Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 117 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
117
Dung lượng
2,09 MB
Nội dung
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Vấn đề NGUYÊN HÀM Tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm gần Giả sử hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K Khẳng định Câu sau A Chỉ có số C cho hàm số y = F( x) + C nguyên hàm hàm f K B Với nguyên hàm G f K tồn số C cho G( x) = F( x) + C với x thuộc K C Chỉ có hàm số y = F( x) nguyên hàm f K D Với nguyên hàm G f K G(x) = F( x) + C với x thuộc K C Hướng dẫn giải: Chọn B ♦ Trắc nghiệm: Phương án A Sai Vì C Đáp án B theo định lý Phương án C Sai Vì y = F( x) + C nguyên hàm với C số Phương án D Sai Vì hai hàm G( x) F(x) sai khác số tức C Cho hàm số F( x) nguyên hàm hàm số f (x) K Các mệnh đề sau, Câu mệnh đề sai A ∫ f ( x)dx =F( x) + C C ( ∫ f ( x)dx )′ = f ′( x) ( ∫ f (x)dx )′ = f ( x) ′ D ( ∫ f ( x)dx ) = F ′( x) B Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có Câu ∫ f ( x)dx =F( x) + C ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) nên phương án A, B,D Các mệnh đề sau, mệnh đề sai ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx,( k ∈ R) C ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx A ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx D ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx B Hướng dẫn giải: Chọn B ♦ Trắc nghiệm: Các khẳng định A, C, D theo tính chất nguyên hàm Khơng có tính chất: Ngun hàm tích tích nguyên hàm Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng |1 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Cho hai hàm số f ( x), g( x) hàm số liên tục, có F( x), G( x) nguyên hàm Câu f ( x), g( x) Xét mệnh đề sau: (I) F( x) + G( x) nguyên hàm f ( x) + g( x) (II) k.F( x) nguyên hàm kf ( x) với k ∈ R (III) F( x).G( x) nguyên hàm f ( x).g( x) Các mệnh A (I) B (I) (II) C Cả mệnh đề D (II) Hướng dẫn giải: Chọn B ♦ Trắc nghiệm: Mệnh đề (III) sai khơng có tính chất: Nguyên hàm tích tích nguyên hàm Câu A Trong khẳng định sau, khẳng định sai ∫ ( f ( x) + g( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g( x)dx B Nếu F(x) G(x) nguyên hàm hàm số f (x) F(x) − G( x) = C số C F ( x ) = x nguyên hàm f ( x) = x D F( x) = x nguyên hàm f ( x) = x Hướng dẫn giải: Chọn C ♦ Trắc nghiệm: Khẳng định C sai vì: F(x) nguyên hàm f (x) ( F( x) )′ = f ( x) Mà : ( F( x) )′ = Câu ( x )′ = x ≠ x = f ( x) Trong khẳng định sau khẳng định 2 1 1 A ∫ x − + dx = ∫ x − + dx x x 1 1 B ∫ x − + dx = ∫ x − + dx x x 1 1 1 C ∫ x − + dx = ∫ x − + dx.∫ x − + dx x x x 1 D ∫ x − + dx = ∫ x dx + ∫ dx + ∫ dx − ∫ xdx − ∫ dx + ∫ dx x x x Hướng dẫn giải: Chọn D ♦ Trắc nghiệm: ∫ ( f ( x) ) Phương án B: Sai Vì khơng có tính chất: ∫ ( f ( x) ) Phương án A: Sai Vì khơng có tính chất Phương án C: Sai Sai lầm phương án A ( ∫ f (x)dx ) n n dx = n dx = n∫ f ( x)dx ∫ ( f ( x) ) n dx = ( ∫ f (x)dx ) n 1 Phương án D.Đúng Vì x − + = x + + − x − + sử dụng tính chất x x x 2| Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ∫ ( f ( x) + g( x) )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g( x)dx; ∫ ( f ( x) − g( x) )dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g( x)dx Cho ∫ f ( x)dx = F( x) + C Khi với a ≠ , ta có ∫ f ( ax + b)dx bằng: Câu F( ax + b) + C 2a C F( ax + b) + C a Hướng dẫn giải: Chọn C B F(ax + b) + C A ♦ Tự luận: D a.F(ax + b) + C ∫ f ( x)dx = F( x) + C nên ta có F '( x) = f ( x) ′ 1 Phương án A: sai Vì: F ( ax + b) + C = F '( ax + b) = f ( ax + b).( ax + b)' = f ( ax + b) 2a 2a 2a Phương án B: sai Vì: ( F( ax + b) + C )′ = F '( ax + b) = f ( ax + b).( ax + b)' = f ( ax + b).a 1 ′ 1 Phương án C: Vì: F ( ax + b) + C = F '( ax + b) = f ( ax + b).( ax + b)' = f ( ax + b) a a a Phương án D: sai Vì: ( aF( ax + b) + C )′ = aF '( ax + b) = af ( ax + b).( ax + b)' = a f ( ax + b) Câu Trong khẳng định sau khẳng định sai A F ( x ) = 2017 + cos x nguyên hàm hàm số f ( x) = − sin 2x B Nếu F(x) G( x) nguyên hàm hàm số f ( x) ∫ F ( x) − g( x) dx có dạng h( x) = Cx + D với C , D số, C ≠ C u '( x) ∫2 u( x) D Nếu dx = u( x) + C ∫ f (t)dt = F(t) + C ∫ f [u( x)]dx = F[u( x)] + C Hướng dẫn giải: Chọn D ♦ Trắc nghiệm: ′ Phương án A: Vì: ( F( x) )′ = 2017 + cos2 x = 2.cos x.( − sin x) = − sin x = f ( x) ( ) Phương án B: đúng.Vì: F( x), G( x) nguyên hàm hàm số f (x) F( x) − G( x) = C , ∫ Cdx = Cx + D Phương án C: Vì: Phương án D: sai Vì ( ) ′ u '( x) u( x) + C = u( x) ∫ f [u( x)]u '( x)dx = F[u( x)] + C GV: Liên Lê Câu (Đại Học Vinh lần 3) Khẳng định sau x x A ∫ tan xdx = − ln cos x + C B ∫ sin dx = cos + C 2 x x C ∫ cot xdx = − ln sin x + C D ∫ cos dx = −2sin + C 2 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng |3 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Hướng dẫn giải: Chọn A ( cos x ) ' sin x = tan x Suy khẳng định A cos x cos x Câu 10 (Chuyên Hưng Yên lần 3) Nếu ∫ f ( x )dx = + ln x + C hàm số f ( x ) x 1 A f ( x ) = x + B f ( x ) = − + 2x x x 1 C f ( x ) = + ln ( x ) D f ( x ) = − + 2x x x Hướng dẫn giải: Chọn B +/ Xét ( − ln cos x + C ) ' = − Có = ∫ f ( x )dx = x + ln x + C ⇒ Câu 11 1 1 f ( x ) = + ln x + C ' = − + Vậy đáp án B x x x Trong khẳng định sau, khẳng định sai A ∫ x e dx = x e +1 +C e +1 B ∫ cos xdx = e x +1 +C x +1 Hướng dẫn giải: Chọn C sin x + C D ∫ dx = ln x + C x C ∫ e x dx = Dễ thấy khẳng định C sai ∫ e x dx = e x + C Vậy đáp án C Câu 12 (TPHCM cụm 1)Biết nguyên hàm hàm số y = f ( x ) F ( x ) = x + x + Khi đó, giá trị hàm số y = f ( x ) x = A f ( 3) = B f ( 3) = 10 C f ( ) = 22 D f ( 3) = 30 Hướng dẫn giải: Chọn B + Ta có: y = f ( x ) = F '( x) = x + + f (3) = 2.3 + = 10 Vậy đáp án B Câu 13 (Quảng Xương- Thanh Hóa lần 1)Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ax + b ( x ≠ ) , biết F ( −1) = 1, F (1) = 4, f (1) = x2 3x + + 2x B F ( x ) = 3x − − 2x 3x2 + − 4x Hướng dẫn giải: Chọn A D F ( x ) = 3x − − 2x A F ( x ) = C F ( x ) = +/ F ( x) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ax + 4| b a b dx = x − + C 2 x x Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng a 2 + b + C = a = F ( −1) = 3x a Ta có: F (1) = ⇔ − b + C = ⇔ b = − Vậy F ( x ) = + + ⇒ Đáp án A 2x 2 f (1) = a + b = c = Câu 14 (I) Xét mệnh đề sau, với C số: ∫ tan x dx = − ln ( cos x ) + C (II) ∫ e3 cos x sin x dx = − e3 cos x + C cos x + sin x (III) ∫ dx = sin x − cos x + C sin x − cos x Số mệnh đề là: A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D +/Xét (I): Ta có ( − ln cos x + C ) ' = − ( cos x ) ' cos x = sin x = tan x Do (I) cos x +/Xét (II): − e3 cos x + C ' = − ( 3cos x ) ' e3 cos x = e3 cos x sin x Do (II) ( ) +Xét (III): Đặt sin x − cos x + C ' = ( sin x − cos x ) ' sin x − cos x = cos x + sin x sin x − cos x Do (III) Vậy đáp án D Câu 15 Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại? A f ( x ) = sin x g ( x ) = cos x C f ( x ) = e x g ( x ) = e− x cos x D f ( x ) = sin x g ( x ) = sin x B f ( x ) = tan x g ( x ) = Hướng dẫn giải: Chọn D ( Vì sin x ) / = 2sin x cos x = sin x Chọn D Câu 16 A F ( x ) = C F ( x ) = Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? ( x − 3) 5 ( x − 3) + x B F ( x ) = + 2017 D F ( x ) = 5 Hướng dẫn giải: Chọn A ( x − 3) ( x − 3) 5 − Vì F ' ( x ) = ( x − 3) + ≠ f ( x ) Chọn A Nguyên hàm hàm số thường gặp GV: Lý Duy Hiển Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng |5 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Câu 17 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = (x − 1)2 A F(x) = x + 3x + 3x + C B F(x) = x3 + x + x + C Hướng dẫn giải: Chọn B x3 − x + x + C D F(x) = x + x + x + C C F(x) = x3 − x2 + x + C Cách : Ta tính đạo hàm đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu kết đề Cách : Tìm trực tiếp: ∫ (x − 1)2 dx = ∫ (x − x + 1)dx = Bước 1: Khai triển (x − 1)2 = x − 2x + Bước 2: Lần lượt đạo hàm đáp án A, B, C, D A F’ ( x ) = 3x + 6x + ⇒ loại A B F’ ( x ) = x − 2x + ⇒ Vậy B đáp án C F’ ( x ) = x + 2x + ⇒ Loại C D F’ ( x ) = 3x + 2x + ⇒ Loại D (Ta cần kiểm tra đến phương án B biết kết nên phương án cịn lại khơng phải kiểm tra ) Cách : Sử dụng Casio Câu 18 (Sở GDĐT Hải Phịng) Tìm ngun hàm hàm số y = x ? A ∫ x dx = 2x + C ln B ∫ dx = + C x C ∫ dx = ln 2.2 + C x D ∫ x dx = x x 2x + C x +1 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1: Nhớ công thức ∫ a x dx = ax + C ⇒ Chon A ln a Cách 2: Ta tính đạo hàm đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu kết đề Câu 19 (Sở GDĐT Hải Phịng) Tìm hàm số F ( x ) , biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x F (1) = A F ( x ) = x x+ 3 + x D F ( x ) = x x − 2 B F ( x ) = C F ( x ) = x x Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1: Tìm nguyên hàm 2x 2 ∫ xdx = ∫ x dx = = x x + C 6| Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng 2 + C = ⇔ C = 1− = 3 Thay trở lại ta F (x) = x x + 3 F (1) = ⇔ + ln 2x + C hàm số f(x) là: x 1 B f ( x ) = − + x x 1 D f ( x ) = − + x 2x (Chuyên Hưng yên lần 3) Nếu ∫ f ( x ) dx = Câu 20 A f ( x ) = x + 2x + ln ( 2x ) x2 Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: F(x) = + ln 2x + C nguyên hàm f(x) nên F’(x) = f(x) x C f ( x ) = 1 + + C ⇒ chọn B x2 x Cách 2: Tìm nguyên hàm f(x) phương án A, B, C, D F '(x) = − 4m + sin x Giá trị π π π tham số để nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F(0) = F = 4 Câu 21 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Cho hàm số f (x) = 3 A m = − B m = C m = − 4 Hướng dẫn giải: Chọn C 4m 4m 4m 1 2 ∫ ( π + sin x)dx = ∫ π dx + ∫ sin xdx = π x + x − sin 2x + C F(0) = C = C = Giải hệ π π ⇔ 4m π π π π⇔ F( ) = π + − sin = m = − Câu 22 D m = (Sở Bình Thuận) Cho hàm số f ( x) = cos x Tìm nguyên hàm hàm số y = ( f ′( x ) ) x C ∫ ydx = x + sin x + C x D ∫ ydx = x − sin x + C A ∫ ydx = − sin x + C B ∫ ydx = + sin x + C Hướng dẫn giải: Chọn A f '( x ) = (cos x ) ' = − sin x ; y = ( f '( x)) = ( − sin x) = sin x = ∫ ydx = ∫ Câu 23 A − − cos x − cos x x dx = − sin x + C 2 (KHTN lần 5) Nguyên hàm 3π cos x + sin x ∫ sin x + cos x dx π − cos x + + C 4 B − 3π sin x + Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng π − sin x + + C 4 |7 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng C − 3π sin x + π + sin x + + C 4 D − 3π sin x + π + cos x + + C 4 Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: sin 4x 2sin 2x cos 2x = = 4sin x cos x(cosx − sinx) = 4sinxcos x − cos x sin x sin x + cos x sin x + cos x sin 4x 2 3 ∫ sin x + cos x dx = 4∫ sin x cos xdx − 4∫ cos x sin xdx = − (cos x + sin x) + C 3π π = − (c os3x-sin3x) − (cosx + sin x) + C = − sin(3x + ) − sin(x + ) + C 3 4 2 π Cách 2:Đặt t = sin x + cos x = sin x + ⇒ t = + sin x ⇒ sin x = t − 4 Suy t.dt = cos xdx Ta có I = ∫ 2 ( t − 1) tdt = ∫ ( t − 1) dt = t − 2t + C = t ( )3 π π sin x + − 2 sin x + + C 4 4 Áp dụng công thức nhân ba sin 3a = −4sin a + 3sin a ⇔ sin a = ( 3sin a − sin 3a ) * Vậy I = 1 π 3π 3sin x + − sin x + 4 4 π − 2 sin x + + C 4 π 3π π = sin x + − sin x + − 2 sin x + + C 4 4 =− 3π π sin x + − sin x + + C 4 Cách 3: Lấy đạo hàm phương án A, B, C, D xem đâu kết dx Câu 24 Nguyên hàm ∫ bằng? tan x + x 2x A + ln 2sin + cos x + C B − ln 2sin x + cos x + C 5 5 x x C − ln 2sin x + cos x + C D + ln 2sin x + cos x + C 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn A dx cos x cos x − sin x + sin x Cách :Biến đổi I = ∫ =∫ dx = ∫ dx tan x + 2sin x + cos x 2sin x + cos x 2cos x − sin x sin x 1 = ∫ dx + ∫ dx = ln 2sin x + cos x + J 2sin x + cos x 2sin x + cos x 2 J * Ta tính J + I = ∫ 1.dx = x + C , suy J = ( x − I + C ) 1 * Thế kết trở lại đề: I = ln 2sin x + cos x + ( x − I + C ) 8| Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ⇔I = 1 ln sin x + cos x + x + C ′ ⇔ I = ln 2sin x + cos x + x + C ′ 2 5 Cách 2:Lấy đạo hàm phương án A, B, C, D xem đâu kết Nguyên hàm hàm số phân thức mà mẩu nhị thức tam thức bậc hai có hai nghiệm GV: Lê Thanh LVH Câu 25 (Thi thử chuyên KHTN –HN lần năm 2017) Tìm nguyên hàm ∫ A C 1 dx − 2x ∫ − xdx = ln − x + C ∫ − 2xdx = ln − 2x + C D ∫ − 2xdx = ln − 2x + C B 1 ∫ − 2xdx = ln − x + C Hướng dẫn giải: Chọn A Cách : Tự luận 1 d(1 − 2x) 1 1 = − ln|1 − 2x| +C = ln|1 − 2x|−1 +C = ln| | +C − 2x 2 − 2x ∫ − 2xdx = − ∫ Chọn A Cách : CASIO Câu 26 (Thi thử chuyên LÊ KHIẾT –QUẢNG NGÃI năm 2017) Tính ∫ x + − x dx ta kết x A x3 − ln x + x + C 3 x3 − ln x − x + C 3 Hướng dẫn giải: Chọn B C B x3 + ln x − x + C 3 D x3 + ln x + x + C 3 Cách : Tự luận x3 23 x3 2 x + − x dx = x dx + dx − x dx = + ln x − x + C = + ln x − x + C ∫ x ∫ ∫ ∫ x 3 3 Chọn B Câu 27 (Đề thử nghiệm BGD ĐT cho 50 trường) Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = F ( ) = Tính F ( ) x −1 A F ( ) = ln − B F ( ) = ln + C F ( 3) = D F ( 3) = Hướng dẫn giải: Chọn B Cách : Tự luận dx = ln x − + C F(2) = ⇔ ln1 + C = ⇔ C = x −1 Vậy F(x) = ln x − + Suy F(3) = ln + Chọn B F(x) = ∫ f (x)dx = ∫ Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng |9 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Cách : CASIO Câu 28 (THI HỌC KỲ I LỚP 12 CHUYÊN HẠ LONG) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = A ∫ f (x)dx = x3 x +1 3x + C 2x + B ∫ f (x)dx = ln(x + 1) + C D ∫ f (x)dx = ln(x + 1) + C C ∫ f (x)dx = x ln(x + 1) + C Hướng dẫn giải: Chọn D Cách : Tự luận Đặt u = x + ⇒ du = d(x + 1) = 4x 3dx ⇔ dx = du 4x x3 x 3du du 1 dx = = ∫ = ln | u | + C = ln | x + 1| + C = ln(x + 1) + C ∫ x4 +1 ∫ u.x u 4 Chọn D Cách : CASIO Câu 29 (PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH BÌNH ĐỊNH) dx Kết ∫ bằng: − 3x A + C B − +C C ln − x + C 2 ( − 3x ) ( − 3x ) D − ln x − + C Hướng dẫn giải: Chọn D Cách : Tự luận dx d(2 − 3x) 1 ∫ − 3x = − ∫ − 3x = − ln | − 3x | +C = − ln 3x − + C Chọn D Cách : CASIO Câu 30 Nguyên hàm hàm số y = x3 + x + ln x + C Hướng dẫn giải: Chọn D A B x3 + x + là: x x3 x + + ln x + C C x3 + x + ln x + C D x3 + x + ln x + C Cách : Tự luận x3 + x + 1 x ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ dx + ∫ x dx = + x + ln | x | + C Chọn D Cách : CASIO Câu 31 Một nguyên hàm f ( x ) = x2 + 3x − ln x + Hướng dẫn giải: Chọn D A 10 | B x − 2x + : x +1 x2 + 3x+6 ln x + C x2 x2 − 3x-6 ln x + D − 3x+6 ln x + 2 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Gọi Parabol có phương trình ( P1 ): y1 = ax + bx + c = ax + bx (do (P) qua O) 20 = ax + bx − phương trình parabol 100 2 2 Ta có (P1 ) qua I A ⇒ ( P1 ) : y1 = − x + x ⇒ y2 = − x + x− 625 25 625 25 Khi diện tích nhịp cầu S = S1 với S1 phần giới hạn y1 ; y2 khoảng (0; 25) ⇒ y2 = ax + bx − 0,2 S = 2( ∫ (− 25 2 x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9, 9m 625 25 0,2 Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày V = S 0, ≈ 9,9.0, ≈ 1, 98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho nhip cầu ≈ 2m Vậy 10 nhịp cầu bên cần ≈ 40m bê tông ♦Trắc nghiệm: Câu 391 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình : y = 225 − x , x ∈ −15;15 Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox ( điểm có hồnh độ x , x ∈ −15;15 ) ( ) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S x (xem hình) Dễ thấy NP = y MN = NP tan 450 = y = 15 − x Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng | 103 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ( 1 S x = MN NP = 225 − x 2 ( ) 15 = ( ) ) 15 suy thể tích hình nêm : V = ∫ S (x )dx −15 ( ) 225 − x dx = 2250 cm ∫ −15 ♦Trắc nghiệm: Câu 392 Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: Xét hệ trục hình vẽ, dễ thấy parabol qua ba điểm ( 0; ) , ( 4; )( ) y2 Thể tích chng thể tích khối tròn xoay tạo , 4; −2 nên có phương trình x = hình phẳng y = 2x, x = 0, x = quay quanh trục Ox Do Ta có V = π ∫ 2xdx = ( πx ) = 16π 0 ♦Trắc nghiệm: Câu 393 Hướng dẫn giải: Chọn C ♦Tự luận: Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động t = , thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất t1 Quãng đường khí cầu từ thời điểm t = đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất t1 t1 ∫ (10t − t )dt = 5t 2 − t13 = 162 ⇔ t ≈ −4 ,93 ∨ t ≈ 10 ,93 ∨ t = Do v ( t ) ≥ ⇔ ≤ t ≤ 10 nên chọn t = Vậy bắt đầu tiếp đất vận tốc v khí cầu v ( ) = 10.9 − 92 = ( m /p ) ♦Trắc nghiệm: Câu 394 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao ( H ) vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng 2 có diện tích S ( x ) = a − x 104 | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng a Thể tích khối ( H ) ∫ S ( x ) dx = a ∫ (a − x )dx = 2a3 ♦Trắc nghiệm: Câu 395 Hướng dẫn giải: Chọn A cm ♦Tự luận: A ( P ) Vì I ( 0;0 ) nên Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol parabol ( P) qua điểm A ( −2;6 ) , B ( 2;6 ) parabol ( P ) có phương trình y = Ta có y = B O x cm 2 x ⇔ x = y Khi thể tích vật thể cho 2 V = π ∫ y dy = 12π ( cm3 ) 0 I ♦Trắc nghiệm: Câu 396 Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: M C B Cách 1: P Gọi Q giao điểm NC BA , P trung điểm AB Gọi V1 V2 là thể tích xoay ∆QBC 512π V1 = π QB.BC = 3 thể tích xoay ∆QPF quanh quanh AB AB F E suy suy A D N Q 216π V2 = π QP.PF = 3 8π V3 thể tích xoay ∆BPE quanh AB suy V3 = π BP.PE = 3 Thể tích cần tìm V = V1 − V2 − V3 = 96π Cách 2: y Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng | 105 B M C Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho điểm A trùng với gốc tọa độ cạnh AB nằm tia Oy Khi tọa độ điểm A ( 0;0 ) ; B ( 0;4 ) ; E ( 2;2 ) ; F ( 6;2 ) ; C ( 8;4 ) Ptđt EB : x = − y Ptđt FC : x = + y Bài toán trở thành :Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn x = − y; x = + y quanh Oy Khi thể tích cần tìm y = 2; y = 4 2 V = π ∫ ( + y ) − ( − y ) dy = 96π ♦Trắc nghiệm: Câu 397 Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: 10 Quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 10 : S = ∫ ( 3t ) + dt = 966 m ♦Trắc nghiệm: Câu 398 Hướng dẫn giải: Chọn B ♦Tự luận: Cường độ dòng điện thời điểm t i = i0 sin wt T Q1 = ∫ i0 sin ωtdt = i0 2π → i0 = 2Q1ω , T = ω 2w ♦Trắc nghiệm: Câu 399 Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: Thời gian bơm nước giây 6 13 t + 8dt ≈ 2,66(cm) Mức nước cần tìm : h = ∫ h ' ( t ) dt = ∫ ♦Trắc nghiệm: Câu 400 Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: Gọi T khoảng thời gian từ lúc đạp phanh tơ dừng Ta có v (T ) = → T = 0, ,5 Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, tơ di chuyển quang đường L = ∫ ( −40t + 20 )dt = ( m ) ♦Trắc nghiệm: 106 | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Câu 401 Hướng dẫn giải: Chọn B ♦Tự luận: Giả sử Parabol (P) có dạng y = ax + bx + c(a ≠ 0) (P) qua (-2; 0) , (2; 0) có đỉnh (0; 4) → y = − x 2 Vậy S = ∫ ( − x )dx = −2 32 ♦Trắc nghiệm: Câu 402 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: Khơng tính tổng qt ta xem tâm đường trịn chứa cung trịn có bán kính tâm O gốc tọa độ, với trục Ox phương với đường cao thùng ta có phương trình x + y = 81 Khi thể tích bình hình trịn xoay tạo hình phẳng (H) (giới hạn đường tròn x + y = 81 ; Ox; đt: x = −8; x = 8) V =π ∫ −8 ( ) ( ) 81 − x dx = π ∫ 81 − x dx= −8 2864 π ♦Trắc nghiệm: Câu 403 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ trùng điểm O toán, trục Oy trùng OI, trục Ox trùng đường thẳng d y = f ( x ) = 30 + 25 − x 2 Khi I(0;30), suy phương trình đường trịn (C) x + ( y − 30 ) = 25 → y = g ( x ) = 30 − 25 − x Ta tích phao V= ∫ −5 ( f (x) − g (x) dx = ∫ 30 + 25 − x −5 ) ( − 30 − 25 − x ) dx = ∫ 120 25 − x dx = 1500π −5 ♦Trắc nghiệm: Câu 404 Hướng dẫn giải: Chọn B ♦Tự luận: 5 0 + Quảng đường 5s đầu S1 = ∫ v1 ( t ) dt = ∫ tdt = 87, 5m Vận tốc chuyển động sau 5s là: v1 (5) = 7.5 = 35 ( m / s ) Vật chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70( m / s2 ) : Suy vận tốc chuyển động chậm dần v2 (t ) = ∫ a ( t ) dt = −70t + C (*) Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng | 107 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Tại thời điểm bắt đầu chuyển động chậm dần vận tốc v2 (0) = v1 ( ) = 35( m / s) Thay vào (*), ta có: −70.0 + C = 35 ⇔ C = 35 Vậy vận tốc chuyển động chậm dần là: v2 (t ) = 70t + 35 + Quảng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng ,5 0,5 35 ∫ v ( t ) dt = ∫ ( 35 − 70t ) dt = ( m ) S2 = 0 + Vậy S = S1 + S2 = 96, 25m Câu 405 Hướng dẫn giải: Chọn C ♦Tự luận: Đổi: 40 phút = 2400 s Trong khoảng thời gian từ 0s đến 2400s, lượng nước thoát : 2400 ∫ 2400 v(t )dt = ∫ (10t + 500 )dt = ( 5t ) + 500t 2400 ( ) = 3.107 m ♦Trắc nghiệm: Câu 406 Hướng dẫn giải: Chọn B ♦Tự luận: Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa (2 ) đường trịn là: y = R2 − x = − x = 20 − x Phương trình Parabol ( P ) có đỉnh gốc O có dạng y = ax Mặt khác qua điểm ( P) M ( 2; ) nên = a ( −2 ) ⇔ a = Gọi S1 phần diện tích hình phẳng hạn ( P ) nửa đường trịn ( phần tơ màu) ∫( Ta có cơng thức: S1 = ) 20 − x − x dx −2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Nhật Bản là: π S2 = Shình tròn − S1 = 2 ( ) ∫( − ) 20 − x − x dx ≈ 49, 476 −2 Vậy số tiền cần có là: T = S2 100 000 ≈ 1.948.000 (đồng) ♦Trắc nghiệm: Câu 407 Hướng dẫn giải: Chọn C ♦Tự luận: + Nếu chọn hệ trục tạo độ có gốc tọa độ O trùng với trung điểm MN , trục hoành trùng với đường thẳng MN parabol có phương trình là: y = ax + b 108 | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng + Do parabol có đỉnh I ( 0; ) qua C ( 6; ) nên ta a.0 + b = b = − có hệ ⇔ a.6 + b = b = 1 + Suy phương trình parabol là: y = − x + 6 + Khi diện tích khung tranh : 1 208 S = ∫ − x + dx = m 6 −2 + Suy số tiền : T = 208 900.000 = 20.800.000 đồng ♦Trắc nghiệm: Câu 408 (Sở Bắc Giang) Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết ( diện thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V cm ) vật thể cho A V = 12π B V = 12 C V = 72 π D V = 72 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol Phương trình parabol có dạng: y = ax Vì parabol qua điểm A ( −2; ) , B ( 2; ) I ( 0; ) nên = a ( ±2 ) ⇔ a = 3 2 x , từ suy x = y Coi vật thể cho khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn parabol ( P ) , trục Vậy parabol có phương trình: y = tung, hai đường thẳng y = 0, y = quay xung quanh trục Oy Vậy thể tích vật thể cho là: V = π ∫ y = 12π cm 3 ( Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ) | 109 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng Câu 409 vuông góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu khoảng 3dm đề làm lu đựng nước Thể tích lu bằng: ( ) A V = 132π dm ( ) B V = 41π dm C V = 100π dm ( ) ( ) D V = 43π dm Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: Đặt hệ trục tọa độ gốc tọa độ tâm O mặt cầu, đường thẳng đứng trục Ox , đường thẳng ngang Oy , đường trịn lớn có phương trình là: x + y = 25 Thể tích mà lu chứa thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn Ox , đường cong y = 25 − x , x = −3, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích mà lu chứa là: V = ∫ ( 25 − x ) dx = 132π ( cm ) −3 Câu 410 (THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước lần 3) Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) y O A 19m B 21m C 18 m x D 40m Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: Chọn hệ trục Oxy hình vẽ 110 | Chun đề Ngun hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng y x O Ta có 19 Gọi ( P1 ) : y = ax + c Parabol qua hai điểm A ; , B ( 0; ) 19 0 = a + a = − Nên ta có hệ phương trình sau: ⇔ x +2 361 ⇒ ( P1 ) : y = − 361 b = 2 = b 5 Gọi ( P2 ) : y = ax + c Parabol qua hai điểm C ( 10; ) , D 0; 2 a = − 40 0 = a ( 10 ) + ⇔ ⇒ ( P2 ) : y = − x + Nên ta có hệ phương trình sau: 40 5 = b b = 2 19 10 5 Ta tích bê tông là: V = 5.2 ∫ − x + dx − ∫ − x + dx = 40 m 0 2 361 40 Câu 411 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian t a ( t ) = 3t + t ( m / s ) Tính quảng đường vật khoảng 10s kể từ bắt đầu tăng tốc 130 A km Hướng dẫn giải: Chọn D B 130km C 3400 km 3 D 4300 km 3 ♦Tự luận: Gọi v ( t ) vận tốc vật Ta có v ( t ) = t + t + C Xem thời điểm tăng tốc có mốc thời gian Ta có v ( ) = 10 ⇒ C = 10 3 Suy v ( t ) = t + t + 10 10 1 0 Vậy quảng đường S = ∫ t + t + 10 dt = 4300 ♦Trắc nghiệm: y = x − 4x Tính diện tích miền phẳng bị giới hạn đường thẳng: y = 2x 50 51 52 53 A S = B S = C S = D S = 3 3 Câu 412 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng | 111 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Hướng dẫn giải: Chọn C ♦Tự luận: Phương trình hồnh độ giao điểm: x ≥ x ≥ x = 2 x − 4x = 2x ⇔ x − 4x = 2x ⇔ x − 6x = ⇔ x = x = x − 4x = − 2x x − 2x = Suy diện tích cần tính: S = ∫ x − −4x − 2x dx + ∫ x − 4x − 2x dx 2 Tính I = ∫ x − −4x − 2x dx Ta có: ∀x ∈ [ 0; 2] ; x − 4x ≤ ⇒ x − 4x = − x + 4x ⇒ I = ∫ (−x + 4x − 2x)dx = 4 Tính K = ∫ x − 4x − 2x dx ∀x ∈ [ 2; 4] , x − 4x ≤ Ta có: ⇒ K = ∫ (4x − x − 2x)dx + ∫ (x − 4x − 2x)dx = −16 2 ∀x ∈ [ 4;6] , x − 4x ≥ 52 Vậy S = + 16 = 3 ♦Trắc nghiệm: Cho hàm số f ( x) liên tục [ a; b] Khi cho hình thang cong giới hạn đồ thị Câu 413 hàm số y = f ( x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay b A V = π ∫ f ( x)dx b B V = ∫ f ( x) dx a a b C V = π ∫ f ( x)dx a D V = ∫ f ( x)dx b a Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: ♦Trắc nghiệm: Câu 414 Cho vật thể không gian tọa độ Oxyz, gọi B phần vật thể giới hạn π hai mặt phẳng x = x = Tính thể V B Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (với ≤ x ≤ π ) nửa hình trịn có bán kính sin x π A V = π B V = C V = π2 D V = π2 Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: 112 | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng 1 Diện tích thiết diện S ( x ) = π sin x = π (1 − cos x ) π π2 Khi thể tích vật thể là: S = ∫ π (1 − cos x ) dx = ♦Trắc nghiệm: Câu 415 Một chất điểm xuất phát từ vị trí , chuyển động thẳng nhanh dần đều; giây sau đạt vận tốc 6m/s Từ thời điểm chuyển động thẳng Một chất điểm cũng xuất phát từ vị trí nhưng chậm 12 giây so với và chuyển động thẳng nhanh dần Biết đuổi kịp sau giây (kể từ lúc xuất phát) Tìm vận tốc tại thời điểm đuổi kịp A 12m/s B 48m/s C 24m/s D 36m/s Hướng dẫn giải: Chọn C ♦Tự luận: Thời điểm A B gặp 20 giây kể từ lúc A xuất phát Đồ thị vận tốc A đường gấp khúc OMN Quãng đường A diện tích hình thang OMNQ Diện tích : ( 20 + 12 ) = 96 , lúc gặp B, A 96(m) Đồ thị vận tốc B đường thẳng HP Vì B xuất phát vị trí với A nên quãng đường B 96(m) Mặt khác, quãng đường B diện tích hình tam giác HPQ với HQ = PQ PQ vận tốc B thời điểm đuổi kịp A Suy 96 = = PQ nên PQ = 24 Vậy vận tốc B thời điểm đuổi kịp A 24 (m/s) ♦Trắc nghiệm: Câu 416 (Sở Thanh Hóa) Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC 6m , chiều dài CD 12m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN 4 ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m2 Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh ? A.20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng | 113 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ♦Tự luận: Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN , trục hoành trùng với đường thẳng MN pt parabol : y = − x + 6 208 m Khi diện tích khung tranh là: S = ∫ − x + dx = −2 208 × 900.000 = 20.800.000 đồng ♦Trắc nghiệm: Số tiền là: Câu 417 (Sở Hà Tĩnh)Ta vẽ hai nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính AB có diện tích 8π BAC = 300 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình (H) (phần tơ đậm) xung quanh đường thẳng AB A 220 π B 98 π C 224π D 4π Hướng dẫn giải: Chọn B ♦Tự luận: Chon hệ trục tọa độ Oxy cho O ≡ A , đường ox trùng với đường AB đơn vị trục đơn vị dài đường tròn Ta thấy đường trịn lớn có bán kính 4; đường trịn nhỏ có bán kính Phương trình đường tròn ( x − 2) + y = 4; ( x − 4) + y = 16 2 2 Phương trình đường thẳng AC y= x Ta có M(3; 3); N(6; 3) 1 40π 5π 98 − (3π + V = π (2 3)2 + π 16 − ( x − 4) dx − π ( 3)2 + π − ( x − 2) dx = 24π + )= π 3 3 3 ∫( ) ∫( Có thể tính riêng phần nhỏ nhân (3π + π).7 = Câu 418 ) 98 π Hướng dẫn giải: Chọn A ♦Tự luận: Ta có h ( t ) = ∫ (3at + bt ) dt = at + 114 | bt Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng 5 a + b.5 = 150 a = Khi đo ta có hệ: ⇔ b = 103.a + b.102 = 1100 Khi h ( t ) = t + t Vậy thể tích nước bể sau bơm 20 giây h ( 20 ) = 8400m3 ♦Trắc nghiệm: Câu 419 Hướng dẫn giải: Chọn B ♦Tự luận: Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ Phương trình đường tròn miếng đất x + y = 25 Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ đậm phía Phần tơ đậm giới hạn đường cong có phương trình y = 25 − x , trục Ox; x = −5; x = (trong giá trị có dựa vào bán kính độ dài dây cung 6) Vậy diện tích cần tính S = ∫ 25 − x dx ≈ 74, 45228 Do đó, đáp án câu B −5 ♦Trắc nghiệm: Câu 420 Hướng dẫn giải: Chọn C ♦ Tự luận: Quả bi sắt chịu tác dụng trọng lực hướng xuống nên có gia tốc trọng trường a = 10 m / s Ta có biểu thức v theo thời gian t có gia tốc a là: v = ∫ adt = ∫ 10dt = 10t + C Với: t = 0, v = 20 m / s ⇒ C = 20 Vậy ta biểu diễn biểu thức vận tốc có dạng: v = 10t + 20 Lấy nguyên hàm biểu thức vận tốc, ta biểu thức quảng đường: S= ∫ vdt = ∫ (10t + 20)dt = 5t + 20t + C Theo đề bài, ta t = ⇒ S = ⇒ C = t = ⇒ s = ⇒ K = Vậy biểu thức tọa độ quảng đường là: S = 5t + 20t Khi t = 5s , ta S = 225m Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng | 115 Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Vậy bi cách mặt đất S = 262 − 225 = 37m ♦ Trắc nghiệm: Câu 421 Hướng dẫn giải: Chọn C ♦ Tự luận: Chọn tâm đường tròn làm gốc Diện tích thiết diện S = 2 −2 −2 V= AB = 3(4 − x ) ∫ S ( x)dx = ∫ (4 − x )dx = 32 3 ♦ Trắc nghiệm: Câu 422 Hướng dẫn giải: Chọn C ♦ Tự luận: Xe dừng lại nên v = ⇔ t = 50 Phương trình quảng đường S ( t ) = v ( t ) dt = −2500t + 100t ∫ 2 Quảng đường xe S = −2500. + 100 = 1Km = 10 m 50 50 ♦ Trắc nghiệm: Câu 423 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦ Tự luận: Ta có 2000 ∫ + x dx =2000.ln + x + 5000 ( Do ban đầu khối lượng vi khuẩn 5000) Với x = 12 số lượng vi khuẩn ≈ 10130 ♦ Trắc nghiệm: Câu 424 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦ Tự luận: Hàm vận tốc v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( 3t + t ) dt = 3t t + +C Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc ⇒ v ( ) = 10 ⇒ C = 10 Ta được: v ( t ) = 3t t + + 10 10 3t t t3 t4 4300 Sau 10 giây, quãng đường vật là: s = ∫ m + + 10 dt = + + 10t = 3 12 0 10 ♦ Trắc nghiệm: Câu 425 Hướng dẫn giải: Chọn A ♦ Tự luận: 116 | Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc thời gian t = vật chuyển động Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian t v ( t ) = v − gt = 24,5 − 9,8t ( m / s) Khi vật vị trí cao có vận tốc tương ứng thời điềm t = Quãng đường viên đạn từ mặt đất đến vị trí cao 5 0 S ( t ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ 24, − 9,8t dt = 245 Vậy quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên rơi xuống đất 245 = 61, 25 ( m ) - Hết Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng | 117 ... 47 có Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân ứng dụng π Xét ∫ f (tan x)dx = Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan2 x + 1) dx cos x π Khi = ∫ f (tan x)dx = ∫ Do ∫ 0 f (t ) f ( x) dt = ∫ dx + t +1 x x2 + − 1)... ( 2 Xe dừng hẳn quãng đường 10 ( m ) kể từ lúc đạp phanh ♦Trắc nghiệm: Khi vật dừng lại v = ⇒ −5t + 10 = ⇔ t = ( s ) Quãng đường vật thời gian : 2 −5t s ( t ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( −5t + 10... sin x + cos x + C + tan x 2 π π x π F ( ) = ⇔ C = ⇒ F ( x ) = + ln sin x + cos x + 4 2 Vậy ∫ π π π π Vậy F = + = 2 4 π π dx MTCT báolỗi x = tan x khơngxácđịnh + tan x π 10π Ta thaycậntrên