Đại 12 chuyên đề 3 nguyên hàm tích phân

Tốn CHƯƠNG NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM Nguyên hàm tính chất 1.1 NGUYÊN HÀM Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K F (x) = f (x) với x ∈ K Định lí Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K với số C, hàm số G(x) = F (x) + C nguyên hàm hàm số f (x) K Định lí Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm hàm số f (x) K có dạng F (x) + C, với C số Định lí Mọi hàm số f (x) liên tục K có nguyên hàm K 1.2 TÍNH CHẤT CỦA NGUN HÀM Tính chất f (x) dx = f (x) + C Tính chất kf (x) dx = k Tính chất [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx (k số khác 0) f (x) dx ± g(x) dx HDedu - Page Phương pháp tìm nguyên hàm 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Định lí Nếu f (u) du = F (u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục f (u(x))u (x) dx = F (u(x)) + C 2.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K u(x).v x() dx = u(x)v(x) − ! u (x)v(x) dx Vì u (x) dx = dv, u (x) dx = du nên đẳng thức viết dạng v dv f (x) dx phần ta làm sau: Để tính nguyên hàm Bước Chọn u, v cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v (x) dx) Sau tính v = Bước Thay vào cơng thức (∗) tính dàng tìm v tích phân  dv du = u · dx vdu Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ v du dễ tính u dv Ta thường gặp dạng sau         u = P (x)          sin x     dx Với dạng này, ta đặt     sin x          dv =   dx     cos x           cos x  Dạng I =    P (x)     Dạng I = P (x) eax+b dx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt I = u dy = uv − P (x) ln (mx + n) dx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt               sin x           u=      sin x       x    e dx Với dạng này, ta đặt Dạng I =    cos x           cos x      x   dv = e dx u = P (x) dv = eax+b dx Dạng u = ln (mx + n) dv = P (x) dx HDedu - Page BẢNG NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm hợp u = u(x) • dx = C • du = C • dx = x + C • du = u + C • xα dx = • uα du = • dx = ln |x| + C x • du = ln |u| + C u • ex dx = ex + C • eu du = eu + C • ax dx = • au du = • cos x dx = sin x + C • cos u du = sin u + C • sin x dx = − cos x + C • sin u du = − cos u + C • dx = tan x + C cos2 x • du = tan u + C cos2 u • dx = − cot x + C sin2 x • du = − cot u + C sin2 u xα+1 +C α+1 ax +C ln a uα+1 +C α+1 au +C ln a HDedu - Page B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG Nguyên hàm đổi biến số loại I Phương pháp giải Đơi gặp tốn ngun hàm f (x) dx ta thực bước giải sau: + Bước 1: Đặt x = ϕ(t), với ϕ(t) có đạo hàm liên tục K, chọn hợp lý + Bước 2: Lấy vi phân x theo biến số t, cụ thể dx = ϕ (t) dt + Bước 3: thay x = ϕ(t) lẫn dx = ϕ (t) dt vào + Bước 4: Giải nguyên hàm f (x) dx theo t f (ϕ(t)) · ϕ (t) dt, kết F (t) theo t, sau thay biểu thức x = ϕ(t) vào F (t) để tìm nguyên hàm theo biến x Một số dấu nhận dạng nguyên hàm đổi biến số loại I Dấu hiệu √ … Vi phân kèm theo Cách đặt π x2n dx x = a sin t, với − √ 2ax − x2 x2n dx x − a = a sin t, với − a2 + x x2n dx x = a tan t, với − √ x2 − a2 x2n dx a2 − x a+x a−x … x= a−x a+x Ví dụ Tìm họ ngun hàm hàm số f (x) = √ π π t π π theo biến t cách x x2 − √ … Ví dụ 30 Tìm họ ngun hàm hàm số f (x) = Ví dụ 31 Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) = x = + sin2 t Ví dụ 32 Tìm họ ngun hàm hàm số f (x) = 1−x theo biến t cách đặt x = cos 2t 1+x √ −x2 + 3x − theo biến t cách đặt theo biến t cách đặt x = tan t (1 + x2 )3 HDedu - Page 12 DẠNG Ngun hàm có yếu tố mũ lơgarit Phương pháp giải Ta tiến hành theo bước sau: Bước Biến đổi để đưa hàm Bước Sử dụng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm hàm đó, tích nhiều hàm ta kết hợp phương pháp đổi biến phần để tìm ngun hàm Ví dụ 33 Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) = e3x + ex + Ví dụ 34 Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) = x ln (x2 + 1) x2 + Ví dụ 35 Tìm họ ngun hàm hàm số f (x) = (2x − 1)e3x Ví dụ 36 Cho F (x) = x2 nguyên hàm hàm số f (x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f (x)e2x Ví dụ 37 Cho F (x) = (2x − 1) e1−x dx = (Ax + B) e1−x + C Tính giá trị T = A + B Ví dụ 38 Tìm họ ngun hàm hàm số y = 1 − ? ln x ln x HDedu - Page 13 DẠNG Sử dụng biến đổi lượng giác Phương pháp giải Các công thức thường sử dụng (k ∈ Z) sin2 α + cos2 α = 1 π + tan2 α = , α = + kπ cos α 2 + cot α = , α = kπ sin2 α kπ tan α · cot α = 1, α = sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan a ± tan b tan(a ± b) = ∓ tan a tan b sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α Ví dụ 39 Tính nguyên hàm Ví dụ 40 Tính nguyên hàm  π π  α = + k tan α tan 2α = , − tan2 α α = π + kπ − cos 2α sin α = + cos 2α cos2 α = − cos 2α π tan2 α = , α = + kπ + cos 2α cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] cos a sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)] sin 3x cos 5x dx cos4 dx x − cos2 x + Ví dụ 41 Tính nguyên hàm cos x − dx + cos x Ví dụ 42 Tính nguyên hàm cot2 x dx Ví dụ 43 Tính nguyên hàm sin x cos x dx Ví dụ 44 Tính nguyên hàm sin 2x cos x dx HDedu - Page 14 Ví dụ 45 Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = 2x − cos x F F (π) π = π2 Tính Ví dụ 46 Cho f (x) = − sin x f (0) = 14 Tính f (π) Ví dụ 47 Gọi F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = cos x cos 5x thỏa mãn π π F = Tính F Ví dụ 48 Cho hàm số f (x) thỏa f (x) = − sin x f (0) = 10 Tìm f (x) HDedu - Page 15 DẠNG Phương pháp đổi biến Phương pháp giải Nguyên hàm dạng f (sin x) cos x dx Đặt : u = sin x Nguyên hàm dạng f (cos x) sin x dx Đặt : u = cos x Nguyên hàm dạng f (tan x) dx cos2 x Đặt : u = tan x Nguyên hàm dạng f (cot x) dx sin2 x Đặt : u = cot x Ví dụ 49 Tính nguyên hàm sin4 x cos x dx Ví dụ 50 Tính nguyên hàm sin4 x cos3 x dx Ví dụ 51 Tính nguyên hàm sin 2x dx sin x + Ví dụ 52 Tính nguyên hàm tan x dx cos x − Ví dụ 53 Tính nguyên hàm dx sin x cos3 x Ví dụ 54 Tính nguyên hàm dx sin x HDedu - Page 16 BÀI TÍCH PHÂN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Cho f (x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F (x) nguyên hàm f (x) đoạn [a; b] Hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn b [a; b]) hàm số f (x), ký hiệu f (x) dx Ta dùng ký hiệu F (x) b a để hiệu số F (b) − F (a) a b dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f (x) dx biểu thức dấu tích phân Ta gọi a f (x) hàm số dấu tích phân a Trong trường hợp a = b a > b, ta quy ước ! b f (x) dx = − f (x) dx = 0; a a a b b Tích phân hàm số f từ a đến b ký hiệu f (x) dx b f (x) dx hay a f (t) dt Tích phân a phụ thuộc f cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t b Tính chất b k.f (x) dx = k a a b b [f (x) ± g(x)] dx = a b f (x) dx ± a b a g(x) dx a c f (x) dx = f (x) dx b f (x) dx + a f (x) dx c B CÁC DẠNG TỐN DẠNG Tính tích phân Phương pháp giải Để tính tích phân dạng ta kết hợp bảng nguyên hàm tính chất để tìm nguyên hàm hàm số dấu tích phân, sau dùng định nghĩa tích phân để tính kết Ví dụ Tính tích phân sau: 1 x dx a x + 2x + dx c b 0 √ x dx dx x+1 d HDedu - Page 17 DẠNG Phương pháp đổi biến dạng b Phương pháp giải Để tính tích phân I = g(x) dx, ta thực bước: a Bước Chọn: • Phân tích g(x) dx = f [u(x)]u (x) dx = f [u(x)] d[u(x)] • Đặt t = u(x) Bước Đổi cận: • Với x = a t = u(a) • Với x = b t = u(b) u(b) b g(x) dx = Bước Khi đó: a f (t) dt u(a) Ví dụ Tính tích phân sau: 1 x (1 + x ) dx; x5 (1 − x3 )6 dx; 0 Ví dụ Tính tích phân sau: √ √ x x2 + dx; √ x − x2 dx −1 Ví dụ Tính tích phân sau: x2 √ dx; x3 + 2 √ x2 x3 + dx −1 Ví dụ Tính tích phân sau: x2 +2 3x · e dx ex dx ex − 1 Ví dụ Tính tích phân sau: π π esin x cos x dx π cot x dx π HDedu - Page 18 DẠNG Phương pháp đổi biến dạng Phương pháp giải  π π x = a sin t; t ∈ − ; 2 2 R (a − x ) đặt  x = a cos t; t ∈ [0; π] π π R (a2 + x2 ) đặt x = a tan t; t ∈ − ; 2 a π 2 R (x − a ) đặt x = ; t ∈ [0; π] \ cos t dx + x2 Ví dụ Tính tích phân I = Ví dụ Tính tích phân I = x2 dx − 4x + 1 dx √ − x2 Ví dụ Tính tích phân I = Ví dụ Tính tích phân I = x2 dx √ − x2 Ví dụ Tính tích phân I = √ √ x2 − dx x HDedu - Page 19 DẠNG Tích phân phần Phương pháp giải Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục [a; b] b b b a u(x) · v (x)dx = u(x) − a b u (x) · v(x)dx hay a b udv = uv a b a − vdu a b P(x) · ln(ax + b)dx Tích phân dạng a Đặt  a  dx du =  u = ln(ax + b) ax + b ⇒  dv = P(x)dx v = P(x)dx b b u · dv = uv Ta có b a − a v · du a b b P(x) · sin(ax + b)dx; Tích phân dạng b a a    du = P (x)dx     u = P(x)           − cos(ax + b)   sin(ax + b)  a  Đặt ⇒      cos(ax + b) · dx dv = v =    sin(ax + b)     a         ax+b eax+b   e a b a b u · dv = uv Ta có P(x) · eax+b dx P(x) · cos(ax + b)dx; a b a − v · du a 2x ln xdx = aln2 − Tính a − b? b Ví dụ Biết I = m Ví dụ Có số nguyên dương m cho m ln m − ln xdx không 2018? HDedu - Page 20 Ví dụ Biết I = 2x ln(x + 1)dx = aln3 + b Tính a + b? (x2 − 1) ln xdx = Ví dụ Biết I = a ln + b (với a, b số nguyên) Tính a + b 1 (2x + 3)ex dx = ae + b Tính a2 + b Ví dụ Biết tích phân: I = π Ví dụ Biết I = (x + 2) cos xdx = π + b Tính S = a2 − 3b a π Ví dụ Biết I = x(1 + sin 2x)dx = π2 b b + , với a, b, c nguyên dương ; phân số tối giản a c c Tính a − b2 − 2c2 Ví dụ Biết F (x) = (x − 1)ex nguyên hàm hàm số f (x)e2x f (x)e2x dx Tìm I = HDedu - Page 21 DẠNG Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Phương pháp giải Chú ý công thức: 1 1 −1 dx = ln |ax + b| + C; dx = · n ax + b a (ax + b) a (n − 1)(ax + b)n−1 + C 1 x+a dx = ln + C (x + a)(x + b) b−a x+b Ví dụ Tính tích phân I = dx x+1 x−1 dx = a − ln b, với a, b ∈ Z Tính tích P = a.b x Ví dụ Biết Ví dụ Cho tích phân x3 dx = a ln + b ln + c, với a, b, c ∈ Q Tính a + b + c − x2 2 Ví dụ Biết x2 5x + dx = a ln + b ln 3, với a, b số nguyên Tính S = a − b + 3x + Ví dụ Tính I = x2 + 3x + 10 dx x2 + 2x + b Ví dụ Tính I = a − x2 dx (với a, b số thực dương cho trước) (a + x2 )2 2 dx = a ln + b ln + c với a, b số nguyên Tính S = a + b + c x3 + x2 Ví dụ Biết I = HDedu - Page 22 Ví dụ Cho x2 + 1 dx = ln a − , với a số hữu tỉ Tính giá trị 4a 2 x (x − 1) dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c số nguyên Hãy x2 + 2x − Ví dụ Biết tính S = a − b + c 10 dx = a ln + b ln + c ln 11, với a, b, c số nguyên Tính S = 2a + b − 5c +x Ví dụ 10 Biết x2 HDedu - Page 23 DẠNG Lớp tích phân đặc biệt Phương pháp giải Tính chất 1: a Nếu f (x) liên tục hàm lẻ [−a; a] , a > I = f (x) dx = −a Tính chất 2: a a Nếu f (x) liên tục hàm chẵn đoạn [−a; a] I = f (x) dx = −a Tính chất 3: f (x) dx α α f (x) dx = ax + Nếu f (x) liên tục hàm chẵn R I = −α f (x) dx với ∀ α ∈ R+ a > Tính chất 4: Nếu f (x) liên tục 0; π π I = π f (sin x) dx = f (cos x) dx Tính chất 5: b b a+b xf (x) dx = Nếu f (x) liên tục f (a + b − x) = f (x) I = a f (x) dx a Tính chất 6: b Nếu f (x) liên tục f (a + b − x) = −f (x) I = f (x) dx = a Tính chất 7: 2a Nếu f (x) liên tục [0; 2a] với a > I = a [f (x) + f (2a − x)] dx f (x) dx = 0 Tính chất 8: a+T T f (x) dx = Nếu f (x) liên tục R tuần hoàn với chu kỳ T I = a f (x) dx a Ví dụ Nếu f (x) liên tục hàm lẻ [−a; a] , a > I = f (x) dx = −a a Ví dụ Nếu f (x) liên tục hàm chẵn đoạn [−a; a] I = a f (x) dx = −a α α f (x) dx = ax + Ví dụ Nếu f (x) liên tục hàm chẵn R I = −α f (x) dx f (x) dx với ∀ α ∈ R+ a > HDedu - Page 24 π Ví dụ Nếu f (x) liên tục 0; π I = π f (sin x) dx = f (cos x) dx b b a+b xf (x) dx = Ví dụ Nếu f (x) liên tục f (a + b − x) = f (x) I = a f (x) dx a b Ví dụ Nếu f (x) liên tục f (a + b − x) = −f (x) I = f (x) dx = a 2a Ví dụ Nếu f (x) liên tục [0; 2a] với a > I = a [f (x) + f (2a − x)] dx f (x) dx = 0 a+T Ví dụ Nếu f (x) liên tục R tuần hồn với chu kỳ T I = T f (x) dx = a f (x) dx x3 + x Ví dụ Tính tích phân I = dx −1 Ví dụ 10 Tính tích phân I = x4 dx 2x + −1 π Ví dụ 11 Tính tích phân I = cos6 x dx cos6 x + sin6 x π x sin x dx − cos2 x Ví dụ 12 Tính tích phân I = HDedu - Page 25 BÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hình phẳng giới hạn đường cong y = f (x) trục hoành Định lí y Cho (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a, b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích hình phẳng (H) tính theo cơng thức b |f (x)|dx S= a O a b x b x Hình phẳng giới hạn hai đường cong Định lí y Cho (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục đoạn [a, b] hai đường thẳng x = a, x = b b |f (x) − g(x)|dx Diện tích (H) S = a a O HDedu - Page 26 Thể tích vật thể Định lí Cắt vật thể V hai mặt phẳng (P ) (Q) vng góc với trục Ox x = a, x = b(a < b) Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với Ox điểm x, (a ≤ x ≤ b) cắt V theo thiết diện có diện tích S(x) Với S(x) liên tục đoạn [a; b] a x x b Thể tích vật thể V giới hạn hai mặt phẳng (P ) (Q) tính cơng thức b V = S(x) dx a Thể tích khối trịn xoay Định lí y Hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox y = f (x) hai đường thẳng x = a x = b (a < b) quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay Thể tích khối trịn xoay tính cơng thức: O b a b x f (x) dx V =π a HDedu - Page 27 B CÁC DẠNG TỐN DẠNG Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành hai cận Phương pháp giải Tính diện tích hình giới hạn bởi: (C) : y = f (x), Ox, x = a, x = b với a < b Bước Tìm tất nghiệm phương trình f (x) = khoảng (a; b) Bước Áp dụng công thức tính diện tích tách thành nhiều đoạn thành phần để xét dấu phá trị tuyệt đối sau x1 b |f (x)| dx = S= a x2 |f (x)| dx + a x1 = |f (x)| dx + · · · + x1 x2 x1 b |f (x)| dx + xn−1 xn f (x) dx + · · · + f (x) dx + a xn xn b f (x) dx + xn−1 |f (x)| dx = f (x) dx xn Ở x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm nằm khoảng (a; b) Bước Kết luận Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x3 , trục hoành, x = x = Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = cos x, Ox, x = − π π x = 2 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2 − 2x − 3, y = 0, x = −1, x = HDedu - Page 28 ... (x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 3x x HDedu - Page Ví dụ 12 Tìm họ ngun hàm hàm số f (x) = (2x − 1)e3x Ví dụ 13 Tìm họ ngun hàm hàm số f (x) = ln x Ví dụ 14 Tìm họ nguyên hàm hàm... đưa hàm Bước Sử dụng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm hàm đó, tích nhiều hàm ta kết hợp phương pháp đổi biến phần để tìm ngun hàm Ví dụ 33 Tìm họ ngun hàm hàm số f (x) = e3x + ex + Ví dụ 34 ... Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) = x(x + 1)2018 HDedu - Page Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) = x3 − x(x3 + 1) Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) = √ + 2x − Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm số