X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Sự đối xứng của các tinh thể
Trong tinh thể có sự xếp đặt tuần hồn của các ngun tử cùng một loại. Do đó vị trí của một tinh thể (vô hạn) không thay đổi nếu ta thực hiện các phép tịnh tiến tinh thể những đoạnRcó dạng
trong đó a, b, c là ba vectơ khơng nằm trong cùng một mặt phẳng, còn l, m, n là ba số nguyên. Ta quy ước chọn các vectơ a, b, c trong công thức (34) thế nào để cho dọc theo hướng của mỗi vectơ trong số ba vectơ này thì đó là vectơ có chiều dài ngắn nhất (xem hình 3.28), và gọi là các vectơ tịnh tiến cơ sở
Hình hộp mà ba cạnh là ba vectơ tịnh tiến cơ sở được gọi là ô cơ sở. Với ba vectơ tịnh tiến cơ sởa,b,cđã cho điểm cuối của các vectơRxác định bởi công thức (34) với ba số nguyên tùy ý l, m,n tạo thành một mạng trong không gian gọi là mạng Bravais. Mạng Bravais chia không gian thành các ô cơ sở giống hệt nhau và xếp đặt liên tiếp nhau để lấp kín tồn bộ không gian. Tất cả các nút của mạng Bravais đều nằm ở các đỉnh của các cơ sở và do đó trung bình mỗi ơ cơ sở chứa một nút. Với cùng mọt mạng Bravais đã cho ta có thể chọn các ô cơ sở bằng nhiều cách khác nhau. Trên hình 3.29 ta trình bày vài cách lựa chọn ơ cơ sở trên cùng một mạng Bravais hai chiều.
Có những mạng Bravais đối xứng với một nhóm điểm nào đó, song các ơ cơ sở của nó thì dù cho có chọn bằng cách nào đi nữa vẫn khơng thể đối xứng với nhóm điểm này. Thí dụ như mạng Bravais hai chiều trên hình 3.30 đối xứng đối với nhóm quayC6quanh các trục đi qua các nút bất kỳ của mạng và trực giao với mặt phẳng hình vẽ, song ơ cơ sở lại là hình bình hành và khơng đối xứng đối với nhóm này. Khi mà ơ cơ sở khơng có các tính chất đối xứng của mạng Bravais, nghĩa là khơng đối xứng đối với tất cả các phép biến đổi điểm là các phép đối xứng của mạng Bravais, thì thay cho ơ cơ sở ta dùng ô cơ sở đối xứng được định nghĩa như sau. Một hình đa diện với các đỉnh là các nút của một mạng Bravais được gọi là một ơ đối xứng nếu nó có tất cả các tính chất đối xứng của mạng này, nghĩa là nếu nó đối xứng (bất biến) đối với tất cả các phép biến đổi của một nhóm điểm là nhóm đối xứng của mạng Bravais đã cho. Ơ đối xứng có thể tích nhỏ nhất gọi là ơ cơ sở đối xứng. Nếu ơ cơ sở có tất cả các tính chất đối xứng của mạng Bravais thì chính nó là ơ cơ sở đối xứng. Nếu khơng phải là như vậy thì ngồi các nút của mạng Bravais là các đỉnh của một ô cơ sở đối xứng ơ này cịn chứa thêm các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó hoặc tại tâm điểm các mặt ngồi của nó.
Thí dụ như trong mạng Bravais hai chiều vẽ trên hình 3.30 ơ cơ sở đối xứng là hình lục giác đều vẽ bằng đường chấm chấm và tâm của hình lục giác này cũng là một nút của mạng Bravais, cịn ơ cơ sở là các hình bình hành vẽ bằng đường liền nét. Để đặc trưng các ô cơ sở đối xứng một cách định lượng ta sử dụng các đại lượng hình học sau đây. Từ một đỉnh của ô cơ sở đối xứng ta vẽ ba vectơa,b,ckhông nằm trong cùng một mặt phẳng nối liền đỉnh này với ba đỉnh gần nhất của ơ đó. Ba gócα,β,γ giữa các vectơ a, b, ctừng đơi một và hai tỷ số giữa các chiều dài a, b, c của ba vectơ này hồn tồn xác định các tính chất đối xứng của ơ đang xét.
Vì một ơ cơ sở đối xứng nào đó có thể chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó hoặc tại tâm điểm các mặt ngồi của nó, mà lại cũng có thể khơng chứa nút nào ngồi các đỉnh của nó, cho nên có nhiều mạng Bravais khác nhau với cùng một ơ cơ sở đối xứng. Tất cả các mạng Bravais có chung nhau một ô cơ sở đối xứng tạo thành một hệ. Các mạng Bravais trong cùng một hệ có các tính chất đối xứng giống nhau; đó là các tính chất đối xứng của ô cơ sở đối xứng của các mạng trong hệ này. Sự phân loại các mạng Bravais thành các hệ chính là sự phân loại căn cứ vào các tính chất đối xứng của chúng. Có tất cả 14 mạng Bravais, chia thành bảy hệ như sau.
1. Hệ lập phương (cubic) α = β = γ = 900,a=b=c
Ô cơ sở đối xứng là hình lập phương. Các mạng của hệ này gọi là các mạng lập phương. Có ba trường hợp tương ứng với ba mạng lập phương khác nhau.
a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ơ cơ sở đối xứng (hình 3.31a), khơng có nút nào ở trong thể tích hoặc tại những điểm khơng phải là đỉnh trên mặt ngồi; ơ cơ sở đối xứng chính là ơ cơ sở. Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương đơn (simple).
b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa thêm một nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó (hình 3.31b). Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương tâm thể (body - centered).
c) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ơ này cịn chứa thêm các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của tất cả các hình vng là các mặt ngồi của hình lập phương (hình 3.31c). Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương tâm diện (face - centered).
2. Hệ tứ giác (tetragonal) α = β = γ = 900,a=b≠c
Ơ cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vng mà chiều cao của hình trục có giá trị khác chiều dài của cạnh hình vng (tứ giác đều) là đáy hình trụ. Các mạng của hệ này gọi là các mạng tứ giác. Ta hãy chứng minh rằng vì chiều cao c có thể có giá trị khác với chiều dài a của cạnh đáy cho nên mỗi mạng tâm diện đồng thời cũng là mạng tâm thể. Thực vậy, xét một ô cơ sở đối xứng của mạng tâm diện (hình 3.32a) với mặt đáy trên là hình vng có bốn đỉnhA1,A2,A3,A4và tâm điểm O, bốn mặt xung quanh là bốn hình chữ nhật có các tâm điểmC1, C2,C3,C4, Hình chiếu các điểm C1,C2,C3,C4 trên mặt phẳng đáy là hình vngC’1,C’2,C’3,C’4.
Vẽ hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình vngC1C2C3C4và chiều cao bằng chiều cao c của ô cơ sở đối xứng đang xét của mạng tâm diện. Các giao tuyến của mặt phẳng hình vngA1A2A3A4 với bốn mặt xung quanh của hình trụ đáy C1C2C3C4 là các cạnh của hình vngC’1C’2C’3C’4trên hình 3.32b. Xét thêm bốn hình trụ thẳng đứng có chung bốm mặt bên với hình trụ đáy là hình vng C1C2C3C4 . Bốn hình trụ này cắt mặt phẳng hình vngA1A2A3A4 theo bốn hình vng mà mỗi hình có chung một cạnh với hình vngC’1C’2C’3C’4(xem hình 3.32b).
Các hình vng đó chứa bốn nút A1, A2, A3, A4 tại các tâm điểm của chúng, còn tâm điểmOcủa hình vngA1A2A3A4thì trùng với tâm điểm của hình vngC’1C’2C’3C’4. NútOvà các nútA1,A2,A3,A4của mạng tâm diện đang xét lại cũng chính là tâm điểm của hình trụ thẳng đứng đáy là hình vngC1C2C3C4và bốn hình trụ thẳng đứng khác mà mỗi hình có chung một mặt bên với hình trụ đáy vngC1C2C3C4– các ô cơ sở đối xứng của mạng tâm thể. Vậy mạng tứ giác tâm diện với ơ cơ sởdđói xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vngA1A2A3A4đồng thời là mạng tứ giác tâm thể với ơ cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vng C1C2C3C4có cùng chiều cao. Vậy chỉ có hai trường hợp khác nhau:
a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ơ cơ sở đối xứng (hình 3.32c). Ta có mạng tứ giác đơn.
b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ơ này cịn chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của chúng (hình 3.32d). Ta có mạng tứ giá tâm thể
3. Hệ trực giao (orthorombic)
Ơ cơ sở đối xứng là hình hộp chữ nhật mà cả ba cạnh đều khác nhau. Tất cả các cạnh đó trực giao với nhau từng đơi một. Do đó các mạng thuộc hệ này gọi là các mạng trực giao. Có bốn trường hợp khác nhau.
a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các nút của các ơ cơ sở đối xứng (hình 3.33a). Mạng Bravais là mạng trực giao đơn.
b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ơ này cịn chứa các nút của mạng Bravais tại các tâm điểm của chúng (hình 3.33b). Trong trường hợp này ta có mạng trực giao tâm thể.
c) Ngồi các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ơ này cịn chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm tất cả các hình chữ nhật là các mặt ngồi của chúng (hình 3.33c). Mạng Bravais được gọi là mạng trực giao tâm diện.
d) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ơ này cịn chứa thêm hai nút của mạng Bravais tại tâm điểm của hai hình chữ nhật là hai mặt ngồi song song của nó (hình 3.33d). Ta gọi hai hình chữ nhật có chứa thêm nút tại tâm điểm là hai mặt đáy. Trong trường hợp này mạng Bravais được gọi là mạng trực giao tâm đáy (base - centered).
4. Hệ đơn tà (monoclinic) α = β = 900,γ ≠ 900,a≠b≠c
Ơ cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình bình hành; cả ba cạnh có chiều dài khác nhau. Ta có thể thu được ơ cở sở đối xứng này bằng cách lấy một hình hộp chữ nhật ba cạnh có chiều dài khác nhau, giữ nguyên hướng của các mặt đáy và một cặp mặt bên nhưng làm cho hướng của cặp mặt bên thứ hai bị xiên đi ( γ từ 900 trở nên khác 900). Vì thế các mạng thuộc hệ này gọi là các mạng đơn tà. Có hai trường hợp:
a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ơ cơ sở đối xứng (hình 3.34a), mạng Bravais là mạng đơn tà đơn.
b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ơ này cịn chứa hai nút tại tâm điểm của hai mặt đáy hình bình hành (hình 3.34b), mạng Bravais là mạng đơn tà tâm đáy.
5. Hệ tam tà (triclinic) α ≠ β ≠ γ ≠ 900,a≠b≠c
Ơ cơ sở đối xứng là hình hộp bình hành xiên ba cạnh khác nhau, cả ba góc giữa các cạnh đều khơng phải là góc vng và là các góc nhọn hoặc góc tù tùy ý. Ơ cơ sở đối xứng này có thể thu được từ hình hộp chữ nhật bằng cách làm xiên đi theo cả ba hướng. Do đó có tên gọi là hệ tam tà. Phép nghịch đảo là phép đối xứng duy nhất của mạng Bravais tam tà. Vì ơ cơ sở đối xứng cũng khơng đối xứng nên hệ chỉ có một loại mạng là mạng tam tà đơn (hình 3.35).
6. Hệ lục giác (hexagonal) α = β = 900,γ = 1200,a=b≠c
Ơ cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng mà đáy là hình lục giác đều. Ngồi sáu đỉnh là sáu nút của mạng Bravais mỗi mặt đáy cịn chứa một nút tại tâm điểm của nó (hình 3.36). Vậy hệ này chỉ có một mạng là mạng lục giác tâm đáy.
7. Hệ tam giác (trigonal) α = β = γ ≠ 900,a=b=c
Ô cơ sở đối xứng của mạng này là một hình có tám đỉnh và 12 mặt xung quanh là 12 tam giác cân, thu được bằng cách làm biến dạng hình lập phương như sau.
Lấy một hình lập phương mà các cạnh là những đoạn thẳng cứng không thể bị uốn cong, khơng co dãn được, song các góc giữa các cạnh thì có thể thay đổi khi hình lập phương bị làm biến dạng. Chọn hai đỉnhAvà Dxuyên tâm đối và lấy đường chéoAD làm một trục cố định (hình 3.37a).
Kéo hai đỉnhAvàDcủa hình lập phương dọc theo trục cố định này theo hai chiều ngược nhau làm cho hình này dài ra theo hướngAD và bị làm hẹp lại theo các hướng khác, ta thu được một hình mới gọi là rhombohedron (hình 3.37b) mà các cạnh có chiều dài bằng các cạnh của hình lập phương ban đầu, các góc giữa các cạnh trở nên khác góc vng nhưng ba góc ở đỉnhAcũng như ba góc ở đỉnh D vẫn bằng nhau, cịn mỗi hình vng là mặt xung quanh của hình lập phương ban đầu thì trở thành một hình thoi bị gập lại một chút dọc theo đường chéo ngắn, nghĩa là trở thành hai tam giác cân có chung cạnh đáy và nằm trên hai mặt phẳng khác nhau.
Ba đỉnhB1,B2, B3mà mỗi đỉnh có chung một cạnh với đỉnh Atạo thành một tam giấc đều trên một mặt phẳng trực giao với trụcAD. Ba đỉnhC1,C2,C3mà mỗi đỉnh có mọt canh chung với đỉnhDcũng tạo thành một tam giác đều trên một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng tam giácB1B2B3. Ta hãy chọn mặt phẳng chứa tam giác đềuB1B2B3
làm mặt phẳng hình vẽ (hình 3.37c) và ký hiệu hình chiếu của tam giác đềuC1C2C3trên mặt phẳng này làC’1C’2C’3 , hình chiếu chung của hai đỉnhAvàD làO. Hai tam giác
Mạng Bravais đang xét có các phép đối xứng là phép đối xứng của hình tam giác đều cho nên nó được gọi là mạng tam giác. Hệ mạng này chí có một mạng đơn. Mỗi mạng trong khơng gian gồm các mạng hai chiều song song với nhau; mỗi mạng hai chiều là một mạng gồm các nút xếp đặt ở đỉnh của các tam giác đều, mà các nút trên một mặt phẳng thì nằm trên các đường thẳng trực giao với nó và đi qua tâm điểm của các tam giác đều trên mặt phẳng lân cận với nó, cứ ba mặt phẳng liên tiếp thì được một chu kỳ. Trên hình 3.37d ta trình bày hình chiếu của hai mạng phảng trên mặt phẳng của mạng hai chiều thứ ba. Vì ơ cơ sở có dạng hình rhombohedrom cho nên hệ này cịn có tên là hệ rhombohedral.
Chúng ta đã phân loại các mạng Bravais thành bảy hệ căn cứ vào nhóm tất cả phép biến đổi điểm là các phép đối xứng của mạng này, gọi tắt là nhóm đối xứng điểm của nó. Ta lại biết rằng có tất cả 32 nhóm điểm tinh thể học, nghĩa là tinh thể có thể đối xứng đối với một trong 32 nhóm điểm này. Ta hãy xét xem nếu ta biết được nhóm điểm đối xứng
điểm của tinh thể là nhóm nào thì có thể biết ngay được tinh thể thuộc hệ nào hay không. Trước hết ta chú ý rằng một yếu tố đối xứng điểm của tinh thể cũng phải là một yếu tố đối xứng của mạng Bravais, vì phép biến đổi điểm của tinh thể khơng thay đổi vịt rí của nó thì cũng khơng làm thay đổi vị trí của ơ cơ sở đối xứng (ngược lại chưa chắc chắn đã đúng, vì một ơ cơ sở đối xứng có thể chứa nhiêu nguyên tử, và một phép biến đổi không thay đổi vị trí của ơ cơ sở đối xứng vẫn có thể làm thay đổi vị trí của các ngun tử trong ơ này). Ta hxay viết ra tất cả các yếu tố đối xứng điểm của các mạng Bravais thuộc mỗi hệ trong số tất cả bảy hệ. Khi ta cho một tinh thể với một nhóm đối xứng điểm nào đó, ta xem nó có những yếu tố nào, rồi hãy tìm tất cả những hệ có các yếu tố đối xứng này, và chọn hệ có tính chất đối xứng thấp nhất trong số các hệ đó làm hệ của tinh thể đã cho. Ô cơ sở đối xứng của hệ được chọn phản ánh sát nhất các tính chất đối xứng của tinh thể đã cho. Thí dụ như nếu nhóm đối xứng điểm của một tinh thể nào đó chỉ chứa phép