X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Định nghĩa tích của hai biểu diễn
Cho hai biểu diễnT(1)và T(2)của một nhóm hữu hạnGtrong các không gian vectơ L1
vàL2 với các hệ vectơ cơ sởe1(1),e2(1), …,ed1(1), vàe1(2), e2(2), …,ed2(2), d1 và d2 là thứ nguyên củaL1vàL2. Tích của hai biểu diễnT(1)và T(2)là biểu diễn Ttrong khơng gianL1⊗L2
thứ nguyênd1d2với hệ vectơ cơ sở.
mà toán tửT( α) tương ứng với yếu tố αcủa nhómGđược xác định như sau
trong đóT(1)(a)và T(2)(a)là hai tốn tử trong hai khơng gianL1vàL2tương ứng với yếu tốacủa nhómG. Ta viết
T=T(1)⊗T(2).
Để chứng minh rằng các tốn tửT(a) tạo thành một biểu diễn của nhómG, nghĩa là thỏa
mãn điều kiện bảo tồn phép nhân nhóm
T(a)T(b) =T(ab),
ta chỉ cần dùng định nghĩa (12) và tính chất bảo tồn phép nhân nhóm của các biểu diễn
T(1)vàT(2), cụ thể là
T(α)(a)T(α)(b) =T(α)(ab),α= 1, 2
Ký hiệu các yếu tố ma trận của toán tửT(1)(a) vàT(2)(a) trong các hệ vectơ cơ sở đã cho
T(1)(a)ei(1)=ej(1)T(ji)(1)(α)
T(1)(a)ek(2)=el(2)T(lk)(2)(α) Ta có
T(a)f(ik)=T(a)(ei(1)⊗ek(2)) = (T(1)(a)ei(1)) ⊗(T(2)(a) ek(2)) = (ej(1)⊗el(2))T(ji)(1)(α)T(lk)(2)(α) =
f(jl)T(ji)(1)( α) T(lk)(2)( α)
So sánh hai biểu thức củaT(a) f(ji), ta thu được hệ thức diễn tả các yếu tố ma trận tốn
tửT(a) qua các yếu tố ma trân các nhóm tốn tửT(1)(a) vàT(2)(a)
Cho hai biểu diễn (unita) tối giảnT(α) và T(β) của một nhóm G nào đó trên các khơng gianL(α)vàL(β)với thử nhiệmd(α)và d(β). Tích
T=T(α)⊗T(β)
của hai biểu diễn này là một biểu diễn unita trên không gian
L=L(α)⊗L(β)
Nếu T không phải là tối giản thì nó hồn tồn khả quy và có thể phân tách thành tổng trực giao của các biểu diễn tối giảnT(γ)trên các không gianL(γ)thứ nguyênd(γ). Trong số các biểu diễn tối giản T này có thể có các biểu diễn tương đương với nhau. Khơng gianLthực hiện biểu diễnTlà tổng trực giao của các không gian conL(γ)thực hiện các biểu diễn tối giảnT(γ)
L= ∑γ⊕L(γ).
Thứ nguyên củaLlà
d= ∑γd(γ). Mặt khác
Vậy ta có hệ thức
Ký hiệu các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gianL(α),L(β),L(γ) , v.v… là
eiα(α),ia= 1, 2, …,d(α)
eiβ(β),ia= 1, 2, …, d(β)
eiγ(γ),ia= 1, 2, …,d(γ)
v.v… Trong khơng gianLcác vectơ có dạng
eiα(α)⊗eiβ(β)
tạo thành một vectơ cơ sở trực giao chuẩn hóa Tập hợp tất cả các vectơeiγ(γ),iy= 1, 2, …,
d(γ), với mọi chỉ số γcó mặt trong vế phải cơng thức (14) cũng là một hệ các vectơ cở sở trực giao chuẩn hóa khác trong khơng gian L. Giữa các vectơ đơn vị của hai hệ này
ta có các phép biến đổi unita sau đây
Các hệ sốCαi
αβiβ
γiγ trong các phép biến đổi (15) và (16) gọi là các hệ số Clebsh-Gordan.
Bây giờ ta đưa vào khái niệm biểu diễnT~ liên hợp với một biểu diễn T đã cho. Giả sử
T(a) là các tốn tử tuyến tính của biểu diễnTcủa nhómGtrong khơng gian vectơL. Với
mỗi yếu tố a của nhóm G ta hãy thiết lập toán tử sau đây
Ta hãy thử lại bằng sự tương ứng giữa các yếu tố a của nhóm G và các tốn tửT(a) bảo~ tồn phép nhân nhóm. Thực vậy, ta có ~ T(ab) =[T(ab)− 1)]T =[T(b− 1)T(a− 1)]T =[T(a− 1)]T [T(b− 1)]T =T(a)~ T(b).~
Vậy toán tửT(a) cũng tạo thành một biểu thức biểu diễn của nhóm~ G. Ta có định nghĩa
sau đây.