Bài tập11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể... Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.[r]
(1)PHẦN I: ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI Ôn tập kiến thức:
+ Nhân hai lũy thừa số ta giữ nguyên số cộng hai số mũ
m n m n
a a a
+ Chia hai lũy thừa số ta giữ nguyên số, lấy số mũ lũy thừa bị chia trừ cho số mũ lũy thừa chia
:
m n m n
a b a m n
+ Lũy thừa tích tích lũy thừa x y n xn yn
+ Tính lũy thừa lũy thừa ta giữ nguyên số nhân hai số mũ
( )xm n xm n
+ Lũy thừa thương thương lũy thừa 0
n n
n
x x
y
y y
+ Căn bậc hai số a không âm số x, cho x2 = a, kí hiệu bậc hai “ ” + Số a không âm, số a gọi bậc hai số học số a
Định lí: Với hai số a b khơng âm, ta có: a b a b
Ví dụ: 2 2 4 mà 4 5 + Căn thức bậc hai :
- Người ta gọi A là thức bậc hai A, với A biểu thức đại số. - Điều kiện để A xác định ( hay có nghĩa) A phải không âm (A 0) VD: 3x cĩ nghĩa 3x 0 hay x0
(Nhắc lại giải bất phương trình bậc ẩn:
+Quytắcchuyểnvế:
Khi chuyển hạng tử từ vế sang vế bất đẳng thức ta đổi dấu hạng tử chiều bất đẳng thức không đổi.
+ Quytắcnhân: Nếu nhân hay chia hai vế bất đẳng thức cho số lớn chiều bất đẳng khơng đổi.
Nếu nhân hay chia hai vế bất đẳng thức cho số nhỏ chiều bất đẳng thức thay đổi.) Hằng đẳng thức:
2
A A
Địnhlí: Với số a, ta có: a2 a 2
2
3 = 3; 5 5 5
Tổng quát:
2
0 a a a a
a a
VD:
2
5 2 2 2 2
(2)VD: 4.9 2.3 6
-Địnhlí; Với số a khơng âm số dương b, ta có:
a a b b VD:
25 25 121 12111 ;
9 25 25
: : :
16 36 16 36 4 6 4 10 + Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai.
- Đưa thừa số ngồi dấu căn:
Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có:
2CD.CM tức là” -Nếu A 0 , B 0 A B=A B2
-Nếu A< 0, B 0 A B=-A B2
- Đưa thừa số vào dấu căn:
-Nếu A 0 , B 0 A B A B2 -Nếu A< 0, B 0 -A B A B2
- Khử thức mẫu:
Với A, B mà A.B ≥ B ≠ 0, ta có:
2
A A B A B A B B B B B B
+ Trục thức mẫu:
- Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có:
A A B A B
B B B B
- Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ A ≠ B, ta có:
C A B
C
A B A B
- Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B2, ta có:
2 C A B C
A B A B
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định:
1) 2x3 2) 2
x 3)
4
x 4)
5
x
5) 3x4 6) 1x2 7) 2x
8)
3 x Rút gọn biểu thức
A B
(3)Bài 1
1) 125 3 48 2) 5 5 20 45 3) 2 324 8 18 4) 12 27 5 48 5) 12 75 27 6) 2 18 2 162
7) 20 454 8) ( 22) 2 2 9) 1
1
10)
1
1
11)
2
3
2
12) 1
2
13) ( 28 14 7) 77 14) ( 14 2)2 6 28 15) ( 6 5)2 120 16) (2 3 2)2 2 63 24 17) (1 2)2 ( 23)2 18) ( 3 2)2 ( 3 1)2 19) ( 5 3)2 ( 5 2)2 20) ( 19 3)( 193)
21) 4x (x12)2(x2) 22)
5 7
5
23) x2y (x2 4xy4y2)2(x2y) Bài 2
1)
2
2
3 2) 2 32 2 32 3) 5 32 532 4) 15
2
8 - 8 15 5) 52 + 8 15 6)
3
2
5
2 4
Giải phương trình:
1) 2x1 2) x 3 3) 9(x 1) 21 4) 2x 50 0 5) 3x2 12 0 6) (x 3)2 9 7) 4x2 4x16 8) (2x1)2 3 9) 4x2 6 10) 4(1 x)2 60 11) 3 x12 12) 3 3 2x 2 CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:
A.Các bước thực hiên:
Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được)
Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại Quy đồng, gồm bước:
+ Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn
(4)Bài Cho biểu thức : A =
2
x x x
x x x
với ( x >0 x ≠ 1) a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị biểu thức A x 3 2. Bài Cho biểu thức : P =
4 4
2
a a a
a a
( Với a ; a ) a) Rút gọn biểu thức P;
b)Tìm giá trị a cho P = a + Bài 3: Cho biểu thức A =
1
1
x x x x
x x
a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; b)Rút gọn biểu thức A;
c)Với giá trị x A< -1 Bài 4: Cho biểu thức A =
(1 )(1 )
1
x x x x
x x
( Với x0;x1) a) Rút gọn A;
b) Tìm x để A = -
Bài 5: Cho biểu thức : B = x x x
x 21
2
1 a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị B với x =3; c) Tìm giá trị x để
1 A
Bài 6: Cho biểu thức : P = x x x x x x 2 2 a) Tìm TXĐ;
b) Rút gọn P; c) Tìm x để P =
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
) 2 ( : ) 1 a a a a a a a) Tìm TXĐ rút gọn Q;
b) Tìm a để Q dương;
c) Tính giá trị biểu thức biết a = 9-
Bài 8: Cho biểu thức: M =
1 2 a a a a a a a a
a) Tìm ĐKXĐ M;
b) Rút gọn M Tìm giá trị a để M = -
(5)b) Rút gọn K; c) Tìm x K=
1
; d) Tìm giá trị lớn K
Bài 10 : Cho biểu thức: G=
1 x x x x x x x
a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G;
c)Tính giá trị G x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn G;
e)Tìm x Ỵ Z để G nhận giá trị ngun;
f)Chứng minh : Nếu < x < M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm;
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
1 x : x 1 x x x x x x
Với x ≥ ; x ≠ a)Rút gọn biểu thức trên;
b)Chứng minh P > với x≥ x ≠ Bài 12 : cho biểu thức Q=
a 1 a 1 a a 2 a 2 2
a)Tìm a dể Q tồn tại;
b)Chứng minh Q không phụ thuộc vào giá trị a Bài 13: Cho biểu thức :
A= x x x x y xy x y xy x 1 2 2
a)Rút gọn A
b)Tìm số nguyên dương x để y = 625 A < 0,2 Bài 14:Xét biểu thức: P=
a
5 a : a 16 a 4 a a a a
(Với a ≥0 ; a ≠ 16) 1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P =-3; 3)Tìm số tự nhiên a để P số nguyên tố
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
*Định nghĩa:
Hàm số bậc hàm số có dạng (được cho cơng thức) y = ax + b, a, b số cho trước (a ≠ 0)
+ Hàm số y = ax + b, b = có dạng y = ax.(Hàm số y = ax, có đồ thị đường thẳng ln qua gốc tọa độ O(0; 0))
*Tính chất:
Hàm số y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau:
+ Nếu a > hàm số đồng biến R (Hàm số có đồ thị đường thẳng, x tăng y tăng.) + Nếu a < hàm số nghịch biến R (Hàm số có đồ thị đường thẳng, x tăng y giảm) VD: Hàm số y = 3x + 1, đồng biến R (vì a = > 0)
(6)Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng: - Cắt trục tung điểm có tung độ b
- Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax, b =
( Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) gọi đường thẳng y = ax + b; b tung độ gốc đường thẳng; a hệ số gốc)
* Cách vẽ đồ thị :
- Khi b = y = ax có đồ thị qua gốc tọa độ O(0; 0) điểm A (1; a)
- Khi b ≠ y = ax + b có đồ thị đường thẳng qua hai điểm Ta tìm hai điểm thuộc đồ thị để vẽ đường thẳng sau:
Cho x = 0, ta y = b, ta có điểm P(0; b) nằm trục Oy Cho y = 0,
b ax b x
a
, ta có điểm
;0 b Q
a
thuộc trục Ox Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b
* Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số .
+ Điểm M(xM; yM) điểm thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, với x = xM y = yM Ví dụ: Điểm A(-1 ; -1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1, với x = -1 ta có: y = 2.(-1) + = -1 + Điểm M(xM; yM) điểm không thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, với x = xM y ≠ yM
* Nhận biết hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’(a’ ≠ 0) cắt nhau hay song song hay trùng nhau qua các hệ số
+ Cắt khi: a ≠ a’
+ Song song khi: a = a’; b ≠ b’ + Trùng khi: a = a’; b = b’
* Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau:
+ Nếu hai đường thẳng cắt có tung độ gốc giao điểm điểm nằm trục tung có tung độ tung độ gốc + Nếu hai đường thẳng khác tung độ gốc, ta lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đường
thẳng Giải phương trình tìm hồnh độ, thay vào hai hàm số để tìm tung độ giao điểm * Các bài tập rèn luyện :
1) Cho hàm số y = ax +
a) Xác định hệ số góc a, biết đồ thị hàm số qua điểm A(2; 6) b) Vẽ đồ thị hàm số
2) Xác định hàm số y = ax + b trường hợp sau:
a) a = đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1,5 b) a = đồ thị hàm số qua điểm A = (2; 2)
c)Vẽ đồ thị hd song song với đường thẳng y 3x qua điểm B1; 5 3)+ Với giá trị m hàm số bậc y = (m – 1)x + đồng biến + Với giá trị k hàm số bậc y = (5 – k)x + nghịch biến
4) Với giá trị m đồ thị hàm số y = 2x + (3 + m) y = 3x + (5 – m) cắt điểm trục tung 5) + Tìm giá trị a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + (a ≠ 1) y = (3 – a)x + (a ≠ 3) song song với + Xác định k m để hai đường thẳng sau trùng nhau:
y = kx + (m – 2) (k ≠ 0) ; y = (5 – k)x + (4 – m ) (k ≠ 5)
Các dạng tập thường gặp:
- Dạng1: Xác dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng
(7)-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm giá trị x; thay giá trị x vào (d
1) (d2)
ta tính giá trị y Cặp giá trị x y toạ độ giao điểm hai đường thẳng
Tính chu vi - diện tích hình tạo đường thẳng: Phương pháp:
+Dựa vào tam giác vuông định lý Py- ta -go để tính độ dài đoạn thẳng khơng tính trực tiếp Rồi tính chu vi tam giác cách cộng cạnh
+ Dựa vào cơng thức tính diện tích tam giác để tính S
-Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox Xem lại ví dụ
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm khơng thuộc đồ thị:
Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị khơng?
Thay giá trị x1 vào hàm số; tính y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0y1 điểm M khơng
thuộc đồ thị
-Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng:
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1)
Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta phương trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta phương trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phương trình ta tìm giá trị a b
+ Thay giá trị a b vào y = ax + b ta phương trình đường thẳng cần tìm
-Dạng 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho đường thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m m thay đổi d1 ln qua 1điểm cố định
b) C/m d1 //d3 d1 vng góc d2
c) Xác định m để đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 qua A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với m
=> m2(x
0+1) -(x0 +y0 +5) = với m ; Điều xảy :
x0+ =
x0 + y0 + = suy : x0 = -1
y0 = -
Vậy điểm cố định A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B (d2) (d3):
Ta có pt hồnh độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = +1 =2 Vậy B (1;2)
Để đường thẳng đồng qui (d1)phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có:
2 = (m2 -1) + m2 -5
m2 = => m = m = -2
Vậy với m = m = - đường thẳng đồng qui
Bài tập:
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x +
1) Tìm m để (d1) (d2) cắt
2) Với m = – , vẽ (d1) (d2)trên mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường
(8)Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao?
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m0)và y = (2 - m)x + ;(m2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên:
a)Song song; b)Cắt
Bài 5: Với giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = x
1
cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 10
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7)
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3)
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =
1
2x (d2): y = x2 a/ Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ Oxy
b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi diện
tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)?
Bài 9: Cho đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị m (d1) // (d2)
b; Với giá trị m (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m =
c; C/m m thay đổi đường thẳng (d1) ln qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị song song với y = 2x +3 qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đường thẳng với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với đường thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị m để đường thẳng song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 * Chương III : HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
* Ơn tập kiến thức:
+ Phương trình bậc hai ẩn:
- Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức có dạng: ax + by = c, a, b, c số cho trước (a ≠ b ≠ 0) - Trong phương trình ax + by = c, giá trị x = x0 y = y0 cho vế trái vế phải phương
trình cặp số (x0; y0) gọi nghiệm phương trình
- Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c luôn có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax + by = c
- Trong phương trình ax + by = c; a ≠ 0, b ≠ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm đồ thị hàm số a c
y x
b b
(9)
' ' '
ax by c I
a x b y c
Số nghiệm hệ phương trình (I) dựa vào quan hệ hai đường thẳng hệ Với a, b, c, a’, b’, c’ khác
- Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ phương trình (I) có nghiệm ' ' a b a b
- Nếu hai đường thẳng song song, hệ phương trình vơ nghiệm ' ' ' a b c a b c
- Nếu hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương trình có vơ số nghiệm ' ' ' a b c a b c
* Cách giải hệ phương trình: + Giải phương pháp thế:
+ Giải hệ phương pháp cộng đại số: II BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hệ phương trình
x y m
x my
(1)
Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để:
x = y = nghiệm hệ (1) Hệ (1) vơ nghiệm
Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = HD: Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y =
2a) Hệ (1) có nghiệm x = y = m = 2. 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: ' ' '
a b c
a b c
1
2
m m
.
1
2
2
m m
2 m m
m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm
Hệ (1) có nghiệm: x =
2 m
m ; y =
2 m
m .
Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y =
2 m
m +
2 m
m = 1
m2 + m – =
1( )
2( )
m thỏa ĐK cónghiệm
m khôngthỏa ĐK cónghiệm . Vậy m = 1, hệ( có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1.
Bài tập 2: Cho hệ phương trình
2
2
x y k
x y k
(10)Giải hệ (1) k =
Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm x = – y = Tìm nghiệm hệ (1) theo k
HD: Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = Hệ (1) có nghiệm x = –8 y = k = – Hệ (1) có nghiệm: x =
5
2 k
; y =
5
k
. Bài tập 3: Cho hệ phương trình
3
2
x y
x my
(1)
Giải hệ phương trình (1) m = –7 Xác định giá trị m để:
x = – y = nghiệm hệ (1) Hệ (1) vơ nghiệm.
Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m.
HD: Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 y = m =
3
. 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –
3 Hệ (1) có nghiệm: x =
3
2 m m
; y =
5
m .
Bài tập 4: Cho hệ phương trình
2
2
mx y
x y
(1)
Giải hệ phương trình (1) m = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x =
1
y =
2 3
3 Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m HD: Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x =
1 13
; y =
5 13.
2a) Hệ (1) có nghiệm x =
1
y =
2
3 m =
. 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2
Hệ (1) có nghiệm: x =
1
3m
; y =
2
3
m m
.
Bài tập : Cho hệ phương trình
4
2
x y
x y m
(1)
Giải hệ phương trình (1) m = –1 Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa
0 x y
.
(11)Nghiệm hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – Theo đề bài:
0 x y 12 m m 12 m m
m < 8.
Bài tập 6: Cho hệ phương trình
2
3 2
x y m
x y m
Giải hệ phương trình m = –
Với giá trị m hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa
1 x y .
HD: 1 Khi m = – , hệ pt có nghiệm: x = y = – 4. 2 Tìm:
Nghiệm hệ (1) theo m: x = 4m + ; y = – – 5m Theo đề bài:
1 x y m m
– < m < – Bài tập 7: Cho hệ phương trình :
2 mx y mx y
(1)
Giải hệ (1) m =
Xác định giá trị m để hệ (1):
Có nghiệm tìm nghiệm theo m Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y =
HD: 1 Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – ; y = 1.
2a) Khi m 0, hệ (1) có nghiệm:
2 x m y
2b) m =
.
Bài tập : Cho hệ phương trình :
2
2
mx y m x y m
( m tham số) (I). Khi m = – 2, giải hệ phương trình phương pháp cộng
Tính giá trị tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm tính nghiệm theo m HD: a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x =
2 3 ; y =
1 3. b)
Hệ (I) có nghiệm m 4.
Khi hệ(I) có nghiệm nhất:
3 m x m ; 3 m m y m
* Chương IV : HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
*Hàm số
2 0
y ax a
(12)- Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > - Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x >
- Nếu a > y > x, y = x = Giá trị nhỏ hàm số y = 0. - Nếu a < y < x , y = x = Giá trị lớn hàm số y = 0.
+ Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
Đường cong gọi Parabol với đỉnh O
- Nếu a > đồ thị nằm trục hoành, O điểm thấp đồ thị - Nếu a < đồ thị nằm dưỡi trục hoành, O điển cao đồ thị + Cách vẽ đồ thị hàm số y ax a 2 0
- Tìm số điểm thuộc đồ thị cách cho x số giá trị để tìm giá trị y tương ứng.( cho x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …)
- Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn điểm thuộc đồ thị tìm - Nối điểm để đường cong Parabol
* Các tập rèn luyện: 1) Cho hàm số y = x2 a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị f(- 8), f(- 13),f(1,5)
2) Cho hàm số y = ax2, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số a) Tìm hệ số a
b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị khơng?
c) Tìm tung độ điểm thuộc Parabol có hồnh độ x = -3 d) Tìm điểm thuộc Parabol có tung độ y =
CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a0) (1)
a) Nhẩm nghiệm:
a + b +c = pt (1) có nghiệm:
2
x c x
a
.
a – b +c = pt (1) có nghiệm:
2
x c x
a
.
b) Giải với ': Nếu b = 2b’ b’ =2
b
'= (b’)2 – ac.
Nếu '> phương trình có nghiệm phân biệt:
' '
b x
a
;
' '
b x
a
Nếu '= phương trình có nghiệm kép: '
b
x x
a
Nếu '< phương trình vơ nghiệm.
(13)Tính : = b2 – 4ac.
Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt:
b x
a
; 2
b x
a
Nếu = phương trình có nghiệm kép: 2
b
x x
a
Nếu < phương trình vơ nghiệm.
2 Hệ thức Vi ét ứng dụng:
a) Định lý: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a0) ta có:
1
1
b S x x
a c P x x
a
.
b) Định lý đảo: Nếu
u v S u v P
u, v nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P 0).
* Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét:
Tổng bình phương nghiệm: x12x22(x x1 2) 22 x x1 2 = S2 – 2P.
Tổng nghịch đảo nghiệm:
1
1 2
1 S
P
x x
x x x x
Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm:
2 2
1
2 2
1 2
1 S 2P
( ) P
x x
x x x x
Bình phương hiệu nghiệm: (x x1 2)2 (x x1 2) 42 x x1 2 = S2 – 4P.
Tổng lập phương nghiệm: x13x23(x x1 2) 33 x x x x1 2( 1 2) = S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị biểu thức sau:
a) x12x22. b) 1
x x . c)
1
(x x ) d) x13x32 Giải:
Phương trình có '= > pt có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):
1
1
12
35
b S x x
a c P x x
a
.
a) x12x22(x x1 2) 22 x x1 2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.
b)
1
1 2
1 S
P
x x
x x x x
= 12 35.
c) (x x1 2)2 (x x1 2) 42 x x1 2S -4P2 = 122 – 4.35 = 4.
d) x13x23(x x1 2) 33 x x x x1 2( 1 2) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 không phụ
thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải:
(14)Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình
1
1
b
S x x
a c P x x
a .
Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số. Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m tham số)
CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m
Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m
Giải:
Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + = (2m – 3)2 0, m.
Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với m
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1):
1 2 2 b m
S x x a
c m
P x x a
2
2 S m P m
2
4 2
S m P m
2S + 4P = -1 Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây hệ thức cần tìm.
4 Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó:
* Phương pháp giải:
Nếu số u v c ó:
u v S u v P
u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (*).
Giải pt (*):
+ Nếu '> (hoặc > 0) pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 Vậy u x v x
u x v x .
+ Nếu '= (hoặc = 0) pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = '
b a
Vậy u = v = '
b a
+ Nếu '< (hoặc < 0) pt (*) vô nghiệm Vậy khơng có số u, v thỏa đề bài. Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 u.v = 28
Giải:
Theo đề u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = x2 – 11x + 28 = 0(*)
Phương trình (*) có = > 3 x x . Vậy: u v
hay
4 u v
Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 b = – Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm a b Giải:
(15)Suy ra: a, b nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = x2 – 4x + 2 3 = 0: Đây pt cần tìm. 5 Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m:
* Phương pháp giải:
Lập biệt thức '(hoặc).
Biến đổi ' đưa dạng : '= (A B)2 + c > 0, m (với c số dương)
Kết luận: Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với tham số m
6 Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải:
Lập biệt thức '(hoặc).
Biến đổi ' đưa dạng : '= (A B)2 0, m.
Kết luận: Vậy phương trình cho ln nghiệm với tham số m
7 Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải:
Lập biệt thức '(hoặc). Biện luận:
+ Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ' > giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình có nghiệm kép '= giải pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình vơ nghiệm '< giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình có nghiệm ' giải bất pt tìm tham số m kết luận.
* Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < giải bất pt tìm tham số m kết luận.
8 Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải:
Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c.
Giá trị nhỏ P: Pmin = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận
9 Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải:
Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận
*Các phương trình quy phương trình bậc hai: + Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương phương trình có dạng:ax4bx2 c 0
Cách giải
- Đặt t = x2 ( t
0)
- Chuyển phương trình cho theo ẩn t đặt - Giải phương trình theo t, tìm giá trị t - Giải tìm x theo giá trị t tìm II BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: (TN.THCS: 1996-1997_ SGD & ĐT Bến Tre) Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = (1).
Giải phương trình (1) m = –
CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m
HD: 1 Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + = 0, pt có a – b + c = –5 + =
1
2
1
4 4 x
x c
a
(16)Vậy m = – 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
2 = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > 0, m.
3 Hệ thức: 2S + P = – 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6. Bài tập 2: (TN.THCS đơt II: 1998-1999_ SGD & ĐT Bến Tre)
Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1).
Giải phương trình (1) m =
CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m
HD: 1 Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + = 0, pt có a + b + c = +(–4) + =
1
2
1
3 x
x c
a
.
Vậy m = 3, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
2 = (m – 1)2 0, m.
3.
ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > |m – 1| >
m m
1 1
Hệ thức: S – P = x1 + x2 – x1x2 = 1.
Bài tập : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m tham số) (1)
Giải phương trình (1) m =
CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m
HD: 1 Khi m = 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 =
1
. 2 = (2m – 3)2 0, m.
3
ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (2m – 3)2 > |2m – 3| >
m m
3 2
Hệ thức: 2S + 4P = 2( x1 + x2) + x1x2 = 1.
Bài tập : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m tham số) (1)
Giải phương trình (1) m =
CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu
HD: 1 Khi m = 5, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7.
2 = (m – 2)2 0, m.
3
ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > |m – 2| >
m m
2 2
Hệ thức: S – P = x1 + x2 – x1x2 = 1.
4 Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(2m – 3) < m <
3 2
(17)Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1).
Tìm m để:
Pt (1) có nghiệm phân biệt Pt (1) có nghiệm –
Giả sử x1, x2 nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + =
HD: 1a.
Phương trình (1) có '= – 2m.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt '> 1 – 2m > 0 m <
1 2.
1b Pt (1) có nghiệm – khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = m2 + 4m =
m m
1
0 4. Vậy m = m = – pt (1) có nghiệm – 2.
2 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):
S x x m
P x x m
1 2
2
Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) +
= (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4
= 4m2 – 8m + – 4m2 + 8m – + = (đpcm).
Bài tập :
Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1).
Giải phương trình (1) m = –2
CMR: m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm pt (1) Chứng minh biểu thức:
A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m
HD: 1 Khi m = –2 x1 = 1 7 ; x
2 = 1 7.
2 '= m2 + m + =
m
2 19
2 > 0, m.
3 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):
S x x m
P x x m
1 2
2
4
Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2
= (2m + 2) – 2(m – 4) = 10. Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m.
Bài tập : (HK II: 2002-2003_ SGD & ĐT Bến Tre)
Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1)
Giải phương trình (1) m = –
CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm (1) Tính A =
2 2
1 2
x x theo m.
Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ
Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1)
Giải phương trình (1) m = –1
CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu
Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc m
(18)HD: 1 Khi m = –1 x1 = 1 10 ; x
2 = 1 10
2 = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + > 0, m.
3 Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(2m – 7) < m <
7 2.
4 Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 5. 5 x12x22 = 10 m2 – 6m + = m = m = 5.
Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1)
Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để:
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Tổng bình phương nghiệm pt (1) 11 HD: 1 Khi m = –1 x1 = ; x2 = –3
2a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt = –4m > m < 0.
2b Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(4m + 1) < m <
1 4
. 2c Tổng bình phương hai nghiệm pt (1) 11 x12x22 = 11 (x1 + x2)2 – 2x
1x2 = 11
2 – 8m = 11 m =
9 8
.
Bài tập 10 : (Học kỳ II: 2009-2010_Sở GD – ĐT Bến Tre)
Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) (1).
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép tính nghiệm kép
Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 mà
không phụ thuộc m HD: a)
Phương trình (1) có nghiệm kép '= m2 – =
3 m m
.
Khi
3 m m
pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = ' b
a
= m + 1. Khi m = x1 = x2 = 4.
Khi m = – x1 = x2 = – b)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 '> m2 – >
3 m m
.
Hệ thức: S – P = – x1 + x2 – x1x1 = – hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8.
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH II Kiến thức cần nhớ”
Các bước giải:
Lập phương trình ( hệ phương trình):
Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn qua đại lượng biết ;
(19)Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK trả lời yêu cầu II Bài tập vận dụng:
Bài tập1: (HK II : 2005 – 2006_SGD & ĐT Bến Tre)
Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số lớn số ban đầu 682
HD:
Gọi x chữ số hàng chục (xỴ N, < x 9). Gọi y chữ số hàng đơn vị (yỴ N, x 9) Số cần tìm có dạng xy= 10x + y
Vì chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị nên ta có pt: x – y = (1)
Khi thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số mới: xyx=100x +10y + x = 101x +10y Vì số lớn số ban đầu 682 nên ta có phương trình:
(101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2). Từ (1) (2) ta có hệ pt:
2
91 682
x y
x y
Giải hệ pt ta
7 x y
(thỏa ĐK) số cần tìm 75.
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số bé ba lần số Tìm hai số
HD:
Gọi x, y hai số cần tìm (x, yỴ N) Theo đề ta có hệ pt:
59
2
x y
x y
59
2
x y
x y
Giải hệ ta được:
34 25 x y
(thỏa ĐK) hai số cần tìm 34 25.
Bài tập 3: Giải toán sau cách lập phương trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số 10; tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho
HD:
Gọi x chữ số hàng chục số cho (xỴ N, < x 9) Chữ số hàng đơn vị: 10 – x
Số cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 Tích hai chữ số ấy: x(10 – x)
Theo đề ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – = 0
Giải pt ta được: x1 = –1( loại); x2 = (nhận)
Vậy số cần tìm 28.
Bài tập 4: Giải tốn sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 280m Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 144m2 Tính kích thước
hình chữ nhật HD:
Nửa chu vi hình chữ nhật: 280
2 = 140 (m).
(20)Chiều rộng hình chữ nhật 140 – x (m).
Diện tích ban đầu hình chữ nhật x(140 – x) (m2).
Khi giảm chiều dài hình chữ nhật 2m tăng chiều rộng thêm 3m hình chữ nhật có diện tích: (x – 2) [(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)
Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình:
(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 5x = 430 x = 86 (thỏa ĐK)
Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).
Bài tập 5: Giải toán sau cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m chiều rộng giảm 5m diện tích tăng thêm 50m2 Tính diện tích khu vườn
ban đầu HD:
Chiều dài 100m chiều rộng 60m. Diện tích khu vườn: 000 m2.
Bài tập 6: Giải tốn sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm có diện tích 1500m2.
Tính kich thước HD:
Nửa chu vi hình chữ nhật: 160
2 = 80 (m).
Gọi x (m) kích thước hình chữ nhật (0 < x < 80). Kích thước cịn lại hình chữ nhật 80 – x (m).
Diện tích hình chữ nhật x(80 – x) (m2).
Vì diện tích hình chữ nhật 1500m2 nên ta có phương trình:
x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 =
Giải pt ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).
Vậy hình chữ nhật có kích thước 30m 50m.
Bài tập 7: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m Tính diện tích sân trường
HD:
Gọi x, y (m) chiều dài chiều rộng sân trường ( < x, y < 170)
Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1). Vì ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
170
3 20
x y
x y
Giải hệ pt ta
100 70 x y
(thỏa ĐK).
Bài tập 8: Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên 4cm 5cm diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh 5cm diện tích giảm 100cm2 Tình hai cạnh góc vng tam
giác HD:
Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (x > 5, y > 5). Theo đề ta có hệ pt:
5 200
45
x y
x y
Giải hệ pt ta
20 25 x y
(21)Vậy độ dài hai cạnh góc vng 20cm 25cm.
Bài tập 9: Cho tam giác vng có cạnh huyền 5cm, diện tích 6cm2 Tìm độ dài cạnh góc vng.
HD:
Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (0 < x, y < 5). Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).
Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt:
1
2xy = xy = 12 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
2 25
12
x y
x y
2
( ) 25
12
x y xy
x y
2
( ) 49
12
x y x y
7
12
x y x y
( x, y > 0)
Giải hệ pt ta
3 x y
4 x y
(thỏa ĐK). Vậy độ dài hai cạnh góc vng 3cm 4cm.
Bài tập 10: (HK II : 2007 – 2008_SGD & ĐT Bến Tre)
Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ vòi thứ hai
3
4 bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể?
HD:
Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4). Trong 1h, vòi chảy được:
1 x (bể).
Trong 1h, vòi chảy được: y (bể).
Vì hai vịi nước chảy 48 phút = 24
5 h đầy bể nên 1h hai vòi chảy
24 bể, ta có pt: x +
1 y =
5 24 (1).
Vì vịi thứ vòi thứ hai
4 bể nước nên ta có pt: x +
4 y =
3 4 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
1
24
3
4
x y
x y
(I)
Đặt u = x, v =
1
y , hệ (I) trở thành:
5 24
3
3
4
u v
u v
(22)Giải hệ (II), ta được:
1 12 u v
1
12
1
8 x y
12 x y
(thỏa ĐK). Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 12h, vòi chảy riêng đầy bể 8h.
Bài tập11: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 20 phút đầy bể Nếu để vịi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai chảy 12 phút
2
15 thể tích bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể? HD: Vòi chảy riêng đầy bể 120 phút = 2h, vòi chảy riêng đầy bể 240 phút = 4h
Bài tập 12: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau
4
5 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau 5 bể nước Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể?
HD:
Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > 5). Trong 1h, vòi chảy được:
1 x (bể).
Trong 1h, vòi chảy được: y (bể).
Vì hai vịi nước chảy 4
5 = 24
5 h đầy bể nên 1h hai vòi chảy 24 bể, do ta có pt:
1 x +
1 y =
5 24 (1).
Vì lúc đầu mở vịi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau
5 bể nước nên ta có pt:
x +
6 1 x y
= (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
1
24
9 1
1
x y
x x y
(I)
Đặt u = x, v =
1
y , hệ (I) trở thành:
5 24
9
5
u v
u u v
5 24
51
1
5
u v
u v
(23)Giải hệ (II), ta được:
1 12 u v
1
12
1
8 x y
12 x y
(thỏa ĐK). Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 8h.
Bài tập13: Giải toán sau cách lập phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể cạn chưa có nước sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể?
HD:
Gọi x (h) thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (x > 27). Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
Mỗi vòi thứ chảy
x (bể).
Mỗi vòi thứ hai chảy
27 x (bể).
Vì hai vịi chảy sau 18 h bể đầy, nên 1h hai vòi chảy
18 bể, nên ta có pt:
1 1
27 18
x x x2 – 63x + 486 = 0.
Giải pt ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = (loại).
Vậy: Vòi thứ chảy riêng đầy bể 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 27h. Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre):
Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 90 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 27 phút Tính vận tốc xe
HD:
Gọi x, y vận tốc xe I xe II (x, y > 0).
Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, ta có pt: x + y = 90 (1).
Thời gian xe I hết đoạn đướng AB: 90
x (h).
Thời gian xe II hết đoạn đướng AB: 90
y (h)
Vì xe II tới A trước xe I tới B 27 phút =
20 h nên ta có pt: 90
x – 90
y = 20 (2)
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
x + y = 90 90 90
20 x y
y = 90 ( )
10 10
( )
90 20
x a b
x x
.
Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại).
Thế x = 40 vào (a) y = 50 (nhận). Vậy:
(24)Bài tập 15: Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 110 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 44 phút Tính vận tốc xe
HD:
Gọi x, y vận tốc xe I xe II (x, y > 0).
Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, ta có pt: 2x +2y =110 (1).
Thời gian xe I hết đoạn đướng AB: 110
x (h).
Thời gian xe II hết đoạn đướng AB: 110
y (h)
Vì xe II tới A trước xe I tới B 44 phút = 11
15 h nên ta có pt: 110
x – 110
y = 11 15 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
2x + 2y = 110 110 110 11
15 x y
y = 55 ( ) 110 110 11
( ) 55 15 x a b x x .
Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại).
Thế x = 25 vào (a) y = (nhận). Vậy:
Xe I có vận tốc: 40 km/h.
Xe II có vận tốc: 50 km/h.
PHẦN II: HÌNH HỌC
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
24 Định nghĩa – Định lý
Hệ quả
Ký hiệu tốn học Hình vẽ
1 Góc tâm: Trong đường trịn, số đo góc tâm số đo cung bị chắn.
2 Góc nội tiếp:
* Định lý: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
* Hệ quả: Trong đường tròn:
a) Các góc nội tiếp chắn cung nhau.
b) Các góc nội tiếp chắn một cung chắn cung bằng nhau.
(O,R) có:AOB tâm chắn AmB AOB= sđAmB
(O,R) có:BAC nội tiếp chắn BC BAC=
1
2sđBC.
a) (O,R) có:
n.tiếp chắn BC n.tiếp chắn EF
BAC
EDF
BACEDF
BC EF
C = 2R = d
0 180 Rn . 360 R n R S
2
4 d S R
Sviên phân = Squạt - SABC 2
1
( )
S R R
2 xq
S Rh
2
2 2
tp
S Rh R
2
.
VSxqS hR l. R h
2
tp
S R12R
3
V R h
2
l h R
1
( )
xq
S R R l
2
1 2
1
( )
3
V h R R R R
2
1 2
( ) ( )
tp
S R R l R R S 4 R2 d2
4
3
(25)BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: (HK II : 2007 – 2008_SGD & ĐT Bến Tre):
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Các phân giác góc ABC , ACB cắt đường tròn E, F
CMR: OF AB OE AC.
Gọi M giao điểm của OF AB; N giao điểm OE AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác
Gọi I giao điểm BE CF; D điểm đối xứng I qua BC CMR: ID MN. CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600.
HD:
1 CMR: OF AB OE AC: + (O,R) có:
( )
ACF n tiếp chắn AF
BCF n tiếp chắn BF AF BF OF AB ACF BCF CF làphân giác
+ (O,R) có:
( )
ABE n tiếp chắn AE
CAE n tiếp chắnCE AE CE OE AC ABE CAE BE làphân giác
2 CMR: Tứ giác AMON nội tiếp:
0
0
90
180 90
OF AB taïi M OMA
OMA ONA
OE AC taïi N ONA Tứ AMON nội tiếp.
* Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AMON: Tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính OA
2 2
2 4
OA OA R
S
. 3 CMR: ID MN:
+ I D đối xứng qua BC ID BC (1) + (O,R) có:
1 2
OF AB taïi M MA MB AB OE AC taïi N NA NC AC
MN đường trung bình ABC MN // BC (2). Từ (1) (2) ID MN .
4 CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600:
+ I D đối xứng qua BC BC đường trung trực ID, suy ra:
(26)ICD cân C BCD BCF ( BC đường trung trực đồng thời đường cao). + Khi D nằm (O,R) thì:
( )
CBD n tiếp chắnCD
CBE n tiếp chắnCE CD CE CBD CBE cmt
( )
CE AE cmt
AE EC CD Mà:
Mặc khác:
1
3
AE EC CD ACD CD ACD
(1)
Mà:
Mặc khác:
1
3
AF FB BD ABD BD ABD (2)
. 1 1( )
2
BAC n tiếp chắn BC BAC sđ BC sđ BD sñ CD (3). + Từ (1), (2) (3)
0
1 1 1 360 60
2 3 6
BAC sñ ABD sñ ABD sñ ABD sñ ABD
. Bài 2: (HK II : 2008 – 2009_SGD & ĐT Bến Tre):
Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh BC N điểm cạnh CD cho BM = CN Các đoạn thằng AM BN cắt H
CMR: Các tứ giác AHND MHNC tứ giác nội tiếp Khi BM =
a
Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn MN theo a
HD: 1 CMR: Tứ giác AHND MHNC nội tiếp: + ABM = BCN (c.g.c) BAM CBN
+ CBN ABH ABC 900 AHB900(ĐL tổng góc AHB) AM BN H AHN MHN 900.
+ Tứ giác AHND có: AHN ADN1800 AHND tứ giác nội tiếp. + Tứ giác MHNC có: MHN MCN 1800 MHNC tứ giác nội tiếp.
( )
BCD n tiếp chắn BD
BCF n tiếp chắn BF BD BF
BCD BCF cmt
( )
(27)2 Khi BM = 4 a
Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: + Khi BM =
a
CN = 4 a
DN =
4 a
. + AND vuông D
2
2 2
4 a
AN AD DN a
=
4 a
. + Diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND:
2
2 5 25
:4
4 64
AN a a
S
.
3 Tìm giá trị nhỏ MN theo a: + Đặt x = BM = CN CM = a – x
+ MCN vuông C MN2 = CM2 + CN2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 =
2 2
2
a a
x
MN2 đạt giá trị nhỏ
2 a
2
2 a
x
MN đạt giá trị nhỏ
2 2
2
a a
a x
Vậy giá trị nhỏ MN 2 a
BM = a . Bài 3: (HK II : 2009 – 2010_SGD & ĐT Bến Tre):
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Đường cao BH CK cắt (O) E F CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp
CMR: OA EF EF // HK.
Khi ABC tam giác có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O) HD:
a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp:
+ BH AC BHC= 900 nhìn đoạn BC HỴ đường trịn đường kính BC (1).
+ CK AB BKC= 900 nhìn đoạn BC KỴ đường trịn đường kính BC (2).
+ Từ (1) (2) B, H, C, K Ỵ đường trịn đường kính BC Tứ giác BKHC nội tiếp đường trịn đường kính BC. b) CMR: OA EF EF // HK:
+ Đường trịn đường kính BC có:
KBH n tiếp chắn HK
KBH KCH ABE ACF KCH n tiếp chắn HK
(28)
( )
ABE n tiếp chắn AE
CAE n tiếp chắn AF AE CF AE AF ABE CAF cmt
(1) + Mặc khác: OE = OF = R (2)
Từ (1) ( 2) OA đường trung trực EF OAEF. + Đường tròn đường kính BC có:
BCK n tiếp chắn BK
BCK BHK BCF BHK
BHK n tiếp chắn BK (3)
+ Đường trịn (O) có:
BCF n tiếp chắn BF
BCF BEF BEF n tiếp chắn BF (4)
Từ (3) (4)
BHK BEF
EF // HK
BHK BEF đồng vị .
c) Khi ABC tam giác có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O: + Gọi R bán kính (O) h chiều cao ABC đều, ta có:
h =
a
O trọng tâm ABC R = OA =
3h =
2 3
3
a a
.
S(O) = R2 =
2
3
a a
(đvdt) SABC =
1
2a.h =
2
1 3
2
a a
a
(đvdt) Svp =
1
3( S(O) – SABC ) = 3(
a
- 3
4
a
)=
4 3 3
36
a ( )
(đvdt). Bài 4: (Đề thi thử TS vào lớp 10_2009 – 2010 _THCS An Hóa)
Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E điểm cạnh BC Qua B vẽ đường thẳng vng góc với tia DE H, đường thẳng cắt tia DC F
CMR: Năm điểm A, B, H, C, D nằm đường trịn CMR: DE.HE = BE.CE
Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E trung điểm BC CMR: HC tia phân giác DHF
HD:
(29)+ BHD = 900 nhìn đoạn BD HỴ đường trịn đường kính BD (2)
+ BCD= 900 nhìn đoạn BD CỴ đường trịn đường kính BD (3)
Từ (1), (2) (3) A, B, H, C, D Ỵ đường trịn đường kính BD. b) CMR: DE.HE = BE.CE:
+DEC vàBEH có:
900
DEC BEH ( đối đỉnh)
DCE BHE DEC BEH (g.g)
DE EC
BE EH DE.HE = BE.CE.
c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E trung điểm BC: Khi E trung điểm BC 2
BC a EB EC
. DEC vuông C DE EC2 CD2
DE =
2
2
2
a a a
. Từ: DE.HE = BE.CE (cmt)
BE.CE EH
DE
5
2 2 10
a a a a
EH . :
. DH = DE + EH =
5
a +
5 10
a
=
3 5
a . d) CMR: HC tia phân giác DEF: + Đường tròn đường kính BD có:
CHD n tiếp chắnCD
CHD CBD CBD n tiếp chắnCD
0
145
2
CBDABC
CHD 45 (1)0 Mà:
+ Mặc khác: CHD CHF DHF 900 (2) + Từ (1) (2)
1
2
CHD CHF DHF
HC tia phân giác DHF. Bài 5:
Một hình vng ABCD nội tiếp đường trịn Tâm O bán kính R Một điểm M di động cung ABC , M không trùng với A,B C, MD cắt AC H
(30)CMR: MD.MH = MA.MC
MDC và MAH M vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi M’D cắt AC H’ Đường thẳng qua M’ vng góc với AC cắt AC I Chứng minh I trung điểm H’C
HD:
1 CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường tròn: + ABCD hình vng BD AC BOH 900(1) + (O) có:BMD nội tiếp chắn đường trịn BMD900(2) + Từ (1) (2) BOH BMD900 900 1800
MBOH tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BH.
* CMR: DH.DM = 2R2 :
DOH và DMB
có:
0 90 :
DOH DMB BDM chung
DOH DMB (g.g)
2
.2
DO DH
DO DB DH DM R R DH DM DH DM R DM DB
(đpcm). 2 CMR: MD.MH = MA.MC:
+ (O,R) có:
MDC n tieáp chắn MC
MDC MAC MDC MAH MAC n tiếp chắn MC
CD = AD (ABCD hình vng) CD AD.
CMD n tiếp chắnCD
AMD n tiếp chắn AD CMD AMD CMD AMH CD AD
+ MDC MAH có:
( )
( )
MDC MAH cmt
CMD AMH cmt MDC MAH (g.g) MD MC MD MH MA MC
MA MH .
3 Chứng minh I trung điểm H’C: + Khi MDC = MAH MD = MA
+ (O,R) có:
(31)Từ (1) (2) MC MB M điểm BC Hay M’là điểm BC.
+ Do MDC = MAH M’DC = M’AH’ M’C = M’H’ M’H’C cân M (3)
+ Do M’I AC M’I H’C (4)
Từ (3) (4) M’I đường đường trung tuyến M’H’C IH’ = IC Hay I trung điểm H’C (đpcm).
Bài 6: (TS lớp 10_2009 – 2010 _Bến Tre):
Cho hai đường tròn (O; 20cm) (O’; 15cm) cắt A B Biết AB = 24cm O O’ nằm hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính AC đường trịn (O) đường kính AD đường trịn (O’)
CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng Tính độ dài đoạn OO’
Gọi EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) (E, F tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF
HD:
a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng: + (O) cóABCnội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AC ABC = 900 (1)
+ (O’) cóABDnội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AD ABD = 900 (2)
+ Từ (1) (2) CBD = ABC+ABD = 1800
Ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Tính độ dài đoạn OO’:
+ (O) (O’) cắt A B OO’ đường trung trực AB.
+ Gọi H giao điểm OO’ AB OO’ AB H; HA = HB =
2AB = 12 (cm). + AHO vuông H OH OA2 HA2 = 202122 16 (cm).
+ AHO’ vuông H O H' O A' 2 HA2 = 1521229 (cm). Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + = 25 (cm).
c) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF: + Gọi K giao điểm AB EF.
+ OEK vuông E KE2OK2OE2 (1) + OHK vuông H OK2OH2HK2 (2)
+ Từ (1) (2) KE2 = (OH2 + HK2) – OE2 = 162 + HK2 – 202 = HK2 – 144 (*).
+ O’FK vuông F KF2O K' 2 O F' 2 (3) + O’HK vuông H O K' 2O H' 2HK2 (2)
+ Từ (3) (4) KF2 = (O’H2 + HK2) – O’F2 = 92 + HK2 – 152 = HK2 – 144 (**).
K trung điểm cuûa EF
KE KF EF +Từ (*) (**) KE = KF 2 2 KE = KF
(32)Mà: AB qua trung điểm EF (đpcm). Bài 7: (TS lớp 10_2010 – 2011 _Bến Tre):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By C D
1 CMR:
a) Tứ giác AOMC nội tiếp b) CD = CA + DB COD = 900.
c) AC BD = R2.
2 Khi BAM = 600 Chứng tỏ BDM tam giác tính diện tích hình quạt tròn chắn cung MB nửa
đường tròn cho theo R HD:
1a) CMR: Tứ giác AOMC nội tiếp:
+ Ax tiếp tuyến A OAC= 900 (1)
+ CD tiếp tuyến M OMC= 900 (2)
Từ (1) (2) OAC+ OMC = 1800 AOMC tứ giác nội tiếp
đường trịn đường kính OC.
1b) CMR: CD = CA + DB COD = 900 :
+ Hai tiếp tuyến CA CM cắt C CA = CM OC tia phân giác AOM (1)
+ Hai tiếp tuyến DB DM cắt D DB = DM OD tia phân giác MOB (2)
Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB
0
180
AOM MOB (kề bu)ø OC phân giác AOM OD phân giác MOB
+ (O,R)có:
COD = 900.
1c) CMR: AC BD = R :2
2
AC.BD R với OM = R,MC AC, MD BD
2
COD vuông O
OM MC.MD OM CD
2 Khi BAM = 600 Chứng tỏ BDM tam giác tính diện tích hình quạt trịn chắn cung MB nửa
(33)
0
60
BAM nội tiếp chắn BM
DBM BAM
DBM tạo t.tuyến dây cungchắn BM (1)
BDM
có DB = DM BDM cân D (2) Từ (1) (2) BDM đều.
+ Nửa (O, R) có:
0
2 60 120
BAM nội tiếp chaén BM
BOM .BAM . BOM tâm chắn BM
Squạt =
2 260
360 360
R n R R
(đvdt). Bài 8:
Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D
CMR: MA2 = MC MD.
Gọi I trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B nằm đường tròn
Gọi H giao điểm AB MO CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác
CHD.
Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng HD:
a) CMR:MA2 = MC MD :
+ MAC MDA có:
MDA:chung
MAC MDA (cùng chắn AC) MAC MDA (g.g) MA MC MA2 MC.MD
MD MA (đpcm)).
b) CMR:5 điểm M, A, O, I, B nằm đường trịn: + (O) có:
I trung điểm dây CD OI CD OIM 900nhìn đoạn OM (1)
MA OA (T/c tiếp tuyến) OAM 900
nhìn đoạn OM (2)
MB OB (T/c tiếp tuyến) OBM 900
nhìn đoạn OM (3)
Từ (1), (2) (3) điểm M, A, I, O, B Ỵ đường trịn đường kính OM.
2 . ( )
MA MC MD cmt
c) CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác CHD : + OAMvuông A MA2 = MO MH
Mà:
MO MH = MC MD
MH MC
MD MO
(34)
:
DOM chung
MH MC
MD MO
MHC MDO(c.g.c)
1800
MHC MDO MHC CDO
Mà:MHC CHO (kề bu)ø CDO CHO 1800
Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn (đpcm) * CMR: AB phân giác CHD :
+ CODcó OC = OD = R CODcân O
CDO DCO MDO DCO
Mà:OHD DCO(cùng chắn OD đường tròn nội tiếp tứ giác CHOD)
MDO OHD
OHD MHC Maø:MDO MHC (cmt) (1)
+ Mặc khác:
0
90 90
AHC MHC
AHD OHD (2)
AHC AHD
Maø: AHC AHD CHD Từ (1) (2)
Suy ra: HA tia phân giác CHD AB tia phân giác CHD (đpcm).
d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng: + Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D (O)
+ CK OC (T/c tiếp tuyến) OCK 900nhìn đoạn OK (1) + DK OD (T/c tiếp tuyến) ODK 900nhìn đoạn OK (2) Từ (1), (2) Tứ giác OCK nội tiếp đường trịn đường kính OK
OKC ODC (cùng chắn OC)
OKC MDO
Maø:MHC MDO(cmt)
1800
OKC MHC
Mà: MHC OHC (kề bu)ø
OKC OHC 1800 Tứ giác OKCH nội tiếp đường trịn đường kính OK OHK OCK = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
HK MO
HK AB
(35)Bài 9:
Cho hình vng cạnh a , lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K
1 Chứng minh: BHCD tứ giác nội tiếp Chứng minh: KM DB
3 Chứng minh: KC KD = KH KB
4 Kí hiệu SABM , SDCM diện tích tam giác ABM, tam giác DCM CMR: (SABM + SDCM ) khơng đổi Xác định vị
trí M BC để S2
ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a
HD:
1 CMR: BHCD tứ giác nội tiếp:
+ BHD = 900 nhìn đoạn BD HỴ đường trịn đường kính BD (1)
+ BCD= 900 nhìn đoạn BD CỴ đường trịn đường kính BD (2)
Từ (1) (2) B, H, C, D Ỵ đường trịn đường kính BD. 2 Chứng minh: KM DB :
+ BDKcó :
DH BK
BC DK
DH caét DK taïi M
M trực tâm BDK KM đường cao thứ ba KM DB 3 Chứng minh: KC KD = KH KB:
+ KCB KHDcó:
0
90
KCB KHD
BKD : chung KCB KHD(g.g)
KC KH
KB KD KC KD = KH KB (đpcm). 4 CMR: (SABM + SDCM ) không đổi:
+ ABMvuông B SABM =
1
2AB.BM =
2a.BM (1)
+ DCMvuông C SDCM =
1
2CD.CM =
2a.CM (2)
Từ (1) (2) SABM + SDCM =
1
2a.BM+ 2a.CM
=
2
1 1
2a.(BM CM) 2a.BC 2a.a 2a
+ Vì a khơng đổi
2
1
2a không đổi (SABM + SDCM ) khơng đổi. * Xác định vị trí M BC để S2
ABM + S2 DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a :
+ Đặt x = BM CM = a – x + Ta có:
2
2 1
2
ABM DCM
S S a.BM a.CM
=
2
1
(36)=
2 2
1
4a x (a x)
=
2 2
1 2 2
4a x ax a
=
2 2
1 2
4a (x ax 2a )
=
2 2
1 1
2a (x 2a) 4a )
=
2
1 1
2a (x 2a) 8a
4
8
a
+ Giá trị nhỏ SABM2 SDCM2
4
8
a
:
1
x a
=
1
x a
Vậy M trung điểm BC SABM2 SDCM2 đạt giá trị nhỏ
4
8
a . Bài 10: (TS lớp 10_2008 – 2009 _Bến Tre):
Cho điểm A ngồi đường trịn (O, R) Gọi AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (B C hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn E F (E nằm A F)
CMR: AEC ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF.
Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C nằm đường tròn
Từ E vẽ đường thẳng vng góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng trịn Suy tứ giác MIFB hình thang
Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngồi hình trịn (O) HD:
a) CMR: AEC ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF :
+ AECvà ACF có:
ACE CFE (cùng chắn CE
CAF : chung KCB KHD(g.g)
AC AE AF AC
AC2 = AE AF (đpcm).
b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C nằm đường tròn: + (O) có:
I trung điểm dây EF OI EF
OIA900nhìn đoạn OA (1)
AB OB (T/c tiếp tuyến)
OBA 900nhìn đoạn OA (2)
AC OC (T/c tiếp tuyến
(37)Từ (1), (2) (3) điểm , A,B, O, I, C Ỵ đường trịn đường kính OA.
c) Từ E vẽ đường thẳng vng góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng tròn. Suy tứ giác MIFB hình thang: