X: L1 → L2, X-1:L2→ L
Các mệnh đề về hàm đặc trưng
Từ định nghĩa của hàm đặc trưng của biểu diễn suy ra một số mệnh đề cơ bản.
Mệnh đề 1
Các biểu diễn tương đương có cùng một hàm đặc trưng.
Chứng minh. Giả sử có hai biểu diễn tương đương T(1) và T(2) của cùng một nhóm G
trong hai khơng gian vectơ L1 và L2. Khi đó có một tốn tử tuyến tính X chuyển các vectơ của khơng gianL1thành cac vectơ không gianL2sao cho
Ký hiệuχ(i)(a) là các hàm đặc trưng của hai biểu diễn đã cho χ(1)(a) = Tr[T(1)(a)],
χ(2)(a) = Tr[T(2)(a)].
Tính vết của các ma trận của các toán tử trong hai vế của hệ thức (36) đối với các vectơ đơn vị cơ sở bất kỳ và dùng tính chất sau đây của vết của tích hai tốn tử A và B.
Tr[AB] = Tr [BA], ta thu được
χ(2)(a) = Tr[T(2)(a)]= Tr[XT(1)(a)X− 1]= Tr[X− 1XT(1)(a)]= Tr[T(1)(a)]=χ(1)(a)
Vậy hàm đặc trưng χ(1)(a) và χ(2)(a) của hai biểu diễn tương đương T(1) và T(2) bằng nhau.
Cho một biểu diễn hồn tồn khả quyT trong khơngLthứ ngun d, là tổng trực giao
của hai biểu diễnT(1)vàT(2)trong hai không gian con bất biến L1vàL2 thứ nguyênd1
vàd2,d=d1+d2. Ký hiệu các hàm đặc trưng của các biểu diễnT,T(1)và T(2)làχ(1)(a) và χ(2)(a). Các hàm đặc trưng này không phụ thuộc sự lựa chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gian vectơL,L1và L2. Để thuận tiện khi thiết lập giữa các hàm đặc
trưng này hãy chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sởe1, e2, …, ed trong không gian L1 và f1, f2, …, fd2trong không gianL2 rồi chọn các vectơe1, e2, …, ed, f1, f2, …, fd2làm hệ đơn vị cơ sở trong không gianL. Đối với hệ này ma trận của các phép biến đổiT(a) có dạng
chéo theo ơ như sau
Từ đây suy ra rằng
χ(a) = Tr[T(a)] = Tr[T(1)(a)]+[T(2)(a)]=χ(1)(a) +χ(2)(a)
Mở rộng lập luận ở trên cho trường hợp biểu diễn T là tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản không tương đươngT(α)với α= 1, 2,…, mà biểu diễn tối giản T(α) được chứan
αlần trong biểu diễnT, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2
Nếu biểu diễn hoàn toàn khả quyT là tổng trực giao của các biểu diễn tối giản không tương đươngT(α)vớiα= 1, 2, …, mà biểu diễn tối giảnT(α)được chứanαlần trong biểu diễnT, thì hàm đặc trưngχ(α)(a) của các biểu diễnT(α) như sau:
Hàm đặc trưngχ(α)của một biểu diễnTlà một hàm trên nhóm. Xét giá trị của hàm này trên hai yếu tố liên hợp với nhauavàb a b-1, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3
Trên hai yếu tố liên hợp với nhaua và b a b-1, trong đó avà b là hai yếu tố tùy ý của nhómG, hàm đặc trưngχ(α)của một biểu diễnTcó cùng một giá trị, nghĩa là
χ(α) =χ(b a b-1),∀a∈G,∀b∈G.
Chứng minh.Theo định nghĩa của hàm đặc trưng ta có χ(α) = Tr[T(a)],
χ(b a b-1) = Tr [T(bab− 1)] = Tr [T(b)T(a)T(b− 1)] = Tr {T(b)T(a)[T(b− 1)]} = Tr
{[T(b− 1)]T(b)T(a)}= Tr[T(a)] =χ(α) Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
Theo mệnh đề này trên tất cả các yếu tố của một lớp các yếu tố liên hợp hàm đặc trưng có cùng một giá trị. Vậy hàm đặc trưng cũng có thể xem là trên tập hợp các lớp Kα các yếu tố liên hợp.
Kα={bab− 1∣b∈G} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta viết χ(α) =χ(Kα).
Có một định lý thường dùng về hàm đặc trưng của các biểu diễn tối gian khơng tương đương của nhóm hữu hạn. Giả sử có nhóm hữu hạn G và ký hiệuχ(α)(a) là các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản không tương đương T(α). Ta hãy coi N giá trịχ(α)(a) là N thành phần của một vectơ trong không gian Euclide phức N chiều và định nghĩa tích vơ hướng của hai hàm đặc trưngχ(α)và χ(β)như là tích vơ hướng của hai vectơ chia cho N