Tài liệu ôn luyện chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia môn toán phần 1

PHẠM ĐỨC TÀI (Chủ biên) NGUYỄN ĐỨC CHÍNH - NGUYỄN VĂN MINH - PHẠM VĂN TUYÊN ODG H * NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHẠM ĐỨC TÀI (Chủ biên) NGUYỄN ĐỨC CHÍNH - NGUYỄN VAN MINH - PHẠM VĂN TUN MƠN TỐN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LỜI NÓI ĐÀU Quán triệt Nghị số 29-NQ/TW Hội nghị lần thứ Ban Chấp hành Trung ưoTig khóa XI Đảng đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hỏa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường, định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế: “Tiếp tục đối mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc” đồng thời “Đổi bảnhình thức phương pháp thi, kiểm tra đánh giá kết giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực, khách quan”; Chỉ thị số 3008/CT-BGDĐT ngày 18 tháng năm 2014 Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo nhiệm vụ trọng tâmcủa giáo dục mầm non, giảo dục phổ thông, giáo dục thường xuyên giáo dục chuyên nghiệp năm học 2014-2015 nêu: “Tiếp tục triển khai đổi phương pháp dạy học gắn với đổi hình thức, phương pháp thi, kiểm tra đánh giá kết giáo dục theo hướng đánh giá lực người học; kết hợp đánh giá trình với đánh giá cuối kì, cuối năm học” Theo đó, Quyết định số 3538/QĐ-BGDĐT ngày 09 tháng năm 2014 việc Phê duyệt phương án thi tốt nghiệp Trung học phổ thông tuyến sinh đại học, cao đắng từ năm 2015 Bộ Giáo dục Đào tạo xác định: “Từ năm 2015, tổ chức thi quốc gia (gọi kì thi Trung học phổ thông quốc gia) lấy kết để xét công nhận tốt nghiệp Trung học phổ thông làm xét tuyển sinh đại học, cao đẳng” “Đe xét công nhận tốt nghiệp Trung học phổ thơng xét tuyển sinh vào trưịng đại học, cao đẳng, thí sinh phải thi mơn (gọi môn thi tối thiểu) gồm môn bắt buộc Tốn, Ngữ văn, Ngoại ngữ mơn tự chọn số mơn Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí” “Các mơn Vật lí, Hóa học, Sinh học, Ngoại ngữ: Thi trắc nghiệm, thời gian thi 90 phút”, “Đe thi đánh giá thí sinh mức độ nhận biết, thơng hiểu, vận dụng vận dụng cao, đảm bảo phân hóa trình độ thí sinh” Nhằm giúp thầy, giáo học sinh có thêm tài liệu tham khảo q trình rèn luyện kĩ ơn tập theo định hướng trên, tác giả Chuyên viên Vụ GDTrH Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội tổ chức biên soạn giới thiệu sách ÔN LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA mơn học theo quy định Cuốn ƠN LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA MƠN TỐN biên soạn với mục đích cung cấp số đề thi tổng hợp để học sinh ôn luyện, củng cố nâng cao kiến thức, kĩ giải toán nhằm đạt kết tốt kì thi trung học phổ thông quốc gia Nội dung đề thi thuộc chương trình có câu hỏi phân hóa, học sinh sử dụng kiến thức, cơng thức chương trình nâng cao để giải tập Đồng thời, dạng tập có nhiều cách triển khai trình bày khác để giáo viên giảng dạy mơn Tốn cấu tạo ma trận nhằm kiểm tra, đánh giá lực học sinh Trong trình biên soạn không tránh khỏi sơ suất, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để sách ngày hồn thiện NHĨM BIÊN SOẠN Đề số Câu Cho hàm số >^ = 2x +1 có đồ thị (C) x +2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh đường thẳng d: y = - X + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu Giải phưong trình: a) 2(V2 + b) + 3(V2 - \y-^ - = 0; sin'' 2x + cos''2x = cos x (k ( 7Ĩ \ tan -X tan —+ x u ; u ) Câu a) Tính ^ = j cos(lnx)í7x; I b) Tìm số phức z thỏa mãn: ' z+i ' = U -iy Câu Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho hai súc sắc xuất mặt chẵn tích số chấm súc sắc số chẵn Câu 5, Cho hình chóp S.ABCD có s c ± (ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh í^^/3 ABC = \2(y Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 45” Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đưòng thẳng SA, BD Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x^ + y^ - 6x + 2y - 15 = Tìm tọa độ điểm M đưỊTig thẳng (d): 3x - 22y - = 0, cho từ điểm M kẻ tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) mà đường thẳng AB qua điểm C (0;1) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm 1(2; 3; -1) đường x + y- -2 _ z + Tìm toạ độ điểm r điểm đối thẳng (d) có phưcmg trình: -1 xứng với điểm I qua đưỊTig thẳng (d) Lập phương trình mặt phẳng (a) qua đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (Oxy) Câu Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm: I ^ ^ ^ [x + _v = 2ữ + l Câu Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 4a^ 4b^ 4c^ (l + 6)(l + c) (l + c)(l + ữ) (l + ữ)(l + ố) ^ Giải Câu a) Tập xác định: Z) = i?\{-2} Sự biến thiên: * Tiệm cận: 2x + l 2x + l ^ ^ +) Vì h m -= +CO , h m = -00 nên đường thăng X - - tiệm ^->-2“ x + x +2 cận đứng +) Vì lim 2jc+1 x +2 2jc ^ = 2, lim — = nên đưòng thăng y = tiệm cận ngang x +2 * Chiều biến thiên: +) Ta có: y' = r)0,Vx7^-2 (x + 2ý Hàm số đồng biến khoảng (-oo; -2 ) (-2; +oo) +) Bảng biến thiên X y' y l -00 +00 + + -^+00 ^ ^ ^ -00 Vẽ đồ thị: b) Hoành độ A, B nghiệm phưomg trình 2x + ỉ / \ ^ — = - x + w=>x + ( - m ) x + l - m = x +2 ^ ’ Để phưoTig trình có nghiệm phân biệt khác -2 A =[ - m f - { \ - m ) ) |w^+12)0 '- ( - m ) + l- /n ^ [-3 ^ Vm Khi AB^ = { x ^ - x ^ f +{ y 2~ y ị f =2{X2- X, f =2 {x^+x^f - 4x^x^ = r ( m -4 ) '- (l- /n ) = 2(m '+12) Suy AB ngắn 2 - ( - cos^4xỊ = 2cos''4x 11 = cos^ 4x; < t < sin^ 4x = cos''4x t =\ t =- - < | 2t ^ - / - l = kĩĩ Với t = 1=>cos 4x = 1sin4x = ^ X=-— Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm: x=— (n z ) Câu a) Đặt: \u = cos(lnx) \dv = dx du = sin(lnx)íủ: V = X e’' ^ e’' Vậy: / = Jcos(lnx)í/x = x.cos(lnx)p + Jsin(lnx)ííx = - ( e ''+ + J 1 Đặt: u = sin(lnx) \dv = dx du = —cos(lnx)ú?x V= X Vậy; J = |sin (ln x )íừ = x.sin(lnx)|'^ - j cos(lnx)íử = - / 1 D o đ ó ta đ ợ c : / = -(e'^ + l^ b) z+i \z -i) * Nếu ^ z + z^ ^ \z -i) = 1« \z -i) ^ 1= \z -i) e "+ l +1 = = -^-^ = ±1 o z = z -i / _ •\2 ^z + i^^ ' z+i ' + 1= « -i = 0« * Nếu \z -ì) U -iy '^z + i^ y z -\) ^z+ i^ +i = U -iy « z = ± Vậy z = 0; z = ±l Câu +) Gọi A biến cố “Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn” B biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn” X biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” Ta có A B hai biến cố độc lập P(A) = P(B) = — = —(Trong mặt thỉ có mặt chẵn) Do ta có; P(X) = P(AB) = P(A ) P(B) = = +) Gọi Y biến cố “Tích số chấm súc sắc số chẵn” Có khả xảy để tích số chấm súc sắc số chẵn: Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn, súc sắc thứ hai xuất mặt lẻ Con súc sắc thứ xuất mặt lẻ, súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn Cả hai súc sắc xuất mặt chẵn Và ta có Y “Tích số chấm súc sắc số lẻ” có khả hai súc sắc xuất mặt lẻ Như lần ta lại thấy ưu biến cố đối Ta có Y = AB Y A , B độc lập nên ta có: P( Y ) = P( A ).P( B ) = [ - P(A)] [ - P(B)] f f1—0l 2j l 2] Ị_ DođóP(Y )= - P (Ỹ )= - - =0,75 Câu Kẻ SK ± A B (K e AB) ^ C K I A B (định lí đường vng góc) Khi góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)\à góc SK CK Do SKC nhọn nên ^ = 45°; Ấ s c = 120° ^ C B K = 60° Trong tam giác vuông CKB: CK = CB sin 60°0 = Tam giác SCK vuông cân Cnên Ta có Do sc =~ ~ AB.BC sin 120 = SC = =i (đvtt) Gọi o = A C nB D ÍB D IA C T a c ó s => BD J_ (SAC) tai o [b d i s c Kẻ OI ± SA (I e SA) => OI đoạn vuông góc chung SA BD Dùng hai tam giác đồng dạng AOI ASC suy OI = Vậy d(SA,BD) = 10 3yÍ5a 10 3\Í5a 7Õ~ * Tiệm cận; x +2 _ x +2 , ,, +) Vì lim - = - 00, Um = +00 nên đường thăng x = - —là ^ / - x+ ’ -_ r2 x + s s 2 tiệm cận đứng x+2 x+2 , , -í +) Vì lim — — = —, lim ——— = — nên đường thăng V = — tiệm ^ 2x + ^ x + 2 cận ngang +) Bảng biến thiên X —00 -3/2 -HX) - y’ - +00 1/2 y —00 Vẽ đồ thị: y = X y = -X Nghĩa là: f'(xo) = ±1 -1 (2x„+3)^ Xo = - l ^ y „ = l = ±1 ^ Xo = -2 ^ Yo = Ai: y - = -l(x + 1) y = -x (loại); A2: y - = -l(x + 2) y = -X - (nhận) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -X -2 108 1/2 Câu a) Viết lại phương trình có dạng; ^ í V Đăt / = " - — -^2" 33^ ^ J V 3" = ( 1) í 2^ + 3.3",— "- — —t + 6í ^ -3^ 3" V 3^ V Khi phương trình (1) có dạng: +6t-6t =ỉ " -— = l c ^ '" - " - = « 3" 3" = - l 3’'= « 3'' = «> X= lơg3 Vậy phương trình có nghiệm X= lơg32 s inx ^ b) Điều kiện : ,x - y > PT(l) yjx + y = + ^Jx- y Cỳ x + y = + X - y + 4yjx- y I— Ị y - ^ ^ y - =2 x - y o ị [ ( y -2 ) = ( x - y ) ^ V x ^ x -4 + \ y - ^ 2_ X vào (2) [/= x -4 - 4x + = yjx^ +4x —4 +y Ịịx - Ỵ =4 yjx^ + x - + |x - 2| = \íx^ + x - + x - = ,(v ì x > y > ) 113 I - yjx^+4x-4 = - x zz> = =í> >^= Vó (vì Vây có mơt nghiêm [x < ị ^ |x '+ x - = ( - x ) =~ > ) í5 —; Vó v2 Câu Gọi yo giá trị tùy ý f(x) + 4x^ + 3jc‘» Khi đó, phương trình -^ — = Vn có nghiêm (1 + x ') ' ừo - + 2(^0 - 2)x^ + - = (1) Để (1) có nghiệm xét hai trường hợp: TH 1: yo = (1) trở thành x^ = Vậy (1) có nghiệm ; X , í ^ ^0 TH 2; Nếu y„ ựt đăt t = X ta có , l o - V ^ + o - y + >'o-3 = (2) Để (1) có nghiệm (2) phải có nghiệm t> mà (2) có p = > =í> (2) có nghiệm nghiệm dấu ÍA’>0 Khi đó, (2) có nghiệm t> 0 j — c ^> ^ ^n+\ (« + l) 127 c:=— '= « Câu Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.AiBiCiDi có khoảng cách hai đường thẳng AB AiD độ dài đường chéo mặt bên Hạ AK AịD (K e AịD) Chứng minh AK = Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.AiBiCiDi Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng dị : 2x - y + = d2: 3x +6y - = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P{ 2; -1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d\ wà dj tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đưòng thẳng Câu Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x^ + y^ + + 2x - 4y - 2z + = mặt phẳng (P): X - 2y + 2z - = Tìm điểm M (S), N € (P) cho MN có độ dài nhỏ Câu Giải pt; yjì + y j \ - ^ yj[ì + x f - y j { ỉ - x f = +Vĩ 115 Câu Cho bất phưong trình m(ylx^ - x + + 1) + x(2 - x) > Tìm m để bất phưong trình nghiệm với x e 0; 1+ Vs Giải Câu a) TXĐ: D-R x=0 Ta có y’ = -3x^ + 6x = X Hàm số nghịch biến (-G O ;0 ) = (2;+co); Hàm số đồng biến (0;2) ycĐ = X = 2; ycT = -1 X = X->+00 x->-00 Bảng biến thiên X y' y - 00 - + 00 Đồ thị; b) x ^ -3 x ^+ k = < ^ -x ^ + x ^ -l = k - l Đây phưong trình hồnh độ điếm chung (C) đưòng thẳng (d): y = k -1 Căn vào đồ thị, ta có phương trình có ba nghiệm phân biệt 116 + - -1 ^ < ^ -l< k -l< c í> < k < + 00 -00 Câu a) Đặt t = -4 x + 2) > = —log3 -4 x + 2) Ta có: t+ l> / s ~ 9x + 3J + = 3x - jf + 22 = s Dựng đường thẳng A| qua P(2;-l) vng góc với phân giác 9x+3y+8=0 ^ x -2 y+\ _ •A, : — :— = — — X - y - = ‘ Dựng đường thẳng Aj qua P(2;-l) vng góc với phân giác 3x-9y+22=0 •A ; x -2 _ >> + l -9 3x + y - = Câu Ta có; (S): (x + 1)^ + (y - f + (z - 1)^ = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R = (P): x -2 y + z-3 = ^ khoảng cách d(/;(p)) = ^ ( P ) n ( S ) = Giả sử tìm No e (P) => No hình chiếu vng góc I (P) X = -l + t Ta CÓ mJ = (l;-2;2) ^ ( d ) : y = - t z = l + t 120 Tọa độ No nghiệm hệ x - - \ +t y = 2~2t z = l + 2t X - 2y + 2z - = 3 N x = - \ +t y-2-2t Tọa độ M nghiệm cúa hệ z = 1+ 2í + 2x - 4y - 2z + A/, = _ 5' ^ , M, 3^S V, 3 MiNo = < M2 N0 = M e (S) để MNo nhỏ => Mo = Mị Vậy, điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu toán: M ' 5' , N ~ W , V ’3 ’3 j ’ Câu ĐK: _ Đăt Xe [-l;l] • , í a >0 , _ điêu kiên ị u =v n \b>0 |a = v r+ x Ta có hệ: a^+b^=2 ^Jì + ab -b^^ = + ab a^+b^=2 yjl + ab [a-b)ịa^ +b^ + a b ^ - + ab C5> =2 \Ị\ + ab (ữ - ố ) = 121 a^+b^-2-,a>b ịa^+b^ =2',a> b (1 + ab)[a^ + b ^- 2ab) = 1^ |(1 + aố) (2 - 2ab) = _, +— V2 a -1 a^2 +b - ; a > bI _ I/ a^ bi = y, => JC= , ^/2 ố' - - — 4i Vậy PT có nghiệm X = Câu Xét bất phương trình: m{■\jx^ - x + + 1) + x{2 - x) > (1) Điều kiện: x^-2jc + > « > A :e/? Theo đề ta xét XG 0;1 + V3j Đặt t = t{x) = \Jx^ - 2x + , ta có: t'= , ^ ~ ^ = , t' = « x = U r ;l + V3] V x '- x + ^ t(0) = yỈ2, t(l) = l, t(l + V3) = Suy ra: xeỊ^0;l + > /3 jo tG [l;2 ] Do t = sỊx^ -2 x + o x(2 - x) = thành: m{t + l ) > t ^ - « > / w > c - t+1 nên bất phương trình cho trở (2) —2 Xét hàm số / (t) = -với t G[l; 2], ta có: t+1 fV)= 122 t^+2t + > 0,V te[l;2] ... / (x, y, z) = 1- 3 - y+K x +1 1 46 z +1 -1 x + y + Z +1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số V (1) x+l +■ + Ị(x + 1) + (y + 1) + (z + 1) ] > (l + + l)' = (2) y + Z +1 1 Mà X + y +... + 2 010 C^’x"“‘' ^ / ' (1) = C“oo9 + 2CVo, + + + 2 010 Q^o“^ (a) Mặt khác: / '(x) = (1 + x ý ^ + 2009 (1 + x)^“'x - (1 + x)'“*(2 010 + x) =í > / (1 ) = 2 011 .2“‘’* (b) Từ (a) (b) suy ra: = 2 011 .2““^... Ta chọn hệ trục Ojc>^z cho: o = A, tia AB = tia Ojc, tia AD = tia Oy, tia AA’ = tia Oz Khi đó, ta có: A(0;0;0), B (1; 0;0), D(0 ;1; 0), A’(0;0 ;1) , C (1; 1;0),B’ (1; 0 ;1) ,D’(0 ;1; 1), C’(l;l;l) a) Tính góc