X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd
Mỗi nhóm điểm Dn gồm các phép quay của nhóm con Cn, n phép quay góc πquanh n trục C2 trực giao với trục quay Cn và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểmDnh gồm các phép quay của nhóm con Dn, phép
phản xạ gương qua một mặt phẳng gương chứa các trục quayC2 của nhóm con này và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n cũng có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểm Dnd gồm các phép quay của nhóm điểm Dn, các phép phản xạ gương qua nmặt phẳng gương (chứa trục quayCn) là cac mặt phẳng phân giác của các góc giữa hai trục
quayC2, và các tổ hợp của chúng. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nhóm điểmDndchỉ có thể là một nhóm điểm tinh thể học nếu n có hai giá trị 2 và 3. Như vậy trong họ đang xét ta có 10 nhóm điểm tinh thể học sau đây.
1) NhómD2có ba yếu tố đối xứng là các trục quayC2vng góc với nhau từng đơi một (xem hình 3.9). Trong một phép quayC2quanh một trục nào đó mỗi trục khác chuyển thành chính nó nhưng đổi chiều ngược lại.
2) Nhóm D3 có bốn yếu tố đối xứng là một trục quay C3 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.10 ta kẻ cả ba trục quayC2đó, chọn một trục quay trùng bởi trục tọa độOx. Trục quay C3 trực giao với mặt phẳng hình vẽ đi qua giao điểm O của ba trục quayC2.
3) NhómD4có 5 yếu tố đố xứng là một trục quayC4và bốn trục quayC2trực giao với trục quayC4và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.11 ta kẻ cả bốn trục quay
C2đó, chọn hai trục quay trùng với hai trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó hai trục quay C2
khác là các đường phân giác của hai góc vng tạo bởi các trụcOxvàOy. Trục quayC4
4) Nhóm D6 có bảy yếu tố đối xứng là một trục quay C6 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.12 ta kẻ sáu trục quayC2đó, chọn hai trục trùng với các trục tọa độ
Oxvà Oy. Góc giữa hai trục quay C2 là một bội số của π6. Trục quayC6 trực giao với mặt phẳng hình vẽ và đi qua giao điểmOcủa các trục quayC2.
5) Nhóm D2h gồm các yếu tố của nhóm con D2, phép phản xạ gương qua mặt phẳng
gươngσhchứa hai trục quayC2và các tổ hợp của chúng. Ngoài các yếu tố đối xứng của nhóm D2là ba trục quay C cịn có thêm hai yếu tố đối xứng là mặt phẳng gươngσhvà tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của ba trục quay.
6) Nhóm D3h gồm các yếu tố của nhóm con D3, phép phản xạ gương qua mặt phẳng
gương σh chứa ba trục quayC2 và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quayC3, ba trục quayC2trực giao với trục quayC3và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gươngσhchứa ba trục quayC2.
7) Nhóm D4h gồm các yếu tố của nhóm con D4, phép phản xạ gương qua mặt phẳng
gươngσhchứa bốn trục quay C2và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quayC4, bốn trục quayC2trực giao với trục quayC4và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gươngσhchứa bốn trục quayC2và tâm nghịch đảoitrùng với giao điểm của các trục quay.
8) Nhóm D6h gồm các yếu tố con của nhóm D6, phép phản xạ gương qua mặt phẳng
gươngσh chứa sáu trục quayC2và các tổ hợp của chúng. Ngồi các yếu tố đối xứng đã biết của nhóm D6 cịn có hai yêu tố đối xứng nữa là mặt phẳng gươngσh và tâm ngịch đảoitrùng với giao điểm của các trục quay.
9) Nhóm D2dgồm các yếu tố của nhóm con D2, hai phép phản xạ gương σd,σ'dqua hai
mặt phẳng gương chứa một trục quay C2 và là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vng tạo bởi hai trục quayC2kia, và các tổ hợp của chúng. Ta cũng gọi hai mặt phẳng gương làσdvàσ'd. Ta chọn giao tuyến của hai mặt phẳng gương này (một trục quayC2)
làm trục Oz, chọn hai trục quay C2 trực giao vớiOz làm hai trục Ox và Oy. Trên hình
3.13 ta vẽ hai giao tuyến của hai mặt phẳng gươngσv,σ'vvới mặt phẳng tọa độ xOy. Ba
trục quayC2và hai mặt phẳng gươngσv,σ'vlà các yếu tố đối xứng.
10) Nhóm D3d gồm các yếu tố của nhóm con D3, ba phép phản xạ gương qua ba mặt
phẳng gươngσd, σ'd, σ''d chứa trục quay C3. Trên hình 3.14 ta vẽ ba giao tuyến của ba mặt phẳng gươngσd,σ'd,σ''dvới mặt phẳng tọa độxOychứa ba trục quayC2. Trục quay C2và ba mặt phẳng gươngσd,σ'd,σ''dlà các yếu tố đối xứng.
Cuối cùng ta hãy thử lại rằng khơng thể có nhóm điểm tinh thể học loạiDndvớinlà một trong hai số nguyên 4 hoặc 6. Ta hãy xét kỹ nhómD4d. Với nhómD6dcó thể lặp lại các
NhómD4d chứa các yếu tố của nhóm conD4đã biết ở trên. Ta chọn trục quay C4làm trục tọa độOz, chọn mặt phẳng chứa các trục quay C2làm mặt phẳng tọa độxOy, chọn
hai trục quay C2 trực giao với nhau làm hai trục tọa độ Ox và Oy. Hai trục quay C2
kia hướng theo hai đường phân giác của hai góc vng tạo bởi hai trụcOxvà Oy. Hình
vng tâmOtrên mặt phẳngxOy với hai cạnh song song với hai trục tọa độ (hình 3.15) có tính chất đối xứng (bất biến) đối với tất cả các phép biến đỏi của nhóm conD4.
Ngồi các yếu tố đối xứng của nhóm D4 là trục quay C4 và bốn trục quay C2 ta hãy thử đưa thêm các yếu tố đối xứng mới là bốn mặt phẳng phân giác của các góc π4tạo bởi các trục quayC2 từng đơi một, và xét các phép phản xạ gương σd, σ'd,σ''d,σ'''d qua bốn mặt phẳng gương này (hình 3.16). Rõ ràng rằng hình vng đối xứng (bất biến) đối với nhóm conD4khơng thể đối xứng (bất biến) đối với các phép phản xạ gương σd,σ'd ,σ''d,σ'''d. Trái lại, trong các phép phản xạ gương này hình vng đã cho chuyển thành một hình vng đồng tâm khác đã quay đi một góc π8so với hình vng ban đầu (hình 3.17). Phối hợp cả hai hình vng ta được một hình sao tám cạnh đối xứng với nhómC8 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
mà trục quay là trụcOz. Vậy nhóm D4dphải chứa nhóm con C8. Nhưng ta lại biết rằng
khơng có nhóm điểm tinh thể học nào chứa nhóm conC8. VậyD4dkhơng thể là nhóm điểm tinh thể học. NhómD6dcũng khơng thể là nhóm điểm tinh thể học.
Tóm lại, trong các nhóm Dn,Dnhvà Dndcó 10 nhóm điểm tinh thể học đã trình bày ở trên. Trong số các mặt phẳng tạo bởi các trục quay giao nhau là các yếu tố đối xứng của các nhóm điểm đang xét ln ln có các cặp mặt phẳng trực giao với nhau từng đơi một. Do đó các nhóm điểm này tạo thành một họ gọi làhọ nhị diện (dihedral).