X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Họ các điểm Cn, Cnh, Cnv, C
Trong họ này có 15 nhóm điểm tinh thể học sau đây,
1) NhómC1 chỉ gồm có một yếu tố đơn vị E. Khơng có yếu tố đối xứng nào, Phàn tử
hoặc ô cơ sở của tinh thể là bất đối xứng.
2) NhómCi là nhóm giao hốn gồm hai yếu tố: đơn vịE và phép nghịch đảo i. Chỉ có
một yếu tố đối xứng là tâm nghịch đảoi.
3) NhómC1h=C1vlà nhóm giao hốn gồm hai yếu tố: đơn vịEvà phép phản xạ gương σ. Chỉ có một yếu tố đối xứng là mặt phẳng gương σ. Vì khơng có trục quay nên ta khơng phân biệt được mặt phẳng gương là thẳng đứng hay nằm ngang.
4) NhómC2 là nhóm giao hốn gồm hai yếu tố: đơn vị Evà phép quay C2góc πquanh một trục nào đó,C2− 1=C2,C22=E. Có một yếu tố đối xứng là trục quayC2.
5) NhómC2hgồm hai yếu tốE,C2của nhóm quayC2, phép phản xạ gươngσhqua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của chúng. Tổ hợp của phép quayC2quanh trụcOz.
với phép phản xạ gươngσhqua mặt phẳng gươngxOy
chính là phép nghịch đảoi
khơng phụ thuộc vào thứ tự của chúng,
Vậy nhómC2hlà nhóm giao hốn gồm bốn yếu tốE,C2,σh,ivới bảng nhân nhóm sau đây
Các yếu tố đối xứng của nhómC2hlà: trục quayC2, mặt phẳng gươngσhvà tâm nghịch đảoilà giao điểm của chúng. NhómC2là nhóm con của nhómC2h.
6) NhómC2vgồm các yếu tốE,C2của nhóm quayC2, phép phản xạ gươngσvqua một mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv và các tổ hợp của chúng. Ký hiệu mặt phẳng gương chứa trục quay và trục giao với mặt phẳngσv và σ'v. Nếu trục quay là Oz
C2: (x,y,z) → (-x, -y, -z).
mặt phẳng gươngσvlà mặt phẳngxOz
Thì mặt phẳng gươngσ'vlà mặt phẳngyOz
Dễ thử lại rằng
Vậy nhóm C2vlà nhóm giao hốn gồm bốn yếu tố E,C2, σv vàσ'v với bằng nhân nhóm sau đây
Bảng nhân nhóm Cv2
Có ba yếu tố đối xứng: trục quayC2và hai mặt phẳng gương chứa trục quay σv,σ'vtrực
giao với nhau. NhómC2là nhóm con của nhómC2v.
7) Nhóm giao hốn C3 là nhóm vịng sinh ra bởi phép quay C3 một góc 2π3quanh một trục nào đó. Yếu tốC32là phép quay góc 4π3quanh trục này, nó trùng với phép quayC3− 1
góc − 2π3quanh trục đã cho. Ta có
C32=C3− 1,C33=E
Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quayC3.
8) NhómC3hlà nhóm giao hốn gồm ba yếu tốE,C3,C32=C3− 1của nhóm conC3, phép
phản xạ gương σhqua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của
chúng. Có hai yếu tố đối xứng là trục quay C3 và mặt phẳng gương σh trực giao với nhau.
9) NhómC3vgồm ba yếu tốE,C3,C3− 1của nhóm conC3và ba phép phản xạ gươngσv ,σv', σv''qua ba mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv,σv', σv'', mặt phẳng σv' thu được từ mặt phẳngσvsau khi thực hiện phép quay C32=C3− 1, tức là thu được từ mặt phẳngσv' sau khi thực hiện phép quayC3. Chú ý tằng vì các phép quay của mặt phẳng
σv,σv', σv'' thì phải có nốt hai mặt phẳng kia. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C3và ba mặt phẳng gương chứa trục quayσv,σv',σv''chuyển chỗ cho nhau trong các phép quay của nhóm conC3. Chọn trục quayC3làm trụcOzvà mặt phẳng gươngσvlàm mặt phẳng tọa độxOz. Trên hình 3.3 ta vẽ ba giao tuyến Ox, Ox’,Ox’’ của mặt phẳng tọa độxOy với ba mặt phẳng gươngσv,σ',σ'' . Các trụcOx’ vàOx’’ tạo với trụcOxcác góc bằng 2π và
4π
3. Xét một điểm trên mặt phẳng xOy mà bán kính vectơR của nó tạo với trục Oxmột gócϕ(giá trị đại số tính theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ). Trong phép
phản xạ gương qua mặtσv bán kính vectơRchuyển thành bán kính vectơ Rσtạo với trục
Oxgóc -φ(xem hình 3.4)
Ta viết
Xét phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σv'. Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’
gócφ − 2π3. Trong phép phản xạ gươngσv' nó chuyển thành bán kính vectơRσ'tạo với trục
Ox’ góc(-(φ − 2π3 )(xem hình 3.5). Do đó ta có σv' : ϕ− 2π3 →-(ϕ− 2π3 ) = −ϕ+ 2π3
nghĩa là
Chú ý rằng ta có thể thêm vào gócφhoặc bớt đi từ góc này một đại lượng là bội số của 2π, do đó -φ+ 4π3 và - ϕ− 2π3 là cùng một góc. Với phép phản xạ gương qua mặt phẳng gươngσv''(xem hình 3.6) ta có kết quả sau đây: Bán kính vectơRtạo với trụcOx’’ gócφ - 4π3 tức làφ +2π3 . Phép phản xạ gươngσv''chuyển nó thành bán kính vectơRσ''tạo với góc
Ox’’ góc -(φ +2π3) . Ta có
σv'' : φ +2π3 → -(φ + 2π3) = -φ − 2π3 nghĩa là
Chú ý rằng các phép phản xạ gương và phép quayC3có tính chất σv2=σ'v2=σ''v2=C33=E
Dùng tính chất này và các cơng thức (22a), (22b), (22c), (23a), (23b), ta suy ra các hệ thức sau đây:
Do đó ta có ngay
Từ các hệ thức này ta lại thu được các hệ thức mới
Vậy với nhómC3vta có bảng nhân nhóm sau đây
Cuối cùng ta xét từng yếu tố và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố đã cho. Ta nhắc lại rằng nếualà một yếu tố nào đó của một nhóm Gthì tất cả các yếu tốgag-1với mọi yếu tốgcủaGtạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tốa. Nếu a là yếu tố đơn vị Ethì tất cả các yếu tốgag-1đều trùng với E. Vậy chính yếu tố đơn vịE là một lớp. Ta hãy lấyalàC3. Các yếu tố liên hợp với nó là
C3C3C3− 1=C3,C3− 1C3( C3− 1) -1C3,
σv C3σv =σ'v σv =C3− 1,
σ'vC3σ'v=σv''σ'v=C3− 1,
σv'' C3σv'' =σvσv''=C3− 1
Vậy hai yếu tốC3vàC3− 1tạo thành một lớp yếu tố liên hợp. Cịn nếu ta lấyalàσvthì các yếu tố liên hợp với nó là
C3σv C3− 1=σv''C3− 1=σ'v
C3− 1σv( C3− 1) -1 =σ'vC 3 =σv'' σv σvσv=σv,
σ'vσv σ'v= C3− 1σ'v=σv'' σ'' σvσ''C3σ''=σ'v
Vậy ba phép phản xa gương σv,σ'v, σv'' tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Tóm lại, nhómC3vchia thành ba lớp các yếu tố liên hợp sau đây
C1={E},C2={C3,C3− 1},C3={σv,σ'v,σ''v}.
10) Nhóm giao hốnC4là nhóm vịng sinh bởi phép quayC4một góc bằng π2 quanh một trục nào đó. Nhóm này gồm bố yếu tố khác nhau làC4,C42=C2,C43=C4− 1vàC44=E. Chỉ có mọt yếu tố đối xứng là trục quayC4.
11) NhómC4hlà nhóm giao hốn gồm bốn yếu tốE,C4,C2,C4− 1của nhóm conC4, phép
phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay cũng gọi là mặt phẳng gươngσhvà các tổ hợp của chúng. Trong các tổ hợp này có tíchσhC2=C2σh. Theo cơng thức (19) đó là phép nghịch đảoiđối với giao điểm của trục quayC4và mặt phẳng gươngσh. Vậy ngoài trục quayC4và mặt phẳng gươngσhlà hai yếu tố đối xứng cho từ trước lại cịn có một yếu tố đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảoi.
12) Nhóm C4v gồm các yếu tố E, C4, C2, C4− 1 của nhóm con C4 và các phép phản xạ gươngσv,σ'v,σv'',σv'''qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu làσv, σ'v,σv'',σv'''trong đóσ'vtrực giao vớiσvvà thu được từσ'vsau khi thực hiện phép quay C4,σv'' vàσv'''là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vng giữa các mặt phẳng σv và σ'v. Nhóm
C4vlà một nhóm các phép đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy vng. Trên hình 3.7 ta vẽ mặt đáy của hình trục đó và các giao tuyến của cac mặt phẳng gươngσv,σ'v,σv'' ,σv''' với mặt phẳng đáy. Ta chọn trụcOz trùng với trục quay C4, mặt phẳng tọa độxOy
là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọnσvđi qua trụcOxvà σ'vđi qua trụcOy. Với những lý
luận giống như khi nghiên cứu về nhóm C3vta có thể thiết lập được bảng nhân nhóm sau đây.
Các yếu tố đối xứng là: trục quayC4và bốn mặt phẳng gương chứa trục quayσv,σ'v,σv'', σv''' nói ở trên. Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta có thể nghiệm lại rằng nhómC4vchia thành năm lớp các yếu tố liên hợp
C1={E},C2={C4,C4− 1},C3={C2},
C4={σv,σV' },C5={σv'',σV'''}.
13) Nhóm giao hốnC6là nhóm vịng sinh bởi phép quayC6một góc bằng π3 quanh một trục nào đó và gồm sáu yếu tố sau đây:E, C6,C62=C3 ,C63=C2 ,C64=C3− 1, C65=C6− 1. Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quayC6.
14) NhómC6hlà nhóm giao hốn gồm sáu yếu tốE,C6,C3,C2,C3− 1,C6− 1của nhóm con
C6, phép phản xạ gươngσhqua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay cũng gọi là mặt phẳng gươngσh, và các tổ hợp của chúng. Vì trong số các yếu tố C6hcó cả phép quayC2lẫn phép phản xạ gươngσhqua một mặt phẳng trực giao với trục quayC2, cho nên theo công thức (19) nhómC6hcịn chứa phép nghịch đảoiđối với tâm nghịch đảo là giao điểm của trụcC6và mặt phẳng gươngσh. Vậy ngoài hai yếu tố đối xứng đã cho từ trước là trục quayC6 và mặt phẳng gương σhtrực giao với nhau cịn có một yếu tố đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảoitrùng với giao điểm của chúng.
15) NhómC6v là một nhóm đối xứng của hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình lục giác đều, gồm sáu yếu tố của nhóm con C6 và sáu phép phản xạ gương qua sáu mặt phẳng gương chứa trục quay. Trên hình 3.8 ta vẽ hình lục giác đều là đáy của hình trụ và các giao tuyến của các mặt phẳng gương nói trên với mặt phẳng đáy.