X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Họ các nhóm điểm Sn
Ta định nghĩa phép quay – phản xạ gươngSnlà tổ hợp của phép quayCnquanh một trục nào đó và phép phản xạ gươngσh qua một mặt phẳng gươngσhtrục giao với trục quay. Bây giờ trục quay này được gọi là trục quay – phản xạ gươngSn. VìCnvà σhgiao hốn với nhau nên thứ tự của chúng trong định nghĩa củaSnkhơng quan trọng.
Vì rằng σh2=E
cho nên
Nhóm vịng sinh ra bởi các phép quay – phản xạ gươngSn gọi là nhóm Sn . Theo cơng thức (26) nhóm giao hốnSn chứa tất cả các phép quay – phản xạ gương lẫn các phép quay nếun> 2. Trong trường hợp đặc biệtn= 2 ta có
Sn2=Cn2=E
cho nên nhóm vịng S2 chỉ có hai yếu tố là E và S2. Theo cơng thức σhC2= C2σh=i ta lại cóS2 = i. Vậy nhóm S2 trùng với nhómCi đã trình bày ở trên. Xét trường hợp n = 3. Nhóm giao hốnS3 có sáu yếu tố khác nhau sau đây: E, S3 = σhC3, S32=C32, S32=C32,
S33= σh,S34=C34,S35= σhC32. Đó chính là sáu yếu tố của nhómC3hđã trình bày ở trên. Vậy chỉ có hai nhómSnvớin= 4 vàn= 6 là hai nhóm mới.
1) NhómS4 là nhóm giao hốn gồm bốn yếu tố E,S4 =σhC4, S42=C2,S43=S4− 1, vì rằng
S44=E. Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay – phản xạ gươngS4.
2) Nhóm S6 là nhóm giao hốn gồm sáu yếu tố E, S6 = σhC6, S26=C3, S63= σhC2=i, S64=C3− 1, S65= σhC6− 1. Ngoài trục quay – phản xạ gươngS6 cịn có một yếu tố đối xứng nữa là tâm nghịch đảo i nằm trên trục quayS6.