X: L1 → L2, X-1:L2→ L
G Tlq (β)(b )* Tip(α)(b)dμ(b)= β
Đó chính là cơng thức (69). Vậy định lý đã được chứng minh.
Với các nhóm hữu hạn thì thay cho tích phân bất biến ta dùng giá trị trung bình của hàm trên nhóm và cũng có định lý tương tự.
Ta đã chứng minh được rằng các hàm trên nhóm được sinh ra bởi các biểu diễn tối giản không tương đương cũng như được sinh ra bởi cùng một biểu diễn tối giản đều là các hàm trực giao với nhau. Bây giờ hãy xét tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α),α = 1, 2, …,f, của một nhóm hữu hạnG, và tập hợp tất cả các hàmTij(α)(a) được sinh ra bởi các biểu diễn này,i,j = 1, 2, …,dα,dα là thứ nguyên của biểu diễnT(
α). Mỗi hàm này có thể được xem là một vectơ trong khơng gian vectơ Ltất cả các hàm ψ(a)trên nhómG. Ta có định lý sau đây.
Định lý 9
Tập hợp tất cả các hàmTij(α)(a),α= 1, 2, …, f, i, j = 1, 2, …, dα, được sinh ra bởi tất cả các biểu diễn tối giản T (α) thứ nguyên dαkhông tương đương với nhau của một nhóm hữu hạn G tạo thành hệ đủ các vectơ cơ sở trực giao với nhau trong không gian tất cả các hàm trên nhóm G. Nói cách khác, mọi hàm trên nhóm G đều có thể khai triển được thành một tổ hợp tuyến tính của các hàm :
trong đó dấu tổng theo ký hiệu phép cộng tất cả các biểu diễn tối giản khơng tương đường với nhau của nhóm G.
Chứng minh.Trong khơng gianLtất cả các hàm trên nhómGta định nghĩa tốn tử tuyến tínhT(a) tương ứng với yếu tố a của nhómGnhư sau
T(a')T(a)ψ(b) = T(a')ψ(ba) = T(a')ψa(b) = ψa(ba')= ψ(ba'a)
= ψa'a(b) =T(a'a)ψ(b)
với mọi hàm , nghĩa là
T(a’)T(a) =T(a’ a)
Biểu diễn T này có thể được khai triển thành tổng trực giao của các biểu diễn tối giản
T(α) của nhómG mà trong khai triển đó mỗi biểu diễn có thể được lặp lại một số lần. Ký hiệu là số lần mà biểu diễn tối giảnT()được chứa trong biểu diễn T. Ta ký hiệu tổng
trực giao củanαbiểu diễn giống nhau này làTα,
và có
Khơng gian L tách ra thành tổng trực giao của các không gian con bất biến , v = 1, 2, …, , = 1, 2, …,f, trong đó khơng gian con ,v= 1, 2, …, , thực hiện cùng một biểu diễn tối giảnT(). Trong mỗi không gian con này ta hãy chọn hệ cơ sở ,i = 1, 2, …, , mỗi vectơ này là một hàm trên nhómG. Theo định nghĩa của các yếu tố ma trận ta có
T(a) = φvi(α)= T(α)(a) = φvi(α) = φvi(α)Tji(α)(a) nghĩa là
T(a) = φvi(α)(b) = φvi(α)(b)Tji(α)(a)
Mặt khác, theo định nghĩa (73) của T(a) ta lại có
T(a)φvi(α)(b) = φvi(α)(ba) Do đó
φvi(α)(ba) = φvj(α)(b)Tjiα(a)
Trong hệ thức này ta hãy lấyblà yếu tố đơn vịecủa nhómGvà thu được cơng thức sau đây
Công thức (74) chứng tỏ rằng mọi hàm (a), là các vectơ cơ sở của không gianLđều là một tổ hợp tuyến tính của các hàm . Mọi hàm trên nhóm đều có thể triển khai thành một tổ hợp tuyến tính theo các hàm (a) và do đó cũng có dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm . Vậy hệ tất cả các hàm là một hệ đủ trong khơng gianLtất cả các hàm trên nhóm. Định lý đã được chứng minh.
Biểu diễnTmà chúng ta đã sử dụng ở trên là một biểu diễn mà ta có thể thiết lập với bất kỳ một nhómGnào. Ta đặt tên cho biểu diễn đặc biệt này như sau.
Định nghĩa biểu diễn đều đặn
Biểu diễnTcủa một nhómGtrên khơng gianLcác hàm trên nhómψ(a), với các toán tử
T(a) tác dụng lên các hàm như sau T(b)ψ(a)=ψ(ab),
được gọi là biểu diễn đều đặn của nhóm này. Chú ý rằng định nghĩa này áp dụng cho các nhómGbất kỳ: hữu hạn, vơ hạn, liên tục.
Trong q trình chứng minh Định lý 9 chúng ta đã thấy rằng không gianLtách ra thành tổng trực giao của các không gian conLα,α= 1, 2, …,f, mỗi không gian conLαlại là tổng
trực giao của nαkhông gian con của Lv(α), mỗi khơng gian con Lvα có thứ nguyên dα. Vậy
thứ nguyên của không gianLα là nαdα. Mặt khác, trong khơng gian này códα2 hàmTijα(a) tạo thành một hệ đủ các vectơ cơ sở. Vậy ta phải có
nαdα=dα2
nghĩa lànα=dα. Ta đi đến định lý sau đây
Định lý 10
Biểu diễn đều đặn T của một nhóm hữu hạn G chứa biểu diễn tối giảnTαthứ nguyêndα
đúngdα lần.
Nếu nhóm hữu hạnG là nhóm cấpN, thì trong khơng gianL tất cả các hàm trên nhóm có nhiều nhất làNhàm độc lập tuyến tính. Lý luận ở trên chứng tỏ rằng thứ nguyên của không gianLlà
Vậy ta có định lý sau đây
Định lý 11
Các thứ nguyêndα của tất cả các biểu diễn tối giản khơng tương đương của một nhóm hữu hạn G cấp N phải thoả mãn hệ thức
Các định lý về các hàm đặc trưng
Bây giờ ta chứng minh một số định lý về các hàm đặc trưng.
Định lý 12
Các hàm đặc trưngχα(a)của các biểu diễn tối giản khơng tương đương với nhauT(α)của một nhóm G là các hàm trực giao chuẩn hố trên nhóm này:
Chứng minh.Ký hiệuTijα(a)vàTβkl(a)là các yếu tố ma trận của các toán tửT(α)(a)vàT(β)(a)
. Theo Định lý 6 và Định lý 8 ta có
(Tijα(a),Tklβ(a))= d1αδikδjl,
trong đódαlà thứ nguyên của biểu diễnT(α),i,j= 1, 2, …, dα, và
(Tijα(a),Tklβ(a))= 0 vớiα ≠ β
Từ định nghĩa của các hàm đặc trưng χα(a)=Tiiα(a),χβ(a)=Tkkβ(a),
ta suy ra
(χα,χα)=(Tiiα,Tkkα)= d1αδikδki= 1
(χα,χβ)=(Tiiα,Tkkα)= 0 vớiα ≠ β
Ta biết rằng ta có thể coi hàm đặc trưng của một biểu diễn là một hàmχ(Ka)trên tập hợp các lớpKacác yếu tố liên hợp. Xét hệ tất cả các hàmχ(α)(Ka)được sinh ra bởi tất cả các biểu diễn tối giản khơng tương đương với nhau của nhóm hữu hạn G và hãy tìm xem các hàm này có phải là hệ đủ trong không gian các hàmψ(Ka)trên các lớpKacác yếu tố liên hợp hay khơng. Ta có định lý sau đây.
Định lý 13
Các hàm đặc trưngχ(α)(Ka) được sinh ra bởi tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhauT(α),α= 1, 2, …, f, của một nhóm hữu hạn G tạo thành một hệ đủ trong không gian vectơ các hàmψ(Ka) trên tập hợp các lớp K a các yếu tố liên hợp. Mọi hàm
ψ(Ka)trên tập hợp các lớp K a các yếu tố liên hợp có thể được khai triển như sau
Chứng minh.Hàmψ(Ka)trên tập hợp các yếu tố liên hợp là một hàm trên nhómϕ(a)với tính chất sau đây
Áp dụng Định lý 9 (công thức (72)), ta khai triển hàm này theo hệ đủ tất cả các hàm trên nhómTijα(a),i,j = 1, 2, …,dα,α= 1, 2, …, f, được sinh ra bởi tất cả cá biểu diễn tối giản T(a) không tương đương với nhau của nhómG, và có
Thay hai biểu thức (79) và (80) củaψ(a)vàψ(bab− 1) vào phương trình (78) rồi so sánh các hệ số củaTijα(a)ta suy ra hệ thức
Ta biết rằngTkiα(b)vàTjlα(b− 1)là các yếu tố ma trận của các ma trậnTα(b)vàTα(b− 1). Coi
Cjiαlà các yếu tố ma trận của các ma trận Cαta viết lại hệ thức (81) dưới dạng một hệ thức giữa các ma trận
Ta suy ra rằng
Tα(b)Cα=CαTα(b),∀b∈G,
nghĩa là ma trậnCαgiao hoán với tất cả các toán tửTα(b),∀b∈G, của biểu diễn tối giản Tα. Theo Bổ đề Shur 1 ma trận này phải là bội của ma trận đơn vị,
Cα=Λ(α)I,
nghĩa là
Thay giá trị (82) củaCji(α)vào vế phải công thức (79), ta thu được ψ(a)=∑α = 1f Λ(α)Tii(α)(a)=∑α = 1f Λ(α)χii(α)(a)
Đó chính là hệ thức (77). Vậy định lý đã được chứng minh.
GọiNklà số lớp các yếu tố liên hợp của nhóm hữu hạnG. Có tất cảNkhàm trên tập hợp các lớpKamà là độc lập tuyến tính. Mặt khác, theo Định lý 2 thì số cực đại các hàm trên tập hợp các lớpKamà là độc lập tuyến tính bằng sốfcác biểu diễn tối giản khơng tương đương với nhau của nhómG. Vậy ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả.Số f các biểu diễn tối giản khơng tương đương với nhau của nhóm hữu hạn G bằng số N k các lớp yếu tố liên hợp của nhóm này:
F = Nk.
Khi ta cho một nhóm hữu hạnG, muốn biết nhóm này có bao nhiêu biểu diễn tối giản
khơng tương đương ta chỉ cần tìm xem nhómG có bao nhiêu lớp các yếu tố liên hợp. Cách này rất thường hay được dùng khi nghiên cứu các nhóm đối xứng của các tinh thể.