X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Định nghĩa biểu diễn liên hợp
Cho hai biểu diễnTvà T~ của cùng một nhómGtrong hai khơng gian vectơLvàL. Nếu~
trong hai khơng gianLvàL~ ta có thể chọn hai hệ vectơ cơ sở một cách thích hợp để các yếu tố ma trậnTij(a) vàTij(a) của các toán tử~ T(a) và T(a) của hai biến đổi này liên hệ~
với nhau bởi cơng thức
~
Tij(a) = Tji(a-1),
thì ta gọiTvà T~ là hai biểu diễn liên hợp với nhau.
Việc xét đồng thời hai biểu diễn liên hợp với nhauTvàT~ cho phép ta thiết lập được một đại lượng bất biến đối với phép biến đổi của nhómG. Thực vậy, trong hai khơng gianL
vàLthực hiện hai biểu diễn liên hợp với nhau~ Tvà T~ ta hãy chọn các hệ vectơ cơ sởe1, e2, …,edvàf1,f2, ….,fdđể co các yếu tố ma trận của các toán tửT(a) vàT(a) thỏa mãn~
hệ thức (18). Trong không gian vectơd2chiềuL⊗L~ ta hãy xét vectơ sau đây.
Ký hiệu tích của hai biểu diễnTvà T~ và T⊗T. Các hoán tử của biểu diễn này tác dụng~
lên các vectơ cơ sở của khơng gian tíchL⊗L~ như sau
Tác dụng của các hốn tử đó lên vectơ i xác định bởi công thức (19) và dùng hệ thức (18) giữa các yếu tố ma trận của các hốn tửT(a) vàT(a), ta có~
(T T~ ) (a) i = (T(a)e m) ( T~ (a)fm) = e k f lTkm(a)T~ lm (a) = ek flTkm(a)T
ml(a-1) = ek f lTkl(e) = ek fk= i
Vậy ta có định lý sau
Định lý.Vectơ
i= ∑md = 1em⊗fm
trong không gian L L~ thực hiện biểu diễn T T~ của nhóm G bất biến đối với mọi phép biến đổi (T T~ )(a) của biểu diễn tích T T~ . Do đó khơng gian con một chiều với vectơ đơn vị i thực hiện một biểu diễn tối gian một chiều chứa trong biểu diễn T T~ .
Hệ quả.Biểu diễn T T, là tích của một biểu diễn T và biểu diễn~ T~ liên hợp với nó, bao giờ cũng chứa biểu diễn tối giản một chiều.
Biểu diễn tối giản một chiều được thiết lập trong khi chứng minh định lý vừa trình bày ở trên thường diễn tả các đại lượng vật lý biến đổi với các phép biến đổi nhóm đối xứng. Do đó trong các bài tốn vật lý ta thường sử dụng khái niệm biểu diễn liên hợp.
Tích của hai biểu diễn của nhóm Lie. Cho hai biểu diễn T(1) và T(2) của nhóm Lie
Gtrong hai khơng gian vectơ L1 và L2,T là tích của hai biểu diễn này. Các tốn tửT(
α1,α2,...,αs) của biểu diễnTcó dạng
Ký hiệu các vi tử của các biểu diễnT(1)và T(2)là Xj1và Xj2,j = 1, 2, …, s của biểu diễn
trong đóI(1)vàI(2)là các tốn tử đơn vị trong các khơng gianL1 vàL2. Thay các biểu
thức (21) vào trong vế phải công thức (20) và chỉ giữ lại các số hạng cấp một theo các thông sốαj, ta có
T( α1,α2,...,αs) =I- i∑js= 1αj[X(1)j ⊗I(2)+I(1)⊗Xj(2)], trong đó
I=I(1)⊗I(2)
là tốn tử đơn vị trong khơng gianL= L(1)⊗L(2). So sánh với định nghĩa của các vi tử
Xj ,
ta suy ra
Để viết hệ thức này dưới dạng chứa tường minh các yếu tố ma trận trong hai không gian
L1vàL2ta hãy chọn hai hệ vectơ cơ sởem1,m= 1, 2, …,d1vàep2,p= 1, 2, …,d2, sau đó
ta lấy các vectơ sau đây e(mp) =em(1)⊗ep(2)
trong khơng gianL= L1⊗L2,m = 1, 2,…, d1, p= 1, 2, …, d2, làm hệ cơ sở của không
gian này. Ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tửXj(1),Xj(2)và Xjđối với các hệ cơ sở tương ứng nói trên vectơ là (Xj(1))mm’, (Xj(2))pp’, và (Xj)(mp)(m’p’). Công thức (23) cho
ta
Cuối cùng, ta xét hai biểu diễn liên hợp với nhau T và T~ của một nhóm Lie G và ký hiệu các tốn tử của hai biểu diễn này làT( α1,α2,...,αs) vàT(~ α1,α2,...,αs), ký hiệu các vi tử tương ứng với các tham số thực độc lậpαjlàXjvàXj. Chú ý rằng nếu~ alà một yếu tố của
Gvới các tham số vơ cùng béαjthì trong phép gần đúng cấp một yếu tố với các tham số -αj sẽ là nghịch đảoa-1 củaa. Do đó ta có các cơng thức
T(a-1)approx: 2 args.T( − α1, − α2,..., − αs)approx: 2 args.I +i∑jn= 1αjXj và do đó
Mặt khác
Theo định nghĩa các biểu diễn liên hợp với nhau ta phải có
~
T(a) =[T(a-1)]T
Thay vào đây các biểu thức (26) và (27), ta thu được hệ thức liên hệ các vi tửXj và X~j
của hai biểu diễn liên hợp với nhau:
Nếu biết các vi tử của một biểu diễnTnào đó, dùng hệ thức (28) ta thiết lập được ngay các vi tử của biểu diễnT~ liên hợp vớiT.