứng minh rằng các vị tử củanhóm này tạo thành một đại số Lie Trước hết ta hãy giới thiệu những khái niệm cơ bản

về đại số Lie

Đại số Lie

Cho một không gian vectơ V trên đường R các số thức hoặc trường C các số phức Ký hiệu các yếu tố của V là X, Y, Z… các yếu tố của trường R hoặc C làα,β,γ… Giả sử rằng

trên tập hợp V có một quy tắc gọi là phép nhân cho phép ta từ hai yếu tố X, Y bất kỳ của

V xác định được một và chỉ một yếu tố thứ ba của V ký hiệu là X ∙ Y và gọi là tích của X

thì đại số A được gọi là đại số kết hợp

Một đại số A với phép nhân hai yếu tố

được gọi là một đại số Lie Cho một đại số kết hợp A với tích của hai yếu tố X và Y được

ký hiệu là X ∙ Y Trên tập hợp A ta hãy đưa ra một định nghĩa khác của phép nhân hai

yếu tố

{X,Y}→(X ∧ Y)≡[X,Y]= X ⋅ Y − Y ⋅ X(41)

Với định nghĩa mới này của tích hai yếu tố đại số A trở thành một đại số Lie L Thực

vậy, dễ dàng thử lại rằng định nghĩa (41) của tích hai yếu tố thỏa mãn các điều kiện (39)

và (40)

Xem như một không gian vectơ mỗi đại số Lie có một hệ các vectơ cơ sở Xi, i = 1, 2,…,

s, mà mọi yếu tố X của L đều có thể viết một cách đơn giá dưới dạng

X =∑i = 1 s αi X i(42)

với các hệ sốαi trong trường số đã cho Xét hai yếu tố Xi và Xjtùy ý của hệ cơ sở của một đại số Lie L và tích(X i ∧ X j)của chúng Vì(X i ∧ X j)cũng là một yếu tố của đại số Lcho nên nó cũng lại phải là một tổ hợp tuyến tính của các yếu tố của hệ cơ sơ, nghĩa làphải có dạng

(X i X j)=∑i = 1 s γijk X k (43)

Các hệ sốγijk được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie L Từ các điều kiện (39) và

(40) suy ra rằng các hằng số cấu trúcγijkthỏa mãn các hệ thức sau đây:

γjik= − γijk(44)

γilmγikl+γjlmγkil+γklmγijl= 0 (45)

Cho hai đại số Lie L và L’ với các yếu tố ký hiệu là X, Y, Z v.v và X’, Y’, Z’ v.v Ta nói rằng đại số Lie L đồng cấu với đại số Lie L’ nếu có phép ánh xạ tuyến tính không gian vectơ L lên không gian vectơ L’,

Nếu phép ánh xạ tuyến tính của đại số Lie L lên đại số Lie L’ là đơn giá theo cả haichiều

L↔L’

và bảo toàn phép nhân của đại số Lie, thì ta nói rằng hai đại số lie L và L’ đẳng cấp với

nhau Sau này chúng ta sẽ không phân biệt các đại số Lie đẳng cấu

Liên hệ giữa nhóm Lie các phép biến đổi và đại số Lie

Sau khi đã biết một số khái niệm cơ bản về đại số Lie bây giờ chúng ta thiết lập mối liên

hệ giữa mỗi nhóm Lie các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ và đại sốLie tương ứng Trong không gian vectơ đó ta hãy chọn một hệ cơ sở và biểu diễn mỗi

phép biến đổi T bằng một ma trận cũng ký hiệu là T và đặt

T = e - iX (46)

Từ định nghĩa nhóm G suy ra những điều kiện mà ma trận T phải thỏa mãn, rồi từ những điều kiện này suy ra những điều kiện mà ma trận X phải thỏa mãn Thí dụ như nếu G

là nhóm các biến đổi trực giao trong không gian Euclide thì các yếu tố của nó phải là

những ma trận trực giao O thỏa mãn điều kiện

cho nên Xi, i = 1, 2, …, s, là các vi tử của nhóm biến đổi G đang xét Với những giá trị

vô cùng bé của các tham sốα1, α2,…, αs ma trận T (α1,α2,…,αs) rất gần ma trận đơn vị

cũng là một yếu tố trong nhóm G Bằng cách tính trực tiếp có thể thử lại rằng với nhữngtham số α1, ,αs và β 1 , ,β stất cả đều là vô cùng bé ta có biểu thức gần đúng

Công thức này chứng tỏ rằng các vi tử Xi, i = 1, 2 , …, s, của nhóm biến đổi G tạo thành

một đại số Lie với định nghĩa tích của hai yếu tố của đại số là giao hoán tử của hai matrận tương ứng

Mỗi nhóm chỉ cố một yếu tố đơn vị.

Chứng minh Giả sử trong nhóm G có hai yếu tố đơn vị là e1và e2 Theo định nghĩa yếu

tố đơn vị thì với mọi yếu tố aG ta luôn có