1-CHUYEN DE 1-NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG (GIAI CHI TIET)-CT
Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Giải tích 12 – Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu CHUN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I NGUYÊN HÀM f ( x) F ( x) K 1) Định nghĩa: Cho hàm số xác định Hàm số gọi nguyên hàm hàm f ( x) F′( x) = f ( x) K K số với x thuộc f ( x) ∫ f ( x) = F ( x) + C 2) Họ tất nguyên hàm hàm số ký hiệu K Chú ý: Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục có nguyên hàm 3) Tính chất nguyên hàm f ,g ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx K (1) Nếu hai hàm số liên tục ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx k (2) Suy (3) K ” với số thực khác ∫ [ k f ( x) + l.g ( x)]dx = k ∫ f ( x)dx + l ∫ g ( x)dx ( ∫ f ( x)dx ) ′ = f ( x) + C ∫ f [u ( x ) ]u′ ( x ) dx = F[u ( x ) ] + C 4) Công thức đổi biến số: ∫ udv = uv − ∫ vdu 5) Công thức nguyên hàm phần: 6) Bảng nguyên hàm vi phân Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Hàm sơ cấp - Giải tích 12 – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Thường gặp II u = u ( x) Hàm số hợp 1) ∫ du = u + C 1) ∫ dx = x + C 2) ∫ xα dx = 3) ∫ α +1 x + C ( α ≠ −1) α +1 2) ∫ u α du = dx = ln x + C ( x ≠ ) x 3) du ∫u 1) Vi phân α +1 u + C ( α ≠ −1) α +1 = ln u + C ( u ( x ) ≠ ) d ( ax + b ) = dx a 1 α 2) ∫ ( a x + b ) dx = × (ax + b)α +1 + C a α +1 3) dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ( a ≠ ) 4) ∫ cos xdx = sin x + C 4) ∫ cos udu = sin u + C 4) ∫ cos(ax + b)dx = 5) ∫ sin xdx = − cos x + C 5) ∫ sin udu = − cos u + C 5) ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a 6) ∫ dx = tan x + C cos x x≠ Với 7) ∫ Với 6) ∫ π + kπ u ( x) ≠ Với dx = − cot x + C sin x x ≠ kπ 7) ∫ dx = tan ( ax + b ) + C cos ( ax + b ) a 7) ∫ dx −1 = cot ( ax + b ) + C sin ( ax + b ) a π + kπ du = − cot u + C sin u Với 8) ∫ eu du = eu + C x 9) ∫ a x dx = 6) ∫ u ( x ) ≠ kπ 8) ∫ e dx = e + C x du = tan u + C cos2 u sin( ax + b) + C a ax + C ( < a ≠ 1) ln a 9) ∫ au du = au + C ( < a ≠ 1) ln a 8) ∫ e ax +b dx = ax +b e +C a 9) ∫ a px +q dx = a px + q + C ( < a ≠ 1) p.ln a TÍCH PHÂN b ∫ b b ∫ f ( x) dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) a 1) Định nghĩa: 2) Tính chất tích phân Chú ý: a ∫ (1) b ∫ f ( x )dx = a (2) b c c a b a ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx (3) a ( b b b a a a a −1 f ( ) = liên tục, , thỏa Tính C Lời giải f ′ ( x ) x2 + = x f ( x ) + ⇔ ⇔ 2 Chọn B Ta có dx = ( 3) +1 − ∫ 2x x2 + dx ⇔ f ( 0) + = ⇔ f f ′( x) f ( x) +1 f ( x) +1 = f ( 3) D 2x x2 + = x2 + ⇔ f ( x) +1 =1 ( 3) +1 = ⇔ f ( 3) = Câu 11 Cho hàm số I = ị x f ¢( x) dx f ( x + x +1) = x + 2, " x Ỵ ¡ y = f ( x) thỏa mãn Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tính 35 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 17 4 A B Chọn C ìï u = x ùớ ị ùù dv = f Â( x ) dx ỵ Đặt Từ - Giải tích 12 33 C Hướng dẫn giải ìï du = dx ïí Þ I = xf ( x) ïï v = f ( x ) ỵ ìï f ( 5) = ( x = 1) f ( x + x +1) = x + Þ ïí ïï f ( 1) = ( x = 0) ỵ – Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu D −1761 ò f ( x) dx I = 23 - ò f ( x) dx , suy ìï dt = ( 3x + 3) dx ï t = x + x +1 Þ í ïï f ( t ) = x + ïỵ Đặt Đổi cận: Với t = Þ = x3 + x +1 Û x = I = 23 - ò f ( x) dx = 23 - ò( 3x + 2) ( 3x Khi Chọn C f ( x) ¡ t = Þ x3 + x +1 = Û x = Casio + 3) dx = 33 f ′ ( x ) − 2020 f ( x ) = 2019.x 2019 e 2020 x Câu 12 Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn với f ( ) = 2020 f ( 1) x∈¡ Tính giá trị 2020 f ( 1) = 2021.e f ( 1) = 2020.e −2020 f ( 1) = 2020.e 2020 f ( 1) = 2019.e 2020 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A f ′ ( x ) − 2020 f ( x ) 2019 2020 x ⇔ = 2020.x 2019 2020 x ′ f ( x ) − 2020 f ( x ) = 2019 x e e Ta có: 1 f ′ ( x ) − 2020 f ( x ) ⇔∫ dx = ∫ 2020.x 2019dx 2019 x e ( 1) 0 I =∫ 1 f ′ ( x ) − 2020 f ( x ) −2020 x ′ d x = f x e d x − 2020 f ( x ) e −2020 xdx ( ) 2020 x ∫ ∫ e 0 Xét I1 = ∫ 2020 f ( x ) e −2020 x dx Xét Đặt I1 = f ( x ) ( −e−2020 x ) Do ( 1) Khi u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒ −2020 x dx v = −e −2020 x dv = 2020.e 1 + ∫ f ′ ( x ) e−2020 x dx ⇒ I = f ( 1) e −2020 − 2020 ⇔ f ( 1) e −2020 − 2020 = x 2020 ⇒ f ( 1) = 2021.e 2020 Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 36 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 - Giải tích 12 – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu f ( x ) + xf ( x − ) + f ( − x ) = x f ( x) [ −1; 2] Câu 13 Xét hàm số liên tục thỏa mãn Tính I= −1 giá trị tích phân A I =5 B ∫ f ( x ) dx I= I =3 C Hướng dẫn giải D I = 15 Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) f ( x ) + ( x ) f ( x − ) + f ( − x ) = x3 Với: Ta có: u ( −1) = −1 u ( ) = A = 1; B = 1; C = u = x2 − thỏa mãn Khi áp dụng cơng thức có: I= ∫ −1 x4 f ( x) = x dx = + + −∫1 =3 −1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) f ( x ) + xf ( x − ) + f ( − x ) = x3 Từ ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ x f ( x −1 −1 +) Đặt ∫ x f ( x Khi +) Đặt −1 −1 −1 − ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ x 3dx u = x − ⇒ du = xdx 2 − ) dx = x = −1 ⇒ u = −1 ; với 2 −1 −1 ( *) x =2⇒u =2 ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx ( 1) t = − x ⇒ dt = −dx ; Với x = −1 ⇒ t = 2 2 −1 −1 −1 x = ⇒ t = −1 ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx ( ) Khi ( 1) , ( ) Thay ∫ f ( x ) dx = 15 ⇒ ( *) −1 vào ∫ f ( x ) dx = −1 ta được: f ( x) f ( x) + f ( 1− x) = x 1− x [ 0;1] Câu 14 Xét hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân A I =− 15 B Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) I= 15 I= 75 C Hướng dẫn giải Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội I= D 25 37 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Giải tích 12 f ( x) + f ( 1− x) = x 1− x A = 2; B = Với ta có 1 Casio ∫0 f ( x ) dx = + ∫0 x − xdx = 0, 05 ( 3) = 75 Suy ra: Áp dụng kết A f ( ax + b ) + B f ( −ax + c ) = g ( x ) “Cho (Với x−b x−c A.g ÷− B.g ÷ a −a f ( x) = A2 − B A2 ≠ B ” 1 0 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ 2x 1− x − 3( 1− x ) −5 x Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu ) g ( x ) − 3g ( − x ) x − x − ( − x ) x = 22 − 32 −5 f ( x) + f ( 1− x) = x 1− x = g ( x) ⇒ f ( x) = Ta có: – Casio dx = 0, 05 ( 3) = 75 Suy ra: Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) 1 ⇒ ∫ f ( x ) dx + 3∫ f ( − x ) dx = ∫ x − xdx Casio = 0, ( ) = ( ∗) f ( x) + f ( 1− x) = x 1− x 0 15 Từ u = − x ⇒ du = −dx ; Với x = ⇒ u =1 1 0 x =1⇒ u = ∫ f ( 1− x ) dx = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx Suy ( ∗) thay vào 5∫ f ( x ) dx = Đặt , ta được: 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 15 75 [ 1;4] f ( x) Câu 15 Cho hàm số f ( x) = liên tục đoạn thỏa ( ) + ln x f x −1 x x Tính I = ∫ f ( x ) dx I = + ln 2 A B Chọn B ∫ Ta có ) I = ln 2 C Hướng dẫn giải f x −1 ln x f x −1 ln x =∫ + dx = d x + f ( x ) dx x x ∫1 ∫1 x dx x 4 K =∫ Xét ( I = ln 2 ( ( D I = 2ln ) ) dx f x −1 x Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 38 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 x −1 = t Đặt ⇒ 3 1 x= t + ⇒ dx = dt x - Giải tích 12 – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu ⇒ K = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx 4 ln x ln x = = M =∫ dx = ∫ ln xd ( ln x ) x 1 ln 2 Xét ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + 2ln Do 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ln 2 [ 0;1] f ( x) Câu 16 Xét hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện x f ( x ) + f ( − x ) = − x I = ∫ f ( x ) dx Tích phân I= A π bằng: I= B Chọn C [ 0;1] f ( x) Vì liên tục I= π 20 I= C Hướng dẫn giải x f ( x ) + f ( − x ) = − x π 1 D π 16 nên ta có 1 2 2 ∫0 x f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫0 − x dx ⇔ ∫0 x f ( x ) dx + ∫0 f ( − x ) dx = ∫0 − x dx ( 1) 1 ∫ x f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) d ( x ) 2 t =x → ∫ f ( t ) dt Mà 1 0 = 2I u =1− x ∫ f ( − x ) dx = −3∫ f ( − x ) d ( − x ) → 3∫ f ( u ) du ∫ Do đó, Câu 17 Cho hàm số Giá trị 0 π ( + cos 2t ) dt = π ∫0 π I= 20 π ( 1) ⇔ I + 3I = π x =sin t − x dx → ∫ − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = Đồng thời A π = 3I hay thỏa mãn , ∀ x ∈ ¡ f ( x) f ( 0) = f ′ ( 0) = f ′ ( x ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15 x + 12 x f ( 1) B C 10 Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội D 39 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Chọn D Ta có: ( f ′( x) ) Giải tích 12 – Hươngd dẫn giải , Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15x + 12 x ∀x ∈ ¡ , ∀x ∈ ¡ ⇔ f ′ ( x ) f ( x ) = x5 + x + C1 ′ ⇔ f ′ ( x ) f ( x ) = 15 x + 12 x Do f ( 0) = f ′ ( 0) = nên ta có C1 = Do đó: f ′ ( x ) f ( x ) = 3x5 + x + ⇔ f ( x ) = x + x + x + C2 1 ′ ⇔ f ( x ) ÷ = 3x + x + 2 Mà f ( 0) = Vậy nên ta có Do f ( x ) = x6 + x3 + 2x + f ( 1) = Câu 18 Cho hàm số Tính C2 = y = f ( x) có đạo hàm ¡ thỏa f ( ) = f ′ ( ) = 1; f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − 1, ∀x,y ∈ ¡ ∫ f ( x − 1) dx A B Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số − C D Hươngd dẫn giải y , f ′ ( x + y ) = f ′ ( y ) + 3x + xy ∀x ∈ ¡ Cho Vậy ∫ y = ⇒ f ′ ( x ) = f ′ ( ) + 3x ⇒ f ′ ( x ) = + 3x f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = x + x + C mà f ( 0) = ⇒ C = suy f ( x ) = x3 + x + 1 1 f ( x − 1) dx = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x + 1) dx = x + x + x = − − + = ÷ 4 −1 −1 −1 0 Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 40 ... −1761 ị f ( x) dx I = 23 - ò f ( x) dx , suy ìï dt = ( 3x + 3) dx ï t = x + x +1 Þ í ïï f ( t ) = x + ïỵ Đặt Đổi cận: Với t = Þ = x3 + x +1 Û x = I = 23 - ò f ( x) dx = 23 - ò( 3x + 2) ( 3x Khi... độ người lái đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển 10 ( m s ) động chậm dần với v ( t ) = −5t + 10 ( m s ) , khoảng thời gian tính giây, kể t từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng... thẳng , Quay xung quanh trục hồnh khối trịn xoay tích A Tính ? B C MỨC ĐỘ Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội D 11 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 - Câu Họ tất nguyên