Kết luận bài toán * Chú ý : Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, cần phải "Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toá[r]
(1)TÀI LIỆU DẠY CHO HỌC SINH LỚP CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC KỸ NĂNG MÔN TOÁN (LƯU HÀNH NỘI BỘ) A GIỚI THIỆU CHUNG Đây là tài liệu Hội thảo xây dựng nội dung ôn tập môn Toán Phòng GD&ĐT Chiêm Hoá tổ chức ngày 07/02/2015 trên sở Bộ tài liệu ôn tập Toán Sở GD&ĐT ban hành năm 2009, sử dụng để ôn tập cho học sinh lớp 9, là đối tượng học sinh yếu kém Giáo viên triển khai nội dung ôn tập cho học sinh theo tài liệu, đồng thời dựa vào cách biên soạn tài liệu Phòng để biên soạn thêm nội dung đảm bảo bao quát chương trình đã học Tài liệu biên soạn dạng các chuyên đề, đó, vấn đề cấu trúc theo dạng các kiến thức cần nhớ, bài tập mẫu và bài tập tự luyện lớp (có lời giải), bài tập tự luyện nhà Những nội dung kiến thức trình bày tài liệu là nội dung bản, ngắn gọn, giúp học sinh nắm kiến thức để nâng cao chất lượng tốt nghiệp THCS và tỷ lệ thi đầu vào lớp 10 Do thời gian biên soạn còn hạn chế nên tài liệu này chưa bao quát hết nội dung chương trình Một số nội dung có tính chất đề cương, gợi ý, giáo viên cần bổ sung Dựa theo cách biên soạn tài liệu, giáo viên biên soạn nội dung cho phù hợp với điều kiện dạy học và trình độ đối tượng học sinh trường mình Tuy nhiên, biên soạn bổ sung cần đảm bảo ngắn gọn để học sinh dễ tiếp nhận Về cách thức dạy học: Căn vào trình độ học sinh, giáo viên có thể vận dụng các phương pháp dạy học cho phù hợp nhằm làm cho học sinh nắm kiến thức bản; tăng cường thực hành, luyện tập để giải bài tập theo loại chuyên đề Mỗi kiểu bài cần cho học sinh luyện tập nhiều bài tập từ đơn giản đến đầy đủ với nhiều dạng đề khác để rèn luyện kỹ tư duy, kỹ trình bày bài giải cho học sinh (2) B PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH ÔN TẬP (36 TIẾT) Nội dung Tiết thứ CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (9 TIẾT) Phương trình bậc hai ẩn Công thức nghiệm phương trình bậc hai 2+3 Công thức nghiệm thu gọn 4+5 Hệ thức Vi-ét 6+7 Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải bài toán tìm hai số biết tổng và tích Bài tập tổng hợp CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN (6 TIẾT) Phương trình bậc hai ẩn, hệ hai phương trình bậc hai ẩn 10 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp 11 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp (tiếp theo) 12 Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 13 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số (tiếp theo) 14 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số (tiếp theo) 15 CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9 TIẾT) I Giải bài toán cách lập hệ phương trình Dạng toán số - chữ số 16 Dạng toán chuyển động 17 Dạng toán suất 18 II Giải bài toán cách lập phương trình 19 Dạng toán số - chữ số 20 Dạng toán chuyển động 21 (3) Dạng toán chuyển động (Tiếp) 22 Dạng toán suất 23 Dạng toán có nội dung Hình học - Hóa học 24 CHUYÊN ĐỀ 4: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN (12 tiết) Góc tâm, số đo cung Liên hệ cung và dây Góc nội tiếp Mối liên hệ góc nội tiếp và cung bị chắn 25- 26 27 Tiếp tuyến đường tròn 28 Góc tạo tiếp tuyến và dây cung 29 Góc có đỉnh bên đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Cung chứa góc 30 Tứ giác nội tiếp 31-32 -33 Bài tập tổng hợp 34 - 35 - 36 (4) C NỘI DUNG CỤ THỂ CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tiết 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (Hệ số b = c = 0) I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ: Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : ax bx c 0 Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a 0 Bài tập: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x2 - 3x - = có a = b=-3 c=-2 b) 7x2 - = có a = b= c = -7 c) 9x2 - 9x = có a = b = -9 c= Giải phương trình bậc hai có hệ số b = c = * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = A 0 B 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa phương trình tích: A.B = x 0 x=0 x( ax +b)=0 x b ax+b=0 a Ta có: ax2 + bx = Bài tập 1: Giải phương trình: 4x2 – 8x = Giải 4x2 – 8x = ⇔ 4x( x-2) = x 0 ⇔ x 0 ⇔ x=0 ¿ x=2 ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = * Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c = Nếu a.c > thì phương trình vô nghiệm Nếu a.c < phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển c vế và đưa phương trình dạng x2 = a giải Bài tập 2: Phương trình x2 + = vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = > Bài tập 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = Giải: 5x2 – 100 = ⇔ 5x2 = 100 ⇔ x2 = 20 ⇔ x = ± √ Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = √ ; x2 = - √ II BÀI TẬP MẪU Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c phương trình đó: (5) a) 4x3 + 2x2 + 7x - = b) 6x2 + 2x - = 4x2 + c) 7x2 + 2x = + 2x d) −2 √ x + √ x +8=8 Giải : a) Phương trình 4x + 2x + 7x - = không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - = 4x2 + ⇔ 6x2 + 2x – - 4x2 - = ⇔ 2x2 + 2x - = Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - c) Phương trình 7x2 + 2x = + 2x ⇔ 7x2+2x - -2x = ⇔ 7x2 – =0 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = , c = -3 d) Phương trình −2 √ x + √ x +8=8 ⇔ −2 √ x + √ x +8 −8=0 ⇔ - √ x2 + √ x =0 Là phương trình bậc hai có a = -2 √ , b = √ , c = Dạng 2: Giải phương trình bậc hai có hệ số b = c = 0: Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) 2x2 + 5x = 0, b) 5x2 - 15 = 0, c) x2 + 2010 = Giải 2x2 + 5x = ⇔ x (2x + ) = ⇔ a) x =0 ¿ x=− ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình có hai nghiệm : x = và x = b) 5x - 15 = ⇔ 5x2 = 15 ⇔ x2 = ⇔ x = ± √3 Vậy phương trình có hai nghiệm : x = √ và x = - √ c) x + 2010 = Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > Vậy phương trình vô nghiệm III BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, rõ các hệ số a, b, c chúng a) 2x2 + 5x + = c) − √ x = b) 2x2 – 2x = d) 4x + = Giải a) 2x + 5x + = là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = b) 2x2 – 2x = là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = c) − √ x = là phương trình bậc hai có a = - √ , b = 0, c = d) 4x + = không phải là phương trình bậc hai Bài 2: Đưa các phương trình sau phương trình dạng ax bx c 0 và giải các phương trình đó: a) 5x2 + √ x = 2( x 2) ; b) √ x +7 x − 86=− ( x +86 ) (6) Giải a) x x x x x x 0 x x 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x và x b) √ x +7 x − 86=− ( x +86 ) x x 86 x 86 x x 0 x x x 86 x 86 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x 0 và x Tiết +3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Công thức nghiệm phương trình bậc hai: 2 Đối với phương trình ax bx c 0 , a 0 và biệt thức b 4ac - Nếu thì phương trình vô nghiệm - Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 2a và x2 b 2a x1 x2 b 2a - Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: Chú ý: Nếu phương trình ax bx c 0 , a 0 có a và c trái dấu, tức là a.c < thì b 4ac đó phương trình có hai nghiệm phân biệt II BÀI TẬP MẪU Bài 1: Giải phương trình: x x 0 (Câu 1,0 điểm - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tuyên Quang năm học 2013 - 2014) Giải: Phương trình x x 0 có a = 1, b = - 2, c = -4 b 4ac 4.1.( 4) 4 16 20 20 (0,5 điểm) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 20 1 2a 2.1 (7) x2 b 20 1 2a 2.1 (0,5 điểm) Bài 2: Giải phương trình sau: x 2 x 0 Giải: x 2 x 0 (a = 2, b = 2 , c = 1) b 4ac 2 4.2.1 4.2 4.2 0 Vậy phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b 2 2 2a 2.2 2 x m x m 0 Bài 3: Cho phương trình a) Tìm m biết x = là nghiệm phương trình ? b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m? Giải: a) Phương pháp: Vì x0 là nghiệm phương trình nên ax bx0 c phải Vì phương trình nhận x=3 là nghiệm nên thay vào x phương trình đã cho, ta có: 2.32 m m 0 18 3m 12 m 0 2m m 3 Vậy với m = phương trình đã cho nhận x = là nghiệm b) Để phương trình ax bx c 0 luôn có nghiệm thì 0 Ta có: a = 2, b = -(m+4), c = m m 4.2.m m 8m 16 8m m2 16 2 Vì m 0 với m đó m 16 với m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với m III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau a )2 x 2 x b) x x 0 3 0 Giải: a) 2x2-(1-2)x - = = [-(1-2)]2 + = - +8+ 8= 9+4 = (2+1)2 >0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = b) x - 2x - = = 22 +4 = , x1,2 = = 3 Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó a) mx 2m 1 x m 0 b)2 x 4m 3 x 2m 0 Giải: a) mx +(2m-1)x+m+2 = có nghiệm = (2m-1)2-4m(m+2) = 4m2-4m+1-4m2-8m = 1-12m 1-12m0 m b) 2x2-(4m+3)x+2m2-1 = có nghiệm = (4m+3)2-8(2m2-1) = 16m2+24m+9-16m2+8 = 24m+17 (8) 24m+17 m - (9) Tiết 4+5: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: * Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0 ) (1) Đặt b = 2b' Ta có: ' = b’2 – ac (1) vô nghiệm <=> ' < b' (1) có nghiệm kép <=> ' = 0; x1 = x2 = a (1) có hai nghiệm phân biệt <=> ' > b' ' b' ' a a x1 = ; x2 = (1) có nghiệm <=> ' II BÀI TẬP MẪU: Bài 1: Giải phương trình sau: 10x2 + 6x + = (2) Giải: Ta có: b' = 3, ' = - 10.1 = - ' < => phương trình (2) vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau: 5x2 - 6x + = (3) Giải: Ta có: b' = -3, ' = (-3) - 5.1 = ; ' 2 ' > => phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt ( 3) ( 3) 1 5 x1 = ; x2 = Bài 3: Giải phương trình sau: x2 - 10x + 25 = (4) Giải: Ta có: b' = -5, ' = (-5) - 25 = ' = => phương trình (4) có nghiệm kép: ( 5) 5 x1 = x2 = ; III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Xác định hệ số a, b', c các phương trình sau: a) 12x2 - 8x + = b) x2 - x - = Giải: a) 12x - 8x + = 8 Ta có: a = 12; b' = ; c = Ta có: a = 1; b' = ; c = -3 b) x2 - x - = Bài 2: Giải các phương trình sau a) -16x2 - 10x - = (5); b) 2x2 + 4x + = ( 6) c) x2 - ( - 1)x - (2 + 4) = (7); Giải: a) -16x2 - 10x - = ( 5) Ta có: ' = (-5)2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9; ' 3 (10) ' > => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt: ( 5) 1 ( 5) 1 16 ; x2 = 16 16 x1 = 16 2 b) 4x + 4x + = ( 6) Ta có: ' = - = 1 ' = => phương trình (6) có nghiệm kép: x1 = x2 = c) x2 - ( - 1)x + (2 + 4) = (7) Ta có: ' = [2(1 - )]2 - (2 + 4) = - + 12 - 12 - = - 12 < ' < => phương trình (7) vô nghiệm Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - = (8) a) Giải phương trình với m = b) Với giá trị nào m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt? Giải: a) Với m = thì phương trình (8) trở thành: 2x2 + 4x + = (8’) ' 22 2.3 phương trình (8’) vô nghiệm b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt và khi: ' > (2m)2 - (m + 1)(4m - 1) > 4m2 - 4m2 + m - 4m + > 3m < m < Bài 4: Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm kép? 5x2 + 2mx - 2m + 15 = (9) Giải: Phương trình (9) có nghiệm kép và khi: ' = m2 - ( 15 - 2m) = m2 + 10m - 75 = 'm = 52 - 1.(-75) = 100 => ' 10 10 10 5 15 m1 = 1 ; m2 = Vậy m =5 m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm kép Tiết 6+7: HỆ THỨC VI-Ðt I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: * Định lý Vi-ét: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm (nghiệm kép hai nghiệm phân biệt) phương trình: ax2 + bx + c = ( a 0) thì: ¿ b a c x x2 = a ¿{ ¿ x 1+ x 2=− II- BÀI TẬP MẪU (11) Bài 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) các phương trình sau: a) 4x2 + x - = 0, b) 9x2 - 12x + = Giải: a) 4x2 + x - = (a = 4; b = 2; c = -5) Do a, c trái dấu PT chắn có hai nghiệm phân biệt, gọi x 1, x2 là nghiệm PT đã cho, theo định lý Vi-ét ta có: x1 + x2 = − b −2 = =− a c x1 x2 = a =− b) 9x2 - 12x + = (a = 9; b = -12; c = 4) Có Δ '=36 −36=0 => PT có nghiệm kép x1 = x2 x1 + x2 = 12 = x1 x2 = Bài 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm phương trình: x2 – 7x + 12 = (a = 1; b = -7; c = 12) Giải: Theo hệ thức Vi-ét ta có: 7 x1 x2 7 x x 12 12 Suy x1 = 4; x2 = x1 = 3; x2 = * Trường hợp đặc biệt: - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a có nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm là x2= - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có a + b + c = thì phương trình c a 0) có a – b + c = thì phương trình c có nghiệm là x1=-1, còn nghiệm là x2= - a Bài 3: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) 2x2 – 5x + = 0; b) x2 - 49x - 50 = Giải: a) 2x2 – 5x + = (a = 2; b = -5; c = 3) c Vì a + b + c = + (-5) + = nên PT có nghiệm x1 = và x2 = a = b) x2 - 49x - 50 = (a = 1; b = -49; c = -50) (12) Vì a - b + c = – (-49) + (-50) = + 49 – 50 = c Nên PT có nghiệm x1 = - và x2 = - a = 50 = 50 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau : a) x2 + 7x + 12 = 0; b) x2 + 3x - 10 = Giải: a) x2 + 7x + 12 = (a = 1; b = 7; c = 12) Ta có: 7 4.12 1 thức Vi-ét ta có: phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ x1 + x2 = -7 ; x1.x2 = 12 => x1 = - 4; x2 = -3 x1 = - 3; x2 = -4 b) x2 + 3x - 10 = (a = 1; b = 3; c = -10) Do a, c trái dấu PT chắn có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = -3 ; x1.x2 = -1 => x1 = - 5; x2 = x1 = 2; x2 = -5 Bài 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) 7x2 - 9x + = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = Giải a) 7x2 - 9x + = (a = 7; b = -9; c = 2) c Vì a + b + c = + (-9) + = nên PT có nghiệm x1 = và x2 = a = b) 23x2 - 9x - 32 = (a = 23; b = -9; c = -32) Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + – 32 = c −32 32 Nên PT có nghiệm x1 = - và x2 = - a = − 23 =23 Bài 3: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) các phương trình sau: a) 2x2 – 7x + = 0; b) 5x2 + x + = 0; c) 16x2 - 8x + = Giải: a) 2x2 – 7x + = (a = 2; b = -7; c = 2) => x1 + x2 = − b −(−7) = = a 2 ; Δ = b2 - 4ac = (-7)2 – 4.2.2 = 33 >0 c x1.x2 = a =1 b) 5x2 + x + = (a = 5; b = 1; c = 2) Δ = b2 - 4ac = 12 – 4.5.2 = - 39 < Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn x1 + x2 và x1.x2 c) 16x2 - 8x + = (a = 16; b = -8; c = 1) => x1 + x2 = − b −(−8) = = a 16 , Δ = b2 - 4ac = (-8)2 – 4.16.1 = c x1.x2 = a =16 IV BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: (13) a) x2 - 10x + 21 = 0; b) x2 + x - 12 = c) x2 + 7x + 12 = d) x2 - 2x + m= Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Theo hệ thức Vi-ét ta tính: x1 + x2 = ? ; x1.x2 = ? => x1 =?; x2 = ? Bài 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x2 - 6x + = 0; b) 4x2 - 3x - = c) - 3x2 + 12x + 15 = 0; d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8 = Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? c Tính a + b + c = ? a + b + c = => x1 = 1, x2 = a c Hoặc a – b + c = ? a - b + c = => x1 = -1, x2 = - a Bài 3: Biết x1 là nghiệm phương trình, tìm x2? a) x2 + 2x – 35 = ; x1 = 2; b) x2 - 7x – 144 = ; x1 = - Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 = c a => x2 = c a x1 =? b b Hoặc theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 = − a => x2 = − a - x1 = ? (14) TIẾT 8: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bước sau: Bước 1: Điều kiện để tồn hai số u và v là S2 – 4P Bước 2: Giải phương trình x - Sx + P= Tính Δ = S2- 4P −S−√Δ x = x2 = − S +√ Δ Bước 3: Hai số cần tìm là x1, x2 I.BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tìm hai số biết tổng chúng là S = và tích là P = Giải Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = – = 1>0 => tồn hai số Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm phương trình: x2 - 3x + = Ta có: Δ = S2 - 4P = 32 - 4.2 = – = x1 = −(− 3)−1 =1; x2 = −(− 3)+1 =2 Bước 3: Vậy hai số cần tìm là và Bài 2: Tìm hai số biết tổng chúng là S = và tích là P = Giải S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - < => không tồn hai số III BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm hai số u và v các trường hợp sau: a) u + v = 1, uv = -6; b) u + v = -5, uv = c) u + v = 2, uv = Giải: a) Ta có: S2 - 4P = 12 - 4.(-6) = 25 > => tồn hai số Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm phương trình: x2 - x - = Ta có: Δ = S2 - 4P = (-1)2 - 4.1.(-6) = 25; 1 3 x1 = ; 1 x2 = Vậy hai số cần tìm là và -2 b) Ta có: S2 - 4P = (-5)2 - 4.6 = 1>0 => tồn hai số Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm phương trình: x2 + 5x + = Ta có: Δ = S2 - 4P = 52 - 4.1.6 = 1; 1 x1 = ; 5 x2 = Vậy hai số cần tìm là -2 và -3 c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < => không tồn hai số u và v Bài 2: a) Tìm hai số biết tổng chúng là S = 32 và tích là P = 231 b) Tìm hai số biết tổng chúng là S = -8 và tích là P = -105 (15) c) Tìm hai số biết tổng chúng là S = và tích là P = Hướng dẫn: a) Tìm điều kiện để hai số tồn S2 - 4P = 322 – 4.231=… Tính Δ =……… x1 = …… x2 =…… Vậy hai số cần tìm là……… b) Tìm điêu kiện để hai số tồn S2 - 4P = (-8)2 – 4.(-105)=… Tính Δ =……… x1 = …… x2 =…… Vậy hai số cần tìm là……… c) Tìm điêu kiện để hai số tồn S2 - 4P = 22 – 4.9 =… Vậy có tồn hai số không ?……… Tiết 9: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm Giải 2 x + (2m + 1) x + m + = (1) a) Khi m = ta có phương trình: x2 + 3x + = Vì a = 1; b = 3; c = => a - b + c = Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - b) Phương trình (1) có nghiệm âm và khi: 0 S P (2m 1)2 4(m 1) 0 (2m 1) m 1 m 4m 0 2m m m 2 Câu 2: Cho phương trình x2 + (m - 1) |x| + m + = với m là tham số Tìm tất các giá trị m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt Giải: Đặt |x| = t, t + 2(m - 1)t + m + = (1) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt <=> (1) có nghiệm khác dấu (1) có nghiệm kép t > +) (1) Có nghiệm khác dấu <=> m + < <=> m < -1 Δ' m 0 = <=> m2 - 3m = <=> m 3 +) Thay vào (1) để xét thì m = thỏa mãn, m = bị loại Vậy m < - m = Câu 3: Cho phương trình: x x m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 2 thoả mãn điều kiện: x1 x2 5 (16) (Câu 1,0 điểm - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tuyên Quang năm học 2013 - 2014) Giải: Để phương trình có nghiệm phân biệt ta cần có: 0,5 điểm ' ( m 1) m m (*) Ta có x12 x22 5 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 5 2( m 1) 5 m thoả mãn điều kiện (*) Vậy m 0,5 điểm là giá trị cần tìm Câu 4: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= a) Giải phương trình m = - (1) x1 x2 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x + x =4 Giải: a) Với m = - ta phương trình: x2 + 4x = <=> x(x + 4) = <=> x = ; x = - b) Phương trình (1) có nghiệm Δ ' > <=> (m -1)2 - (m+ 1) = m2 - 3m = m(m 3) > <=> m > ; m < (1) Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m + (2) x1 x x12 x 22 (x1 x ) 2x1x x x x x x1 x 2 1 Ta có: = x1 x (x1 x )2 2x1x 4 4 (x1 x ) 6x1x x 1x nên x x1 (3) Từ (2) (3) ta được: 4(m - 1)2 = 6(m + 1) <=> 4m2 - 8m + = 6m + <=> 2m2 - 7m 1=0 − √57 + √ 57 Δ = 49 + = 57 nên m = <0;m= > m Đối chiếu đk (1) thì nghiệm thoả mãn (17) Tiết 19: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN VỀ SỐ - CHỮ SỐ I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Các bước giải bài toán cách lập phương trình bậc hai ẩn + Bước 1: - Lập phương trình - Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn - Dựa vào các kiện và điều kiện bài toán để lập phương trình + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết và trả lời Kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Δ = b2 - 4ac + Nếu Δ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt − b+ √ Δ − b −√ Δ x = ;x = 2a 2a b + Nếu Δ = thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - a + Nếu Δ < thì phương trình vô nghiệm - Công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a b = 2b' ; Δ ' = b'2 - ac + Nếu Δ ' > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt − b '+√Δ' − b ' −√ Δ ' x = ;x = a a + Nếu Δ '= thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu Δ '< thì phương trình vô nghiệm Trường hợp đặc biệt: 0) b' a c + Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a c + Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm:x1 = -1; x2 = - a - Nhắc lại công thức liên hệ số bị chia, số chia, thương và số dư Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư) (Số dư < số chia) - Nhắc cách viết số có hai chữ số dạng tổng (cấu tạo số) a chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b Với a, b N và a 9 ; ≤ b ≤ II BÀI TẬP MẪU Bài tập 1: Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng là 109 Tìm hai số đó Giải: Gọi số tự nhiên nhỏ là x; x N*, thì số tự nhiên liền sau là x + Tích hai số là: x(x+1), tổng hai số là: 2x+1 Theo bài ta có phương trình: (18) x(x+1) - (2x+1) = 109 ⇔ x2 - x - 110 = Giải phương trình ta x1 = 11 (TMĐK) x2 = -10 (loại) Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10, tích hai chữ số nhỏ số đã cho là 12 Tìm số đã cho? Giải: * Gọi chữ số hàng chục số đã cho là x (x N , x 9) Chữ số hàng đơn vị là 10 - x Giá trị số đã cho là 10x +10 - x = 9x +10 Theo bài ta có phương trình: x(10 - x) = 9x + 10 -12 ⇔ x2 - x - = Giải phương trình ta x1 = (TMĐK) x2 = -1 (loại) Ta có chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là Vậy số phải tìm là 28 Bài tập 2: Một số có hai chữ số Tổng các chữ số chúng 10, tích hai chữ số nhỏ số đã cho là 82 Tìm số đã cho? Tiết 20: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Các bước giải bài toán cách lập phương trình bậc hai ẩn * Bước 1: - Lập phương trình - Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn - Dựa vào các kiện và điều kiện bài toán để lập phương trình * Bước 2: Giải phương trình * Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết và trả lời Các kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Δ = b2 - 4ac + Nếu Δ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt − b+ √ Δ − b −√ Δ x = ;x = 2a 2a b +Nếu Δ = thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - a +Nếu Δ < thì phương trình vô nghiệm - Công thức nghiệm thu gon phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a b = 2b' ; Δ ' = b'2 - ac + Nếu Δ ' > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 0) (19) x1 = − b '+√Δ' ; x2 = a − b ' −√ Δ ' a + Nếu Δ '= thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu Δ '< thì phương trình vô nghiệm * Trường hợp đặc biệt: b' a c + Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a c + Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = - a - Công thức chuyển động đều: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian) II BÀI TẬP MẪU Bài tập 1: Một xe ô tô từ A đến B dài 120 km thời gian dự định Sau nửa quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 (km/h) nên xe đến B sớm 12 phút so với dự định Tính vận tốc ban đầu xe Giải Gọi vận tốc ban đầu xe là x(km/h); ( x>0) 120 Thời gian dự định từ A đến B là x (h) 60 60 Thời gian thực tế từ A đến B là ( x + x 10 ) (h) Xe đến B sớm 12 phút = h, so với dự định ta có phương trình 120 60 60 60 60 x - ( x + x 10 ) = x - x 10 = x2 + 10x - 3000 = Giải PT ta có: x1= 50 (TMĐK); x2= - 60 ( loại) Vậy vận tốc ban đầu xe là 50 (km/h) III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 100 hàng, lúc khởi hành đoàn xe giao thêm 44 Do đó phải điều thêm hai xe cùng loại, và xe phải chở thêm Tính số xe phải điều theo dự định Bài giải Gọi số xe phải điều thêm dự định là x; (2< x N*) 100 Theo dự định xe phải chở số hàng là x (tấn) Vì đoàn xe phải nhận thêm 44 hàng nên số hàng lúc sau là: 100+44= 144 (tấn) Vì đoàn xe phải điều thêm xe, nên số xe lúc sau là x + và xe phải chở 144 số hàng lúc sau là x (tấn) 100 144 Vì xe phải chở thêm nửa ta có PT: x + 2= x (20) x2 - 20x + 100 = (1) Giải PT (1): '= (-10)2 - 100 = Phương trình có nghiệm kép: x1= x2 = 10; (TMĐK) Vậy số xe dự định phải điều là 10 Bài tập 2: Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là km/giờ (Câu 2,5 điểm - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tuyên Quang năm học 2011 - 2012) Lời giải và thang điểm: Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng là x km/giờ ( x > 4) Vận tốc ca nô xuôi dòng là x +4 (km/giờ), 30 ngược dòng là x - (km/giờ) Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là x giờ, ngược dòng 30 0,5 điểm 0,5 điểm từ B đến A là x 30 30 4 Theo bài ta có phương trình: x x (4) 0,5 điểm (4) 30( x 4) 30( x 4) 4( x 4)( x 4) x 15 x 16 0 x x = 16 Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại 0,5 điểm Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng là 16km/giờ 0,5 điểm Tiết 21: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG (tiếp theo) I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Các bước giải bài toán cách lập phương trình bậc hai ẩn + Bước 1: - Lập phương trình - Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn - Dựa vào các kiện và điều kiện bài toán để lập phương trình + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết và trả lời Các kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Δ = b2 - 4ac Công thức chuyển động đều: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian) Công thức : Vt xuôi = Vt + Vn Vt ngược = Vt - Vn II BÀI TẬP MẪU (21) Bài tập 1: Một ca nô xuôi dòng 45 km ngược dòng 18km Biết thời gian xuôi lâu thời gian ngược là và vận tốc xuôi lớn tốc ngược là 6km/h Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng Giải Gọi vận tốc ca nô lúc ngược dòng là x(km/h) ( ĐK: x>3) Khi đó: Vận tốc xuôi dòng là: x + (km/h) 45 Thời gian xuôi dòng 45 km là: x (giờ) 18 Thời gian ngược dòng 18 km là: x (giờ) 45 18 Theo bài ta có phương trình: x - x = ⇒ x2 - 21x + 108 = Giải phương trình ta được: x1 = 12(TMĐK); x2 = 9(TMĐK) Vậy vận tốc ca nô lúc ngược dòng là 12km/h km/h III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập1: Một ô tô chuyển động với vận tốc đã dự định để hết quãng đường 120km thời gian đã định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm km/h trên quãng còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên đường Hướng dẫn giải Gọi vận tốc đã định ô tô là x (km/h);(ĐK: x>2) Khi đó: 120 Thời gian dự định là: x (giờ) Đi nửa quãng đường tức là 60 km xe nghỉ phút hay 20 (giờ), 60 thời gian xe trên nửa quãng đường đầu là x Sau nghỉ, để đến nơi đúng xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h tức là với vận tốc: (x+2) km/h, đó 60 trên nửa quãng đường sau xe phải x (giờ) 60 60 120 Theo bài ta có PT: x + x + 20 = x ⇒ x2 + 2x - 2400 = Giải phương trình ta được: x1 = 48(TMĐK) ; x2 = -50 (loại ) 60 60 49 2 20 (giờ) Vậy thời gian xe lăn bánh trên đường là: ( 48 50 ) = 20 Bài tập 2: Khoảng cách hai bến sông A và B là 48 km Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian và là (không tính thời (22) gian nghỉ) Tính vận tốc canô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là km/h Hướng dẫn: Gọi vận tốc canô nước yên lặng là x (km/h, x 4) 48 Vận tốc ca nô nước xuôi dòng là x và thời gian ca nô chạy xuôi dòng là x Vận tốc ca nô nước ngược dòng là x và thời gian ca nô chạy ngược dòng là 48 x 48 48 5 Theo giả thiết ta có phương trình x x (*) 2 (*) 48( x x 4) 5( x 16) x 96 x 80 0 Giải phương trình ta x 0,8 (loại), x 20 (thỏa mãn) Vận tốc ca nô nước yên lặng là 20 km/h TIẾT 23: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Quá trình giải bài toán cách lập phương trình gồm các bước sau: Bước 1: - Lập phương trình - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết - Lập phương trình biểu thị tương quan các đại lượng Bước 2: Giải phương trình thu bước Bước 3: Kiểm tra các nghiệm phương trình vừa giải để loại các nghiệm không thoả mãn điều kiện ẩn Kết luận bài toán * Chú ý : Để giải bài toán cách lập phương trình, cần phải "Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng bài toán theo ẩn và các số đã biết thiết lập phương trình diễn đạt tương quan các đại lượng bài toán II BÀI TẬP MẪU Bài tập 1: Theo kế hoạch đội xe cần chuyên chở 120 hàng Đến ngày làm việc có xe bị hỏng nên xe phải chở thêm 16 hết số hàng Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? (Câu 2,0 điểm - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tuyên Quang năm học 2010 - 2011) Lời giải và thang điểm: Gọi số xe lúc đầu đội xe là x (xe), (ĐK: x > 2; x nguyên) 0,25 điểm (23) 120 Theo dự định xe phải chở: x (tấn) 120 Thực tế xe đã chở: x (tấn) 120 120 Theo bài ta có phương trình: x - x = 16 ⇒ 0,25 điểm 0,50 điểm x2 - 2x - 15 = 0,50 điểm x1 = (TMĐK); x2 = -3 (loại) 0,50 điểm Vậy số xe lúc đầu đội là xe III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn thì sau 55 phút bể đầy nước Nếu mở riêng vòi thì vòi thứ có thể chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai là Hỏi mở riêng vòi thì vòi chảy đầy bể bao lâu? Giải Gọi thời gian để vòi thứ chảy mình đầy bể là x(giờ) (ĐK: x > 0) Thời gian vòi thứ hai chảy mình đầy bể x + (giờ) 175 35 h h 55 phút = 60 = 12 Trong vòi thứ chảy được: x (bể) Trong vòi thứ hai chảy được: x +2 (bể) 12 Trong hai vòi chảy được: 35 (bể); 12 Theo bài ta có PT: x + x +2 = 35 ⇒ 6x2 - 23x - 35 = x1 = (TMĐK); x = − (loại) Vậy, vòi thứ chảy riêng đầy bể Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể Bài tập 2: Hai người cùng làm chung công việc thì hoàn thành Nếu người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ ít thời gian người thứ hai là Hỏi làm riêng thì người phải làm bao lâu để hoàn thành công việc Hướng dẫn giải Gọi x, y là thời gian người cần để mình hoàn thành công việc (x, y > tính giờ) Trong người làm 1 ; y x công việc, làm (24) 1 x + y = công việc.(vì hai người hoàn thành công việc giờ) Do người thứ làm ít người thứ hai là nên y - x = Ta có hệ phương trình y x 6 (1) y x 1 1 1 1 x y 4 x x (2) Giải (2): (2) <=> x(x + 6) = (x + x + 6) <=> x2 - 2x - 24 = <=> x = (t/m); x = - (loại vì x > 0) Thay vào (1) y = 12 Vậy để hoàn thành công việc người thứ cần giờ, người thứ hai cần 12 Tiết 24: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC - HOÁ HỌC I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Các bước giải bài toán cách lập phương trình: + Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập các phương trình biểu thị tương quan các đại lượng + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Chọn kết thích hợp và trả lời Các kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a Δ = b2 - 4ac + Nếu Δ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt − b+ √ Δ − b −√ Δ x = ;x = 2a 2a 0) b + Nếu Δ = thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - a + Nếu Δ < thì phương trình vô nghiệm - Công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a b = 2b' ; Δ ' = b’2 - ac + Nếu Δ ' > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt − b '+√Δ' − b ' −√ Δ ' x = ;x = a a + Nếu Δ '= thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu Δ '< thì phương trình vô nghiệm - Trường hợp đặc biệt: 0) b' a c + Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a c + Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = - a * Công thức chu vi diện tích hình chữ nhật, hình tam giác * Toán nồng độ %: Ta nói nồng độ dung dịch x% thì hiểu 100 gam dung dịch có x gam chất tan (25) II BÀI TẬP MẪU Bài tập Một hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài, giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200m2 Tính chu vi, diện tích hình chữ nhật ban đầu? Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), thì chiều rộng là x (m), (Điều kiện x> 0) Vì hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài, và giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200 m2 nên ta có phương trình: (x - 1)( x + 1) = 200 Giải phương trình ta x1 = 21(TMĐK) 67 x2 = - (loại) Vậy chiều dài hình chữ nhật là 21m, chiều rộng là 9m Chu vi hình chữ nhật ban đầu là (21+ 9) 2= 60m Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 21 = 189m2 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m Hai cạnh góc vuông kém 2m Tính các cạnh góc vuông Hướng dẫn giải: Gọi cạnh góc vuông nhỏ là x Cạnh góc vuông lớn là x + Điều kiện: < x < 10, x tính m Theo định lý Pitago ta có phương trình: x2 + (x + 2)2 = 102 Giải phương trình ta x1 = (t/m), x2 = - (loại) Vậy cạnh góc vuông nhỏ là 6m; cạnh góc vuông lớn là 8m Bài tập 2: Cho lượng dung dịch 10% muối Nếu pha thêm 200 gam nước thì dung dịch 6% Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho Giải Gọi số gam dung dịch đã cho là x (g), (Điều kiện x>0) Vậy số gam dung dịch sau đổ thêm 200 gam nước là x + 200 (g) Vì trước và sau đổ thêm nước lượng muối không đổi, đó ta có phương trình 6% (x + 200) = 10%x 6x + 1200 = 10x x = 300 (TMĐK) Vậy số dung dịch đã cho là 300gam (26)