3 toán 12 đại nguyên hàm tích phân

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM HÀM CƠ BẢN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định tập K (K Hàm số y  2x xác định  Ta có khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x   x   2x gọi nguyên hàm hàm số y  f  x  K F  x   f  x  x  K Định lí Mọi hàm số f  x  liên tục K có ngun hàm K Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C, hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K nên hàm số F  x   x gọi nguyên hàm y  2x  Ta có:  x   2x x    2x  100   2x x  C   2x x (C số) Hàm số F  x   x gọi nguyên hàm y  2x  với số C, hàm số G  x   x  C nguyên hàm y  2x  Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C với C số Kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C Mọi nguyên hàm hàm số y  2x  có dạng x  C với C số Kí hiệu:  2xdx  x  C HDedu - Page 220 Tính chất nguyên hàm  f   x  dx  f  x   C với C số   3x dx    x  dx  x  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   3x  kf  x  dx  k  f  x  dx với k  F  x  có đạo hàm  d  F  x    F  x   C 3 C  2x  dx   3x dx   2xdx  x3  x  C  8xdx    2x  dx  4 2xdx  4x  dx   x 2 C C PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm mở rộng 1 x a  0dx  C   x  a  x  b  dx  a  b ln x  b  C  dx  x  C x n  x dx  x x n 1  C, n 1 dx   n  1 1 C x  1 x dx  arctan  C a a a x a 2   ax  b    dx  ln x  x  a  C dx  1  C  a   a  ax  b   x dx  ln x  C  ax  b dx  a ln ax  b  C  a    e dx  e e x x  a dx  x C ax  C   a  1 ln a ax  b dx  eax  b  C,  a   a mx  n  a dx  a mx  n  C,   a  1 m.ln a  cos xdx  sin x  C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C,  a    sin xdx   cos x  C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C,  a    cos x dx  tan x  C 1  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C  a   HDedu - Page 221 Nguyên hàm hàm số thường gặp  sin x Nguyên hàm mở rộng  sin  ax  b  dx  dx   cot x  C 1 cot  ax  b   C  a   a 1 ln cos  ax  b   C a  tan xdx   ln cos x  C  tan  ax  b  dx   cot xdx  ln sin x  C  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C  a   PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nguyên hàm Phương pháp giải Ví dụ: Tính A  dx x2 2x  2x 3  C 2x C 2x  C x B 2x 3  C x D 2x 3  C x Hướng dẫn: Cách 1: Áp dụng công thức bảng nguyên hàm Cách 1: Áp dụng n  x dx     2x  x dx  1  C x x n 1  C,  n  1 ta có: n 1  dx   2x dx   dx  x  x   x dx  3 2x 3 dx   C x2 x Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS Bước 1: Thay x  a (a số bất kì) vào hàm số Thay x  vào hàm số f  x   2x  y  f  x  , ta kết f  a  kết Bước 2: Sử dụng SHIFT Nhập d  x   dx d (các đáp án) x  a dx Đáp án kết với kết bước đáp ta x2 35  8, 75 Đáp án A: Nhập d  2X 3     x  ta dx  2X  kết 7,625, khác kết bước 1, đó loại đáp án A HDedu - Page 222 án Đáp án B: Nhập d  2X 3    x  ta kết  dx  X 8,75, kết bước  Chọn B Ví dụ minh họa   Ví dụ 1: Tính nguyên hàm   e3x 1   dx x   A 3x 1 e  C x B 3e3x 1  C x C 3e3x 1  C x D 3x 1 e  C x Ví dụ 2: Cho f  x    x  3x  2x Một nguyên hàm F  x  f  x  thỏa mãn F 1  A F  x    x4  x3  x  4 B F  x    x4  x3  x  4 C F  x    x4  x3  x  4 D F  x    x4  x3  x  4  Ví dụ 3: Cho f  x   sinx  cosx Một nguyên hàm F  x  f  x  thỏa mãn F    4 A F  x    cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x   cos x  sin x  D F  x    cos x  sin x  Ví dụ 4: Tìm m để hàm số F  x   mx   3m   x  10x  2018 nguyên hàm hàm số f  x   3x  10x  10 A m  B m  C m  D m  HDedu - Page 223 Bài tập tự luyện Câu Mệnh đề sai mệnh đề sau? A  kf  x  dx  k  f  x  dx, k   C  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx B  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx D  f   x  dx  f  x   C Câu Họ nguyên hàm hàm số f  x   5x  4x  A  x  x  6x  C Câu Hàm số f  x   A ln x   6 x x2 B 20x  8x  C C 20x  8x  C D  x  x  C 4   có nguyên hàm F  x  Biết F 1  Tìm F  x  x x x B ln x   4 x x2 C ln x    12 x x2 D ln x    x x2   Câu Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos  3x   6    A  f  x  dx  sin  3x    C  6   B  f  x  dx  sin  3x    C 6    C  f  x  dx   sin  3x    C  6   D  f  x  dx  sin  3x    C  6 HDedu - Page 224 Dạng 2: Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số Phương pháp giải Nếu  f  u  du  F  u   C u  u  x  có đạo hàm liên tục  f  u  x   u   x  dx  F  u   C Chú ý: Cơng thức tính vi phân: f   x  dx  d  f  x   dx  d  x  1  d  x     d  x  n  1 1 dx  d  ax   d  ax  1  d  ax     d  ax  n  a a a a sin xdx  d   cos x   d  cos x  cos xdx  d  sin x  dx  d  ln x  x e x dx  d  e x  Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Nguyên hàm hàm số A C 4036  4x B  2x  2018 1  2x  2018 Ví dụ 2: Nguyên hàm hàm số f  x   A x 5 C B dt t  t  1 B I  C x3 x4  x 5 C Ví dụ 3: Cho nguyên hàm sau I   A I   dx x x 1 10 dt  10 t  C C 4x  4036 D C x4  C D 10 B 32 x4  C Khi đặt t  x10  ta C I  Ví dụ 4: Giả sử F  x  nguyên hàm hàm số y  A 1  C 2x  2018 C dt  10 t  t D I  dt  t2 1 x2 Biết F 10   40 Tính F   x 1 20 D HDedu - Page 225 Bài tập tự luyện Câu Tìm nguyên hàm hàm số f  x    3x A  f  x  dx   C  f  x  dx    3x   3x  C   3x   3x Câu Biết nguyên hàm hàm số f  x   B  f  x  dx     3x   3x D  f  x  dx    3x  C  hàm số F  x  thỏa mãn F  1  Khi  3x F  x  hàm số sau đây? A F  x   x   3x  B F  x   x   3x  C F  x   x   3x  D F  x     3x  2x  1  x  C Câu Tìm nguyên hàm hàm số f  x   2x  x 1 A  f  x  dx    2x  1  x  C B  f  x  dx  C  f  x  dx    2x  1  x  C D  f  x  dx  2  x  C 1 x Câu Hàm số f  x   x x  có nguyên hàm F  x  Nếu F    F  3 A 886 105 B 116 15 C 146 15 D 105 886 Câu Biết hàm số F  x    x  2x  2018 nguyên hàm hàm số f  x   ax  b Khi  2x tổng a b A B –2 C D HDedu - Page 226 Dạng 3: Tính nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp giải Nếu u v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì:  udv  uv   vdu Cách ưu tiên đặt u: log  lnx  , nhì đa  ax  b; ax  bx  c  , tam lượng  sin x;cos x  , tứ mũ  e x a x  Ví dụ: Đặt  ln xdx  x ln xdx  x sin xdx  xe dx  e cos xdx u ln x ln x x x cos x vdv dx xdx sin xdx e x dx e x dx x x Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm F  x    x sin xdx A sin x  x cos x  C B x sin x  cos x  C C  x cos x  sin x  C D x sin x  cos x  C C x  ln 4x  1  C D 2x  ln 4x  1  C Ví dụ 2: Tính nguyên hàm  ln 4xdx A x  ln 4x  1  C B x  ln 4x  1  C Ví dụ 3: Cho F  x  nguyên hàm hàm số y  x.e 2x , biết F    Tìm F  x  A 2x e  x  2  B 2x  1 e x   2  C 2x  1 e x   2  1  D 2e 2x  x    2  Bài tập tự luyện x Câu Tính F  x    xe dx Chọn kết A F  x   x  x3 e C x B F  x    x  3 e  C x x  x3 e C D F  x    x  3 e  C Câu Tính F  x    x sin 2xdx Chọn kết C F  x   A F  x     2x cos 2x  sin 2x   C B F  x    2x cos 2x  sin 2x   C C F  x     2x cos 2x  sin 2x   C D F  x    2x cos 2x  sin 2x   C Câu F  x   x sin x  cos x  2017 nguyên hàm hàm số nào? A f  x   x sin x B f  x   x cos x C f  x    x cos x D f  x    x sin x HDedu - Page 227 PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x   e  x  A F  x   3e x  x  C B F  x   3e x  e x ln e x  C C ex C F  x   3e x  D F  x   3e x  x  C  1 Câu Tính     dx  x 2 A x x  C 2 B x  x  C 1  xC x C D x  C x x4 x2   Câu Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  x thỏa mãn F 1  0, F  x   a b c Tính S  a  2b  c A 10 B 12 C 14 D 16 Câu Cho hàm số y  x  x có nguyên hàm f  x  cho f 1  Tính giá trị biểu thức f    f  64  A 2018 B 1792 C 1945 D 1794 x2 x 1 Câu Tìm nguyên hàm hàm số f  x   A  f  x  dx   x  4 x   C B  f  x  dx   x   x   C C  f  x  dx  x C  x  1 x  D  f  x  dx  x   C x 1 Câu Tìm hàm số F  x  biết F  x   3x  2x  đồ thị hàm số y  F  x  cắt trục tung điểm có tung độ A F  x   x  x  x  B F  x   x  x  x  C F  x   6x  D F  x   x  x  x     9x  12 Câu Tính   9x  13 A 13   9x  13  C B 117   9x   13  C C 117   9x  13 C D  C Câu Cho hàm số f  x   2x  sin x  cos x Một nguyên hàm F  x  f  x  thỏa mãn F    A x  cos x  2sin x B x  cos x  2sin x  C  cos x  2sin x D x  cos x  2sin x  1–A 2–B 3–B 4–D 5–A 6–B 7–C 8–B HDedu - Page 228 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm tích phân Cho hàm số y  f  x  liên tục K a, b  K F  x   x nguyên hàm hàm số Nếu F  x  nguyên hàm y  f  x  K y  f  x   2x, tích phân cận từ tới hàm số F  b   F  a  gọi tích phân y  f  x  y  f  x   2x là: b từ a đến b kí hiệu  f  x  dx a b  f  x  dx  F  b   F  a  a Trong đó: a cận trên, b cận f(x) hàm số dấu tích phân dx: gọi vi phân đối số f  x  dx : gọi biểu thức dấu tích phân Chú ý: Tích phân xác định khơng phụ thuộc biến b b a a  f  x  dx   f  t  dt F  b   F  a  2 1  2x dx   2tdt  2udu  Tính chất tích phân 0  f  x  dx  0 b a a b 2  f  x  dx    f  x  dx b b a a b b b a a a  f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx Nếu f  x   0, x   a, b  b  f  x  dx  0, x  a, b  2x dx   2x dx  kf  x  dx  k  f  x  dx,  k    2x dx  2 1  2x dx  2 x dx 2 1 2  2x  x  dx   2x dx   x dx Với f  x   2x  0, x  1, 2 , ta có: 2 1  f  x  dx   2x dx   0, x  1; 2 a PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân phương pháp phân tích HDedu - Page 229 Phần BÀI TẬP TỔNG HỢP b b c a c a Câu Giả sử  f  x  dx   f  x  dx  a  b  c  f  x  dx A B C -1 1 2 D -5 Câu Nếu  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx A Câu B C D -3 Cho f  x  , g  x  hàm số liên tục đoạn  2;6 thỏa mãn  f  x  dx  ; 6 3  f  x  dx  7;  g  x  dx  Hãy tìm mệnh đề khơng A  3g  x   f  x  dx  B ln e6 C   3f  x   4 dx  ln e6  2f  x   1 dx  16 D   4f  x   2g  x   dx  16 Câu Cho biết 1  f  x  dx  15 Tính giá trị P   f   3x    dx A 15 B 37 C 27 D 19 5 0 Câu Giả sử  f  x  dx   f  z  dz  Tổng  f  t  dt   f  t  dt A 12 B C D Câu Cho y  f  x  hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn  6;6 Biết  f  x  dx  1 1  f  2x  dx  Tính  f  x  dx A I  11 Câu B I  C I  Cho f, g hai hàm liên tục đoạn 1;3 D I  14 thỏa mãn:  f  x   3g  x  dx  14 3 1  2f  x   g  x  dx  Tính  f  x   g  x  dx A B C D HDedu - Page 240 b b Câu Cho  f  x  dx   g  x  dx  3 Tích phân a a A -4 B b   f  x   2g  x   dx a C D Câu Cho hàm số f  x  liên tục khoảng  0;19  thỏa mãn 19 19  f  x  dx  10 ;  f  x  dx  Khi P   f  x  dx   f  x  dx có giá trị A B C D 13 Câu 10 Cho f  x  hàm số liên tục đoạn  0;3 f  x  f   x   với x   0;3 Tính dx  f x   K A K  B K  C K  D K  HDedu - Page 241 CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Diện tích hình phẳng Phương pháp giải a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  Đồ thị  C  hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b   Trục hoành y   Hai đường thẳng x  a, x  b b S   f  x  dx a b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  Đồ thị  C  hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a; b   Hai đường thẳng x  a, x  b b S   f  x   g  x  dx a c Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  Đồ thị  C  hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a; b  Trường hợp 1: Giải phương trình: x  a f x  gx   , a  b x  b b S   f  x   g  x  dx a Trường hợp 2: Giải phương trình: x  a f  x   g  x    x  b ,  a  b  c   x  c b c a b S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx d Hình phẳng giới hạn nhiều hai đường cong Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị chia thành nhiều phần diện tích, mà phần HDedu - Page 242 ta tích theo cơng thức: c b a c S   f  x   h  x  dx   g  x   h  x  dx Chú ý: Bằng cách coi x hàm biến y, diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  liên tục đoạn  a; b  hai đường thẳng y  a , y  b tính theo cơng thức: b S   f  y   g  y  dy a Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 , trục hoành, đường thẳng x  đường thẳng x  là: A S   B S  C S  25 D S  25 Ví dụ 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  y  4x Xác định mệnh đề 3 B S    x  4x  3 dx A S   x  4x  dx   C S   x   4x dx D S   x  4x  dx 1 Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  hàm số y  2x  x  x  đồ thị  C  hàm số A y  x  x  B C D Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  2x  1, y  x  1, x  0, x  m,   m  3 A m3 3m  B  m3 3m  C m3 m   2m D m3 m   2m HDedu - Page 243 Ví dụ 5: Cho  H  hình phẳng giới hạn parabol y  3x , cung trịn có phương trình y   x (với  x  ) trục hồnh (phần tơ đen hình vẽ) Diện tích  H  A 4  12 B 4  C 4   D  2 Ví dụ 6: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (1;1) trục đối xứng song song hình bên Tính quãng đường S mà vật di chuyển kể từ lúc xuất phát (tính theo km) A S  6km C S  46 km B S  8km D S  40 km Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a, b, c  , a   có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  tiếp xúc với đường thẳng y  điểm có hoành độ âm đồ thị hàm số y  f   x  cho hình vẽ bên: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị  C  trục hoành A S  C S  21 B S  27 D S  HDedu - Page 244 Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Đặt y  f   x  hình bên Đặt h  x   2f  x   x Mệnh đề đúng? A h    h  2   h   B h    h  2   h   C h    h    h  2  D h    h  2   h   Bài tập tự luyện Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e x  , trục hoành hai đường thẳng x  ln 3, x  ln nhận giá trị sau đây? A S   ln 3 B S   ln C S   ln D S   ln Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x , trục tung đường thẳng x  A S  B S  2 1 C S  2 1 D S    1 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e x  x, y  x  x  ln A S   ln B S   ln C S   ln D S   ln Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ln x trục hoành đường thẳng xe A S  e2  B S  e2  C S  e2  D S  e2  HDedu - Page 245 Dạng 2: Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay Phương pháp giải a Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b S  x  diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x a  x  b S x  liên tục đoạn  a; b  Cơng thức tính thể tích B b V   S  x  dx a b Thể tích khối trịn xoay giới hạn đường  C  :y  f  x  , trục hoành y  , hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  sinh quay quanh Ox là: b V   f  x  dx a c Thể tích khối trịn xoay giới hạn hai đường y  f x, y  gx , hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  sinh quay quanh Ox là: b V   f  x   g  x  dx a HDedu - Page 246 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng có phương trình x  x  , biết thiết diện vật thể bị cắt phần mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   0; 2 phần tư đường trịn bán kính A V  32 2x , ta kết nào? B V  64 C V  16  D V  8 Ví dụ 2: Thể tích phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x  x  , có thiết diện bị cắt phần mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x  3 hình chữ nhật có hai kích thước x  x A V  B V  18 C V  20 D V  22 HDedu - Page 247 Ví dụ 3: Khối trịn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn đồ thị  P  : y  2x  x A V  trục Ox tích 16  15 B V  11  15 C V  12  15 D V   15 Ví dụ 4: Thể tích khối tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y   x , y  0, x  x  quay quanh trục Ox A 8 B 2 C 46  15 D 5 Ví dụ 5: Thể tích vật thể trịn xoay quay quanh hình phẳng giới hạn đường y   x , y  quanh trục Ox có kết dạng A 11 a a  a; b    ; phân số tối giản Khi a  b có kết b b B 17 C 31 D 25 Ví dụ 6: Quay hình phẳng  H  hình tơ đậm hình vẽ bên quay quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích Trang A V  3 B V  3 C V  3 D V  3 HDedu - Page 248 Ví dụ 7: Một chng có dạng hình vẽ Giả sử cắt chng mặt phẳng qua trục chuông, thiết diện có đường viền phần parabol (hình vẽ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chng A 6 B 12 C 23 D 16 Bài tập tự luyện   Câu Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  cosx ,   x   hai trục tọa độ Ox, 2  Oy Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox   D Câu Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  2x  x y  x quay quanh trục Ox tạo thành tích A  B C khối trịn xoay tích A V   B V   C V   D V   Câu Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  0; x   , biết thiết diện vật thể với mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x    tam giác có cạnh s inx A B  C D 2 Câu Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình cầu bán kính đơn vị thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y  2x  đường cong y   x xung quanh trục Ox Hãy so sánh V1 , V2 A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  2V2 Câu Hình phẳng S1 giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b  a  b  quay quanh Ox tích V1 Hình phẳng S2 giới hạn y  2f  x  , y  0, x  a, x  b  a  b  quay quanh Ox tích V2 Lựa chọn phương án A V1  4V2 B V2  8V1 C 2V1  V2 D 4V1  V2 HDedu - Page 249 Dạng 3: Ứng dụng nguyên hàm tích phân toán thực tế Phương pháp giải  Giả sử v  t  vận tốc vật thời điểm t s  t  quãng đường vật sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Mối liên hệ s  t  v  t  sau: Đạo hàm quãng đường vận tốc: s  t   v  t  Chú ý: Khi vật dừng hẳn  v  t   Nguyên hàm vận tốc quãng đường s  t    v  t  dt Quãng đường vật khoảng thời gian t   a; b  b  v  t  dt  s  b   s  a  a  Nếu gọi a  t  gia tốc vật ta có mối liên hệ v  t  a  t  sau: Đạo hàm vận tốc gia tốc: v  t   a  t  Nguyên hàm gia tốc vận tốc v  t    a  t  dt HDedu - Page 250 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   160  10t  m / s  Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t   s  đến thời điểm mà vật dừng lại A 1028 m B 1280 m C 1308 m D 1380 m Ví dụ 2: Một tơ chuyển động với vận tốc v  t   m / s  , có gia tốc a  t   v  t    m / s2  2t  Vận tốc tơ sau 10 giây (làm trịn đến hàng đơn vị) A 4,6 m/s B 7,2 m/s C 1,5 m/s D 2,2 m/s Ví dụ 3: Một vật chuyển động với vận tốc10 m/s tăng tốc với gia tốc a  t   3t  t Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 4300 m B 4300 m C 430 m D 430 m 13 t 8 lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0,01 cm) Ví dụ 4: Gọi h  t   cm  mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết h   t   A 2,67 cm B 2,66 cm C 2,65 cm D 2,68 cm Ví dụ 5: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N  t  Biết N  t   4000 lúc đầu đám  0,5t vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số sau nhất? A 251000 B 264334 C 261000 D 274334 HDedu - Page 251 Bài tập tự luyện Một hạt prôtôn di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm / s ) 20 a t  ( với t tính giây) Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t  v  30  cm / s  1  2t  Câu A v  10  2t B v  10  20  2t C v  1  2t   30 3 D v  20 1  2t   30 Câu Một tia lửa bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa cách mặt đất mét, biết gia tốc 9,8m / s A 30,625 m B 37,5 m C 68,125 m D 6,875 m Câu Một vật chuyển động với vận tốc v  t    2sin 2t  m / s  Quãng đường mà vật chuyển động khoảng thời gian t   s  đến thời điểm t  3  3 1 D 4 t2  Câu Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1,5   m / s  Quãng đường mà vật t2 giây bao nhiêu? (làm tròn kết đến hàng phần trăm) A 3 1 A 12,60 m B 3  3  s  B 12,59 m C C 0,83 m D 6,59 m HDedu - Page 252 Phần BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e x , y  e  x , x  e  2e  A e e  2e  B e e  2e  C e e  2e  D e Câu Thể tích khối trịn xoay giới hạn đồ thị hàm số y  ln x, y  0, x  1, x  quay quanh trục Ox có kết A 2  ln  1 B 2  ln  1 2 C   ln  1 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  A S  ln  B S  ln D   ln  1 2 3x  , Ox, Oy x 1 C S  ln  D S  ln  Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Gọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường thẳng x  a, x  b (như hình vẽ đây) Giả sử SD diện tích hình phẳng D Chọn cơng thức b a 0 b a A SD   f  x  dx   f  x  dx C SD   f  x  dx   f  x  dx b a 0 b a B SD    f  x  dx   f  x  dx D SD    f  x  dx   f  x  dx Câu Một ô tơ chạy với vận tốc 18m/s người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   36t  18  m / s  , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ô tô di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng mét? A 5,5 m B 3,5 m C 6,5 m D 4,5 m HDedu - Page 253 Câu Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  , y  0, x  0, x  quay xung quanh   3x trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành A    ln  1 6  B    ln  1 4  C    ln  1 6  D    ln  1 9  Câu Một ô tô chạy với vận tốc 20m / s người lái đạp phanh Sau đạp phanh, ôtô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   40t  20  m / s  , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển mét? A 10m B 7m C 5m D 3m Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e  x , trục hoành, trục tung đường x thẳng x  A S  e  B S  e  C S  e  D S  e  Câu Cho đồ thị hàm số y  f  x  Diện tích hình phẳng (phần gạch hình) 3 A I   f  x  dx   f  x  dx 0 3 3 0 B I   f  x  dx   f  x  dx C I   f  x  dx D I   f  x  dx   f  x  dx 3 Câu 10 Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y  e x , y  0, x  0, x  ln Đường thẳng x  k   x  ln  chia  H  thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1  2S2 A k  ln B ln C ln D ln Câu 11 Trong hệ tọa độ Oxy, parabol y  x2 chia đường tròn tâm O (O gốc tọa độ) bán kính r  2 thành phần, diện tích phần nhỏ A 2  B C 2  3 D 2  HDedu - Page 254 ... 30 03 B C I   udu 1000 Câu Tính tích phân: I   x  3x A B I   udu 29   x 31 001 30 00 D I   udu   dx C 41000 30 00 D 31 001 30 03 HDedu - Page 233 Dạng 3: Tích phân phương pháp tích phân. .. luyện Câu Tìm nguyên hàm hàm số f  x    3x A  f  x  dx   C  f  x  dx    3x   3x  C   3x   3x Câu Biết nguyên hàm hàm số f  x   B  f  x  dx     3x   3x D  f... x  2sin x  1–A 2–B 3? ??B 4–D 5–A 6–B 7–C 8–B HDedu - Page 228 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm tích phân Cho hàm số y  f  x  liên