Tài liệu ôn luyện chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia môn toán phần 2

Suy ra: m in /(í) = / ( l ) = - i m a x /(0 = / ( ) = Bất phương trình (1) nghiệm Vx 61^0; 1+ >/3J Bất phương trình (2) nghiệm Vt e [l; 2] m > m ax/■(0 m > ^ Vậy, giá trị m thỏa đê là: m > — Đe số 15 Câu Cho hàm số y = x^ —2nĩx^ +rrớ + 2m Ụ), với m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm sổ m= ỉ b) Chứng minh đồ thị hàm số (/) ln cắt trục Ox hai điểm phân biệt, với m < Câu Giải phương trình; a) logg X + log^(3x) - 14 = ; b) 3(cot X - cos jc) - 5(tan JC- sin x) = Câu a) Tính tích phân ^ = I ^/xcos^/xííc ; b) Giải phương trình sau frên tập số phức: iz^ -\- Az + ị —i = ữ Câu Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra 123 Câu Cho khối lăng trụ đứng ABCD.AiBiCiDi có đáy hình bình hành BAD - 45° Các đường chéo ACi DBi tạo với đáy góc 45^ 60° Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (di): 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh, cạnh nằm (di), (di) trục Oy Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;l;0) đưÒTig thẳng d với d: = — Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua d Câu Giải hệ phương trình I x~\~ổ ' r — ^ y-\~A-=6 Câu Cho số thực a,b,c G[1;2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức p= (a + b)^ c^ + 4(ab + bc + ca) Giải Câu a) Với m = ta có y = - 2x^ +3 Tập xác định D = R Chiều biến thiên: y' = 4x^ - 4x = 4x(x^ -1 j => y' = HS đồng biến (-1 ;0) (1; + co) HS nghịch biến ( —ũO;-l) (0; 1) lim (x'' -2x^ + 3) = +00 x~*± ' ycĐ = y (0) = 3; 124 / ycT = y (± 1) = X =0 x = ±l Bảng biến thiên => PT (*) có nghiệm phân biệt (đpcm) Câu a) 21ogg X + log^(3x) —14 = Điều kiện: >0 logg x-\-2 logg(3x) —14 = Khi đó, logg X + log^(3rc) —14 = logg X + 2(1 + logg x) —14 = logg X + logg X —12 = (*) Đặt t = logg X, phương trình (*) trở thành 2í^ + 2t - 12 = ị= t=2 logg X = —3 log, X = Vậy, phương trình cho có nghiệm: X = X = — X 27 = X = — 125 _ , Ísinxí!í:0 b) Điều kiện: (*) [cosx 0'' Khi phương trình cho 3(cot X - cos x) - 5(tan X - sin x) = 3(cot X - cos x) - 3(tan X - sin x) = + 2(tan X - sin x) cosx sinx ^ ^ sirix ^ < » cosx + sinx = + smx ^sinx cosx j l^cosx ^ xf cosx+sinx cosx+sinx-sinxcosx^ 3(cosx-sinx) -^ -M = -V sinxcosx J cosx y V2 (loại) cosx = V sinx=—> (loại) X = — vkTĩ ^ 7ĩ^ sm x + — ■/ V ì-yỊĨ = sina ^ kn 7_ x=— X = - —+ or + k lĩĩ V X = — - a + klĩĩ Các nghiệm thỏa mãn điều kiện nghiệm phương trình cho Câu a) Đặt t = Vx => ^ ^ _ = —\ = d x ^ Itdt = dx 2vx 7T _ 7Ĩ Đơi cân x = —>í = 0;x = - > t - — 126 Vậy ĩt^ ĩĩ n 7 ĩĩ Ỵ / = j yíxcosyỉxdx = j 2í^costdt=| 2t^d (sin í) = 2t^ sin t - J 4í sin tdt 0 0 « 7Ĩ =^ s in 2 Tính: / n n 71 \ 7ĩ^ I ~ĩ J = |4ísin tdt =-A |/í/(cost) = -4 ícosí + J costdt = -4 + sin t ~2 = -4 0 0 l oJ ^2 Vậy thay vào (1) ta CĨ: |->/xcosVxííc = — + b) + 42 + —i = (*) Ta có, A' = 2^ - i(4 - z) = - 4i + = (2 - ỉ f Vậy, phưoTĩg trình (*) có nghiệm phức phân biệt z ■i 2„ = - - = = - l - Ì i i Câu Loại 1: chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C2Q cách Loại 2; chọn 10 câu có khơng q loại dễ, trung bình khó Trường họp 1: chọn 10 câudễ trung bình frong 16 câu có cjg cách Trường hợp 2: chọn 10 câudễ khó 13 câu có CỊg cách Trường họp 3: chọn 10 câutrung bình khó 11 câu có CỊjcách Vậy có C2Q—(cỊg + CỊg + CỊj Ị = 176451 đề kiểm tra 127 Câu Gt; (ACi, (ABCD)) = 45*’ = (ACi,AC)= C ^ (DBi, (ABCD)) = 60® = (DBi,DB)=ẠỠỔ Á A C q ,C = 90° =^AC = C q c o t C ^ = 2.cot45” = ^ _ /Ĩ ADBB,, B = 90° ^ B D = BB,.cotB,DB = 2.cot60® = ±2^, Đặt AD = BC = x; AB = DC = y AADC có: h = AD^ + DC^ - 2.AD.DC.cosẤDC A= - 2xy cos 135® =x^ + + Ixy cos45® ( 1) ABCD có: BD' = BC' +CD' -2.BC.CD.cosBCD < ^ - = x ^ + y ^ - 2xy cos 45® ( 2) 16 Từ( l ) (2) => — = 2(x^+y^)=>x^+y^ = —thay ^ V2 vào (2) có: - = —- x y - — t 4 ^ ^ 3;r , + Ả:2;r X= 2 Thay tọa độ điểm A tìm ta thấy điểm Aị2',-2^ thỏa mãn Câu +) Đường thẳng (d) qua M q (1;-1;0) vàcóVTCPlà: a = (2;-l;2) Do mặt phẳng (P) qua điểm A (l;-2;-5) vng góc với (d) nên VTPT (P) n = a = (2;-l;2) Suy phưong trình mặt phẳng (P): ( x - l ) - l ( y + 2) + 2(z + 5) = 0 x - y + 2z + = Tọa độ giao điểm H mặt phẳng (P) đưòug thẳng (d) nghiệm hệ phưorng trình: 244 x - y + 2z = -6 x = -l x + 2y = - l o - y = ^ H (-l;0 ;-2 ) 2y + z = -2 z = -2 = l + 2t Phương trình tham số (d); y = - l - t z = 2t X (t eM) Do tâm I mặt cầu (S) thuộc (d) nên l(l + 2t ; - l - t ; 2t ) +) Do mặt cầu (S) qua hai điểm A, o nên: 10 = lA 10^ = lA^ « ( l + t ) ^ + ( - l - t ) ^ + ( t ) ^ = ( t ) ^ + ( l - t ) ^ + ( t + 5)^ l + 4t + 4t^ + l + 2t + t^ + 4t^ =4t^ + l - t + t^ +4t^ +20t + 25 c ^ t = -2 Suy mặt cầu (S) có tâm I (-3; 1; -4 ), bán kính R = 10 = 79 + 1+ 16 = 426 Vậy phương trình (S) là: (x + 3)^+(y-l)^+(z + 4)^ =26 Câu 8, Ta có yjị^m + 2)x + m > |x-l| (w + 2)x +AW> m > -2 x + -4 x + l (vì xe[0;2]) x+1 Xét hàm sơ f { x ) = - đoạn [O; 2], ta có 245 Vậy bất phương trình cho có nghiệm /n > mi n / ( x ) = / Ị - +Vó j = 2V6 - Câu Vì số a,b,c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta /—77 \ a + ịb + c) có: Ja(b + c ) < ^ I ã a 2a ■■= , > — -7-— Vb + C yjaịh + c) a + b + c Tương tự ta có: ' b 2b > \ c +a ữ + è + c ' c ^ 2c \a +b a + b+ c Cộng bất đẳng thức chiều ta có b +c c +a + a+b > 2a + 2b + 2c = a+b+c a = b +c Dấu xảy b - c + a a = b = c - Q, không thoả mãn c = a +b V ậ y , | i z : | i ã i + j i e >2 \ b +c \ c + a \ a +b Đe số 30 Câu Chuyên VP Cho hàm số y= 2jc+1 có đồ thị ( c ) x-1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( c ) hàm số b) Tìm giá trị mđể đường thẳng (í/|): >”= -3x + m cắt đồ thị (c) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thắng (^(/2): x - y + = (O gốc toạ độ) 246 Câu Giải phương trình: a) log^Cx -3 ) + log7(x - 1) = 3; b) sin^ ^X n J~ /-V tan x - c o s —= n ~ĩ Câu a) Tính tích phân: I - ị — sin2jc -dx cos x + 2sinx b) Cho Z], Z2 nghiệm phức phương trình 2z^ - 4z +11 = Tính I |2 I |2 giá trị biểu thức A = ' '' ' (z^+z^Ý Câu 4, Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ xác suất để cầu lấy màu Câu Cho khối lăng trụ ABC.AiBiCi có đáy ABC tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = \Ỉ2 Cho biết mặt phẳng (AAiB) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA, = V3, góc AịAB nhọn, góc mặt phẳng (A|AC) mặt phẳng (ABC) 60° Hãy tính thể tích khối lăng trụ Câu Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x^+y^ -8x+12=0 điểm E(4; 1) Tìm toạ độ điểm M trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B tiếp điểm cho E thuộc đường thẳng AB Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (-l; 0; 2), mặt x-3 _ y -2 _ z-6 phẳng (P): 2x - y - z +3 = đường thẳng (d); Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phang (Q) qua A song song (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) ^/4x"-i^ + ^/2x"+ỹ = Câu Giải hệ phương trình < _ ^J2x + y +X + y = -2 247 Câu Cho số dưoTig a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a+b b+c c+a >4 a b c ■+—— + b + c c + a a +b Giải Câu a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị Tập xác định Rl{l} Sự biến thiên +/ = -3 đường thẳng X = tiệm cận đứng lim X —> -0 = lim y = ^ đường thẳng = tiệm cận ngang x —y+ oữ • Bảng biến thiên: -00 X y’ +00 - +00 y —00 A = (l + mỸ -1 (l + w ) > - ( l + w) + (l +w) íl + w < O v l + /n >12 m < -\ [1^0 m > 11 (•) Gọi X,,X2 nghiệm ( l ) Khi ^(xp-Sx, +mỴ,B{^X2,-l)X^ + m ) Gọi _ X, + + m + \ = ^ = -" ^ _ + _V2 + _ -3(x, + ) + 2/n _ m-1 ■ Xr G trọng tâm tam giác OAB; G e ((/2) -^C“ ^yc + = \ +m m -\ \ J J + 2= m = không thoả mãn (*) Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán Câu a) log2(x - 3) + log2(x - 1) = (1) íx-3>0 Điêu kiện < o X > [x-l>0 Ta có (1) log2(x - 3)(x - 1) = C:> (x - 3)(x - 1) = 343 X = 2-2V86 _x = 2+2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phưong trình X = 2+2 b) sin^ sin^ ^ = f\0 tan 2x -c o s 2— 2 T, X K X n tan x -c o s —= 2~4, Điều kiện: cosx^0 x ^ — + k7ri^k&z) 249 Khi phương trình trở thành: 1-cos ^ k '^ sin^x 1+ cosx ( l - s i n x ) ( l cos xj 1+ cosx V 2y — lí i r -:=0-^^ — - - - — -= cos^x ^1-sin^xỊ X - — (l-cosx) (l + cosx) 1+ cosx ^ 1+ cosx 1- cosx V— II— —— = 0— 1+ s inx (l + sinx) 2 1+ cosx = cosx=-l -cosx-sinx =0cỳ sinx+cosx=0 1+ s inx X = 7ĩ + k ĩ ' """ , n ,_(Ẩ:eZ) x - — -^kn L cosx=-l tanx = - l ^ , n K Câu a) Ta có / = f - — - dx = \ ị - c o s x + 2sinx sin x.cosx -dx sin^ x + 2sinx + l Đặt t = sinx=>cỉt = cosxdx Đổi cân: x = 0=>t = 0; x = —=>t = l = \ ^ ^ = f - ^ = | ^ ^ l ^ í / í = \ ^ - \ — ^ d t {e+2t +ì i ( í + l)' Ị / = = ị (t + l f [ ỉ í + ỉ ( t + l) * ln(t + l ) | ' + - Í - =21n2-l “ t + 0_ b) Giải phương trình cho ta nghiệm: 3V2_ 3V2_ Zj = ^—/, Z2 = 1H ^ Ì Suy |z, 1=1^2 \= ; z, + Zj = + V |2 I i2 Do l í i T i M {Z\+Z2Ỷ 250 y n Câu + Gọi: A biến cố “Quả cầu lấy tò hộp thứ màu đỏ” B biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” X biến cố “Hai cầu lấy màu đỏ” Ta có X = AB, P(A) = — , P(B) = — = - 12 10 Mặt khác A B độc lập nên P(X) = P(A)(B) = 12‘ 20' + Gọi: Y biến cố “Hai cầu lấy màu xanh” z biến cố “Hai cầu lấy màu” Ta có Y = AB Mặt khác A B độc lập nên P(Y) = P(Ã ).P(B ) = [1 - P(A)][1 - P(B)] = \ ' r,1 - 3^ V 12, Thấy z = X u Y, X n Y = nên P(Z) = P(X) + P(Y) Câu 5, Tính thể tích khối lăng trụ ABC.AiBiCi + Gt: (AịAB) (ABC) Từ A] dựng A i H l A B tạiH ^ A^fí ± (ABC) =>A ịH chiều cao lăng trụ Đặt AiH = h + Dựng H K I A C K (HK//BC) AAKH vng cân K HK hình chiếu AiK (ABC) mà AC1 HK nên AC1 AiK Vậy {(ẠAQ,(ABQ) = = 60“ Ị_ 20 ' 60 B, AA ịHK vuông H: ^ H K =A ,H coX Ấ ^ = h cot 60“ = S ' hsíĩ AAHK vng cân K=> AH = HKyĩĩ = — V3 AAiHK vuông H=> AịH^ + HA^ = A^A^ 2h^ ^5' v = s,„r -ẢH = - CA.CBM = - C4^ = ^ ^ ^ 2 Vs AABC, c = Iv ^ A + CB^ = AB^ ^ 2AC^ = Vậy V = 2^/5 (đvtt) Câu Đường tròn (C): ( x - ) ' + / =4=>/(4;0),i? = Gọi M(0;a) thuộc Oy A{x^;y^),B{x^;y^)e{C) Tiếp tuyến A B có phương trình là: ( x , - ) ( x - ) + y,y = 4, ( x - ) ( x - ) + y2T = Đe thỏa mãn tiếp tuyến qua M(0;a) C í> (x, - ) ( - ) + yiú! = ,( x - ) ( - ) + y,ứ Chứng tỏ (AB) có phương trình: -4(x-4)+ay=4 Nếu (AB) qua E(4;l); -4(0)+a.l=4 suy ra: a=4 Vậy Oy có M(0;4) thỏa mãn 252 = AC = \ Câu ^ x-3 y-2 +) Đặt ăt t = = z-( — X = + 2t; y = + 4t z = + Thay vào phưoTig trình mp(P) giải t - Từ tìm tọa độ giao điểm M(5; 6; 7) Do mặt phẳng (Q) qua A song song (P) nên có phương trình dạng x - y - z + d = Vì (Q) qua A (-l; 0; 2), nên có d = Vậy pt (Q); x - y - z + = +) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phang (P) có bán kính _ |2 (-l)-2 + 3|_ R = d(A, (P)) = V4+1+1 Vó Phương trình mặt cầu là: (x +1)^ + Câu Điều kiện: + (z - 2)^ = — |4x + y >0 12x + y > T a = J2x + y Đặt: , (a > 0, b > 0) Suy ra: x + y = —a ^ - — h ^y j4 x + y 2 Ta có hệ a^2 - ^- 02 = -2 a +— a +b = « +5a-6 = \b = - a a =1 a = -6 b =4 - a \a = ì [b = ịa = -6 = 10 Với điều kiện a > 0, b > 0, ta được: \a = \ l6 = J2x + y =1 Í2x + y = l , _