Tải Toán 10: Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10

HD: Cách 1 viết phương trình các cạnh của tam giác sau đó tì mối quan hệ của chúng với đường thẳng d rồi đưa ra kết luận.. HD: Cách 1 dùng công hức Herron.[r]

4

Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài Viết phương trình đường thẳng

I Nội dung kiến thức

Một số kiến thức vectơ toạ độ:

 Giá vecto đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ

 Cho hai điểm A, B AB(xBx yA; ByA), 2

( B A) ( B A)

AB AB  x x  y y

 Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB ;

2

A B A B

M M

x x y y

x   y  

 Nếu G trọng tâm tam giác ABC ;

3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x    y   

 u v  u v .cos( , ),u v uv u v 0;0 ( , ) 180 u v  

Vectơ phương đường thẳng: Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng d

nếu có giá song song trùng với đường thẳng d

Vectơ pháp tuyến đường thẳng: Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d

nếu có giá vng góc với đường thẳng d

Phương trình tham số đường thẳng: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u( ; )a b qua điểm M x y( ;0 0) có phương trình tham số là:

0

0

,

x x at y y bt

  

  

 t tham số

Phương trình tắc đoạn thẳng: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u( ; )a b qua điểm M x y( ;0 0) có phương trình tham số là: 0

,

x x y y

a b

 

 ý phương trình

tắc đoạn thẳng viết ab0

Phương trình tổng quát đường thẳng:

5  Cho đường thẳng d ax by:   c

 Nếu đường thẳng d' song song với đường thẳng d phương trình đường thẳng '

d có dạng ax by  c'

 Nếu đường thẳng d'' vng góc với đường thẳng d phương trình đường thẳng ''

d có dạng bx ay c''0

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đường thẳng d qua hai điểm A a( ;0), (0; )B b với

0

ab có phương trình là: x y

a  b

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:

 Đường thẳng d có hệ số góck qua điểm M x y( ;0 0) có phương trình theo hệ số góc là: yk x( x0)y0, ý đường thẳng song song với trục tung khơng viết phương trình theo hệ số góc

 Góc đường thẳng d trục Ox: Đường thẳng d

cắt trục Ox M, Mt tia nằm phía trục Ox

xMt góc đường thẳng d trục Ox ta cần lưu ý tan k

 Đường thẳng d có hệ số góc k có vectơ phương u(1; )k vectơ pháp tuyến

( ; 1)

v k 

 Cho đường thẳng d có hệ số góc k đường thẳng d' có hệ số góc k' nếu:  d d' k k ' 1

 d // d' k k'

Lưu ý: Khi đề yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà khơng nói ta viết phương trình tổng qt

10 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng :

' : ' ' '

d ax by c d a x b y c

   

   



Để xét vị trí tương đối d d' ta xét số nghiệm hệ phương trình sau:

' ' '

ax by c a x b y c

   

   

 (I)

 Hệ (I) có nghiệm d d' cắt

 Hệ (I) vơ nghiệm d d' song song với

 Hệ (I) có vơ số nghiệm d d' trùng Nếu a b c' ' '0 thì:

 d d' cắt

' '

a b a  b

 d d' song song với

' ' '

a b c a b  c

 d d' trùng

' ' '

a b c a b c

O x

y t

M

6 II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho hai điểm M( 1; 2), N(2;3)

a Tìm vecto phương vecto pháp tuyến đường thẳng MN;

b Viết phương trình tắc, tham số đường thẳng MN

Lời giải

a Ta có vecto MN vectơ phương đường thẳng MN nên :

(2 ( 1);3 2) (3;1)

MN MN

u      u 

Vectơ pháp tuyến đường thẳng MN ta lấy nMN  ( 1;3)

b Do đường thẳng MN qua M( 1; 2) có vectơ phương uMN (3;1) nên ta có :

Phương trình tham số đường thẳng MN : ( 1)

1 2

x t x t

y t y t

    

 

     

 

Phương trình tắc đường thẳng MN : ( 1) 2

3

x  y x y

  

Ví dụ 2. Cho đường thẳng  có phương trình tham số:

x t

y t

  

   



a Viết phương trình tổng quát ;

b Viết phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(2;3) song song với ;

c Viết phương trình tổng quát đường thẳng l đi qua điểm N(4; 2) vng góc với 

Lời giải

a Đường thẳng  có vectơ phương u(2; 1) nên có vectơ pháp tuyến n(1; 2) Chọn tham số t0 ta có điểm A(1; 3) nằm 

Phương trình tổng quát đường thẳng  :

 

1.(x 1) y ( 3)   0 x 2y 5

b Do đường thẳng d song song với  nên đường thẳng d có vectơ phương ud (2; 1).

Phương trình tắc đường thẳng d :

2

x y





c Đường thẳng l vng góc với  nên có vectơ pháp tuyến nl (2; 1). Phương trình tổng quát đường thẳng l :

2(x 4) 1(y2) 0 2x  y Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với A( 1; 2), (2;3), (4;6). B C

a Viết phương trình đường trung tuyến tam giác kẻ từ B;

b Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC

7

a Gọi D trung điểm AC, ta có toạ độ điểm D : 3;

D  

 

Ta có 2; 1;1

2

BD       

    nên vectơ pháp tuyến đường

thẳng BD là : nBD (2;1)

Phương trình đường thẳng BD :

2(x 2) 1(y  3) 2x  y b Gọi H trực tâm tam giác ABC

Ta có BC(2;3) vectơ pháp tuyến đường thẳng AH nên đường thẳng AH có phương trình : 2(x 1) 3(y2) 0 2x3y 4

Ta có AC(5; 4) vectơ pháp tuyến đường thẳng BH nên đường thẳng BH có phương trình :

5(x 2) 4(y  3) 5x4y220

Suy toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình sau :

2 50 24 ;

5 22 7

x y

H x y

  

    

     

 



Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có đỉnh C( 2; 4)  trọng tâm G(0; 4) Hãy viết phương trình đường thẳng

AB biết M(2; 2) trung điểm cạnh BC

Lời giải

Vì M(2; 2) trung điểm cạnh BC nên ta có:

( 2)

2.2

(6;8) ( 4) 2.2

2

B

B

B B

x

x

B

y y

 

 

    

  

      



 



Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AG2GM

0 2(2 0)

( 4;8)

4 2(2 4)

A A

A A

x x

A

y y

    

 

   

   

 

Ta có: AB(10;0) nên vectơ pháp tuyến đường thẳng AB là: nAB (0;1) Phương trình đường thẳng AB là: 0(x 4) 1(y   8) y

Ví dụ 5. Cho đường thẳng d có hệ số góc 3 A(1; 2) nằm d

a Lập phương trình tham số đường thẳng d;

b Lập phương trình tổng quát đường thẳng d

Lời giải

a Đường thẳng d có hệ số góc 3 nên có vectơ phương (1; 3).

Đường thẳng d đi qua điểm (1;2)A có vectơ phương (1; 3) nên có phương trình tham

số :

2

x t

y t

     



8

Đường thẳng d đi qua điểm (1;2)A có vectơ pháp tuyến (3;1) nên có phương trình tổng quát :

3(x 1) 1(y2) 0 3x  y

Ví dụ 6. Hãy viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(2; 5) tạo với trục Ox góc 

Lời giải

Hệ số góc đường thẳng d tan 60

3

k 

Phương trình đường thẳng d : 3( 2) 3 15

3

y x   x y 

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A, B Biết A(1;0) BAO45  Hãy viết phương trình đường thẳng d

Lời giải

Gọi  góc đường thẳng d trục Ox

Trường hợp :

180 180 45 135 

     

BAO

Suy hệ số góc đường thẳng d là: k tan135 1

Đường thẳng d có hệ số góc k  1 qua A(1;0) nên có phương trình là: y 1(x     1) x y

Trường hợp : BAO    45 

Suy hệ số góc đường thẳng d : ktan 451 Đường thẳng d có hệ số góc k 1 qua A(1; 2) nên có phương trình đường thẳng d :

1( 1)

y x     x y

Ví dụ 8. Đường thẳng d qua M( 1; 5)  cắt trục Ox, Oy A, B cho OA2OB Hãy viết phương trình đường thẳng d

Lời giải

Cách :Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc.

Gọi  góc đường thẳng d trục Ox

Do tam giác OAB vng O nên ta có: tan

2

OB BAO

OA

 

Trường hợp :

1

180 tan

2

BAO     Đường thẳng d có hệ số góc

2

 qua M( 1; 5)  nên

có phương trình : 1( 1) 11

2

y  x   x y 

Trường hợp :

tan

2

BAO   Đường thẳng d có hệ số góc

2 qua M( 1; 5)  nên có phương

trình : 1( 1)

2

y x   x y 

y

(1;0)

A x

d

B

O



(1;0)

A



x

B O

9 Cách :Sử dụng phương trình đoạn chắn.

Giả sử A a( ;0), (0; );B b ab0 phương trình đường thẳng AB là: x y bx ay ab

a  b    (1)

Do OA2OB nên 2

2 a b a b a b        

Trường hợp :

Nếu a2b ta có (1)bx2by2b2   0 x 2y2b0 (2)

Do M( 1; 5)  nằm d nên  1 2.( 5) 2  b 0 2b 11 Thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: x2y110

Trường hợp :

Nếu a 2b ta có (1)bx2by2b2   0 x 2y2b0 (3)

Do M( 1; 5)  nằm đường thẳng d nên  1 2.( 5) 2  b 0 2b 9 Thay vào (3) ta phương trình đường thẳng d là: x2y 9

Ví dụ 9. Hãy lập phương trình đường thẳng qua M(2;1) cắt trục Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB

Lời giải

Giả sử d đường thẳng cần lập phương trình Gọi

( ;0), (0; )

A a B b giao điểm đường thẳng d với trục Ox, Oy

Ta có phương trình đường thẳng d là: x y

a  b

Do điểm M(2;1) nằm đường thẳng d nên:

2

1 a 2b ab

a    b   (1)

Ta có: 8

8

ABC

ab

S OA OB a b ab

ab                Trường hợp : Nếu ab8 thay vào (1) ta có:

2 8 8

2 ( 2)

b a a b b a

b b b

b                        

Suy phương trình đường thẳng d là:

4

x y

x y

      

Trường hợp : Nếu ab 8 thay vào (1) ta có:

2

8

8 2 2

2

8 8 2

2 4

2

a

a a b b

b

b

a a

b b b b

b b                                                   

Do phương trình đường thẳng d là:

1 2 x 2 2y   4 1 2 x 2 2y 4

10

Ví dụ 10. Cho hai điểm M(3;1) I(2; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt trục Ox,

Oy A B cho tam giác IAB cân I

Lời giải

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A a( ;0), (0; ),B b ab0 Phương trình đường thẳng d có dạng: x y

a b Do d qua M(3;1) nên

3

1

a b (1)

Gọi N trung điểm AB ; 2

a b N 

  Vì tam giác ABC cân I nên IN AB

Do đó: 4 2

; ( ; ) 4

2

a b

IN AB     a b   a a  b b

 

( )( 4)

4

a b a b b a

a b

        

  

Trường hợp : a b thay vào (1) ta có: 1 b a

b      b



Suy phương trình đường thẳng d là:

2

x y

x y

     



Trường hợp : a b thay vào (1) ta có:

2 2

3

1 4

2

4

b a

b b b b b

b a

b b

   

          

   

(thoả mÃn) (loại)

Vi a6,b2 ta có phương trình đường thẳng d là:

6

x y

x y

     

Ví dụ 11. Cho đường thẳng d y: 2x1, viết phương trình đường thẳng d' qua điểm B điểm đối xứng điểm A(0; 5) qua đường thẳng d song song với đường thẳng y  3x

Lời giải

Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d nên ta có: 1

2

AB AB

k   k  

Phương trình đường thẳng AB là: 1( 0) 5

2

y  x    y x

Vì A và B đối xứng qua đường thẳng d nên trung điểm N chúng giao điểm hai đường thẳng d AB

Suy toạ độ điểm N nghiệm hệ phương trình:

2

12 19 ;

5 5

2

y x

N

y x

  

    

     

 



Từ ta tính 24; 13

5

A  

 

Đường thẳng d' song song với đường thẳng y  3x nên kd'  3

Phương trình đường thẳng d' là: 24 13 17

5

y  x   y  x

11 III Bài tập đề nghị

1 Cho tam giác ABC mặt phẳng toạ độ Oxy với A(2;3), ( 1; 4), (3;6).B  C

a Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến kẻ từ C;

b Tìm toạ độ điểm H chân đường cao kẻ từ A

2 Hãy xác định đường thẳng qua điểm A(1; 2), cắt trục hoành B, cắt trục tung C cho

2

OB OC

3 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết tam giác có hai đỉnh

( 1; 2), (2; 4)

A B trọng tâm G(2;3)

4 Lập phương trình ba đường trung trực tam giác có trung điểm cạnh

( 1;0),

M  N(4;1), (2; 4).P

5 Cho M(1; 2) lập phương trình đường thẳng qua M chắn hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài

6 Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(0; 2), ( 1;3), (4;1).B  C Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy

lần lượt tai M, N cho OM4ON Hãy viết phương trình đường thẳng d biết qua trọng tâm G tam giác ABC

7 A B giao điểm đường thẳng d với trục Ox Oy Biết ABO 60 đường thẳng d qua 1;

2

C 

 

8 Cho đường thẳng d: 2x  y Hãy lập phương trình đường thẳng AO biết O gốc toạ độ A hình chiếu điểm B(1; 2) lên đường thẳng d

9 Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(1; 2), (3; 2), (2; 3).B C 

a Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB;

b Viết phương trình đường trung tuyến qua đỉnh C;

c Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC;

d Viết phương trình đường trung bình tam giác ABC cắt cạnh AB AC

10 Cho hai điểm M(0; 2) I(1; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt trục Ox, Oy

lần lượt A B cho tam giác IAB cân I

11 Hai cạnh AB, AC của tam giác ABC có phương trình 3x2y 1 x  y

Đường trung tuyến ứng với cạnh AB có phương trình 2x  y Viết phương trình cạnh

BC

12 Một cạnh tam giác có phương trình x2y 7 Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh cịn lại có phương trình x  y 2x  y 11 Hãy viết phương trình hai cạnh lại tam giác

13 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau đây:

a 2x5y 3  3x 7y 8 0;

b x3y 5

3 ;

2

x t

y t

    

12 c

2

x t

y t

  

   



1 ' ; '

x t

y t

     



14 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết tam giác có hai đỉnh

( 1; 2), (2; 4)

A B trọng tâm G(2;3)

15 Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB x: 3y 11 0, đường cao

: 15 0,

AH x y  đường cao BH: 3x5y130 Tìm phương trình đường thẳng chứa hai cạnh cịn lại tam giác

16 Cho tam giác ABC có A( 2;3) hai đường trung tuyến qua điểm B điểm C lầ lượt

2x  y 0,x  y Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh tam giác

17 Lập phương trình đường thẳng d qua P(6; 4) tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích

18 Lập phương trình đường thẳng d qua Q(2;3) cắt tia Ox, Oy hai điểm M (có hồnh độ

dương), N (có tung độ dương) cho OMON nhỏ

19 Cho hai đường thẳng d1: 2x  y 0,d2:x  y điểm M(3;0) Viết phương trình

đường thẳng  qua M, cắt d1 d2 A B cho M trung điểm đoạn thẳng

AB

20 Cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox Oy A

(có hồnh độ dương) B (có tung độ dương) cho OA3OB nhỏ

21 Cho hai đường thẳng d1:x2y 2 0,d2: 2x3y170 Đường thẳng d qua giao điểm

1

d d2 cắt hai tia Ox Oy A B Viết phương trình đường thẳng d cho

2

1

OA OB nhỏ

22 Cho điểm M(2; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt trục Ox A (có hồnh độ dương), cắt trục Oy B (có tung độ dương) cho:

a OA OB đạt giá trị nhỏ nhất;

13 Bài Khoảng cách góc

I Nội dung kiến thức

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M x y( ;0 0) đến đường

thẳng d ax by:   c tính theo cơng thức 0

2 ( , ) ax by c

d M d

a b

  



2 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt nhau: Cho đường hai đường thẳng cắt d a x b y c1: 1  1  1 0,d2:a x b y c2  2  2 0, phương trình hai đường

phân giác góc tạo hai đường thẳng d1 d2 là: 1 2

2 2

1 2

a x b y c a x b y c

a b a b

     

 

3 Vị trí tương đối hai điểm với đường thẳng mặt phẳng: Cho hai điểm (A xA;yA), ( B; B)

B x y đường thẳng d ax by:   c Khi đó:

 Nếu axAbyAc ax BbyB c A B nằm khác phía so với đường thẳng d mặt phẳng

 Nếu axAbyAc ax BbyB c A B nằm phía so với đường thẳng d mặt phẳng

4 Góc hai đường thẳng:

 Cho đường hai đường thẳng d a x b y c1:   1 0,d2:a x b y c2   2 0,khi góc hai

đường thẳng d1 d2 xác định qua công thức: 1 2 2

2 2

1 2

cos( , )

a a b b d d

a b a b

 

 

 d1 d2 vng góc với a a1 2b b1 2 0

 Cho đường thẳng d1 có hệ số góc k1 d2 có hệ số góc k2 ta có:

1 2

1 tan( , )

1

k k d d

k k

 

  0( ,d d1 2)90 

14 II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: 2x3y 1 điểm A( 1;3).

a Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

b Tìm phương trình đường thẳng d' qua A cách điểm B(2;5) khoảng cách

Lời giải a Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d :

2

2( 1) 3.3 10 13

( , ) ( , )

13

2 ( 3)

d A d      d A d 

 

b Phương trình d' có dạng: ax by  c Do Ad' nên : ( 1) a3b c    0 c a 3b (1) Hơn

2 2

( , ') a b c

d B d

a b

 

  

 (2)

Thay (1) vào (2) ta có :

2

0

3 12 12

b a b

b ab a

b a b

 

 

    

 

 

 Với b0 thay vào (1) ta có c a d' :ax  a d' :x 1  Với 12

5

a

b ta chọn a5,b12 thay vào (1) ta đươc:

5 3.12 31 ' : 12 31

c     d x y 

Ví dụ 2. Hãy viết phương trình đường thẳng di qua điểm M(2;5) cách A( 1; 2) B(5; 4)

Lời giải Cách :

Trường hợp : đường thẳng cần tìm qua M song song với

AB

Khi AB(6; 2) vectơ phương đường thẳng d suy vectơ pháp tuyến đường thẳng d : (1; 3).

Phương trình đường thẳng cần tìm :

1(x 2) 3(x   5) x 3y130

Trường hợp : Đường thẳng cần tìm qua M qua trung điểm D đoạn thẳng AB Ta có D(2;3) nên MD(0; 2) suy vectơ pháp tuyến đường thẳng d là: (1;0) Phương trình đường thẳng cần tìm : 1(x 2) 0(y    5) x

Cách :

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm ax by  c (1)

Do M(2;5)d nên ta có : 2a5b c     0 c 2a b Thay c  2a 5b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax by 2a5b0 (2)

Vì d cách hai điểm A B nên :

2 2

( 1) 2 5

3 3

a b a b a b a b

a b a b

a b a b

      

    

15

2 2 2

9 18 9 24

3

b

a ab b a ab b b ab

b a

 

          

 



Trường hợp : Với b0 thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d :

0 5.0 2

ax y a  ax a   x

Trường hợp : Với b 3a ta chọn a1,b 3 thay vào (2) ta phương trình dường thẳng

d : 1x3y 2 5.( 3)   0 x 3y130

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d1: 2x  y 0,d2: 3x6y 1 Gọi A giao điểm d1 d2

a Tìm số đo góc d1 d2;

b Tìm đường thẳng d qua điểm M(2; 1) cắt d d1, B C, cho tam giác ABC cân

đỉnh A

Lời giải

a Ta có : 1 2 1 2

2 2

2.3 1.6

cos( , ) ( , ) 90

2 ( 1)

d d     d d  

  

b Giả sử đường thẳng d có phương trình tổng qt ax by  c (1) Do M(2; 1) d nên 2a b c     0 c b 2a (2)

Do tam giác ABC cân A nên 1 2

2 2 2 2

2

( , ) ( , )

2 ( 1)

a b a b

d d d d

a b a b

 

  

    

2

2

2

2

5

a b a b a b a b a b

a b a b

a b a b a b

   

   

       

     

 

Trường hợp : Nếu a3b chọn b  1 a thay vào (2) ta có: a b 2a 1 2.3 5 Thay vào (1) ta phương trình đường thẳng d : 3x  y

Trường hợp : Nếu 3a b chọn a   1 b thay vào (2) ta có : a b 2a  3 2.1 5 Thay vào (1) ta phương trình đường thẳng d là: x3y 5

Ví dụ 4. Cho đường thẳng d x: 2y 4 điểm M(1; 2)

a Tìm số đo góc đường thẳng d đường thẳng d' :x3y 6 b Tìm phương trình đường thẳng qua M hợp với d góc 60 

Lời giải

a Ta có : 1 2 1 2

2 2

1.1 2.( 3)

cos( , ) ( , ) 45

2

1 ( 3)

d d      d d  

  

b Đường thẳng d2 qua M(1; 2) hợp với d góc 60

 có phương trình tổng qt

0

ax by  c Vì M(1; 2)d2  a 2b c     0 c a 2b (1)

Lại có : 2  

2 2

1

( , ) 60 16 11

2

a b

d d a ab b a b

a b

 

         

 

Trường hợp : Với a 8 3b chọn b   1 a 3;(1)   c 10 Suy d: 3  x  y 10 30

16

Suy d: 3  x  y 10 30

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC với A(3;3), ( 1; 2), (4;1).B  C

a Tìm số đo góc BAC

b Tìm số đo góc tạo thành từ hai đường thẳng AB AC

Lời giải a Ta có : AB  ( 4; 1),AC(1; 2).

Mà

2 2

4.1 ( 1).( 2)

cos cos( , ) cos 102 32 '

85

( 4) ( 1) ( 2)

BAC AB AC  BAC        BAC 

     b Ta có :

2 2

4.1 ( 1).( 2) 85

cos( , ) cos( , ) cos( , )

85

( 4) ( 1) ( 2)

AB AC  AB AC  AB AC      

    

(AB AC, ) 77 28'

 

Ví dụ 6. Cho cạnh tam giác ABC có phương trình:

: 0, : 0, : 12

AB x  y BC x y  CA x y 

a Viết phương trình đường phân giác góc A;

b Chứng minh điểm O nằm tam giác ABC

Lời giải

Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình : (1;5)

7 12

x y

A x y

   

    



Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình : ( 3;1)

3

x y

B x y

   

     



Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình : (2; 2)

7 12

x y

C x y

   

 

   



a Phương trình đường phân giác ngồi góc A :

2 2

5( 4) 12 16 (1)

4 12

5( 4) (7 12) (2) ( 1)

x y x y x y

x y x y

x y x y x y

       

 

       

          

    

Thay toạ độ điểm B C vào vế trái phương trình (1) ta được:

3 16 16

     16   20

Suy B C phía đường thẳng có phương trình (1), phương trình đường phân giác góc A :

3x  y

b Thay toạ độ O vào vế trái phương trình đường thẳng AB, BC, CA ta được: 4, 4, 12.

Thay toạ độ C, A, B vào vế trái đường thẳng AB, BC, CA ta được: 8,32, 32. Như O A nằm phía so với đường thẳng BC, O B nằm phía so với đường thẳng

AC, O và C nằm phía so với đường thẳng AB nên O nằm tam giác ABC

Ví dụ 7. Hãy viết phương trình tham số đường thẳng 'd qua điểm A( 1; 2) tạo với đường thẳng

:

2

x t

d

y t

     

 góc 60



17

Gọi u( ; )a b vecto phương đường thẳng d' Do đường thẳng 'd tạo với đường thẳng d góc 60 nên :

2 2

2 2 2

3

cos 60 13( ) 4(3 )

2

3 13

a b a b

a b a b

a b a b

        

  

2

24 507

23

23 48

24 507

23

a b

a ab b

a b

 

  

  

 

  

Trường hợp : 24 507

23

a  b chọn 24 507,

23

b  a  ta phương trình đường

thẳng d' là:

24 507

23

x t

y t

     

    

Trường hợp : 24 507

23

a  b chọn 24 507,

23

b  a  ta phương trình đường

thẳng d' là:

24 507

23

x t

y t

 

   



   

Ví dụ 8. Cho M(5;1), viết phương trình đường thẳng d qua M tạo với đường thẳng d' :y  2x

góc 45 

Lời giải

Gọi k k' theo thứ tự hệ số góc hai đường thẳng d d' k' 2

Ta có :

3

'

tan( , ') tan 45 1 1 '

3

k

k k k

k k

k k k k



 

   

     



   



Trường hợp : Với k 3 ta có phương trình đường thẳng d là: y3(x  5) 3x y 140

Trường hợp : Với

k  ta có phương trình đường thẳng d là:

( 5)

3

y  x   x y 

18

23 Cho điểm P(2;5), (5;1).Q Hãy lập phương trình đường thẳng d qua P cho khoảng cách từ Q đến d

24 (Khối A năm 2006) Cho đường thẳng d1:x  y 0,d2:x  y 0, d3 :x2y 0 Tìm toạ độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến d1 hai lần khoảng cách từ M đến d2

25 (ĐH DL Cơng Nghệ năm 1999) Tìm phương trình đường thẳng qua M( 2;3) cách hai điểm A( 1;0), (2;1). B

26 Cho hai đường thẳng d1: 2x  y 0,d2:x2y 7 Lập phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ cho d tạo với d d1, 2 tam giác cân có đỉnh giao điểm d1 d2

27 Viết phương trình đường thẳng qua A(1;1) cách B(3;6) khoảng

28 Cho đường thẳng d có phương trình 8x6y 5 Viết phương trình đường thẳng d' song song với d cách d khoảng

29 (ĐH Tây Nguyên khối D năm 2000) Hãy lập phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm

( 2;3)

I  cách hai điểm A(5; 1) B(3; 4)

30 Cho điểm P(3; 0) hai đường thẳng d1: 2x  y 0,d2:x  y Gọi d đường thẳng qua P cắt d d1, 2 A, B cho PAPB Viết phương trình đường thẳng d

31 (Dự bị khối A năm 2004) Cho điểm A(0; 2) đường thẳng d x: 2y 2 Tìm toạ độ điểm

B, C đường thẳng d cho tam giác ABC vuông B AB2BC

32 (Khối B năm 2004) Cho A(1;1), (4; 3).B  Tìm điểm C thuộc đường thẳng d x: 2y 1 cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

33 Cho đường thẳng d1: 2x  y 0,d2: 2x4y 7

a Viết phương trình đường phân giác góc tạo d1 d2

b Viết phương trình đường thẳng qua P(3;1) d d1, 2 tạo thành tam giác cân đỉnh giao điểm d1 d2

34 Cho đường thẳng d: 2x3y 5 hai điểm M(3; ),m N(6; 2) với m tham số Tìm giá trị M để hai điểm M N nằm nửa mặt phẳng bờ d

35 Cho đường thẳng d: 3x4y 6 điểm A( 1; 2), (2;3), ( 3; 4). B C   Hãy cho biết đường thẳng d cắt cạnh tam giác ABC

36 Hãy tính diện tích tam giác OBC biết B(4; 3), (12;5) C O gốc toạ độ

37 Cho tam giác ABC có đỉnh 7; 5

A 

  Hai đường phân giác góc B góc C có

phương trình x2y 1 x3y 1 Hãy viết phương trình cạnh BC tam giác

38 Lập phương trình đường phân giác góc nhọn hai đường thẳng d1:x3y 6

2:

d x  y

19 I Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình đường trịn

 Phương trình đường trịn tâm I a b( ; ) bán kính R là:

2 2

(x a ) (y b ) R

 Phương trình x2y22ax2by c phương

trình đường trịn 2

0

a b  c có tâm I a b( ; ), bán kính R a2 b2 c

2 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn

 Cho đường tròn 2

( ) : (C x a ) (y b ) R đường thẳng d Ax: By C Khi số giao điểm đường thẳng d đường trịn (C) số nghiệm hệ phương trình:

2 2

( ) ( )

(*)

x a y b R

Ax By C

    



   

 Nếu hệ (*) vô nghiệm đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung

 Nếu hệ (*) có nghiệm đường thẳng d đường trịn (C) tiếp xúc với  Nếu hệ (*) có hai nghiệm đường thẳng d đường trịn (C) cắt

 Cho đường tròn (C) tâm I a b( ; ), bán kính R đường thẳng d Ax: By C Ta xét vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) sau:

 Nếu d I d( , )R đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung

 Nếu d I d( , )R đường thẳng d đường trịn (C) tiếp xúc với  Nếu d I d( , )R đường thẳng d đường tròn (C) cắt

3 Vị trí tương đối hai đường trịn

Cho hai đương tròn: 2

( ) :C x y 2ax2by c 0 ( ') :C x2y22 'a x2 'b y c ' Ta xét hệ phưng trình sau:

2

2

2

2 ' ' '

x y ax by c x y a x b y c

      



    

 (*)

 Nếu hệ (*) vô nghiệm ( )C ( ')C khơng có điểm chung

 Nếu hệ (*) có nghiệm ( )C ( ')C tiếp xúc với

 Nếu hệ (*) có hai nghiệm ( )C ( ')C cắt

4 Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Tiếp tuyến điểm M x y( ;0 0)( )C đường tròn tâm I a b( ; ) có phương trình:

0 0

(x a x)( x ) ( y b y)( y )0

20

Ví dụ 1. Viết phương trình đương trịn đường kính AB với A(7; 3), (1;7). B

Lời giải Cách :

Đường tròn đường kính AB nhận trung điểm I AB tâm có bán kính

R AB

Ta có: (4; 2), 1 (1 7)2 (7 3)2 1.2 34 34

2 2

I  R AB     

Suy phương trình đường trịn là: 2

(x4)  (y 2) 34

Cách :

Điểm M x y( ; ) thuộc đường tròn đường kính AB AM BM Suy ra: AM BM  0 (x7)(x 1) (y3)(y 7)

2

8 14

x y x y

     

Như phương trình đường trịn là: 2

8 14

x y  x y 

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn trường hợp sau:

a Có tâm điểm I(2;3) qua M(3;6); b Đi qua ba điểm A( 1; 2), (1;3), (2;1);  B C

c Có tâm điểm I(3; 2) tiếp xúc với đường thẳng 6x8y170

Lời giải

a Bán kính đường tròn : RIM  (3 2) 2 (6 3)2  10

Suy đường tròn tâm I(2;3) qua M(3;6) có phương trình : (x2)2 (y 3)2 10

b Cách 1:

Tâm đường tròn qua ba điểm giao điểm đường trung trực ba đoạn thẳng nối điểm

Trung điểm AB 0;1

M 

  nên phương trình đường trung trực

của đoạn thẳng AB :

1

2( 0) 10

2

x  y   x y 

 

Trung điểm AC 1;

2

N  

  nên phương trình đường trung

trực đoạn thẳng AC :

1

3 0

2

x y x y

        

   

   

Tâm I đường tròn nghiệm hệ phương trình : 10 5 5;

0 6

x y

I x y

  

   

    



Bán kính đường trịn :

2

5 290

1

6 6

RIB       

   

Phương trình đường trịn cần tìm :

2

5 145

6 18

x y

      

   

21 Cách 2:

Gọi phương trình đường trịn qua ba điểm A B C, , là: x2y22ax2by c 0 Ta có hệ phương trình sau :

2

2

2

5

( 1) ( 2) 2.( 1) 2.( 2)

5

1 2.1 2.3 10

6

4

2 2.2 2.1 20

3

a

a b c a b c

a b c a b c b

a b c a b c

c

                   

  

            

  

           



   



Suy phương trình đường trịn cần tìm : 2 5 20

0

3 3

x y  x y 

Ví dụ 3. Viết phương trình đường trịn:

a Đi qua hai điểm (3;1), ( 1;3)A B  có tâm nằm đường thẳng 3x  y

b Có tâm nằm đường thẳng d: 2x  y tiếp xúc với hai đường thẳng

1:

d x y  d2: 4x3y 8

Lời giải

a Tâm đường tròn giao đường trung trực doạn thẳng AB

và đường thẳng 3x  y

Phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB :

4(x 1) 2(y2) 0 2x y

Toạ độ tâm I đường trịn nghiệm hệ phương trình :

2

(2; 4)

3

x y

I x y

  

     

b Để đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2

tâm đường trịn phải nằm tia phân giác góc tạo d1 d2 Như tâm đường tròn giao điểm đường thẳng d đường phân giác góc tạo d1 d2

Phương trình đường phân giác :

7

x  y 7x7y 9

Trường hợp 1:

Tâm I đường trịn nghiệm hệ phương trình :

2 13

;

7 3

x y

I x y

  

    

      

Bán kính đường tròn :

1 2 2

8 13

3

3 31

( , )

15

3

d I d

    

 

 



Suy :

2

8 13 961

( ) :

3 225

C x  y  

   

22

Tâm J đường tròn nghiệm hệ phương trình : 2 11;

7 7

x y I x y                

Bán kính đường trịn : 1

2

2 11

3

7 31

( , )

35

3

d I d

    

 

 



Suy :

2

2 11 961

( ) :

7 1225

C x  y  

   

Ví dụ 4. Cho đường tròn ( ) : 2

C x y  x  đường thẳng d mx:  y 2m 3 0,m Với giá trị tam số m đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung

Lời giải

Ta có ( ) : ( 1)2 1,

5

C x y  tâm I(1;0), bán kính

5

R

Đường trịn ( )C đường thẳng d khơng có điểm chung khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d lớn bán kính Ta có :

2

2

2

2

0

( , ) 30 44 11

5

1

2

m

m m m m

d I d R m m

m m m                       

Suy : ( ; 2) 11;

2

m   

 

Ví dụ 5. Cho hai đường trịn x2y22x4y 1 x2y24x10y 7 Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn

Lời giải

Toạ độ giao điểm hai đường trịn nghiệm hệ phương trình :

2

2

2

7 4

50 74 25 10

x y

x y x y

y y

x y x y

                       

59 119 50 37 119 50 x y          

59 119 50 37 119 50 x y         

Như toạ độ giao điểm : 59 119 37; 119 , 59 119 37; 119

50 50 50 50

A    B   

   

Ví dụ 6. Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình cạnh tam giác

: 0, : 0, :

AB x y  BC y CA x y 

Lời giải

Toạ độ A nghiệm hệ phương trình :

3

( 2;3)

4 3

x y x

A

x y y

    

 

  

     

 

Tương tự ta tính (2;0), 1;0

B C 

23

Phương trình đường phân giác ngài góc A là:

2 2

5 (1)

(2)

3 4

x y

x y x y

x y

   

     

    

  

Thay toạ đọ A, C vào vế trái (1) ta :

1

2 0,

    

Suy phương trình đường phân giác góc A :

1

x  y

Phương trình đường phân giác ngồi góc B :

2

3 (3)

(4)

x y x y

y

x y

   

 

      

 

Thay toạ độ A, C vào vế trái (4) ta : 3.3 0,1

4

         Suy phương trình đường phân giác góc B x3y 2

Toạ độ tâm I đường tròn nghiệm hệ phương trình : 1 1;

3 2

x y

I x y

  

   

     



Bán kính đường trịn : ( , )

2

Rd I BC 

Suy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC :

2

1 1

2

x y

      

   

   

III Bài tập đề nghị

24

40 Biện luận theo m vị trí tương đối đường thẳng d x my:  2m 3 đường tròn

2

( ) :C x y 2x2y 2

41 Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với trục hoành điểm A(6;0) qua điểm B(9;9)

42 Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A( 1;0), (1; 2) B tiếp xúc với đường thẳng

x  y

43 Cho đường tròn 2

( ) :C x y 6x2y 6 điểm A(1;3) Xét xem A nằm hay nằm ngồi đường trịn

44 Cho đường tròn 2

( ) :C x y  x 7y0 đường thẳng d: 3x4y 3 Viết phương trình đường tuyến tuyến (C) giao điểm với đường thẳng d

45 Viết phương trình đường trịn:

a Tiếp xúc với trục toạ độ qua điểm A(2; 4);

b Đi qua hai điểm (4;2), (5;1)A B có tâm nằm đường thẳng 2x 7 0;

c Tiếp xúc với trục hồnh, có tâm nằm đường thẳng x  y bán kính 1;

d Tiếp xúc với đường thẳng x2y 1 điểm A(1;0) qua điểm B(3; 6).

46 Viết phương trình đường trịn:

a Đi qua (4;2)A tiếp xúc với hai đường thẳng x3y 2 0,x3y 18 0;

b Có tâm nằm đường thẳng x5 tiếp xúc với hai đường thẳng 3x  y 0,

3 0;

x y 

c Đi qua điểm (3;4), (1;2)A B tiếp xúc với đường thẳng 3x  y

47 Cho hai đường tròn x2 y27x 7 x2y2 x 7y180 Tìm toạ độ giao điểm hai đường trịn

48 Cho đường trịn (C1) có tâm I(2;3), bán kính R1 3 đường trịn (C2) có tâm J m m( , 3), bán kính R2 3 Tìm giá trị tham số m để:

a Hai đường tròn cho tiếp xúc với nhau; b Hai đường trịn cho tiếp xúc ngồi với nhau;

49 (Khối D năm 2004) Cho đường tròn ( ) : (C x1)2 (y2)2 4 đường thẳng d x:   y

Viết phương trình đường trịn ( ')C đối xứng với đường trịn ( )C qua đường thẳng d

50 Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ cắt đường tròn 2

(x1) (y3) 25 tạo dây cung có độ dài

51 (Khối A năm 2007) Cho tam giác ABC có A(0; 2), ( 2; 2), (4; 2).B  C  Gọi H chân đường cao kẻ từ B Gọi M, N trung điểm AB, AC Viết phương trình đường trịn qua H, M, N

52 Cho ba điểm A( 1;0), (2; 4), (4;1). B C Chứng minh tập hợp điểm M thoả mãn

2 2

3MA MB 2MC đường trịn Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn

25 I Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa đường elip

 Cho hai điểm cố định F1 F2 cho F F1 2 2c (c0) số 2a (ac) Đường elip ( )E tập hợp điểm M cho

1 2

MF MF  a

 

( )E  M MF: MF 2a  Hai điểm F F1, tiêu điểm elip  Khoảng cách 2c tiêu cự elip

2 Phương trình tắc elip

 Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm

1( ; 0)

F c F c2( ;0) với c0 phương trình tắc elip nhận F F1, 2 làm tiêu đểm là:

2

2

( ) :E x y

a b 

Trong đó: 2

b a c

 Elip ( )E nhận trục toạ độ làm trục đối xứng nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

 Elip (E) cắt trục toạ độ điểm A1(a;0),A a2( ;0),B1(0;b B), 2(0; )b gọi đỉnh elip

 Đoạn thẳng A A1 2 2a gọi trục lớn

 Đoạn thẳng B B1 2 2b gọi trục nhỏ

 Các đường thẳng x a y,  b cắt đôi , , ,P Q R S tạo thành hình chữ nhật sở elip (E)

 Tâm sai elip tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn, kí hiệu e xác định sau: e c

a

 (do ca nên e1)

II Ví dụ minh hoạ

F2 F1

B2

B1

A1 A

2 y

x O

S R

26

Ví dụ 1. Tìm toạ độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ elip có phương trình sau:

a

2

1;

49 25

x y

 

b 2

4x 9y 16

Lời giải a Ta có : a2 49 a 7;b225 b

Do ab nên c2a2b249 25 24 c

 Toạ độ tiêu điểm : F12 6;0 , F2 6;0

 Toạ độ đỉnh : A1( 7;0), A2(7;0),B1(0; 5), B2(0;5)

 Độ dài trục lớn : 2a14

 Độ dài trục nhỏ : 2b10

b Ta có :

2

2

4 16

16

9

x y x  y    

Suy : 2; 16

9

a   a b   b

Do ab nên 2 16 20

9

c a b     c

 Toạ độ tiêu điểm : 1 5; , 2 5;

3

F   F  

   

 Toạ độ đỉnh : 1( 2;0), 2(2;0), 1 0; , 2 0;4

3

A  A B   B  

     Độ dài trục lớn : 2a4

 Độ dài trục bé :

3

b

Ví dụ 2. Viết phương trình tắc elip trường hợp sau:

a Tâm O, tiêu điểm (3;0), đỉnh ( 5;0);

b Có tiêu cự 8, tỉ số

c a 

Lời giải

a Ta có : a  5 5,c 3 b2 a2c2 25 16   b Suy phương trình tắc elip :

2

1

25 16

x  y 

b Tiêu cự 2c  8 c

Tỉ số :

2

c

a c a    

27

Suy phương trình tắc elip :

2

1

64 48

x y

 

Ví dụ 3. Lập phương trình tắc elip trường hợp sau:

a Elip qua điểm M(0;1) 1; ;

N 

  b Elip có tiêu điểm F1 3;0 điểm 1;

2

M 

  nằm elip

Lời giải a Phương trình tắc elip có dạng

2

2

x y a b 

Do elip qua điểm M N nên ta có :

2 2 2 1

1 4.

1 b b a a b                

Suy phương trình tắc elip :

2

1

x  y 

b Phương trình tắc elip có dạng

2

2

x y a b 

Vì elip có tiêu điểm F1 3; 0 nên c 3a2 b23(1)

Lại có 1; ( ) 12 32

2 M E a b          

  (2)

Thay (1) vào (2) ta được: 2

2

1

1

3 b b b a

b   b         

Suy phương trình tắc elip là:

2

1

x  y 

Ví dụ 4. Cho điểm M x y( ; ) di động có toạ độ thoả mãn cos 4sin x t y t    

 với t tham số thay đổi Chứng

minh M di động elip

Lời giải

Ta có :

2 2 2 cos cos

7 cos 7 49

1

4sin 49 16

sin sin 16 x x t t

x t x y

y t y y

t t                          

Như điểm M di động elip có phương trình :

2

1

49 16

x  y 

Ví dụ 5. Cho elip 4x29y2 36 điểm M(1;1) viết phương trình đường thẳng d qua M cắt elip cho hai điểm A B cho M trung điểm AB

Lời giải

28

Phương trình đường thẳng d : yk x(  1)

Hoành độ hai điểm A B nghiệm phương trình :

 2

2 2

4x 9 k x(  1) 36(9k 4)x 18 (1k k x) 9(1k ) 36 0(1)

MAMB phương trình (1) có hai nghiệm x xA, B cho :

2

2

18 (1 )

1 18 18 18

2 2(9 4)

A B

M

x x k k

x k k k k

k

            



Suy phương trình đường thẳng d : 4( 1) 13

9

y  x   x y 

III Bài tập đề nghị

29

a A(0; 2) đỉnh F(1;0) tiêu điểm elip;

b F1( 7;0) tiêu điểm elip elip qua M( 2;12); c Phương trình cạnh hình chữ nhật sở x 4,y 3;

d Elip qua hai điểm M  4; ,N 2;  

54 Tìm điểm elip

2

( ) :

9

x

E y 

a Điểm nhìn hai tiêu điểm góc vng; b Điểm nhìn hai tiêu điểm góc 60 o

55 Cho elip (E) có phương trình

2

1

9

x y

  Xác định m để đường thẳng d x: m ( )E có điểm chung

56 Cho điểm M x y( ; ) di động ln có toạ độ thoả mãn cos 5sin

x t

y t

   

 với t tham số Chứng minh

M di động elip

57 Cho elip ( ) : 9E x225y2 225

a Tìm toạ độ tiêu điểm elip;

b Tìm điểm M nằm elip cho M nhìn hai hai tiêu điểm góc vng

58 Cho elip

2

2

( ) :E x y (0 b a)

a b    Tính tỉ số

c

a trường hợp sau:

a Trục lớn ba lần trục nhỏ;

b Đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vng;

c Khoảng cách đỉnh trục nhỏ đỉnh trục lớn tiêu cự

59 Cho elip ( ) :E x24y2 16

a Viết phương trình đường thẳng d qua điểm 1;1

M 

  có vectơ pháp tuyến n(1;2); b Tìm toạ độ giao điểm A B đường thẳng d elip ( ).E Chứng minh MAMB

30

1 Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(1; 2), (3;1), (5; 4).B C Phương trình sau phương trình đường cao tam giác vẽ từ A

A 2x3y 8 0; B. 3x2y 5 0; C. 5x6y 7 0; D. 3x2y 5

2 Cho tam giác ABC với đỉnh A( 1;1), (4;7), (3; 2), B C  M trung điểm đoạn thẳng AB Viết phương trình tham số đường thẳng CM

A

2 ;

x t

y t

  

   

 B

3 ;

x t

y t

  

   

 C

3 ;

x t

y t

     

 D

3

x t

y t

  

   



3 Cho phương trình tham số đường thẳng :

t d

t

    

Trong phương trình sau, phương trình phương trình tổng quát d?

A 2x  y 0; B 2x3y 1 0; C x2y 2 0; D x2y 2 0.

4 Đường thẳng qua điểm M(1; 0) song song với đường thẳng d: 4x2y 1 có phương trình tổng quát là:

A 4x2y 3 0; B 2x  y 0; C 2x  y 0; D x2y 3 0.

5 Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát 3x5y20060 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A d có vectơ pháp tuyến n(3;5); B d có vectơ phương u(5; 3); C d có hệ số góc 5;

3

k 

D d song song với đường thẳng 3x5y0

6 Bán kính đường trịn tâm I(0; 2) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x4y230 là:

A 15; B 5; C 3;

5 D 3.

7 Cho hai đường thẳng d1: 2x   y m 0,d2: (m3)x y 2m 1 Tìm m để hai đường

thẳng cho song óng với

A m1; B M  1; C M 2; D m3.

8 Cho hai đường thẳng d1:x2y 4 0,d2: 2x  y Tìm số đo góc hai đường thẳng

đã cho

A o

30 ; B o

60 ; D o

45 ; D o

90

9 Cho hai đường thẳng d1:x  y 0,d2:y 10 Tìm số đo góc hai đường thẳng cho

A 45 ;o B 30 ;o C 88 57 '52 '';o D o

1 13'8''.

10 Khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đường thẳng d x: cos ysin3(2 sin )  0 là:

A 6; B 6; C 3sin ; D sincos 11 Phương trình sau phương trình đường trịn?

A 2

2 0;

x  y  x y  B 4x2y210x6y 2 0; C x2y22x8y200; D x2y24x6y120.

12 Cho đường tròn 2

( ) :C x  y 2x4y200 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A (C) có tâm qua I(1; 2); B (C) có bán kính R5; C (C) qua M(2; 2); D (C) không qua A(1;1)

13 Phương trình tiếp tuyến điểm M(3; 4) với đường tròn ( ) :C x2y22x4y 3 là:

31

14 Cho đường tròn ( ) :C x2y24x2y0 đường thẳng :x2y 1 Tìm mệnh đề mệnh đề sau:

A  qua tâm O (C); B  cắt (C) hai điểm;

C  tiếp xúc với (C); D  khơng có điểm chung với (C)

15 Cho đường tròn 2

( ) :C x  y    x y Tìm tâm I và bán kính R đường tròn cho

A I( 1;1), R1; B 1; , 6;

2 2

I   R 

 

C 1; , 6;

2 2

I  R

  D I(1; 1), R 6.

16 Cho phương trình 2

2( 2) 19 0,

x  y  m x my m  tìm m để phương trình cho

phương trình đường trịn

A 1m2; B  2 m1; C

2;

m m

   

 D

2

m m

      17 Đường thẳng d: 4x3y m tiếp xúc với đường tròn ( ) :C x2  y2 1 khi:

A m3; B m5; C m1; D m0. 18 Cho hai điểm A(1;1), (7;5).B Viết phương trình đường trịn đường kính AB

A 2

8 12 0;

x y  x y  B x2  y2 8x6y120; C x2  y2 8x6y120; D x2  y2 8x6y120. 19 Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A(0; 2), ( 2;0), (2;0).B  C

A x2 y2 8; B x2  y2 2x 4 0; C x2  y2 2x 8 0; D x2  y2  4 0.

20 Cho điểm M(0;4) đường trịn ( ) :C x2y28x6y21 0. Tìm phát biểu phát biểu sau:

A M nằm (C); B M nằm (C);

C M nằm (C); D M trùng với tâm (C)

21 Cho elip

2

( ) :

25

x y

E   mệnh đề:

(I) (E) có tiêu điểm F1( 4;0), F2(4;0); (II) (E) có tỉ số 4;

5

c

a 

(III) (E) có đỉnh A1( 5;0);

(IV) (E) có độ dài trục nhỏ

Các mệnh đề sai là:

A (I) (II); B (II)và (III); C (I) (III); D (IV) (I)

22 Phương trình tắc elip có hai đỉnh ( 3;0),(3;0) hai tiêu điểm ( 1;0),(1;0) là:

A

2

1;

9

x y

  B

2

1;

8

x y

  C

2

1;

9

x y

  D

2

1

1

x y

  23 Cho ( ) :E x24y21, tìm mệnh đề mệnh đề sau:

(I) ( )E có trục lớn 1; (II) ( )E có trục nhỏ 4; (III) (E) có tiêu điểm 1 0; ;

2

F 

32

(IV) (E) có tiêu cự

A (I); B (II) (IV); C. (I) (III); D. (IV)

24 Dây cung elip

2

2

( ) :E x y (0 b a)

a b    vng góc với trục lớn tiêu điểm có độ dài là:

A

2 ;

c

a B

2

2 ;

b

a C

2

2 ;

a

c D

2

a c

25 Một elip có trục lớ 26, tỉ số 12 13

c

a  Tính trục nhỏ elip

A 5; B 10; C. 12; D. 24

26 Cho elip ( ) : 4E x29y236 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A (E) có trục lớn 6; B (E) có trục nhỏ 4;

C (E) có tiêu cự 5; D (E) có tỉ số

3

c

a 

27 Khi cho t thay đổi, điểm M(5cos ;4sin )t t di động đường sau đây?

A. Elip; B. Đường thẳng; C. Đường tròn; D. Nửa đường tròn

28 Cho elip

2

2

( ) :E x y (0 b a)

a b    Gọi F F1, hai tiêu điểm elip Cho M(0;b) Tính giá

trị biểu thức

1

MF MF OM

A. c2; B. 2a2; C. ;b2 D. a2b2

29 Cho elip

2

( ) :

16

x y

E   đường thẳng d y:  3 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm elip đến đường thẳng d

A. 16; B. 9; C. 81; D.

30 Cho e(4;1),f (1;4) Tìm n để hai vectơ ane f b i j tạo với góc

o

45

A n1; B n 4; C n5; D Tất câu sai

31 Cho ba điểm M( 1; 2), (3;2), (4; 1).  N P  Tìm điểm E Ox cho EM ENEP đạt giá trị nhỏ

A Không tồn E; B E(3;7); C E(2;0); D E(1;0).

32 Cho tam giác ABC với A( 4;1), (2;4), (2; 2). B C  Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC

A 1;1 ;    

  B (10;11); C (2;5); D (3;1).

33 Cho ( 1;3), (1;1), (2;4).A B C Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A 8; ; 3    

  B

; ; 2    

  C

2 ; ;   

 

  D (6;4).

34 Cho ( 4;1), (2;4), (2; 2).A B C  Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A 1; ;  

 

  B

;1 ;  

 

  C

;2 ;    

  D

1 ;4      

35 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M( 2; 4)  cắt trục Ox A, cắt trục Oy B cho tam giác OAB vuông cân

A x  y 0; B x  y 0; C x  y 0; D x  y 0.

36 Cho (4;5), ( 6; 1), (1;1).A B   C Phương trình ba đường trung tuyến tam giác ABC là:

33

C 10x13y250; D 3x2y 3 0.

37 Cho tam giác ABC có AB: 2x3y 1 0,BC x: 3y 7 0,CA: 5x2y 1 Viết phương trình đường cao tam giác kẻ từ đỉnh B

A 2x5y 8 0; B 0;

x y  C 2 37; 30

x y D 2x5y 6 0.

38 Hãy xác định toạ độ điểm P đường thẳng d có phương trình x  y cho P cách hai điểm (0;4)A B(4; 9).

A Không tồn điểm P; B P(5; 7);

C 133 169; ; 18 18

P 

  D

29 69 ; 18 18

P 

 

39 Cho điểm (0;1)A đường thẳng : 2

3

x t

d

y t

     

 Tìm khẳng định khẳng định sau:

A Không tồn điểm M d cho AM 5;

B. Tồn điểm M d cho AM 5;

C. Tồn hai điểm M d cho AM 5, (4;4) 24; ; 5   

 

 

D. Tất câu sai

40 Hình chiếu vng góc điểm M(3; 2) xuống đường thẳng d: 5x12y 10 là:

A 262 250; ; 169 169

 

 

  B 262

;0 ; 169

 

 

  C

262 250 ; ; 169 169

 

 

  D Đáp án khác

41 Cho ba điểm (3;0), ( 5;4), (10;2).A B  P Viết phương trình đường thẳng qua P cách A, B

A 2x3y26 0 3x2y340; B 2x3y    14 y 0; C 3x y 36   0 x 10 0; D x2y    14 y 0.

42 Cho hai đường thẳng d1:x2y 3 d2: 3x  y Viết phương trình đường thẳng d

qua điểm (3;1)P cắt d d1, A, B cho đường thẳng d tạo với d1 d2 tam

giác cân có đáy AB

A Khơng tồn đường thẳng d; B d x:   y 0;

C d x: 5y 8 0; D Đáp án khác

43 Cho ba điểm (4; 1), ( 3;2), (1;6).A  B  C Tính góc hai đường thẳng AB, AC

A (AB AC, )32 ;o B (AB AC, )40 ;o C (AB AC, )43 36';o D (AB AC, ) 18  o

44 Cho ba điểm (3; 7), (9; 5), ( 5;9).A  B  C  Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC

A 3x  y 0; B 2x  y 13 0;

C 4x2y 1 0; D 1 2  x 3 2y 2240.

45 Viết phương trình đường thẳng qua điểm (0;1)A tạo với đường thẳng x2y 3 góc 45 o

A 5x3y  3 5x  y 0; B x3y  3 3x  y 0; C 2x5y  5 2x  y 0; D x3y  3 3x  y 0.

46 Đường thẳng qua M(1;1) cắt elip ( ) : 4E x29y2 36 hai điểm M M1, 2 cho

1

MM MM có phương trình là:

34

C 4x9y 13 0; D x  y 0.

47 Cho điểm M(2;3) Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ A, B cho tam giác ABM

vuông cân M

A x 3 0; B 2x3y 13 0; C 2x3y 13 0; D Đáp án khác 48 Cho ba điểm (2; 4), 2; , (6;0)

3

A  B  C

  Phát biểu đường tròn nội tiếp tam giác ABC

A Tâm I(3; 1), bán kính R 3; B Tâm I(2;1), bán kính R 3; C Tâm I(3; 1), bán kính R 2; D Tâm I(0;1), bán kính R

49 Cho tam giác ABC có A( 1;2), (2;0), ( 3;1). B C  Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A 12; 13 ; 14   

 

  B

11 13 ; ; 14   

 

  C

11 14 ; ; 15   

 

  D

11 13 ; 15   

 

 

50 Cho elip có phương trình 2

16x 25y 100 Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip có hồnh độ đến tiêu điểm

35

HƯỚNG DẪN GIẢI

36

1 a Gọi M trung điểm AB 4; 7;

2 2

M       

   

Suy ra: 3;7 5; (1; 1)

2 2 CM

CM         n  

   

Phương trình đường thẳng CM là: 1(x 3) 1(y     6) x y

b. Ta có BC(4; 2)nBC (1; 2) BC:1(x 3) 2(y   6) x 2y 9

Phương trình đường thẳng AH là: 4(x 2) 2(y  3) 2x  y

Toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình: 23 11;

2 5

x y

A x y

  

   

     



2 Dễ thấy hệ số góc

2

k  

Trường hợp : với

k  ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1) 2

2

y  x   x y 

Trường hợp : với

k ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1) 2

2

y x   x y 

3 Hướng dẫn : Chú ý ;

3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x    y    Sau tìm toạ độ điểm C

bạn đọc dễ dàng tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác

4 Dễ thấy đường trung trực qua điểm M vng góc với đường thẳng NP Ta có: NP(2 4; 1)   ( 2;3)

Phương trình đường trung trực tam giác qua M là:

2(x 1) 3(y 0) 2x 3y

        

Hai đường lại xin để lại cho bạn đọc

5 Đường thẳng cần tìm có phương trình : x   y 2x y

6 Ta có : ; (1; 2)

3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x    y    G

Hệ số góc

4

k  

Trường hợp : với

k  ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1)

4

y  x   x y 

Trường hợp : với

k ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1)

4

y x   x y 

7 Ta có: ABO60oBAO120 ο

Gọi  góc tạo đường thẳng d trục Ox, ta xét trường hợp sau đây:

Trường hợp : o o

120 tan120

BAO k

37

Phương trình đường thẳng d là: 1 6 3

2

y  x   x y  

 

Trường hợp : o o o

120 60 tan 60

BAO k

      

Phương trình đường thẳng d là: 1 6 3

2

y x   x y  

 

8 Do Ad nên (A xA; 2xA4) Ta có: AB n d   0 (1 xA;6 2 xA).(1; 2)0 13 13 46

1 12 ;

5 5

A A A

x x x A  

          

 

Phần lại tác giả xin bạn đọc

9 Bạn đọc tự giải

10 Bạn đọc tự giải

11 HD: Điểm C giao điểm trung tuyến CM đường thẳng AC Điểm M giao điểm AB

và CM, sau tìm toạ độ điểm M tìm toạ độ điểm C từ viết phương trình đường thẳng BC

12 HD: Ta tìm toạ độ hai đỉnh giao điểm hai đường trung tuyến với cạnh

cho Tìm toạ độ trọng tâm tam giác suy toạ độ đỉnh lại

13 Bạn đọc tự giải

14 Bạn đọc tự giải

15 Bạn đọc tự giải

16 Toạ độ điểm G nghiệm hệ phương trình:

2

;

4 3

x y

G x y

  

    

     

 



Ta có: ( 2; 3) 2; 3;

2 K K 3

AK  AG x  y    K 

   

Gọi (B xB; 2xB1) suy ( 3C  xB;7 2 xB) K trung điểm BC

Vì C nằm đường thẳng x  y nên ta có: ( 3 xB) (7 2  xB) 4  0 xB 0 Phần giải tiếp xin bạn đọc

17 Bạn đọc tự giải

18 Giả sử M m( ;0),N(0; )n với m n, 0 Phương trình đường thẳng d là: x y

m n

Vì đường thẳng d qua điểm Q nên 3

2

m n

m   n m Do n0 nên m2

Ta có: ( 2) 6

2

m

OM ON m n m m

m m

          

 

Đẳng thức xảy :

6

2

2

3 3 6

2

m

m m

m n

n m

  

   

  

 

  

  

 



Phương trình đường thẳng :

2 6

x y

d  

 

19 Bạn đọc tự giải

20 Gọi ( ;0), (0; )A a B b với ,a b0 Phương trình đường thẳng d x y

38

Do đường thẳng d qua điểm M nên ta có: 1

a b

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Ta có: OA3OB a 3b2 a b.3 OA3OB2 3ab

Mà ta có: 3 1 ab 12

a b a b   ab  

Suy ra: OA3OB2 3.12OA3OB12

Đẳng thức xảy khi:

6

3

: :

2

3

1

a b

a x y

d d x y

b a b

a b

  

  

         

  

 

   

Cách 2:Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars.

Ta có:

2

3

3 ( ) 3 12

OA OB a b a b a b OA OB

a b a b

 

 

             

   

Đẳng thức xảy khi:

3

: :

6

:

3

1

a b

a

a b

d x y b

a b

 

  

     

  

   



21 Xét tam giác OAB vng O ta có:

2 2

1 1

OA OB OH với H chân đường cao hạ

từ O xuống cạnh AB tam giác OAB

Để 12 12

OA OB nhỏ

1

OH nhỏ nhất, tức

là OH lớn Mà OH lớn H M

trùng

Như đường thẳng d nhận OM (4;3) làm vectơ pháp tuyến

Suy phương trình đường thẳng cần tìm

: 25

d x y 

22 Bạn đọc tự giải

23 Bạn đọc tự giải

24 HD: Vì M nằm d3 nên M(2yM;yM) từ ta tính khoảng cách từ M tới d1 lần khoảng

cách từ M đến d2

ĐS: M1( 22; 11),  M2(2;1) 25 ĐS: x3y11    0 x y 26 Bạn đọc tự giải

27 Bạn đọc tự giải

28 Bạn đọc tự giải

29 Bạn đọc tự giải

39 31 HD: : 2 6;

5

AB x    y B 

 

Vì Cd nên 2  

1

4

(2 2; ); ; , 0;1

7

C C

C y  y AB BC AB  BC C   C

 

32

43 27 (7;3), ;

11 11

C C   

 

33 Bạn đọc tự giải

34 Bạn đọc tự giải

35 HD: Cách viết phương trình cạnh tam giác sau tì mối quan hệ chúng với đường thẳng d đưa kết luận Cách quan hệ cách thay toạ độ ba điểm A, B, C vào đường thẳng d

36 HD: Cách dùng công hức Herron Cách (0, )

2 OBC

S  d BC BC

37 HD: Điểm đối xứng A qua đường phân giác góc B nằm BC, điểm đối xứng A

qua đường phân giác góc C nằm BC

38 HD: Tính góc đường phân giác cạnh để xác định xem hai đường phân giác đường đường cần tìm

39 Bạn đọc tự giải

40 Bạn đọc tự giải

41 HD: Cách gọi I tâm đường tròn IA Ox

IA IB

   

 Cách gọi I tâm đường trịn M

trung điểm AB thì IA Ox

IM AB

   

 Cách gọi I tâm đường tròn I nằm đường trung trực

AB nằm đường thẳng qua A vuông góc với Ox

42 Gọi I trung điểm đường trịn IAIBd I d x( , :   y 0) 43 Bạn đọc tự giải

44 Bạn đọc tự giải

45 a Gọi I a b( ; ) ta có:

2 2 2

( , ) ( , ) (2 ) (4 ) (2 ) (4 )

d I Ox d I Oy IA b  a  a  b a  a  a

2

2

2

10 (10;10) ( ) : ( 10) ( 10) 10

12 20

2 (2; 2) ( ) : ( 2) ( 2) 10

a I C x y

a a

a I C x y

       

     

      

 46 Bạn đọc tự giải

47 Bạn đọc tự giải

48 a Hai đường tròn tiếp xúc với IJ  R1R2