X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Hàm trên nhóm sinh ra bởi biểu diễn
Trong không gianL thực hiện biểu diễn Tta hãy chọn một hệ vectơ cơ sở nào đó. Khi đó mỗi phép biến đổi T(a) được diễn tả bởi một ma trận với các yếu tố ma trậnTij (a) là các hàm trên nhóm G, gọi các hàm trên nhóm được sinh ra bởi biểu diễn T. Ta xét
trường hợp tích phân bất biến của mọi hàm giới nội trên nhóm đều tồn tại, và có định nghĩa sau đây
Định nghĩa tích vơ hướng của hai hàm trên nhóm
Các hàm trên nhóm có thể được coi là các vectơ trong một không gian tuyến tính và ta định nghĩa tích vơ hướng của hai hàm trên nhómϕ và ψ, tức là của hai vectơ trong khơng gian các hàm trên nhóm, như sau
Áp dụng định nghĩa này cho các hàm trên nhóm được sinh ra bởi một biểu diễn tối giản, ta có định lý sau đây.
Định lý 6
Một biểu diễn T unita tối giản thứ nguyên d của nhóm G sinh ra d 2 hàm trên nhóm Tij (a), a G, thỏa mãn hệ thức
Chứng minh.Hãy lấy một tốn tử tuyến tính B bất kỳ trong khơng gianLthực hiện biểu diễn tối giảnTrồi thiết lập các toán tử
T(a)BT(a-1), aG,
với các yếu tố ma trận là các hàm trên nhóm, và lấy tích phân (bất biến) tốn tử này theo
atrên nhómG. Ta thu được tốn tử sau đây
Ta hãy chứng minh rằng toán tửAgiao hoán với mọi phép biến đổiT(a). Thực vậy, với
mọi yếu tố a của nhómGta có
T(a)AT(a)-1=T(a)AT(a-1) = ∫
G(T(a)T(b)BT(b− 1)T(a− 1)dμ(b) = ∫ G(T(ab)BT(b− 1a− 1)dμ(b)= ∫ G(T(ab)BT((ab)− 1)dμ(b) Vì rằng độ đodμ(b)là bất biến, dμ(b)=dμ(ab),
cho nên ta có thể thay nó bằngdμ(ab)rồi đổi biến số tích phân, đặt ab=c, và có T(a)AT(a)-1= ∫
G(T(c)BT(c− 1)dμ(c) nghĩa là
T(a)AT(a)-1=A, a G
Nhân cả hai vế của hệ thức này vớiT(a) từ bên phải, ta thu được T(a)A=AT(a), a G
Vậy sự giao hoán củaA với mọi toán tửT(a) đã được chứng minh. Bây giờ ta áp dụng
Bổ để Shur 1. Theo giả thiếtTlà một biểu diễn tối giản. Toán tử Agiao hoán với tất cả các toán tửT(a) của biểu diễn này phải là bội của toán tử đơn vị
A=αI
hay là dưới dạng tường minh các yếu tố ma trận
Biểu diễnTcó thứ nguyên bằngdcho nên các chỉ số i,j,k, ltrong công thức (62) chạy theo các số nguyên dương từ 1 đếnd. Lấy vết của cả hai vế công thức (61), nghĩa là đặt i=ltrong cả hai vế của công thức (62) rồi cộng theoi từ 1 đếndta có
Bjk∫ G(Tki(b− 1)Tij(b− 1b)dμ(b)=αd Chú ý rằng Tki(b -1 )Tij(b) = T kj(b -1 b)=Tkj(e) =δkj và ∫ Gdμ(b)= 1 ta thu được α= 1dBii= 1d Tr B
Vậy cơng thức (62) có thể viết lại như sau
Theo giả thiếtTlà một biểu diễn unita, do đó
T(b-1) =T(b)-1=T(b)+
nghĩa là
Tkl(b-1) =Tlk(b)*
Cơng thức này đúng đối với mọi ma trận B. Ta hãy chọn Blà một ma trận đặc biệt có yếu tố ma trậnBijbằng 1 khii =pvà j= qvới hai số nguyên dươngpvà 1 nào đó nhờ hơn hoặc bằngd, còn tất cả các yếu tố ma trận khác bằng khơng,
Ta có TrB=δpq
Khi đó cơng thức (64) trở thành ∫
GTlq(b)∗Tip(b)dμ(b)= 1dδilδpq
Đó là cơng thức (59). Vậy định lý đã được chứng minh.
Định lý 6 có thể được chứng minh một cách tương tự đối với các nhóm hữu hạn. Trong trường hợp này tích phân bất biến của hàm trên nhóm được thay bằng một đại lượng tương tự là giá trị trung bình của hàm trên nhóm
∫
GTij(a)*Kkl(a)dμ(a) → N1 ∑aTij(a)*Tkl(a) ,
trong đóNlà số yếu tố của nhóm hữu hạn. Theo định lý 6 ta có d2hàm trên nhómTij(a) trực giao với nhau và do đó độc lập tuyến tính với nhau. Vì số hàm độc lập tuyến tính trên nhóm hữu hạn cấpNnhiều nhất cũng chỉ bằngN, cho nênd2N. Vậy dịnh lý 6 đối
với nhóm hữu hạn có hệ quả sau đây.
Hệ quả
Thứ nguyên d của mọi biểu diễn tối giản của một nhóm hữu hạn cấp N bao giờ cũng thoả mãn hệ thức
d2N.
Bây giờ ta hãy mở rộng Định lý 6 ra cho trường hợp các hàm trên nhóm được sinh ra bởi hai biểu diễn tối giản không tương đương. Giống như khi chứng minh Định lý 6, ta cần bổ đề sau đây.
Định lý 7 (Bổ đề Shur 2)
Cho T(1) và T(2) là hai biểu diễn tối giản không tương đương của nhóm G trong các khơng gian vectơ L1 và L2, T(1)(a) và T(2)(a) là các phép biến đổi trong L1 và L2, tương ứng với yếu tốa G, A là một tốn tử tuyến tính chuyển các vectơ trongL2thành các vectơ trong L1. Nếu với mọi yếu tố a của nhóm G tốn tử A thoả mãn hệ thức:
thì A phải bằng không.
Chứng minh.Gọi thứ nguyên của không gianL1làd1, thứ nguyên của khơng gianL2là
d2. Có thể xảy ra ba trường hợp.
1) d1 > d2. Gọi M là miền giá trị của toán tử A, nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ r1
in: 2 args.L1có dạng
trong đór2là một vectơ bất kỳ củaL2. Ta viết
Thứ nguyên củaMphải bé hơn hoặc bằng thứ nguyên của khơng gianL2và do đó phải bé hơn thứ ngund1của khơng gianL1. Ta hãy chứng minh rằngMlà một không gian con bất biến đối với tất cả các toán tửT(1)(a),∀A∈G. Thực vậy, mọi vectơr1∈Mđều
có dạng xác định bởi cơng thức (66) và do đó theo hệ thức (65) ta có:
T(1)(a)r1=T(1)(a) Ar2=AT(2)(a)r2.
NhưngT(2)(a) r2cũng là một vectơ trongL2cho nên theo định nghĩa (67) ta có
AT(2)(a) r2in: 2 args.M
Vậy với mọi vectơr1in: 2 args.M vectơ T(1)(a) r1 cũng là một vectơ thuộc không gian conM,
T(1)(a)r1MM,
M là một không gian con bất biến đối với tất cả các phép biến đổi T(1)(a). Ta lại biết rằng thứ nguyên củaMnhỏ hơn thứ ngund1của khơng gianL1. Nhưng theo giả thiết
thì biểu diễnT(1)là một biểu diễn tối giản, không gianL1không thể có khơng gian con bất biến nào khác khơng mà có thứ ngun nhỏ hơnd1. Vậy ta phải có M= 0, nghĩa là
A= 0.
2) d1 < d2. Vì tốn tử tuyến tính A chuyển các vectơ trong khơng gian d2 chiều thành các vectơ trong một khơng gian có số chiềud1nhỏ hơn, cho nên trongL2phải có ít nhất một vectơr2nào đó mà
GọiNlà tập hợp tất cả các vectơ trong không gian L2thoả mãn điều kiện (68). Vì có ít nhất một vectơ thoả mãn điều kiện này nênNneq: 2 args.0. Ta hãy chứng minh rằng N
là không gian con bất biến đối với biểu diễnT(2). Thực vậy, chor2là vectơ bất kỳ trong
N. Theo giả thiết (65) và định nghĩa (68) ta có AT(2)(a) r2=T(1)(a) A r2= 0
với mọi yếu tốacủa nhómG, tức là tất cả các vectơT(2)(a) r2cũng thuộc vàoN. Vậy T(2)(a)NN,∀a∈G,
Nlà không gian con bất biến khác không củaL2. Nhưng theo giả thiết biểu diễn T(2) là biểu diễn tối giản. VậyNphải trùng vớiL2, nghĩa là mọi vectơr2của L2 đều thỏa mãn điều kiện (68). Ta suy ra rằngA=0.
3)d1=d2. Đầu tiên ta chú ý rằngAkhơng thể có nghịch đảo, vì nếuA-1tồn tại thì hệ thức (65) cho ta ngay
T(2)(a) =A− 1T(1)(a)A,∀a∈G,
nghĩa là hai biểu diễn T(1) và T(2) tương đương với nhau, trái với giả thiết. Vì rằng A
khơng có nghịch đảo cho nên miền giá trị M của A phải có thứ nguyên nhỏ hơn d2 =
d1. Lý luận giống như trong trường hợp 1), ta thấy rằng Mphải là một không gian con bất biến khác vớiL1. Vì biểu diễn T(1) là tối giản, theo giả thiết, cho nên M phải bằng không,M= 0. VậyA= 0.
Định lý 8
Hai biểu diễn unita tối giản không tương đương nhau T (α ) và T ( β ) sinh ra hai hệ hàm trên nhómTijα(a)vàTklβ(a)trực giao với nhau, nghĩa là thoả mãn hệ thức
Chứng minh. Gọi Lα và Lβlà hai không gian vectơ thực hiện các biểu diễn tối giản T(α)
vàT(β),Blà một tốn tử tuyến tính nào đó chuyển các vectơ củaLβthành các vectơ của
Lα. Đặt
A= ∫
GT(α)BT(β)(b− 1)dμ(b),
và xét các tíchT(α)(a)A, với mọi yếu tốacủa nhómG. Ta có T(α)(a)A= ∫
GT(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b− 1)dμ(b) = ∫
GT(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b− 1)T(β)(a− 1)dμ(b)T(β)(a) = ∫
GT(α)(ab)BT(β)((ab)− 1)dμ(b)T(β)(a) = ∫
GT(α)(ab)BT(β)((ab)− 1)dμ(ab)T(β)(a) = ∫
GT(α)(c)BT(β)(c− 1)dμ(c)T(β)(a) Vậy
T(α)(a)A=AT(β)(a),∀a∈G
Theo Bổ đề Shur 2 tốn tửAphải bằng khơng. Ta thu được cơng thức
Nếu chọnBlà ma trận chỉ có một yếu tố ma trậnBpqkhác khơng, cịn tất cả các yếu tố ma trận khác bằng khơng, thì cơng thức (71) cho ta
∫
GTip(α)(b)Tgl(β)(b− 1)dμ(b)= ∫