X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Hàm đặc trưng của biểu diễn
Cho một biểu diễnTcủa nhómG trong khơng gian vectơLthứ ngund. Trong không
gianLhãy chọn một vectơ đơn vị cơ sởe1,e2, …,edvà ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tử tuyến tínhT(a),aG, đối với hệ đơn vị cơ sở này là Tij(a),i,j= 1, 2, …, d,
Thực hiện một phép biến đổi tuyến tínhX, ta chuyển hệ vectơ đơn vị cơ sở đã cho e1, e2, …,edthành một hệ vectơ mớie’1,e’2, …,e’d. Đối với hệ mới này các tốn tử tuyến
tínhT(a) có các yếu tố ma trậnTij'(a),
Hãy tìm mối liên hệ giữa các yếu tố ma trậnTij(a) vàTij'(a). Ký hiệu các yếu tố ma trận của toán tửXđối với hệ vectơ đơn vị cơ sởe1,e2, …,edlàXij. Ta có
Thay biểu thức (31) củaei'vào cả hai vế của hệ thức (30), ta thu được
Dùng biểu thức (29) củaT(a) ej, ta viết lại công thức (32) như sau e kTkj(a)X ji = e kTkj(a) Tji'(a).
Vậy
Nhân cả hai vế của hệ thức (33) với (X-1)lkrồi cộng theoktừ 1 đến d, ta thiết lập được
hệ thức giữaTij(a) vàTij'(a):
Vậy trong hai hệ vectơ đơn vị cơ sở liên hệ với nhau bởi hệ thức (31), tốn tửT(a) có
Từ các yếu tố ma trận khác nhauTij(a) vàTij'(a)của cùng một toán tửT(a) ta có thể thiết
lập được một đại lượng đặc trưng cho biểu diễnT mà không phụ thuộc và sự lựa chọn hệ cơ sở. Thực vậy, đặtl=i trong cả hai vế của hệ thức (34) rồi cộng theoi từ 1 đếnd,
ta có
TiI'(a)= (X-1) ikTkj(a) Xji= Tkj(a) Xji(X -1)tk= Tkj(a)δjk= Tkk(a)
Vậy vết của ma trận của phép biến đổiT(a) không phụ thuộc sự lựa chọn hệ vectơ đơn
vị cơ sở và có thể được dùng làm đại lượng đặc trưng cho biểu diễnT mà ta đang xét. Ta có định nghĩa sau đây.