X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Biểu diễn unita
Các biểu diễn unita có các tính chất đặc biệt sau đây.
Định lý 1
Trong không gian L thực hiện biểu diễn unita T của nhóm G phần phụ trực giao L2 của mọi không gian con bất biến L1
T(a)L1L1,∀a∈G
L=L1⊕L2
cũng là một khơng gian con bất biến,
T(a)L2L2,∀a∈G
Chứng minh. Ta sử dụng tính chất unita của các toán tửT(a) với mọi yếu tố A∈G. Ký
Giả sửL1là một không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử T(a): T(a)L1L1,∀A∈G
và ký hiệuL2là phần phụ trực giao của L1trongL: L=L1⊕L2
(x1, x2) = 0,∀x1∈L1,∀x2∈L2
Ta hãy chọn
x=T(a)-1x1,y=x2
vớix1, x2 là hai vectơ bất kỳ trong các không gian conL1và L2. Đẳng thức (45) viết ở
trên trở thành
VìL1là khơng gian con bất biến cho nênT(a)-1x1cũng thuộc vàoL1và do đó trực giao với vectơx2bất kỳ củaL2,
(T(a)-1x1,x2) = 0
Dùng hệ thức (46) ta suy ra rằng
(x1,T(a)x2) = 0,∀x1∈L1,∀x2∈L2,∀A∈G.
Vậy tất cả các vectơT(a)x2với mọi yếu tốacủaGvà mọi vectơx2củaL2đều trực giao với tất cả các vectơx1củaL1, nghĩa là đều thuộc vào L2,
T(a)L2L2,
L2cũng là không gian con bất biến của biểu diễnT.
Ta hãy dùng Định lý 1 như một bổ đề để chứng minh định lý về tính chất hồn tồn khả quy của mọi biểu diễn unita khả quy.
Định lý 2
Chứng minh. Cho biểu diễn unita khả quy T trong không gian L và giả sử L1 là một khơng gian con bất biến. Khi đó phần phụ trực giaoL2củaL1trongLcũng là một không gian con bất biến,Llà tổng trực giao của hai không gian con bất biếnL1vàL2. Trên hai
không gian con này biểu diễnTquy về hai biểu diễnT(1)và T(2)hoàn toàn độc lập với nhau. Nếu một trong hai biểu diễn này hoặc cả hai biểu diễn đó cịn khả quy thì khơng gian con tương ứng lại chứa khơng gian con bất biến nhỏ hơn và do đó lại là tổng trực giao của hai không gian con bất biến nhỏ hơn. Cứ tiếp tục thực hiện việc tách một không gian thành tổng trực giao của hai không gian con bất biến như vậy cho đến khi khơng cịn có thể tách được nữa, cuối cùng ta đi đến việc tách không gian L thành tổng trực giao của các không gian con bất biếnL1,~ L2, …,~ Lfthực hiện các biểu diễn tối giản~
~T(1), T(1), ~ T(2), …, ~ T(f).
Ta cịn nói rằng biểu diễn khả quyTlà tổng trực giao của các biểu diễn tối gian
~T(1), T(1), ~ T(2) , …, ~ T(f)và viết T= ~ T(1)⊕ ~ T(2)⊕ …⊕ ~ T(f).
Vì các biểu diễn unita có tính chất diễn tả bởi Định lý 2 cho nên khi nghiên cứu các biểu diễn unita ta chỉ cần xét các biểu diễn tối giản.
Ở đầu chương này ta đã định nghĩa các biểu diễn tương đương và coi các biểu diễn tương đương với nhau chỉ là một biểu diễn. Do các tính chất đặc biệt của các biểu diễn unita, khi có một biểu diễn nào đó của một nhóm thì ta hãy tìm xem nó có tương đương với một biểu diễn unita nào hay không. Đầu tiên ta hãy xét trường hợpG là một nhóm hữu hạn và chứng minh định lý sau đây.
Định lý 3
Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita.
Chứng minh.Giả sử có một nhóm hữu hạnGnào đó cấpNvà một biểu diễnTcủa nhóm này trong một khơng gian Euclide phứcLvới một tích vơ hướng có dạng cho trước (x,
y). Đầu tiên ta hãy chứng minh rằng có thể tìm được một định nghĩa mới của tích vơ
hướng, ký hiệu là{x,y}, mà đối với tích vơ hướng này thì tất cả các tốn tửT(a) với mọi aGđều là các toán tử unita:
{T(a)x,T(a)y} = {x,y},∀A∈G,∀x∈L,∀y∈L
với tổng ở trong vế phải là tổng theo tất cả các yếu tố b của nhóm G. Thay thế x và y
bằngT(a)xvà T(a)y, ta có
{T(a)x,T(a)y} = N1∑bT(b)T(a)x,T(b)T(a)y= N1∑bT(ba)x,T(ba)y
Ta đã dùng định nghĩa của biểu diễn
T(b)T(a) =T(ba)
Chú ý rằng khi b chạy một vịng theo tất cả các yếu tố của nhóm G thì với mọi yếu tố a cố định tích b a cũng chạy một vòng theo tất cả các yếu tố của nhóm này, chỉ có điều là theo thứ tự khác mà thơi. Do đó
∑bT(ba)x,T(ba)y=∑baT(ba)x,T(ba)y=∑cT(c)x,T(c)y
Vậy ta có
T(ba)x,T(ba)y= N1∑cT(c)x,T(c)y={x,y},
nghĩa là đối với tích vơ hướng mới thì tất cả các tốn tửT(a) đều là hốn tử unita.
Trong khơng gian L ta hãy chọn hai hệ vectơ đơn vị cơ sở: hệ các vectơ đơn vị cơ sởe1,
…,entrực giao chuẩn hóa đối với tích vơ hướng cho từ trước (x,y), cụ thể là
và hệ các vectơ đơn vị cơ sởf1, …,fntrực giao chuẩn hóa đối với tích, vơ hướng mới, nghĩa là
Ký hiệu phép biến đổi tuyến tính chuyển các vectơe1,e2, …,enthànhf1,f2, …,fnlàX:
Với hai vectơ bất kỳ
ta có
X x = xifi ,X y = yi fi
Do đó
Với mọi yếu tốacủa nhómGta đặt
Ta biết rằngT(a) là các hốn tử unita đối với tích vơ hướng mới. Bây giờ ta chứng minh
rằng tất cả các toán tửT(a)~ đều là các tốn tử unita đối với tích vơ hướng{x,y} đã cho từ trước. Thực vậy, áp dụng đẳng thức (51) vừa thu được ở trên giữa các tích vơ hướng (x,
y) và{Xx,Xy}, dùng công thức
XT(a)~ =T(a) X
suy ra từ định nghĩa (52) và tính chất unita của các tốn tửT(a) đối với tích vơ hướng
mới, ta có (T(a)~ x,T(a)~ y) ={X ~ T(a)x,X ~ T(a)y}={~ T(a)Xx, ~ T(a)Xy} ={Xx,Xy} = (x, y)
Vậy các toán tử T(a)~ là các tốn tử unita đối với tích vơ hướng đã cho từ trước và tạo thành một biểu diễn unitaT; biểu diễn đã cho~ Ttương đương với biểu diễn unita này. Khi chứng minh Định lý 3 ta đã sử dụng một đại lượng là tích vơ hướng mới mà đối với tích vơ hướng này thì biểu diễn đã cho T là biểu diễn unita. Rất dễ tìm được tích vơ hướng mới này trong trường hợp nhóm G là nhóm hữu hạn cấp N. Đó là giá trị trung bình
1
N ∑afx,y(a)
nghĩa là của một hàm mà biến số là yếu tố a chạy trên tất cả nhómG. Ta chú ý rằng đối
với nhóm hữu hạn ta có cơng thức sau đây đối với mọi hàm trên nhómf(a):
với mọi yếu tốbcố định của nhómG
Muốn chứng minh định lý tương tự như Định lý 3 đối với các nhóm vơ hạn, kể cả các nhóm liên tục, ta phải mởi rộng khái niệm giá trị trung bình của hàm trên nhóm ra cho trường hợp này và sử dụng một đại lượng gọi là phiếm hàm trung bình.
Định nghĩa phiếm hàm trung bình trên nhóm
Cho khơng gian vectơ các hàmf(a) trên nhómG vơ hạn (có thể là nhóm liên tục). Một phiếm hàm tuyến tínhF(f) trên khơng gian vectơ này được gọi là phiếm hàm trung bình
nếu nó tồn tại đối với mọi hàm giới nội trên nhóm và thỏa mãn các điều kiện sau đây. 1) nếuf(a)> 0,∀a∈G, thìF(f)> 0.
2) nếuf(a)= 1,∀a∈G, thìF(f)= 1.
3) nếufb(a) =f(ba), và~fb(a)=f(ba), thìF(fb) =F(~fb)=f(b).
Điều kiện 3) có nghĩa là khi ta xê dịch đổi số a của hàm trên nhómf(a) như sau
a→abvàa→ba,
trong đóblà yếu tố tùy ý của G, thì giá trịF(f) của phiếm hàm khơng thay đổi. Do đó ta cịn gọi phiếm hàm này là tích phần bất biến và dùng ký hiệu tích phân
với một đọ đodμ(a)nào đó. Tính chất bất biến của phiếm hàm được thể hiện ở tính chất bất biến của độ đo:
Dùng tích phân bất biến của hàm trên nhómfx,y(a), tức là phiếm hàm trung bìnhF(fx,y),
làm giá trị trung bình, bây giờ ta có thể định nghĩa tích vơ hướng mới như sau trong trường hợp nhómGlà nhóm vơ hạn
Vì độ đodμ(a) là bất biến cho nên đối với tích vơ hướng mới nà tất cả các tốn tử T(b) đều là toán tử unita:
{(T(b)x,T(b)y} = ∫ G(T(a)T(b)x,(T(a)T(b)ydμ(a) = ∫ G(T(ab)x,(T(ab)ydμ(a)= ∫ G(T(ab)x,(T(ab)ydμ(ab) = ∫ G(T(c)x,(T(c)ydμ(c)={x,y} Vậy ta có định lý sau đây.
Định lý 4
Cho một nhóm vơ hạn G (có thể là nhóm liên tục). Nếu với mọi hàm giới nội f(a) trên nhóm G tồn tại phiếm hàm trung bình F(f), tức là tồn tại tích phân bất biến
∫
G(f(a)dμ(a),
thì mọi biểu diễn của nhóm G đều tương đương với một biểu diễn unita.
Chứng minh.Ta dùng phiếm hàm trung bìnhF(fx,y)làm tích vơ hướng mới{x,y} rồi lặp lại tất cả các lập luận giống như khi chứng minh Định lý 3.
Trước khi kết thúc đoạn này ta hãy dẫn ra đây một vài thí dụ về phiếm hàm trung bình.
Glà nhóm hữu hạn cấpN. Ta định nghĩa F(f)= N1∑af(a)
Rõ ràng làF(f)thỏa mãn các điều kiện 1) và 2). Để thử lại điều kiện 3) ta chỉ cần dùng định nghĩa củafb,~fbvà hệ thức (54)
Glà nhóm các phép quay khơng gian ba chiều quanh một trục nào đó. Mỗi phép quay được đặc trưng bởi góc quayϕ, hàm trên nhóm là hàm tuần hoàn củaϕvới chu kỳ2π
f(φ)=f(φ + 2π). Ta định nghĩa
F(f)= 2π1∫02πf(φ)dφ
Rõ ràng là F(f) thỏa mãn hai điều kiện 1) và 2). Chú ý rằng G là nhóm giao hốn cho nên
fφ(φ)b=~fφ(φ)= f(φ + φ)
Từ tính chất tuần hồn của hàmfsuy ra rằngF(f)thỏa mãn điều kiện 3):
F( fφ) = 2π1∫02πf(φ + ψ)dφ= 2π1∫02πf(φ)dφ= F(f)
G là nhóm quay trong khơng gian Euclide thực ba chiều. Mỗi phép quay được đặc trưng bởi ba góc Eulerψ,θ,ϕvới ψvà φ thay đổi từ 0 đến 2π, còn θthay đổi từ 0 đếnπ. Hàm trên nhóm là hàmf(ψ,θ,φ) của ba góc Euler. Phiếm hàm trung bình có dạng
F(f)= 1
8π2∫f(ψ,θ,φ)sinθdθdψdφ
Có thể chứng minh rằng đó là một tích phân bất biến trên nhóm quay.