Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1..[r]
(1)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM: Qui tắc tính đạo hàm:
' '
2
1 ' ' ' '
2 ' ' ' ( ) ' '
' ' '
3 ( 0)
u v w u v w
u v u v v u ku k u k
u u v v u k k v
k
v v v v
2 Bảng đạo hàm:
1 ( ) 'C 0, ' 1x ( ) 'kx k
2
(x) '.x
(u) '.u 'u
'
1
x x
'
1 v'
v v
4
' 1 x
x
' '
2 u u
u
5 (sin ) 'x cosx (sin ) 'u u'.cosu (co s ) 'x sinx (cos ) 'u u'.sinu (tan ) ' 12 tan2
cos
x x
x
(tan ) ' 2' '(1 tan2 )
cos u
u u u
u
8 2
1
(cot ) ' (1 cot )
sin
x x
x
2 '
(co t ) ' '(1 cot )
sin u
u u u
u
9 (e ) 'x ex (e ) 'u e 'u u 10 (ax) 'ax.lna (au) 'au.ln 'a u 11 (ln ) 'x
x
(ln ) 'u u'
u 12 (log ) '
ln
ax
x a
(log ) ' '
ln
a
u u
u a II NGUYÊN HÀM
1.Định nghĩa:
Cho hàm số f x( )xác định K (Klà khoảng đoạn nửa khoảng)
Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm hàm số f x( )trên Knếu F x'( ) f x( ), x K Nếu F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )thì họ tất nguyên hàm hàm số
( )
(2)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt
( 0)
1 4)
k
C a
f' x dx = f x C
kf x dx = k f x dx
f x g x dx = f x dx g x dx
f ax + b dx = F ax + b
1) ( ) ( ) +
2) ( ) ( )
3) ( ) ± ( ) ( ) ± ( )
( ) ( )
3 Sự tồn nguyên hàm: Mọi hàm số f x( ) liên tục Kđều có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm nguyên hàm mở rộng:
1 dx = x +C f ax b dx = F ax b C
a
1
( + ) ( + )+
2
1
x
x dx = C
1
+
+
+
1
ax b
ax b dx = C
a 1
+
1 ( + )
( + ) +
+
3 xdx =2 x +C3
3 ax b dx = ax b C
3
2
+ ( + ) +
3a 1dx ln x C
x
dx 1ln ax b C
ax b a
5
1
dx C
x x
dx = . C
ax b ax b
1 1
+
( + ) a +
6
1
( 1) ( 1)
dx C
x x
1
( 1) (ax b) dx a( 1)(ax b) C
7 e dx = ex x+C eax bdx = eax b C
a
+ + +
8
ln
x
x a
a dx = C
a + ln
x
x a
a dx = C
a a
+
+ +
9 cosxdx =sinx C+ cosax b dx = sinax b C
a
1
( + ) ( + )+
10 sinxdx =cosx C+ sinax b dx = cosax b C
a
1
( + ) ( + )+
11 tan
cos
2xdx = x C
1
+ tan
cos
ax b dx =a ax b C
1
( + )+
( + )
12 cot
sin
2xdx = x C
1
+ cot
sin
ax b dx = a ax b C
1
( + )+
( + )
III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số:
Tính f u x u' x ( ) ( )dx
1) Nếu t = u x( )dt = u' x dx( ) 2) Tính f u x u' x dx = f t dt ( ) ( ) ( ) Thường áp dụng cho dạng sau:
(3)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt Luỹ thừa bậc lẻ sinx t =cosxdt = -sinxdx
2 Luỹ thừa bậc lẻ cosx t =sinxdt = c xdxos Luỹ thừa bậc lẻ hai sinx cosx t =sinxhoặct =cosx Luỹ thừa bậc chẵn hai sinx
cosx
1 tan
cos
t x dt dx
x
5 Chứa bậc hai f x t = f x( )t = f x2 ( )
7 Chứa và lnx
x ln
1
t = x dt = dx
x
8 Q xP x( )( )dx cóQ' x = k.P x( ) ( )(có mẫu) t = Q x( )(t = mẫu) Phương pháp nguyên hàm phần: udv = uv - vdu
Thường áp dụng cho dạng sau:
STT Dạng Cách đặt
1
sin cos
ax b
P x ax b dx
P x ax b dx
P x e +dx
( ) ( + )
( ) ( + )
( )
phần lại
u = P x dv =
( )
2 P x ( ) (ln ax b dx+ ) ln(
u = ax b
dv = P x dx
+ ) ( )
sin cos
x x
e . ax b dx
e . ax b dx
+
+
( + )
( + ) phaàn ( )
từng phần lần lại
x
u = e dv
+
4 x2±a dx
2
u = x a
dv = dx
±
IV MỘT SỐ KĨ THUẬT TRONG VIỆC TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm hàm số hữu tỉ: ( )
( ) P x
dx Q x
a) Nếu bậc tử thức P(x) lớn bậc mẫu thức Q(x) ta thực phép chia đa thức P(x) cho Q(x)
b) Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) ta xét trường hợp sau: Nếu Q’(x) = k.P(x) sử dụng pp đổi biến số đặt t = Q(x)
(4)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 2
2 ( )
1)
( )( )
1 1 1
2) ln
( )( )
1 1 1
3) ln
2
( )
4)
( )( )n ( ) ( )n
P x A B
dx dx
x a x b x a x b
x a
dx dx C
x a x b a b x a x b a b x b
x a
dx dx C
x a a x a x a a x a
P x A B C M
dx dx
x a x b x a x b x b x b
Nếu Q(x) vô nghiệm ta biến đổi dạng: 2
1
( 0) tan
dx a x a t
a x
Dạng:
2
n m
x
dx ax
Nếu n lẻ ta đổi biến số t = a + x2
Nếu n chẵn ( n = 2k ) ta xét khả sau:
Đổi biến số: x = a.tant
PP phần:
1
2
n
m
u x xdx dv
a x
Nguyên hàm hàm số vô tỉ: (Xem phương pháp đổi biến số)
2
2
2
2 1)
1
2) ln
xdx
x C t x
x
dx x x C t x x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3)
( )
1 ln
1
.ln
I x dx
x
du dx
u x
x dv dx
v x
x x
I x x dx x x dx
x x
x x x dx dx
x
x x I x x
I x x x C
Đặt
(5)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt Luỹ thừa bậc lẻ cosx đặt t = sinx
Luỹ thừa bậc lẻ sinx cosx đặt t = sinx t = cosx Luỹ thừa bậc chẵn sinx cosx hai thì:
Sử dụng công thức hạ bậc: 2
1 cos cos
sin ;cos
2
x x
x x
Sử dụng CT sin2x + cos2x = đưa hàm bậc chẵn theo hàm sinx cosx Đặt t = tanx
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (50 câu)
Câu 1: Tìm họ nguyên hàm F x( ) hàm số F x( ) 3sinx x
, ta kết A F x( )3cosx2 ln xC B F x( ) 3cosx2 ln xC
C F x( )3cosx2 ln x C D F x( ) 3cosx2 ln x C Câu 2: Một nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
2
f x x
A ( ) 1ln 2017
2
F x x B F x( )ln 2x5 C
2
( )
2
F x
x
D
2
( )
2
F x
x
Câu 3: Nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
1 x f x
x
A F x( )ln x 1 C B.F x( ) x ln x 1 C C F x( ) x ln x 1 C D F x( )2 ln x 1 C Câu 4: Một nguyên hàm hàm số
sin f x x x
A F x cos 2x6 x B 1cos
F x x x
C
cos
F x xx D
cos
F x xx Câu 5: Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) x2 x
x
A
3
3
( ) 3ln
3
x
F x x x B
3
3
( ) 3ln
3
x
F x x x C
3
3
3
( )
3
x
F x x
x
D
3
3
( ) 3ln
3
x
F x x x
Câu 6: Kết tan xdx
A.tanx x C B tanx 1 C C
cot x C D 2 tan x C Câu 7: Một nguyên hàm F x( ) hàm số
( ) x f x e
A
( ) x
F x e B
( ) x
f x e C
2 ( )
2
x
e F x
x
D
2 ( )
2
x
F x e Câu 8:Tính ( ) sin3
(6)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt A ( ) 2cos3
3
x
F x C B ( ) 2cos3
3
x
F x C
C ( ) 3cos3
2
x
F x C D ( ) 3cos3
2
x
F x C
Câu 9: Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )3x A ( )
ln
x
F x B
1 ( )
1
x
F x x
C ( )
x
F x D ( )
1
x
F x x
Câu 10: Tính
s s
) in co
(
F x x xdx A
4 sin
( )
4 x
F x C B
4 si
( ) n
4 x x
F C C
4 cos
( )
4 x
F x C
D
4 co
( ) s
4 x x
F C
Câu 11: Họ nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 x f x
x
A F x( )2x C B
( ) ln
2
F x x C
C
( ) ln
F x x C D ( ) 1ln
2
x
F x C
x
Câu 12: Tìm F x( )lnxdx
A F x( )xlnx x C B F x( )xlnx x C C F x( )xlnx C D
( )
F x C
x
Câu 13: Tính F x( ) ex 52x dx x e
A ( ) 14
x
F x e C
x
B ( ) 14
2
x
F x e C
x
C ( ) 14
x
F x e C
x
D ( ) 14
2
x
F x e C
x
Câu 14: Tính F x( )xsinxdx?
A F x( )xsinxcosx C B F x( )xcosxsinx C C F x( ) xsinxcosx C D F x( ) xcosxsinx C Câu 15: Nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )xex
A F x( )exC B F x( )exx1C C F x( )exx1C D
2 ( )
2
x
x
F x e C
Câu 16:Cho
( )
f x x x x Một nguyên hàm F x( ) f x( ) thỏa F 1 0 A
4
3 ( )
4
x
F x x x B
4
3 ( )
4
x
F x x x C
4
3
( )
4 x
F x x x D
4
3
( )
4 x
(7)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt Câu 17: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
2
( ) x x
f x
x
biết 1
2 F A
2
( ) ln
2 x
F x x x B
2
( ) ln
2 x
F x x x C
2
1
( ) ln
2
x
F x x x D
2
1
( ) ln
2
x
F x x x Câu 18: Cho hàm số
2
2
( )
2
x x
f x
x x
Một nguyên hàm F x( ) f x( ) thỏa F(1)0 là:
A ( ) 2
1 F x x
x
B
2
( )
1 F x x
x
C ( ) 2
1 F x x
x
D
2 ( ) ln F x x x
Câu 19: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 3x4 biết F 0 2 A ( ) 3 43
9
F x x B ) 3 43
9
(
F x x
C 3 43 10
3
( )
F x x D 3 43 10
3
( )
F x x
Câu 20: Cho hàm số f x( )2xsinx2 cosx Một nguyên hàm F x( ) f x( ) thỏa (0)
F
A
( ) cos sin
F x x x x B
( ) cos sin F x x x x C F x( ) 2 cosx2sinx D
( ) cos sin F x x x x
Câu 21: Tìm
( )
F x x dx
x
A
3
( ) ln
3 x
F x x x C B
2
( )
F x x x C
x
C
( ) ln
F x x x C D
( ) ln
F x x x x C Câu 22: Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )x34
A
4 ( )
4 x
F x B F x( )4x33 C ( )
5 x
F x D
3 ( )
3 x F x
Câu 23: Tìm
2
( ) x
F x e dx
x
?
A 1
( )
x
F x e C
x
B 1
( ) x
F x e C
x
C 1
( ) x
F x e C
x
D 1
( )
x
F x e C
x
Câu 24: Nguyên hàm F x( ) hàm số x y
x
A F x( )3x4 ln x2 C B F x( ) 3xln x2C C F x( )3xln x2C D F x( )3xln x2C Câu 25: Họ nguyên hàm F x( ) hàm số
(8)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt A sin
2
x F x x C
B
1 cos
2
x F x x C
C sin
2
x F x x C
D
1
sin 2
F x x x C Câu 26: Nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 3cos 12
sin
f x x
x
A F x( ) 3sinxtanx C B.F x( ) 3sinxcotx C C F x( )3sinxcotx C D F x( )3sinxcotx C Câu 27:Ta có
2
3
( )
2
f x
x x
Tính f x dx( ) F x( )C
A ( )
1
F x C
x x
B
3
( ) ln
1
F x x C
x
C ( )F x 3ln x 1 ln x2C D ( ) 3ln 1
F x x C
x
Câu 28: Nguyên hàm F x( )của hàm số
( )
3 f x
x x
A ( ) 1ln
3
x
F x C
x
B
1 ( ) ln
3
x
F x C
x
C ( ) 1ln 3
x
F x C
x
D ( ) 1ln
3 x
F x C
x
Câu 29: Một nguyên hàm F x( ) hàm số sin ( ) cos x
f x x e
A sin
( ) x
F x e B cos
( ) x
F x e C sin
( ) x
F x e D sin
( ) sin x F x x e
Câu 30: Tính
( )
F x x x dx
A
2
( ) 1
2
F x x C B
3
( ) 1
3
F x x C
C
4
( ) 1
4
F x x C D
3
( )
F x x C Câu 31: Tính F( )x lnxdx
A F x( )xlnx x C B F x( )xlnx x C C F x( ) xlnx x C D F x( ) xlnx x C Câu 32: Tính F(x)x.cosxdx
A F x( )xsinxcosx C B F x( )xsinxcosx C C F x( ) xsinxcosx C D F x( ) xsinxcosx C Câu 33: Tính F x( ) lnxdx
x
A
( ) ln
F x x C B ( ) 1ln
F x x C C
( ) ln
F x x C D
2 ( ) ln
F x x C
x
Câu 34: Họ nguyên hàm hàm số f x( )tanx A ( ) 12
cos
F x C
x
B ( ) 12
sin
F x C
x
(9)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt Câu 35: Tính ( )
3
x x
e
F x dx
e
A F x( ) ex 3 C B F x( )2 ex 3 C
C F x( )ex 3 C D ( )
3
x x
e
F x C
e x
Câu 36: Cho hàm số f x( )x e x Một nguyên hàm F x( ) f x( ) thỏa F(0) 1 A F x( ) (x1)ex1 B F x( ) (x1)ex2
C F x( )(x1)ex1 D F x( )(x1)ex2
Câu 37: Tìm hàm số F x( ) nguyên hàm f x( )xcos 3x, biết F(0) 1 A ( ) sin 1cos
3
F x x x x C B ( ) sin 1cos
3
F x x x x
C
( ) sin
F x x x D ( ) sin 1cos
3 9
F x x x x Câu 38: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
( ) tan
f x x, biết
4 F
A tan
4
F x x x B tan
4
F x x x C
tan
F x x x D tan F x x x Câu 39: Một nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
2
x x
e f x
e
thỏa F(0) ln A ( ) ln x 2 ln
F x e B ( ) ln x 2 ln
F x e C ( ) ln x 2 ln
F x e D ( ) ln x 2 ln
F x e Câu 40: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
( ) sin f x x biết
8 16 F
A ( ) 1sin
2 8
F x x x B ( ) 1sin
2 8
F x x x C ( ) 1sin
2 8
F x x x D ( ) 1sin
2 8
F x x x Câu 41: Nguyên hàm hàm số f x e3x.3x
A
3 3
ln
x
e
F x C
e
B
3
3
ln
x
e
F x C
e
C
3
3
ln
x
e
F x C
e
D
3
ln
x
e
F x C
Câu 42: Tính ( ) 2 2 sin cos
F x dx
x x
(10)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 10 Câu 43: Nguyên hàm hàm số f x x x 2 x
x
A F x 2x 1 C x
B 2
2
x
F x C
x
C F x x C x
D F x x C
x
Câu 44: Tính ( ) 3.2x
F x x dx
A ( ) 2
ln
x
F x x C B ( ) 2
ln
x
F x x C
C ( ) 2
3.ln
x
F x x C D ( ) 3
ln
x
F x x C Câu 45: Nguyên hàm hàm số f x 2 33x 2x
A
3
2
3ln 2 ln
x x
F x C B 72
ln 72
F x C
C
3 2
ln
x x
F x C D ln 72
72
F x C
Câu 46: Nguyên hàm hàm số 3 x.2 x
f x
A
ln
9
x
F x C
B
9
3
8 ln
9
x
F x C
C
3
8 ln
9
x
F x C
D
8
3
9 ln
8
x
F x C
Câu 47: Nguyên hàm hàm số
4
x x
f x
A
3
3 ln
4
x
F x C
B
3
ln
4
x
F x C
C
2 x
F x C D
3
3
3 ln
4
x
F x C
Câu 48: Nguyên hàm hàm số 3
x x
(11)GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 11 A
3 3
ln
x
e
F x C
e
B
3
3
ln
x
e
F x C
e
C
3
3
ln
x
e
F x C
e
D
3
ln
x
e
F x C
Câu 49: Tính ( ) 2
6
F x dx
x x
A ( )
3
F x C
x
B
1
( )
3
F x C
x
C ( )
3
F x C
x
D
1
( )
3
F x C
x
Câu 50: Tính
2
2
( )
1
x x
F x dx
x
A
2
( ) ln
2 x
F x x x C B
2
( ) ln
2 x
F x x x C
C
2
( ) ln
2 x
F x x x C D F x( )x2 ln x 1 C
CÂU 10
ĐA B A C C A A D A A A
CÂU 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ĐA B A C D B A B C B D
CÂU 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ĐA D C D C A C B A A B
CÂU 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ĐA B A C D B B D A A A
CÂU 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50