ôn thi môn toán chuyên đề nguyên hàm tích phân (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm- Tích phân BÀI NGUYÊN HÀM TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Nguyên hàm thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Nguyên hàm, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng I Các công thức tính đạo hàm 1.(C ')  2.(Cx) '  C 3.( x ) '   x 1 (u ) '   u 1.u ' x ln a u'  log a u  '  u ln a 10.(sin x) '  cos x  log a x  '  ' 1     x x ' u' 1    u u (sin u ) '  u '.cos u  x   21x ' 11.(cos x) '   sin x (cos u ) '  u '.sin u  u   2u 'u '  e  e x ' cos x u' (tan u ) '  cos 2u 13.(cot x) '   sin x u' (cot u ) '   sin u 12.(tan x) '  x  e   e u '  a   a ln a  a   a ln a.u ' u ' u x ' u ' x u  u  u ' v  v 'u ;    v2 v ' 14 (uv) '  u ' v  uv '; x u'  ln u  '  u  ln x  '   u  v  '  u ' v ' II Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm f ( x) K với x  K ta có: F '( x)  f ( x) Ví dụ Họ nguyên hàm Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) F ( x) +C nguyên hàm f ( x) F ( x) +C gọi họ tất nguyên hàm f ( x) Kí hiệu:  f ( x)dx  F ( x)  C Ví dụ: Tính Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương  x dx 1    x    dx x  Chuyên đề 03 Nguyên hàm- Tích phân  tan xdx  sin x.cos3 xdx  e3 x dx  cos xdx  cos3 xdx  sin xdx  dx sin x.cos x 10  cos3 x dx  sin x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm- Tích phân BÀI NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Ngun hàm thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Nguyên hàm Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 1 a) y   x b) y  x x Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) y  ( x  3x)( x  1) b) y  ( x  3)3 c) y  x  x c) y  ( x  x )( x  1) Bài 3: Tìm nguyên hàm hàm số sau: ( x  2) ( x  1) dx b)  dx  x4 x2 Bài 4: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) a)  x  1   b)  (2 x  3x 2 )  x    3x 3  dx x     x  x  x  1 dx Bài 5: Tìm hàm số y  f ( x) , biết  f (1)  x2 b Bài 6: Tìm hàm số y  f ( x) biết f '( x)  ax  , f (1)  2, f (1)  4; f '(1)  x a) f '( x)  x  x f (4)  b) f '( x)  x  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI NGUYÊN HÀM ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Ngun hàm thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Nguyên hàm Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: c) y  x  x 2 1 a) y   x b) y  x x Giải: Áp dụng bảng nguyên hàm ta có x x3 a) x   C b)  C c) x  x  C x Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) y  ( x  3x)( x  1) b) y  ( x  3)3 c) y  ( x  x )( x  1) Giải: Nhân đa thức với x x3 3x ( x  3)   C b) C 4 Bài 3: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) a) ( x  2)  x dx Giải: b) c) x5 x x3 x    C ( x  1)  x dx Khai triển đẳng thức, áp dụng cách tách: ab a b   c c c x3 a)     C b)  2x   C x x 3x x Bài 4: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a)  x  x  x  x  1 dx  1   b)  (2 x  3x 2 )  x    3x 3  dx x    Giải: Nhân đa thức với tách thành nguyên hàm x3 x x4   x2  x2  C b)  xC Bài 5: Tìm hàm số y  f ( x) , biết a) a) f '( x)  x  x f (4)  b) f '( x)  x   f (1)  x2 Giải: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân Trước tiên ta tìm ngun hàm hàm số, sau ta thay x để tìm C x x x 40 a)   3 x2 b)   2x  x Bài 6: Tìm hàm số y  f ( x) biết f '( x)  ax  b , f (1)  2, f (1)  4; f '(1)  x2 Giải: ax b  c x Từ điều kiện cho, ta có hệ phương trình a 2 b  c   a   b  c   a  1; b  1; c  2 a  b    f ( x)  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm – Tích phân BÀI 02 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài 02 Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 01) thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài 02 Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Tính chất +)  c f ( x)dx  c. f ( x)dx +)   f ( x)  f ( x)   f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx    f ( x)dx n n Bảng tích phân  dx  x  C u 1  u du  C  1 du   ln u  C u   eu du  eu  C  a u du  au C ln a  cos udu  sin u  C  sin udu   cos u  C du  tan u  C cos 2u du    cot u  C sin u  Ba kỹ a) Kỹ đưa vào dấu vi phân d  f ( x)  f '( x)dx Chú ý: dx  d ( x  C ) Bài tập mẫu: Tìm nguyên hàm  ( x5  1)6 x dx  cos x dx (3  sin x)3   x3 x dx Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI 02 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài 02 Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 01) thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài 02 Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 01) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Tìm họ nguyên hàm sau: 1    x  x3  x  x   dx 4    me x 4m    7m  dx   mx3  3x  x    x 2x    2a x  log3 x  2sin x  3cos x  dx Bài 2: Tìm họ nguyên hàm sau: a  dx x  4x  c  dx x  3x  Bài 3: Tìm họ nguyên hàm sau:      3x  t anx+3x-2  dx  x  dx  12 x  d  dx x  3x  b  9x 2  x   dx  4x  2x  d  dx x  4x  Bài 4: Tìm họ nguyên hàm sau: f ( x)    cosx.cos  x+  4  2( x  1) dx  2x  3x  c  dx x  2x  a x b x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm- Tích phân BÀI 02 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài 02 Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 01) thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài 02 Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 01) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Tìm họ nguyên hàm sau: 1    x  x3  x  x   dx 4    me x  2a x  log3 x  2sin x  3cos x  dx 4m    7m  dx   mx3  3x  x    x 2x        3x  t anx+3x-2  dx  x  Giải: 4 1  x  x  x  x  x  C   x  x  x  x   dx  20 4  4m m 4m    7m  dx  x  x   x  1    7mx  C   mx3  3x  x    x 2x 2.x 2.x     me x  2a x  log x  2sin x  3cos x  dx  me x 2a x   x ln x  x   cos2x+ sin x  C ln a ln 3x      3x  t anx+3x-2  dx  x   ln cosx  x  x  C ln  x  Bài 2: Tìm họ nguyên hàm sau: 1 a  b  dx dx x  4x  x  12 x  1 dx dx c  d  x  3x  x  3x  Giải: 1 a  dx   dx   C x  4x  x2  x  2 1 1 1 dx   dx   dx   C 2  9x   12 x   9 2 2  9 x   x  x  3  3 3   1 1 x2 c  dx    x 1 x  2 dx   x  dx   x 1 dx  ln x   ln x 1  ln x 1  C x  3x  2 1 b  9x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm- Tích phân    1 1 1 1 dx  dx    dx   dx   d  1 x  3x   1  x 1  x 1    x    x  1   4  4  1 1 x 1  x  1  C  ln C ln x   ln x    ln 3 4x 1  x Bài 3: Tìm họ nguyên hàm sau:  x   dx 2( x  1) a  b  dx x  4x  x  2x  3x  2x  c  d  dx dx x  2x  x  4x  Giải: d  x  x  3 2( x  1) 2x  a  dx   dx    ln x  x   C x  2x  x  2x  x  2x  d  x2  x  3  x   dx x  4dx b     ln x2  x   C x  4x  x  4x  x  4x  c Cách E  x  2  D 2E  D  2E 3x    Ta có : Đồng hệ số hai tử số ta có hệ phương trình : x  2x  x2  x  x  2x  3   2x  2 E 2 E  3x      22   x  2x  x  2x  x  2x  D  2E   D  1  3x  d  x  x  3 Vậy :  dx    dx  ln x2  x   J 1 x  2x  x  2x  x  2x  1 1 x 1  dx    dx   dx   ln x   ln x   ln C Tính :J=  x  2x   x 1 x3  4 x3 Do : x 3x  x 1 dx  ln x  x   ln C  2x  x3 -Cách A  x  3  B  x  1  A  B  x  3A  B 3x  3x  A B     *  x  x   x  1 x  3 x  x   x  1 x  3  x  1 x  3 Ta có : +)  A  A B     Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  3 A  B   B    Suy : Vậy : 3x    x  x   x  1  x  3 x 2 3x  7 dx   dx   dx  ln x   ln x   C  2x  x 1 x3 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm- Tích phân +) Phân tích f(x) đễn (*) Sau thay hai nghiệm x=1 x=3 vào hai tử số để tìm A,B , cụ thể ta có hệ hai  A  3.1   A(1  3)   phương trình sau :  3( 3)   B ( 3  1)  B    Các bước giống E  x    D Ex  D  E 2x    d.Ta có : Đồng hệ số hai tử số : x  4x  x2  4x  x  4x  2 E  E  Ta có hệ     D  4E  3  D  7 2x  2x  Suy :   x  4x  x  4x  x  4x  2x  2x  Vậy :  dx   dx   dx  ln x  x   C x  4x  x  4x  x2  x  2 Bài 4: Tìm họ nguyên hàm sau: f ( x)    cosx.cos  x+  4  Giải: Cách Sử dụng đồng thức :  cos cos        cos  x+   x  4   cos       2cos  x+   x  4           cos  x+   x  cos  x+  cosx+sin  x+  s inx    dx   4  4 Ta có : F ( x)   dx      s inx.cos  x+  s inxcos  x+   4  4     sin  x+    cosx s inx   dx   ln s inx  ln cos  x+     ln =  dx   C          4  s inx  cos  x+  cos  x+    4   4   Cách : Dựa đặc thù hàm số f(x) Ta có: 1 1 F ( x)   dx   dx   dx   dx cosx  s inx  sinx-cosx  s in x  cotx-1    s inxcos  x+  s in x 1 4   sinx  d  cot x  d  cot x  1   2   2   ln cot x   C cot x  cot x  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân e 1e e3 x3 e e3 e3 2e3  → I1 = x ln x   x dx       31 3 9 9 Tính I2 : e e ln x e I   ln x dx   ln x d (ln x)   x 2 1 Do I = I1+I2= 2e  1 +    2 0 11 I   ( x  sin x) cos x dx   x cos x dx   sin x.cos x dx I1 I2    x  u dx  du   Tính I1 : Đặt  → I1 = x.sinx   sin x dx   cosx    2 cosx dx  dv v  sin x 0    sin x Tính I2 : I2 =  sin x.cos x dx   sin x d (sin x )  2 3 0 2 2   -1+ =  3 e 1 e 1  x   1.ln( x  1) dx  e1 ln( x  1)  ln( x  1)  dx x.ln( x  1) 12 I   dx    x 1 x 1 x 1   0  Vậy I = I1+I2= e 1 = e 1  ln( x  1) dx   ln( x  1) dx  I1  I x 1  dx  du ln( x  1)  u  Tính I1 : Đặt    x 1 dx  dv v  x  e 1 e 1 e 1 e 1 x x  1   → I1 = x.ln(x+1)  dx  e    dx  e    1   dx x 1 x 1 x 1  0  = e   [x  ln( x  1)] e 1  ln ( x  1) e  1 Tính I2 : I2 =  ln( x  1) d ln( x  1)   2 1 Vậy I = I1-I2= 1-  2     cos2 x     4 x  2 4 x  2sin x x 1 cos2 x   dx  13 I   dx   dx   2  (s inx  cosx)2 (s inx  cosx)2 dx (s inx  cosx) (s inx  cosx) 0 e 1 I1  I2  14 x 1 dx   dx Tính I1 : I1=   2 cos ( x   ) [ 2cos( x  )] 4 x 1 Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân x 1  u dx  du    Đặt   dx  dv    cos ( x   ) v  tan( x  )          sin( x   )  ) dcos( x   1 1  dx  1  → I1 = (x-1).tan(x- )        2 2 cos( x  ) 0 cos( x  )  4      1  1 = 1  ln cos( x  )     ln   4 0             cos2 x cos2 x d (1  sin x) 1 Tính I2 : I2 =  dx   dx    ln  sin x  ln 2 (s inx  cosx)  sin x  sin x 2 0 1 Vậy I=  ln e e e ln x  ln x  14 I     3x ln x  dx   dx  3 x ln x dx  I1  3I   x  ln x x  ln x 4 42 ln x  u 2e3  Tính I2 : Đặt   I2   x dx  dv Tính I1 : Đặt  ln x  t  I1   2  2e Vậy I= I1  3I  b DẠNG e f ( x) R(sinx, cos x)dx a ef ( x )  u Cách giải: Đặt   R(s inx, cos x)dx  dv BÀI TẬP MẪU : Tính tích phân  3e3 x dx  du e3 x  u  I=  e3 x sin x dx Đặt   1 sin 5x dx  dv v  cos5x   I =  cos x cos x  e sin x dx   e 2sin x.cos x dx Đặt cosx = t → -sinxdx = dt x  0 t t  u dt  du → I =  et t dt Đặt  t  t e dt  dv v  e   t  u dt  du I =  sin x.e sin x dx   e  sin x sin x.cos x dx Đặt  t  t e dt  dv v  e 0 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương  t 1 t   I =  e t   e dt    e1  et 0    Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân 1  2   1   0  e e2  x ln x dx Đặt x  t → x = t2 , dx = 2tdt x t e2 e 1  2.ln t t dt  du ln t  u   I =  t.ln t.2t dt  8 t ln t dt Đặt   t dt  dv v  t 1    40e  16 I= 27 e e   4 tan x.ln(cos x) sin x.ln(cos x) I =  dx   dx Đặt cosx = t → -sinx dx = dt cosx cos x 0 x  t 2 1 ln t  u  t dt  du ln t    I =  dt Đặt  t  t dt  dv v  1   t  1 1  2 ln  I = ln t   dt     ln t t t 2 2 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 13 - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI TÍCH PHÂN CĨ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài 1: Tính tích phân: I   x  dx 2 Bài 2: Tính tích phân I   2x  dx Bài 3: Tính tích phân I   4x 1 dx x 3x  2 Bài 4: Tính tích phân I   x  3x  dx  Bài 5: Tính tích phân I    cos2 xdx Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI TÍCH PHÂN CĨ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Tính tích phân I   x x  dx Bài 2: Tính tích phân I    x   x   dx   3 Bài 3: Tính tích phân I   x  x dx Bài 4: Tính tích phân I   x3  x  xdx Bài 5: Tính tích phân I   1 x x  x  12 dx e Bài 6: Tính tích phân I   ln x dx e Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI TÍCH PHÂN CĨ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Tính tích phân I  x x dx Giải: I  x x 1 dx   x x  dx 2 2 1 1     x   x  dx   x  x   dx 2    Bài 2: Tính tích phân I    x   x   dx   3 Giải: I  3 x  dx   x  dx 3 5 2    ( x  2)dx   ( x  2)dx    (2  x)dx   ( x  2)dx  3 2  3  2 Bài 3: Tính tích phân I   x  x dx Giải: I   x  x dx   x  x dx 1   ( x  x )dx   ( x  x)dx Bài 4: Tính tích phân I   x3  x  xdx Giải: 4 I   x( x  x  1)dx   x( x  1) dx 0 4 0   x  xdx   (1  x) xdx   ( x  1) xdx Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân     2    x  x  dx    x  x dx   0 1 1 Bài 5: Tính tích phân I   1 x x  x  12 dx Giải: x x dx   dx  I1  I x  x  12 x  x  12 1 0 I  xdx x  x  12 1 Tính I1   Đặt x2  t  xdx  dt  x  1  t  Đổi cận:  x   t  0  I1   dt 1  t  t 12    (t  3)(t  4) dt 21 1  1    t   t   dt 14    Tính I   x dx tương tự x  x  12 e Bài 6: Tính tích phân I   ln x dx e Giải: e e I   ln x dx   ln x dx e e    ln xdx   ln xdx  I1  I Tính I1    ln xdx e 1 b ln x  u  dx  du b Đặt   x  I1  uva   vdu dx  dv v  x a  e Tương tự I   ln xdx Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (Phần 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài 1: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn parabol: y đường thẳng x 2; x x x , trục hoành y = 0, hai Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y ( e 1) x, y (1 ex ) x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x3 11x 6, y x2 , y x 6x2 , x 0, x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI 10 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (PHÀN 1) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài 10 Ứng dụng tích phân (phần 1) thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài 10 Ứng dụng tích phân (phần 1), Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng I Diện tích hình phẳng  y  f ( x); y  g ( x) Diện tích hình phẳng giới hạn đường   x  a; x  b (a  b) b Được tính theo cơng thức: S   f ( x)  g ( x) dx a Chú ý: Trong thực hành, trước tiên ta phải giải phương trình: f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  - Nếu phương trình có nghiệm x1 ; x2 ; ; xn  (a; b) x1 x2 b a x1 xn S  S1  S2   Sn   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx    f ( x)  g ( x) dx b - Nếu phương trình vơ nghiệm nghiệm khơng thuộc (a; b) thì: S   f ( x)  g ( x) dx a Khi giải phương trình f ( x)  g ( x) [a; b] phân chia miền lấy tích phân đoạn lấy tích phân hiệu f ( x)  g ( x) khơng đổi dấu x2 Do ta có:  f ( x)  g ( x) dx  x1 x2   f ( x)  g ( x)  dx x1 Bài tập mẫu: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường  y  x3  x ; y  x 1)   x  2; x   x2  y ;y 5  2)  x 1  x  2; x    y   sin x; y  cos x 3)   x  0; x    y  2x  x2 ; y  4)   x  0; x    ln x ;y0 y  5)  x  x  1; x  e   y  f ( x); y  g ( x)  y  f ( x) Nếu hình phẳng giới hạn ba đường  hai đường  ta phải xa y  g ( x)   giải phương trình f ( x)  g ( x) để tìm nốt đường x  ? cịn lại làm tương tự trường hợp Bài tập mẫu: Tính diện tích hình phẳng giới hạn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân  2x y  e ; y  x 1)  e x   ln x  y  ; y  2)  x x  e   y   x2  3)  x2 y    y  x3  x 4)  y  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa h c Tốn 12 - Th y Lê Bá Tr n Phương Tích phân NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG (Ph n 2) HƯ NG D N GI I BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PHƯƠNG Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ñư ng sau:  x2 y = 4−  (ðHKB 2002) 1)  y = x   Gi i: Xét phương trình: x2 x2 = ; −4 ≤ x ≤ 4 16 − x x ⇔ = ⇔ x + x − 128 = 32 4− ⇔ x=± 8 ⇒S= ∫ 4− − x2 x2 − dx 4 ð t: ∫ S1 = − 4− x2 dx t = 4sint ⇒ S1 = 2π + S2 = x2 ∫ dx = − ⇒ S = S1 − S V y: S = 2π + − = 2π + (ñvdt) 3  y = − x2  2)  x + 3y =  Gi i: Xét phương trình: Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Toán 12 - Th y Lê Bá Tr n Phương Tích phân x2 ⇔ − x2 = x2 ⇒ x + x − 36 = − − x2 = −  x = 12 ( L) ⇒ ⇒x=± x =3  ⇒S= ∫ − *I1 = − x2 − + − x dx = 3 x2 ∫ − dx + ∫ − x dx = I1 + I − − 3 *I ð t x = 2sint ⇒ I = ⇒S= − 4π + 3 4π 4π + 4π + + + = = (ñvdt) 3 3  x x +1 y = 3)  24  y = x.2− x  Xét phương trình:  x  x x + = x.2− x ⇔ x  x + − 2− x  = 24  24  x = ⇒ x  x3 + = 2− x (*)  24 Nh n th y pt(*) có m t nghi m x = M t khác, v trái c a (*) có x > => ðây hàm đ ng bi n VP c a (*) hàm ngh ch bi n nên x = nghi m nh t c a pt (*) V y: S=∫ 2   x x + − x.2− x dx = ∫  x x3 + − x.2− x dx 24 24  0   = ∫  x x + dx − ∫ ( x.2− x )dx = I1 − I 24  0 I1 = 13 ; I2 = − + ln ln 2 S =− 13 (ñvdt) − + 54 ln ln 2 4) Tìm a đ di n tích hình ph ng gi i h n b i ñ th sau l n nh t: y= x + 2ax + 3a a − ax , y= , a>0 + a4 + a4 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Toán 12 - Th y Lê Bá Tr n Phương Tích phân Gi i: Xét phương trình: x + 2ax + 3a a − ax = ⇔ x + 2ax + 3a = a − ax 4 1+ a 1+ a  x = −2a ⇔ x + 3ax + 2a = ⇔   x = −a −a Suy ra: S = ∫ −2 a = x + 2ax + 3a a − ax − dx = 4 1+ a 1+ a + a4 −a ∫ (x + 3ax + 2a ) dx −2 a −a x3 −a x −a −a3 a3 (ñvdt) + 3a + 2a x = = −2a + a + a −2a −2 a 6(1 + a ) Coi S hàm theo bi n a, ta có: 3a − a a (3 − a ) S'= = (1 + a ) 6(1 + a ) S ' = ⇔ a4 = ⇔ a = L p b ng xét d u: a S’ + +∞ - Max S V y S l n nh t a = Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương Ngu n: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (Phần 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng sau: y y x2 1) x2 y y 3) y (ĐHKB 2002) x2 y 2) x2 x x 24 x.2 x 4) Tìm a để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị sau lớn nhất: y x2 2ax 3a , y a4 a ax ,a a4 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm Tích phân BÀI 11 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (PHẦN 2) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài 11 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (phần 2) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài 11 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (phần 2), Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng  y  f ( x)  b) Diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng:  y  g ( x) x  a   y  f ( x) đường   y  g ( x) ta giải phƣơng trình: f ( x)  g ( x) để tìm nốt đƣờng x = ? cịn lại làm tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp a (bài trƣớc) Bài tập mẫu: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng sau đây:   y  e 2 x   1)  y  e  x x     2) y  x  x  ; y  x  ; x  ; x   y  ln x  3)  y  x  e  4) ĐHKA 2007  y  (e  1) x  x  y  (1  e ) x  y  x3  x 5)   y  2x  y  16  x  6)  y   Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - ... Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI NGUYÊN HÀM ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12... Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI 05 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài 05 Tích phân xác định... Bá Trần Phương Chuyên đề 03 Nguyên hàm - Tích phân BÀI 05 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài 05 Tích phân xác định thuộc