Tải Toán 10: Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10

HD: Cách 1 viết phương trình các cạnh của tam giác sau đó tì mối quan hệ của chúng với đường thẳng d rồi đưa ra kết luận.. HD: Cách 1 dùng công hức Herron.[r]

(1)

4

Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài Viết phương trình đường thẳng

I Nội dung kiến thức

Một số kiến thức vectơ toạ độ:

 Giá vecto đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ

 Cho hai điểm A, B AB(xBx yA; ByA), 2

( B A) ( B A)

AB AB  x x  y y

 Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB ;

2

A B A B

M M

x x y y

x   y  

 Nếu G trọng tâm tam giác ABC ;

3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x    y   

 u v  u v .cos( , ),u v uv u v 0;0 ( , ) 180 u v  

Vectơ phương đường thẳng: Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng d

nếu có giá song song trùng với đường thẳng d

Vectơ pháp tuyến đường thẳng: Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d

nếu có giá vng góc với đường thẳng d

Phương trình tham số đường thẳng: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u( ; )a b qua điểm M x y( ;0 0) có phương trình tham số là:

0

,

x x at y y bt

  

  

 t tham số

Phương trình tắc đoạn thẳng: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u( ; )a b qua điểm M x y( ;0 0) có phương trình tham số là: 0

,

x x y y

a b

 

 ý phương trình

tắc đoạn thẳng viết ab0

Phương trình tổng quát đường thẳng:

(2)

5  Cho đường thẳng d ax by:   c

 Nếu đường thẳng d' song song với đường thẳng d phương trình đường thẳng '

d có dạng ax by  c'

 Nếu đường thẳng d'' vng góc với đường thẳng d phương trình đường thẳng ''

d có dạng bx ay c''0

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đường thẳng d qua hai điểm A a( ;0), (0; )B b với

0

ab có phương trình là: x y

a  b

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:

 Đường thẳng d có hệ số góck qua điểm M x y( ;0 0) có phương trình theo hệ số góc là: yk x( x0)y0, ý đường thẳng song song với trục tung khơng viết phương trình theo hệ số góc

 Góc đường thẳng d trục Ox: Đường thẳng d

cắt trục Ox M, Mt tia nằm phía trục Ox

xMt góc đường thẳng d trục Ox ta cần lưu ý tan k

 Đường thẳng d có hệ số góc k có vectơ phương u(1; )k vectơ pháp tuyến

( ; 1)

v k 

 Cho đường thẳng d có hệ số góc k đường thẳng d' có hệ số góc k' nếu:  d d' k k ' 1

 d // d' k k'

Lưu ý: Khi đề yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà khơng nói ta viết phương trình tổng qt

10 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng :

' : ' ' '

d ax by c d a x b y c

   

   



Để xét vị trí tương đối d d' ta xét số nghiệm hệ phương trình sau:

' ' '

ax by c a x b y c

   

   

 (I)

 Hệ (I) có nghiệm d d' cắt

 Hệ (I) vơ nghiệm d d' song song với

 Hệ (I) có vơ số nghiệm d d' trùng Nếu a b c' ' '0 thì:

 d d' cắt

' '

a b a  b

 d d' song song với

' ' '

a b c a b  c

 d d' trùng

' ' '

a b c a b c

O x

y t

M

(3)

6 II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho hai điểm M( 1; 2), N(2;3)

a Tìm vecto phương vecto pháp tuyến đường thẳng MN;

b Viết phương trình tắc, tham số đường thẳng MN

Lời giải

a Ta có vecto MN vectơ phương đường thẳng MN nên :

(2 ( 1);3 2) (3;1)

MN MN

u      u 

Vectơ pháp tuyến đường thẳng MN ta lấy nMN  ( 1;3)

b Do đường thẳng MN qua M( 1; 2) có vectơ phương uMN (3;1) nên ta có :

Phương trình tham số đường thẳng MN : ( 1)

1 2

x t x t

y t y t

    

 

     

 

Phương trình tắc đường thẳng MN : ( 1) 2

3

x  y x y

  

Ví dụ 2. Cho đường thẳng  có phương trình tham số:

x t

y t

  

   



a Viết phương trình tổng quát ;

b Viết phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(2;3) song song với ;

c Viết phương trình tổng quát đường thẳng l đi qua điểm N(4; 2) vng góc với 

Lời giải

a Đường thẳng  có vectơ phương u(2; 1) nên có vectơ pháp tuyến n(1; 2) Chọn tham số t0 ta có điểm A(1; 3) nằm 

Phương trình tổng quát đường thẳng  :

 

1.(x 1) y ( 3)   0 x 2y 5

b Do đường thẳng d song song với  nên đường thẳng d có vectơ phương ud (2; 1).

Phương trình tắc đường thẳng d :

2

x y





c Đường thẳng l vng góc với  nên có vectơ pháp tuyến nl (2; 1). Phương trình tổng quát đường thẳng l :

2(x 4) 1(y2) 0 2x  y Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với A( 1; 2), (2;3), (4;6). B C

a Viết phương trình đường trung tuyến tam giác kẻ từ B;

b Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC

(4)

7

a Gọi D trung điểm AC, ta có toạ độ điểm D : 3;

D  

 

Ta có 2; 1;1

2

BD       

    nên vectơ pháp tuyến đường

thẳng BD là : nBD (2;1)

Phương trình đường thẳng BD :

2(x 2) 1(y  3) 2x  y b Gọi H trực tâm tam giác ABC

Ta có BC(2;3) vectơ pháp tuyến đường thẳng AH nên đường thẳng AH có phương trình : 2(x 1) 3(y2) 0 2x3y 4

Ta có AC(5; 4) vectơ pháp tuyến đường thẳng BH nên đường thẳng BH có phương trình :

5(x 2) 4(y  3) 5x4y220

Suy toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình sau :

2 50 24 ;

5 22 7

x y

H x y

  

    

     

 



Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có đỉnh C( 2; 4)  trọng tâm G(0; 4) Hãy viết phương trình đường thẳng

AB biết M(2; 2) trung điểm cạnh BC

Lời giải

Vì M(2; 2) trung điểm cạnh BC nên ta có:

( 2)

2.2

(6;8) ( 4) 2.2

2

B

B B

x

B

y y

 

 

    

  

      



 



Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AG2GM

0 2(2 0)

( 4;8)

4 2(2 4)

A A

x x

A

y y

    

 

   

   

 

Ta có: AB(10;0) nên vectơ pháp tuyến đường thẳng AB là: nAB (0;1) Phương trình đường thẳng AB là: 0(x 4) 1(y   8) y

Ví dụ 5. Cho đường thẳng d có hệ số góc 3 A(1; 2) nằm d

a Lập phương trình tham số đường thẳng d;

b Lập phương trình tổng quát đường thẳng d

Lời giải

a Đường thẳng d có hệ số góc 3 nên có vectơ phương (1; 3).

Đường thẳng d đi qua điểm (1;2)A có vectơ phương (1; 3) nên có phương trình tham

số :

2

x t

y t

     



(5)

8

Đường thẳng d đi qua điểm (1;2)A có vectơ pháp tuyến (3;1) nên có phương trình tổng quát :

3(x 1) 1(y2) 0 3x  y

Ví dụ 6. Hãy viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(2; 5) tạo với trục Ox góc 

Lời giải

Hệ số góc đường thẳng d tan 60

3

k 

Phương trình đường thẳng d : 3( 2) 3 15

3

y x   x y 

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A, B Biết A(1;0) BAO45  Hãy viết phương trình đường thẳng d

Lời giải

Gọi  góc đường thẳng d trục Ox

Trường hợp :

180 180 45 135 

     

BAO

Suy hệ số góc đường thẳng d là: k tan135 1

Đường thẳng d có hệ số góc k  1 qua A(1;0) nên có phương trình là: y 1(x     1) x y

Trường hợp : BAO    45 

Suy hệ số góc đường thẳng d : ktan 451 Đường thẳng d có hệ số góc k 1 qua A(1; 2) nên có phương trình đường thẳng d :

1( 1)

y x     x y

Ví dụ 8. Đường thẳng d qua M( 1; 5)  cắt trục Ox, Oy A, B cho OA2OB Hãy viết phương trình đường thẳng d

Lời giải

Cách :Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc.

Gọi  góc đường thẳng d trục Ox

Do tam giác OAB vng O nên ta có: tan

2

OB BAO

OA

 

1

180 tan

2

BAO     Đường thẳng d có hệ số góc

2

 qua M( 1; 5)  nên

có phương trình : 1( 1) 11

2

y  x   x y 

tan

2

BAO   Đường thẳng d có hệ số góc

2 qua M( 1; 5)  nên có phương

trình : 1( 1)

2

y x   x y 

y

(1;0)

A x

d

B

O



(1;0)

A



x

B O

(6)

9 Cách :Sử dụng phương trình đoạn chắn.

Giả sử A a( ;0), (0; );B b ab0 phương trình đường thẳng AB là: x y bx ay ab

a  b    (1)

Do OA2OB nên 2

2 a b a b a b        

Nếu a2b ta có (1)bx2by2b2   0 x 2y2b0 (2)

Do M( 1; 5)  nằm d nên  1 2.( 5) 2  b 0 2b 11 Thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: x2y110

Nếu a 2b ta có (1)bx2by2b2   0 x 2y2b0 (3)

Do M( 1; 5)  nằm đường thẳng d nên  1 2.( 5) 2  b 0 2b 9 Thay vào (3) ta phương trình đường thẳng d là: x2y 9

Ví dụ 9. Hãy lập phương trình đường thẳng qua M(2;1) cắt trục Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB

Lời giải

Giả sử d đường thẳng cần lập phương trình Gọi

( ;0), (0; )

A a B b giao điểm đường thẳng d với trục Ox, Oy

Ta có phương trình đường thẳng d là: x y

a  b

Do điểm M(2;1) nằm đường thẳng d nên:

2

1 a 2b ab

a    b   (1)

Ta có: 8

8

ABC

ab

S OA OB a b ab

ab                Trường hợp : Nếu ab8 thay vào (1) ta có:

2 8 8

2 ( 2)

b a a b b a

b b b

b                        

Suy phương trình đường thẳng d là:

4

x y

      

Trường hợp : Nếu ab 8 thay vào (1) ta có:

2

8

8 2 2

2

8 8 2

2 4

2

a

a a b b

b

a a

b b b b

b b                                                   

Do phương trình đường thẳng d là:

1 2 x 2 2y   4 1 2 x 2 2y 4

(7)

10

Ví dụ 10. Cho hai điểm M(3;1) I(2; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt trục Ox,

Oy A B cho tam giác IAB cân I

Lời giải

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A a( ;0), (0; ),B b ab0 Phương trình đường thẳng d có dạng: x y

a b Do d qua M(3;1) nên

3

1

a b (1)

Gọi N trung điểm AB ; 2

a b N 

  Vì tam giác ABC cân I nên IN AB

Do đó: 4 2

; ( ; ) 4

2

a b

IN AB     a b   a a  b b

 

( )( 4)

4

a b a b b a

a b

        

  

Trường hợp : a b thay vào (1) ta có: 1 b a

b      b



Suy phương trình đường thẳng d là:

2

x y

     



Trường hợp : a b thay vào (1) ta có:

2 2

3

1 4

2

4

b a

b b b b b

b a

b b

   

          

   

(thoả mÃn) (loại)

Vi a6,b2 ta có phương trình đường thẳng d là:

6

x y

     

Ví dụ 11. Cho đường thẳng d y: 2x1, viết phương trình đường thẳng d' qua điểm B điểm đối xứng điểm A(0; 5) qua đường thẳng d song song với đường thẳng y  3x

Lời giải

Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d nên ta có: 1

2

AB AB

k   k  

Phương trình đường thẳng AB là: 1( 0) 5

2

y  x    y x

Vì A và B đối xứng qua đường thẳng d nên trung điểm N chúng giao điểm hai đường thẳng d AB

Suy toạ độ điểm N nghiệm hệ phương trình:

2

12 19 ;

5 5

2

y x

N

y x

  

    

     

 



Từ ta tính 24; 13

5

A  

 

Đường thẳng d' song song với đường thẳng y  3x nên kd'  3

Phương trình đường thẳng d' là: 24 13 17

5

y  x   y  x

(8)

11 III Bài tập đề nghị

1 Cho tam giác ABC mặt phẳng toạ độ Oxy với A(2;3), ( 1; 4), (3;6).B  C

a Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến kẻ từ C;

b Tìm toạ độ điểm H chân đường cao kẻ từ A

2 Hãy xác định đường thẳng qua điểm A(1; 2), cắt trục hoành B, cắt trục tung C cho

2

OB OC

3 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết tam giác có hai đỉnh

( 1; 2), (2; 4)

A B trọng tâm G(2;3)

4 Lập phương trình ba đường trung trực tam giác có trung điểm cạnh

( 1;0),

M  N(4;1), (2; 4).P

5 Cho M(1; 2) lập phương trình đường thẳng qua M chắn hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài

6 Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(0; 2), ( 1;3), (4;1).B  C Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy

lần lượt tai M, N cho OM4ON Hãy viết phương trình đường thẳng d biết qua trọng tâm G tam giác ABC

7 A B giao điểm đường thẳng d với trục Ox Oy Biết ABO 60 đường thẳng d qua 1;

2

C 

 

8 Cho đường thẳng d: 2x  y Hãy lập phương trình đường thẳng AO biết O gốc toạ độ A hình chiếu điểm B(1; 2) lên đường thẳng d

9 Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(1; 2), (3; 2), (2; 3).B C 

a Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB;

b Viết phương trình đường trung tuyến qua đỉnh C;

c Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC;

d Viết phương trình đường trung bình tam giác ABC cắt cạnh AB AC

10 Cho hai điểm M(0; 2) I(1; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt trục Ox, Oy

lần lượt A B cho tam giác IAB cân I

11 Hai cạnh AB, AC của tam giác ABC có phương trình 3x2y 1 x  y

Đường trung tuyến ứng với cạnh AB có phương trình 2x  y Viết phương trình cạnh

BC

12 Một cạnh tam giác có phương trình x2y 7 Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh cịn lại có phương trình x  y 2x  y 11 Hãy viết phương trình hai cạnh lại tam giác

13 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau đây:

a 2x5y 3  3x 7y 8 0;

b x3y 5

3 ;

2

x t

y t

    

(9)

12 c

2

x t

y t

  

   



1 ' ; '

x t

y t

     



14 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết tam giác có hai đỉnh

( 1; 2), (2; 4)

A B trọng tâm G(2;3)

15 Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB x: 3y 11 0, đường cao

: 15 0,

AH x y  đường cao BH: 3x5y130 Tìm phương trình đường thẳng chứa hai cạnh cịn lại tam giác

16 Cho tam giác ABC có A( 2;3) hai đường trung tuyến qua điểm B điểm C lầ lượt

2x  y 0,x  y Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh tam giác

17 Lập phương trình đường thẳng d qua P(6; 4) tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích

18 Lập phương trình đường thẳng d qua Q(2;3) cắt tia Ox, Oy hai điểm M (có hồnh độ

dương), N (có tung độ dương) cho OMON nhỏ

19 Cho hai đường thẳng d1: 2x  y 0,d2:x  y điểm M(3;0) Viết phương trình

đường thẳng  qua M, cắt d1 d2 A B cho M trung điểm đoạn thẳng

AB

20 Cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox Oy A

(có hồnh độ dương) B (có tung độ dương) cho OA3OB nhỏ

21 Cho hai đường thẳng d1:x2y 2 0,d2: 2x3y170 Đường thẳng d qua giao điểm

1

d d2 cắt hai tia Ox Oy A B Viết phương trình đường thẳng d cho

2

1

OA OB nhỏ

22 Cho điểm M(2; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt trục Ox A (có hồnh độ dương), cắt trục Oy B (có tung độ dương) cho:

a OA OB đạt giá trị nhỏ nhất;

(10)

13 Bài Khoảng cách góc

I Nội dung kiến thức

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M x y( ;0 0) đến đường

thẳng d ax by:   c tính theo cơng thức 0

2 ( , ) ax by c

d M d

a b

  



2 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt nhau: Cho đường hai đường thẳng cắt d a x b y c1: 1  1  1 0,d2:a x b y c2  2  2 0, phương trình hai đường

phân giác góc tạo hai đường thẳng d1 d2 là: 1 2

2 2

1 2

a x b y c a x b y c

a b a b

     

 

3 Vị trí tương đối hai điểm với đường thẳng mặt phẳng: Cho hai điểm (A xA;yA), ( B; B)

B x y đường thẳng d ax by:   c Khi đó:

 Nếu axAbyAc ax BbyB c A B nằm khác phía so với đường thẳng d mặt phẳng

 Nếu axAbyAc ax BbyB c A B nằm phía so với đường thẳng d mặt phẳng

4 Góc hai đường thẳng:

 Cho đường hai đường thẳng d a x b y c1:   1 0,d2:a x b y c2   2 0,khi góc hai

đường thẳng d1 d2 xác định qua công thức: 1 2 2

2 2

1 2

cos( , )

a a b b d d

a b a b

 

 

 d1 d2 vng góc với a a1 2b b1 2 0

 Cho đường thẳng d1 có hệ số góc k1 d2 có hệ số góc k2 ta có:

1 2

1 tan( , )

1

k k d d

k k

 

  0( ,d d1 2)90 

(11)

14 II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: 2x3y 1 điểm A( 1;3).

a Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

b Tìm phương trình đường thẳng d' qua A cách điểm B(2;5) khoảng cách

Lời giải a Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d :

2

2( 1) 3.3 10 13

( , ) ( , )

13

2 ( 3)

d A d      d A d 

 

b Phương trình d' có dạng: ax by  c Do Ad' nên : ( 1) a3b c    0 c a 3b (1) Hơn

2 2

( , ') a b c

d B d

a b

 

  

 (2)

Thay (1) vào (2) ta có :

2

0

3 12 12

b a b

b ab a

b a b

 

 

    

 

 

 Với b0 thay vào (1) ta có c a d' :ax  a d' :x 1  Với 12

5

a

b ta chọn a5,b12 thay vào (1) ta đươc:

5 3.12 31 ' : 12 31

c     d x y 

Ví dụ 2. Hãy viết phương trình đường thẳng di qua điểm M(2;5) cách A( 1; 2) B(5; 4)

Lời giải Cách :

Trường hợp : đường thẳng cần tìm qua M song song với

AB

Khi AB(6; 2) vectơ phương đường thẳng d suy vectơ pháp tuyến đường thẳng d : (1; 3).

Phương trình đường thẳng cần tìm :

1(x 2) 3(x   5) x 3y130

Trường hợp : Đường thẳng cần tìm qua M qua trung điểm D đoạn thẳng AB Ta có D(2;3) nên MD(0; 2) suy vectơ pháp tuyến đường thẳng d là: (1;0) Phương trình đường thẳng cần tìm : 1(x 2) 0(y    5) x

Cách :

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm ax by  c (1)

Do M(2;5)d nên ta có : 2a5b c     0 c 2a b Thay c  2a 5b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax by 2a5b0 (2)

Vì d cách hai điểm A B nên :

2 2

( 1) 2 5

3 3

a b a b a b a b

a b a b

a b a b

      

    

(12)

15

2 2 2

9 18 9 24

3

b

a ab b a ab b b ab

b a

 

          

 



Trường hợp : Với b0 thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d :

0 5.0 2

ax y a  ax a   x

Trường hợp : Với b 3a ta chọn a1,b 3 thay vào (2) ta phương trình dường thẳng

d : 1x3y 2 5.( 3)   0 x 3y130

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d1: 2x  y 0,d2: 3x6y 1 Gọi A giao điểm d1 d2

a Tìm số đo góc d1 d2;

b Tìm đường thẳng d qua điểm M(2; 1) cắt d d1, B C, cho tam giác ABC cân

đỉnh A

Lời giải

a Ta có : 1 2 1 2

2 2

2.3 1.6

cos( , ) ( , ) 90

2 ( 1)

d d     d d  

  

b Giả sử đường thẳng d có phương trình tổng qt ax by  c (1) Do M(2; 1) d nên 2a b c     0 c b 2a (2)

Do tam giác ABC cân A nên 1 2

2 2 2 2

2

( , ) ( , )

2 ( 1)

a b a b

d d d d

a b a b

 

  

    

2

5

a b a b a b a b a b

a b a b

a b a b a b

   

   

       

     

 

Trường hợp : Nếu a3b chọn b  1 a thay vào (2) ta có: a b 2a 1 2.3 5 Thay vào (1) ta phương trình đường thẳng d : 3x  y

Trường hợp : Nếu 3a b chọn a   1 b thay vào (2) ta có : a b 2a  3 2.1 5 Thay vào (1) ta phương trình đường thẳng d là: x3y 5

Ví dụ 4. Cho đường thẳng d x: 2y 4 điểm M(1; 2)

a Tìm số đo góc đường thẳng d đường thẳng d' :x3y 6 b Tìm phương trình đường thẳng qua M hợp với d góc 60 

Lời giải

a Ta có : 1 2 1 2

2 2

1.1 2.( 3)

cos( , ) ( , ) 45

2

1 ( 3)

d d      d d  

  

b Đường thẳng d2 qua M(1; 2) hợp với d góc 60

 có phương trình tổng qt

0

ax by  c Vì M(1; 2)d2  a 2b c     0 c a 2b (1)

Lại có : 2  

2 2

1

( , ) 60 16 11

2

a b

d d a ab b a b

a b

 

         

 

Trường hợp : Với a 8 3b chọn b   1 a 3;(1)   c 10 Suy d: 3  x  y 10 30

(13)

16

Suy d: 3  x  y 10 30

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC với A(3;3), ( 1; 2), (4;1).B  C

a Tìm số đo góc BAC

b Tìm số đo góc tạo thành từ hai đường thẳng AB AC

Lời giải a Ta có : AB  ( 4; 1),AC(1; 2).

Mà

2 2

4.1 ( 1).( 2)

cos cos( , ) cos 102 32 '

85

( 4) ( 1) ( 2)

BAC AB AC  BAC        BAC 

     b Ta có :

2 2

4.1 ( 1).( 2) 85

cos( , ) cos( , ) cos( , )

85

( 4) ( 1) ( 2)

AB AC  AB AC  AB AC      

    

(AB AC, ) 77 28'

 

Ví dụ 6. Cho cạnh tam giác ABC có phương trình:

: 0, : 0, : 12

AB x  y BC x y  CA x y 

a Viết phương trình đường phân giác góc A;

b Chứng minh điểm O nằm tam giác ABC

Lời giải

Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình : (1;5)

7 12

x y

A x y

   

    



Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình : ( 3;1)

3

x y

B x y

   

     



Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình : (2; 2)

7 12

x y

C x y

   

 

   



a Phương trình đường phân giác ngồi góc A :

2 2

5( 4) 12 16 (1)

4 12

5( 4) (7 12) (2) ( 1)

x y x y x y

x y x y

x y x y x y

       

 

       

          

    

Thay toạ độ điểm B C vào vế trái phương trình (1) ta được:

3 16 16

     16   20

Suy B C phía đường thẳng có phương trình (1), phương trình đường phân giác góc A :

3x  y

b Thay toạ độ O vào vế trái phương trình đường thẳng AB, BC, CA ta được: 4, 4, 12.

Thay toạ độ C, A, B vào vế trái đường thẳng AB, BC, CA ta được: 8,32, 32. Như O A nằm phía so với đường thẳng BC, O B nằm phía so với đường thẳng

AC, O và C nằm phía so với đường thẳng AB nên O nằm tam giác ABC

Ví dụ 7. Hãy viết phương trình tham số đường thẳng 'd qua điểm A( 1; 2) tạo với đường thẳng

:

2

x t

d

y t

     

 góc 60



(14)

17

Gọi u( ; )a b vecto phương đường thẳng d' Do đường thẳng 'd tạo với đường thẳng d góc 60 nên :

2 2

2 2 2

3

cos 60 13( ) 4(3 )

2

3 13

a b a b

        

  

2

24 507

23

23 48

24 507

23

a b

a ab b

a b

 

  

  

 

  

Trường hợp : 24 507

23

a  b chọn 24 507,

23

b  a  ta phương trình đường

thẳng d' là:

24 507

23

x t

y t

     

    

Trường hợp : 24 507

23

a  b chọn 24 507,

23

b  a  ta phương trình đường

thẳng d' là:

24 507

23

x t

y t

 

   



   

Ví dụ 8. Cho M(5;1), viết phương trình đường thẳng d qua M tạo với đường thẳng d' :y  2x

góc 45 

Lời giải

Gọi k k' theo thứ tự hệ số góc hai đường thẳng d d' k' 2

Ta có :

3

'

tan( , ') tan 45 1 1 '

3

k

k k k

k k

k k k k



 

   

     



   



Trường hợp : Với k 3 ta có phương trình đường thẳng d là: y3(x  5) 3x y 140

Trường hợp : Với

k  ta có phương trình đường thẳng d là:

( 5)

3

y  x   x y 

(15)

18

23 Cho điểm P(2;5), (5;1).Q Hãy lập phương trình đường thẳng d qua P cho khoảng cách từ Q đến d

24 (Khối A năm 2006) Cho đường thẳng d1:x  y 0,d2:x  y 0, d3 :x2y 0 Tìm toạ độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến d1 hai lần khoảng cách từ M đến d2

25 (ĐH DL Cơng Nghệ năm 1999) Tìm phương trình đường thẳng qua M( 2;3) cách hai điểm A( 1;0), (2;1). B

26 Cho hai đường thẳng d1: 2x  y 0,d2:x2y 7 Lập phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ cho d tạo với d d1, 2 tam giác cân có đỉnh giao điểm d1 d2

27 Viết phương trình đường thẳng qua A(1;1) cách B(3;6) khoảng

28 Cho đường thẳng d có phương trình 8x6y 5 Viết phương trình đường thẳng d' song song với d cách d khoảng

29 (ĐH Tây Nguyên khối D năm 2000) Hãy lập phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm

( 2;3)

I  cách hai điểm A(5; 1) B(3; 4)

30 Cho điểm P(3; 0) hai đường thẳng d1: 2x  y 0,d2:x  y Gọi d đường thẳng qua P cắt d d1, 2 A, B cho PAPB Viết phương trình đường thẳng d

31 (Dự bị khối A năm 2004) Cho điểm A(0; 2) đường thẳng d x: 2y 2 Tìm toạ độ điểm

B, C đường thẳng d cho tam giác ABC vuông B AB2BC

32 (Khối B năm 2004) Cho A(1;1), (4; 3).B  Tìm điểm C thuộc đường thẳng d x: 2y 1 cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

33 Cho đường thẳng d1: 2x  y 0,d2: 2x4y 7

a Viết phương trình đường phân giác góc tạo d1 d2

b Viết phương trình đường thẳng qua P(3;1) d d1, 2 tạo thành tam giác cân đỉnh giao điểm d1 d2

34 Cho đường thẳng d: 2x3y 5 hai điểm M(3; ),m N(6; 2) với m tham số Tìm giá trị M để hai điểm M N nằm nửa mặt phẳng bờ d

35 Cho đường thẳng d: 3x4y 6 điểm A( 1; 2), (2;3), ( 3; 4). B C   Hãy cho biết đường thẳng d cắt cạnh tam giác ABC

36 Hãy tính diện tích tam giác OBC biết B(4; 3), (12;5) C O gốc toạ độ

37 Cho tam giác ABC có đỉnh 7; 5

A 

  Hai đường phân giác góc B góc C có

phương trình x2y 1 x3y 1 Hãy viết phương trình cạnh BC tam giác

38 Lập phương trình đường phân giác góc nhọn hai đường thẳng d1:x3y 6

2:

d x  y

(16)

19 I Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình đường trịn

 Phương trình đường trịn tâm I a b( ; ) bán kính R là:

2 2

(x a ) (y b ) R

 Phương trình x2y22ax2by c phương

trình đường trịn 2

0

a b  c có tâm I a b( ; ), bán kính R a2 b2 c

2 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn

 Cho đường tròn 2

( ) : (C x a ) (y b ) R đường thẳng d Ax: By C Khi số giao điểm đường thẳng d đường trịn (C) số nghiệm hệ phương trình:

2 2

( ) ( )

(*)

x a y b R

Ax By C

    



   

 Nếu hệ (*) vô nghiệm đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung

 Nếu hệ (*) có nghiệm đường thẳng d đường trịn (C) tiếp xúc với  Nếu hệ (*) có hai nghiệm đường thẳng d đường trịn (C) cắt

 Cho đường tròn (C) tâm I a b( ; ), bán kính R đường thẳng d Ax: By C Ta xét vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) sau:

 Nếu d I d( , )R đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung

 Nếu d I d( , )R đường thẳng d đường trịn (C) tiếp xúc với  Nếu d I d( , )R đường thẳng d đường tròn (C) cắt

3 Vị trí tương đối hai đường trịn

Cho hai đương tròn: 2

( ) :C x y 2ax2by c 0 ( ') :C x2y22 'a x2 'b y c ' Ta xét hệ phưng trình sau:

2

2 ' ' '

x y ax by c x y a x b y c

      



    

 (*)

 Nếu hệ (*) vô nghiệm ( )C ( ')C khơng có điểm chung

 Nếu hệ (*) có nghiệm ( )C ( ')C tiếp xúc với

 Nếu hệ (*) có hai nghiệm ( )C ( ')C cắt

4 Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Tiếp tuyến điểm M x y( ;0 0)( )C đường tròn tâm I a b( ; ) có phương trình:

0 0

(x a x)( x ) ( y b y)( y )0

(17)

20

Ví dụ 1. Viết phương trình đương trịn đường kính AB với A(7; 3), (1;7). B

Lời giải Cách :

Đường tròn đường kính AB nhận trung điểm I AB tâm có bán kính

R AB

Ta có: (4; 2), 1 (1 7)2 (7 3)2 1.2 34 34

2 2

I  R AB     

Suy phương trình đường trịn là: 2

(x4)  (y 2) 34

Cách :

Điểm M x y( ; ) thuộc đường tròn đường kính AB AM BM Suy ra: AM BM  0 (x7)(x 1) (y3)(y 7)

2

8 14

x y x y

     

Như phương trình đường trịn là: 2

8 14

x y  x y 

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn trường hợp sau:

a Có tâm điểm I(2;3) qua M(3;6); b Đi qua ba điểm A( 1; 2), (1;3), (2;1);  B C

c Có tâm điểm I(3; 2) tiếp xúc với đường thẳng 6x8y170

Lời giải

a Bán kính đường tròn : RIM  (3 2) 2 (6 3)2  10

Suy đường tròn tâm I(2;3) qua M(3;6) có phương trình : (x2)2 (y 3)2 10

b Cách 1:

Tâm đường tròn qua ba điểm giao điểm đường trung trực ba đoạn thẳng nối điểm

Trung điểm AB 0;1

M 

  nên phương trình đường trung trực

của đoạn thẳng AB :

1

2( 0) 10

2

x  y   x y 

 

Trung điểm AC 1;

2

N  

  nên phương trình đường trung

trực đoạn thẳng AC :

1

3 0

2

x y x y

        

   

   

Tâm I đường tròn nghiệm hệ phương trình : 10 5 5;

0 6

x y

I x y

  

   

    



Bán kính đường trịn :

2

5 290

1

6 6

RIB       

   

Phương trình đường trịn cần tìm :

2

5 145

6 18

x y

      

   

(18)

21 Cách 2:

Gọi phương trình đường trịn qua ba điểm A B C, , là: x2y22ax2by c 0 Ta có hệ phương trình sau :

2

5

( 1) ( 2) 2.( 1) 2.( 2)

5

1 2.1 2.3 10

6

4

2 2.2 2.1 20

3

a

a b c a b c

a b c a b c b

a b c a b c

c

                   

  

            

  

           



   



Suy phương trình đường trịn cần tìm : 2 5 20

0

3 3

x y  x y 

Ví dụ 3. Viết phương trình đường trịn:

a Đi qua hai điểm (3;1), ( 1;3)A B  có tâm nằm đường thẳng 3x  y

b Có tâm nằm đường thẳng d: 2x  y tiếp xúc với hai đường thẳng

1:

d x y  d2: 4x3y 8

Lời giải

a Tâm đường tròn giao đường trung trực doạn thẳng AB

và đường thẳng 3x  y

Phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB :

4(x 1) 2(y2) 0 2x y

Toạ độ tâm I đường trịn nghiệm hệ phương trình :

2

(2; 4)

3

x y

I x y

  

     

b Để đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2

tâm đường trịn phải nằm tia phân giác góc tạo d1 d2 Như tâm đường tròn giao điểm đường thẳng d đường phân giác góc tạo d1 d2

Phương trình đường phân giác :

7

x  y 7x7y 9

Trường hợp 1:

Tâm I đường trịn nghiệm hệ phương trình :

2 13

;

7 3

x y

I x y

  

    

      

Bán kính đường tròn :

1 2 2

8 13

3

3 31

( , )

15

3

d I d

    

 

 



Suy :

2

8 13 961

( ) :

3 225

C x  y  

   

(19)

22

Tâm J đường tròn nghiệm hệ phương trình : 2 11;

7 7

x y I x y                

Bán kính đường trịn : 1

2

2 11

3

7 31

( , )

35

3

d I d

    

 

 



Suy :

2

2 11 961

( ) :

7 1225

C x  y  

   

Ví dụ 4. Cho đường tròn ( ) : 2

C x y  x  đường thẳng d mx:  y 2m 3 0,m Với giá trị tam số m đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung

Lời giải

Ta có ( ) : ( 1)2 1,

5

C x y  tâm I(1;0), bán kính

5

R

Đường trịn ( )C đường thẳng d khơng có điểm chung khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d lớn bán kính Ta có :

2

0

( , ) 30 44 11

5

1

2

m

m m m m

d I d R m m

m m m                       

Suy : ( ; 2) 11;

2

m   

 

Ví dụ 5. Cho hai đường trịn x2y22x4y 1 x2y24x10y 7 Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn

Lời giải

Toạ độ giao điểm hai đường trịn nghiệm hệ phương trình :

2

7 4

50 74 25 10

x y

x y x y

y y

x y x y

                       

59 119 50 37 119 50 x y          

59 119 50 37 119 50 x y         

Như toạ độ giao điểm : 59 119 37; 119 , 59 119 37; 119

50 50 50 50

A    B   

   

Ví dụ 6. Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình cạnh tam giác

: 0, : 0, :

AB x y  BC y CA x y 

Lời giải

Toạ độ A nghiệm hệ phương trình :

3

( 2;3)

4 3

x y x

A

x y y

    

 

  

     

 

Tương tự ta tính (2;0), 1;0

B C 

(20)

23

Phương trình đường phân giác ngài góc A là:

2 2

5 (1)

(2)

3 4

x y

x y x y

x y

   

     

    

  

Thay toạ đọ A, C vào vế trái (1) ta :

1

2 0,

    

Suy phương trình đường phân giác góc A :

1

x  y

Phương trình đường phân giác ngồi góc B :

2

3 (3)

(4)

x y x y

y

x y

   

 

      

 

Thay toạ độ A, C vào vế trái (4) ta : 3.3 0,1

4

         Suy phương trình đường phân giác góc B x3y 2

Toạ độ tâm I đường tròn nghiệm hệ phương trình : 1 1;

3 2

x y

I x y

  

   

     



Bán kính đường trịn : ( , )

2

Rd I BC 

Suy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC :

2

1 1

2

x y

      

   

   

III Bài tập đề nghị

(21)

24

40 Biện luận theo m vị trí tương đối đường thẳng d x my:  2m 3 đường tròn

2

( ) :C x y 2x2y 2

41 Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với trục hoành điểm A(6;0) qua điểm B(9;9)

42 Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A( 1;0), (1; 2) B tiếp xúc với đường thẳng

x  y

43 Cho đường tròn 2

( ) :C x y 6x2y 6 điểm A(1;3) Xét xem A nằm hay nằm ngồi đường trịn

( ) :C x y  x 7y0 đường thẳng d: 3x4y 3 Viết phương trình đường tuyến tuyến (C) giao điểm với đường thẳng d

45 Viết phương trình đường trịn:

a Tiếp xúc với trục toạ độ qua điểm A(2; 4);

b Đi qua hai điểm (4;2), (5;1)A B có tâm nằm đường thẳng 2x 7 0;

c Tiếp xúc với trục hồnh, có tâm nằm đường thẳng x  y bán kính 1;

d Tiếp xúc với đường thẳng x2y 1 điểm A(1;0) qua điểm B(3; 6).

46 Viết phương trình đường trịn:

a Đi qua (4;2)A tiếp xúc với hai đường thẳng x3y 2 0,x3y 18 0;

b Có tâm nằm đường thẳng x5 tiếp xúc với hai đường thẳng 3x  y 0,

3 0;

x y 

c Đi qua điểm (3;4), (1;2)A B tiếp xúc với đường thẳng 3x  y

47 Cho hai đường tròn x2 y27x 7 x2y2 x 7y180 Tìm toạ độ giao điểm hai đường trịn

48 Cho đường trịn (C1) có tâm I(2;3), bán kính R1 3 đường trịn (C2) có tâm J m m( , 3), bán kính R2 3 Tìm giá trị tham số m để:

a Hai đường tròn cho tiếp xúc với nhau; b Hai đường trịn cho tiếp xúc ngồi với nhau;

49 (Khối D năm 2004) Cho đường tròn ( ) : (C x1)2 (y2)2 4 đường thẳng d x:   y

Viết phương trình đường trịn ( ')C đối xứng với đường trịn ( )C qua đường thẳng d

50 Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ cắt đường tròn 2

(x1) (y3) 25 tạo dây cung có độ dài

51 (Khối A năm 2007) Cho tam giác ABC có A(0; 2), ( 2; 2), (4; 2).B  C  Gọi H chân đường cao kẻ từ B Gọi M, N trung điểm AB, AC Viết phương trình đường trịn qua H, M, N

52 Cho ba điểm A( 1;0), (2; 4), (4;1). B C Chứng minh tập hợp điểm M thoả mãn

2 2

3MA MB 2MC đường trịn Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn

(22)

25 I Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa đường elip

 Cho hai điểm cố định F1 F2 cho F F1 2 2c (c0) số 2a (ac) Đường elip ( )E tập hợp điểm M cho

1 2

MF MF  a

 

( )E  M MF: MF 2a  Hai điểm F F1, tiêu điểm elip  Khoảng cách 2c tiêu cự elip

2 Phương trình tắc elip

 Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm

1( ; 0)

F c F c2( ;0) với c0 phương trình tắc elip nhận F F1, 2 làm tiêu đểm là:

2

( ) :E x y

a b 

Trong đó: 2

b a c

 Elip ( )E nhận trục toạ độ làm trục đối xứng nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

 Elip (E) cắt trục toạ độ điểm A1(a;0),A a2( ;0),B1(0;b B), 2(0; )b gọi đỉnh elip

 Đoạn thẳng A A1 2 2a gọi trục lớn

 Đoạn thẳng B B1 2 2b gọi trục nhỏ

 Các đường thẳng x a y,  b cắt đôi , , ,P Q R S tạo thành hình chữ nhật sở elip (E)

 Tâm sai elip tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn, kí hiệu e xác định sau: e c

a

 (do ca nên e1)

II Ví dụ minh hoạ

F2 F1

B2

B1

A1 A

2 y

x O

S R

(23)

26

Ví dụ 1. Tìm toạ độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ elip có phương trình sau:

a

2

1;

49 25

x y

 

b 2

4x 9y 16

Lời giải a Ta có : a2 49 a 7;b225 b

Do ab nên c2a2b249 25 24 c

 Toạ độ tiêu điểm : F12 6;0 , F2 6;0

 Toạ độ đỉnh : A1( 7;0), A2(7;0),B1(0; 5), B2(0;5)

 Độ dài trục lớn : 2a14

 Độ dài trục nhỏ : 2b10

b Ta có :

2

4 16

16

9

x y x  y    

Suy : 2; 16

9

a   a b   b

Do ab nên 2 16 20

9

c a b     c

 Toạ độ tiêu điểm : 1 5; , 2 5;

3

F   F  

   

 Toạ độ đỉnh : 1( 2;0), 2(2;0), 1 0; , 2 0;4

3

A  A B   B  

     Độ dài trục lớn : 2a4

 Độ dài trục bé :

3

b

Ví dụ 2. Viết phương trình tắc elip trường hợp sau:

a Tâm O, tiêu điểm (3;0), đỉnh ( 5;0);

b Có tiêu cự 8, tỉ số

c a 

Lời giải

a Ta có : a  5 5,c 3 b2 a2c2 25 16   b Suy phương trình tắc elip :

2

1

25 16

x  y 

b Tiêu cự 2c  8 c

Tỉ số :

2

c

a c a    

(24)

27

Suy phương trình tắc elip :

2

1

64 48

x y

 

Ví dụ 3. Lập phương trình tắc elip trường hợp sau:

a Elip qua điểm M(0;1) 1; ;

N 

  b Elip có tiêu điểm F1 3;0 điểm 1;

2

M 

  nằm elip

Lời giải a Phương trình tắc elip có dạng

2

x y a b 

Do elip qua điểm M N nên ta có :

2 2 2 1

1 4.

1 b b a a b                

Suy phương trình tắc elip :

2

1

x  y 

b Phương trình tắc elip có dạng

2

x y a b 

Vì elip có tiêu điểm F1 3; 0 nên c 3a2 b23(1)

Lại có 1; ( ) 12 32

2 M E a b          

  (2)

Thay (1) vào (2) ta được: 2

2

1

3 b b b a

b   b         

Suy phương trình tắc elip là:

2

1

x  y 

Ví dụ 4. Cho điểm M x y( ; ) di động có toạ độ thoả mãn cos 4sin x t y t    

 với t tham số thay đổi Chứng

minh M di động elip

Lời giải

Ta có :

2 2 2 cos cos

7 cos 7 49

1

4sin 49 16

sin sin 16 x x t t

x t x y

y t y y

t t                          

Như điểm M di động elip có phương trình :

2

1

49 16

x  y 

Ví dụ 5. Cho elip 4x29y2 36 điểm M(1;1) viết phương trình đường thẳng d qua M cắt elip cho hai điểm A B cho M trung điểm AB

Lời giải

(25)

28

Phương trình đường thẳng d : yk x(  1)

Hoành độ hai điểm A B nghiệm phương trình :

 2

2 2

4x 9 k x(  1) 36(9k 4)x 18 (1k k x) 9(1k ) 36 0(1)

MAMB phương trình (1) có hai nghiệm x xA, B cho :

2

18 (1 )

1 18 18 18

2 2(9 4)

A B

M

x x k k

x k k k k

k

            



Suy phương trình đường thẳng d : 4( 1) 13

9

y  x   x y 

III Bài tập đề nghị

(26)

29

a A(0; 2) đỉnh F(1;0) tiêu điểm elip;

b F1( 7;0) tiêu điểm elip elip qua M( 2;12); c Phương trình cạnh hình chữ nhật sở x 4,y 3;

d Elip qua hai điểm M  4; ,N 2;  

54 Tìm điểm elip

2

( ) :

9

x

E y 

a Điểm nhìn hai tiêu điểm góc vng; b Điểm nhìn hai tiêu điểm góc 60 o

55 Cho elip (E) có phương trình

2

1

9

x y

  Xác định m để đường thẳng d x: m ( )E có điểm chung

56 Cho điểm M x y( ; ) di động ln có toạ độ thoả mãn cos 5sin

x t

y t

   

 với t tham số Chứng minh

M di động elip

57 Cho elip ( ) : 9E x225y2 225

a Tìm toạ độ tiêu điểm elip;

b Tìm điểm M nằm elip cho M nhìn hai hai tiêu điểm góc vng

58 Cho elip

2

( ) :E x y (0 b a)

a b    Tính tỉ số

c

a trường hợp sau:

a Trục lớn ba lần trục nhỏ;

b Đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vng;

c Khoảng cách đỉnh trục nhỏ đỉnh trục lớn tiêu cự

59 Cho elip ( ) :E x24y2 16

a Viết phương trình đường thẳng d qua điểm 1;1

M 

  có vectơ pháp tuyến n(1;2); b Tìm toạ độ giao điểm A B đường thẳng d elip ( ).E Chứng minh MAMB

(27)

30

1 Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(1; 2), (3;1), (5; 4).B C Phương trình sau phương trình đường cao tam giác vẽ từ A

A 2x3y 8 0; B. 3x2y 5 0; C. 5x6y 7 0; D. 3x2y 5

2 Cho tam giác ABC với đỉnh A( 1;1), (4;7), (3; 2), B C  M trung điểm đoạn thẳng AB Viết phương trình tham số đường thẳng CM

A

2 ;

x t

y t

  

   

 B

3 ;

x t

y t

  

   

 C

3 ;

x t

y t

     

 D

3

x t

y t

  

   



3 Cho phương trình tham số đường thẳng :

t d

t

    

Trong phương trình sau, phương trình phương trình tổng quát d?

A 2x  y 0; B 2x3y 1 0; C x2y 2 0; D x2y 2 0.

4 Đường thẳng qua điểm M(1; 0) song song với đường thẳng d: 4x2y 1 có phương trình tổng quát là:

A 4x2y 3 0; B 2x  y 0; C 2x  y 0; D x2y 3 0.

5 Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát 3x5y20060 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A d có vectơ pháp tuyến n(3;5); B d có vectơ phương u(5; 3); C d có hệ số góc 5;

3

k 

D d song song với đường thẳng 3x5y0

6 Bán kính đường trịn tâm I(0; 2) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x4y230 là:

A 15; B 5; C 3;

5 D 3.

7 Cho hai đường thẳng d1: 2x   y m 0,d2: (m3)x y 2m 1 Tìm m để hai đường

thẳng cho song óng với

A m1; B M  1; C M 2; D m3.

8 Cho hai đường thẳng d1:x2y 4 0,d2: 2x  y Tìm số đo góc hai đường thẳng

đã cho

A o

30 ; B o

60 ; D o

45 ; D o

90

9 Cho hai đường thẳng d1:x  y 0,d2:y 10 Tìm số đo góc hai đường thẳng cho

A 45 ;o B 30 ;o C 88 57 '52 '';o D o

1 13'8''.

10 Khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đường thẳng d x: cos ysin3(2 sin )  0 là:

A 6; B 6; C 3sin ; D sincos 11 Phương trình sau phương trình đường trịn?

A 2

2 0;

x  y  x y  B 4x2y210x6y 2 0; C x2y22x8y200; D x2y24x6y120.

( ) :C x  y 2x4y200 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A (C) có tâm qua I(1; 2); B (C) có bán kính R5; C (C) qua M(2; 2); D (C) không qua A(1;1)

13 Phương trình tiếp tuyến điểm M(3; 4) với đường tròn ( ) :C x2y22x4y 3 là:

(28)

31

14 Cho đường tròn ( ) :C x2y24x2y0 đường thẳng :x2y 1 Tìm mệnh đề mệnh đề sau:

A  qua tâm O (C); B  cắt (C) hai điểm;

C  tiếp xúc với (C); D  khơng có điểm chung với (C)

( ) :C x  y    x y Tìm tâm I và bán kính R đường tròn cho

A I( 1;1), R1; B 1; , 6;

2 2

I   R 

 

C 1; , 6;

2 2

I  R

  D I(1; 1), R 6.

16 Cho phương trình 2

2( 2) 19 0,

x  y  m x my m  tìm m để phương trình cho

phương trình đường trịn

A 1m2; B  2 m1; C

2;

m m

   

 D

2

m m

      17 Đường thẳng d: 4x3y m tiếp xúc với đường tròn ( ) :C x2  y2 1 khi:

A m3; B m5; C m1; D m0. 18 Cho hai điểm A(1;1), (7;5).B Viết phương trình đường trịn đường kính AB

A 2

8 12 0;

x y  x y  B x2  y2 8x6y120; C x2  y2 8x6y120; D x2  y2 8x6y120. 19 Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A(0; 2), ( 2;0), (2;0).B  C

A x2 y2 8; B x2  y2 2x 4 0; C x2  y2 2x 8 0; D x2  y2  4 0.

20 Cho điểm M(0;4) đường trịn ( ) :C x2y28x6y21 0. Tìm phát biểu phát biểu sau:

A M nằm (C); B M nằm (C);

C M nằm (C); D M trùng với tâm (C)

21 Cho elip

2

( ) :

25

x y

E   mệnh đề:

(I) (E) có tiêu điểm F1( 4;0), F2(4;0); (II) (E) có tỉ số 4;

5

c

a 

(III) (E) có đỉnh A1( 5;0);

(IV) (E) có độ dài trục nhỏ

Các mệnh đề sai là:

A (I) (II); B (II)và (III); C (I) (III); D (IV) (I)

22 Phương trình tắc elip có hai đỉnh ( 3;0),(3;0) hai tiêu điểm ( 1;0),(1;0) là:

A

2

1;

9

x y

  B

2

1;

8

x y

  C

2

1;

9

x y

  D

2

1

x y

  23 Cho ( ) :E x24y21, tìm mệnh đề mệnh đề sau:

(I) ( )E có trục lớn 1; (II) ( )E có trục nhỏ 4; (III) (E) có tiêu điểm 1 0; ;

2

F 

(29)

32

(IV) (E) có tiêu cự

A (I); B (II) (IV); C. (I) (III); D. (IV)

24 Dây cung elip

2

( ) :E x y (0 b a)

a b    vng góc với trục lớn tiêu điểm có độ dài là:

A

2 ;

c

a B

2

2 ;

b

a C

2

2 ;

a

c D

2

a c

25 Một elip có trục lớ 26, tỉ số 12 13

c

a  Tính trục nhỏ elip

A 5; B 10; C. 12; D. 24

26 Cho elip ( ) : 4E x29y236 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A (E) có trục lớn 6; B (E) có trục nhỏ 4;

C (E) có tiêu cự 5; D (E) có tỉ số

3

c

a 

27 Khi cho t thay đổi, điểm M(5cos ;4sin )t t di động đường sau đây?

A. Elip; B. Đường thẳng; C. Đường tròn; D. Nửa đường tròn

28 Cho elip

2

( ) :E x y (0 b a)

a b    Gọi F F1, hai tiêu điểm elip Cho M(0;b) Tính giá

trị biểu thức

1

MF MF OM

A. c2; B. 2a2; C. ;b2 D. a2b2

29 Cho elip

2

( ) :

16

x y

E   đường thẳng d y:  3 Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm elip đến đường thẳng d

A. 16; B. 9; C. 81; D.

30 Cho e(4;1),f (1;4) Tìm n để hai vectơ ane f b i j tạo với góc

o

45

A n1; B n 4; C n5; D Tất câu sai

31 Cho ba điểm M( 1; 2), (3;2), (4; 1).  N P  Tìm điểm E Ox cho EM ENEP đạt giá trị nhỏ

A Không tồn E; B E(3;7); C E(2;0); D E(1;0).

32 Cho tam giác ABC với A( 4;1), (2;4), (2; 2). B C  Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC

A 1;1 ;    

  B (10;11); C (2;5); D (3;1).

33 Cho ( 1;3), (1;1), (2;4).A B C Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A 8; ; 3    

  B

; ; 2    

  C

2 ; ;   

 

  D (6;4).

34 Cho ( 4;1), (2;4), (2; 2).A B C  Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A 1; ;  

 

  B

;1 ;  

 

  C

;2 ;    

  D

1 ;4      

35 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M( 2; 4)  cắt trục Ox A, cắt trục Oy B cho tam giác OAB vuông cân

A x  y 0; B x  y 0; C x  y 0; D x  y 0.

36 Cho (4;5), ( 6; 1), (1;1).A B   C Phương trình ba đường trung tuyến tam giác ABC là:

(30)

33

C 10x13y250; D 3x2y 3 0.

37 Cho tam giác ABC có AB: 2x3y 1 0,BC x: 3y 7 0,CA: 5x2y 1 Viết phương trình đường cao tam giác kẻ từ đỉnh B

A 2x5y 8 0; B 0;

x y  C 2 37; 30

x y D 2x5y 6 0.

38 Hãy xác định toạ độ điểm P đường thẳng d có phương trình x  y cho P cách hai điểm (0;4)A B(4; 9).

A Không tồn điểm P; B P(5; 7);

C 133 169; ; 18 18

P 

  D

29 69 ; 18 18

P 

 

39 Cho điểm (0;1)A đường thẳng : 2

3

x t

d

y t

     

 Tìm khẳng định khẳng định sau:

A Không tồn điểm M d cho AM 5;

B. Tồn điểm M d cho AM 5;

C. Tồn hai điểm M d cho AM 5, (4;4) 24; ; 5   

 

 

D. Tất câu sai

40 Hình chiếu vng góc điểm M(3; 2) xuống đường thẳng d: 5x12y 10 là:

A 262 250; ; 169 169

 

 

  B 262

;0 ; 169

 

 

  C

262 250 ; ; 169 169

 

 

  D Đáp án khác

41 Cho ba điểm (3;0), ( 5;4), (10;2).A B  P Viết phương trình đường thẳng qua P cách A, B

A 2x3y26 0 3x2y340; B 2x3y    14 y 0; C 3x y 36   0 x 10 0; D x2y    14 y 0.

42 Cho hai đường thẳng d1:x2y 3 d2: 3x  y Viết phương trình đường thẳng d

qua điểm (3;1)P cắt d d1, A, B cho đường thẳng d tạo với d1 d2 tam

giác cân có đáy AB

A Khơng tồn đường thẳng d; B d x:   y 0;

C d x: 5y 8 0; D Đáp án khác

43 Cho ba điểm (4; 1), ( 3;2), (1;6).A  B  C Tính góc hai đường thẳng AB, AC

A (AB AC, )32 ;o B (AB AC, )40 ;o C (AB AC, )43 36';o D (AB AC, ) 18  o

44 Cho ba điểm (3; 7), (9; 5), ( 5;9).A  B  C  Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC

A 3x  y 0; B 2x  y 13 0;

C 4x2y 1 0; D 1 2  x 3 2y 2240.

45 Viết phương trình đường thẳng qua điểm (0;1)A tạo với đường thẳng x2y 3 góc 45 o

A 5x3y  3 5x  y 0; B x3y  3 3x  y 0; C 2x5y  5 2x  y 0; D x3y  3 3x  y 0.

46 Đường thẳng qua M(1;1) cắt elip ( ) : 4E x29y2 36 hai điểm M M1, 2 cho

1

MM MM có phương trình là:

(31)

34

C 4x9y 13 0; D x  y 0.

47 Cho điểm M(2;3) Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ A, B cho tam giác ABM

vuông cân M

A x 3 0; B 2x3y 13 0; C 2x3y 13 0; D Đáp án khác 48 Cho ba điểm (2; 4), 2; , (6;0)

3

A  B  C

  Phát biểu đường tròn nội tiếp tam giác ABC

A Tâm I(3; 1), bán kính R 3; B Tâm I(2;1), bán kính R 3; C Tâm I(3; 1), bán kính R 2; D Tâm I(0;1), bán kính R

49 Cho tam giác ABC có A( 1;2), (2;0), ( 3;1). B C  Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A 12; 13 ; 14   

 

  B

11 13 ; ; 14   

 

  C

11 14 ; ; 15   

 

  D

11 13 ; 15   

 

 

50 Cho elip có phương trình 2

16x 25y 100 Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip có hồnh độ đến tiêu điểm

(32)

35

HƯỚNG DẪN GIẢI

(33)

36

1 a Gọi M trung điểm AB 4; 7;

2 2

M       

   

Suy ra: 3;7 5; (1; 1)

2 2 CM

CM         n  

   

Phương trình đường thẳng CM là: 1(x 3) 1(y     6) x y

b. Ta có BC(4; 2)nBC (1; 2) BC:1(x 3) 2(y   6) x 2y 9

Phương trình đường thẳng AH là: 4(x 2) 2(y  3) 2x  y

Toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình: 23 11;

2 5

x y

A x y

  

   

     



2 Dễ thấy hệ số góc

2

k  

Trường hợp : với

k  ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1) 2

2

y  x   x y 

k ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1) 2

2

y x   x y 

3 Hướng dẫn : Chú ý ;

3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x    y    Sau tìm toạ độ điểm C

bạn đọc dễ dàng tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác

4 Dễ thấy đường trung trực qua điểm M vng góc với đường thẳng NP Ta có: NP(2 4; 1)   ( 2;3)

Phương trình đường trung trực tam giác qua M là:

2(x 1) 3(y 0) 2x 3y

        

Hai đường lại xin để lại cho bạn đọc

5 Đường thẳng cần tìm có phương trình : x   y 2x y

6 Ta có : ; (1; 2)

3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x    y    G

Hệ số góc

4

k  

k  ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1)

4

y  x   x y 

k ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

( 1)

4

y x   x y 

7 Ta có: ABO60oBAO120 ο

Gọi  góc tạo đường thẳng d trục Ox, ta xét trường hợp sau đây:

Trường hợp : o o

120 tan120

BAO k

(34)

37

Phương trình đường thẳng d là: 1 6 3

2

y  x   x y  

 

Trường hợp : o o o

120 60 tan 60

BAO k

      

Phương trình đường thẳng d là: 1 6 3

2

y x   x y  

 

8 Do Ad nên (A xA; 2xA4) Ta có: AB n d   0 (1 xA;6 2 xA).(1; 2)0 13 13 46

1 12 ;

5 5

A A A

x x x A  

          

 

Phần lại tác giả xin bạn đọc

9 Bạn đọc tự giải

11 HD: Điểm C giao điểm trung tuyến CM đường thẳng AC Điểm M giao điểm AB

và CM, sau tìm toạ độ điểm M tìm toạ độ điểm C từ viết phương trình đường thẳng BC

12 HD: Ta tìm toạ độ hai đỉnh giao điểm hai đường trung tuyến với cạnh

cho Tìm toạ độ trọng tâm tam giác suy toạ độ đỉnh lại

16 Toạ độ điểm G nghiệm hệ phương trình:

2

;

4 3

x y

G x y

  

    

     

 



Ta có: ( 2; 3) 2; 3;

2 K K 3

AK  AG x  y    K 

   

Gọi (B xB; 2xB1) suy ( 3C  xB;7 2 xB) K trung điểm BC

Vì C nằm đường thẳng x  y nên ta có: ( 3 xB) (7 2  xB) 4  0 xB 0 Phần giải tiếp xin bạn đọc

18 Giả sử M m( ;0),N(0; )n với m n, 0 Phương trình đường thẳng d là: x y

m n

Vì đường thẳng d qua điểm Q nên 3

2

m n

m   n m Do n0 nên m2

Ta có: ( 2) 6

2

m

OM ON m n m m

m m

          

 

Đẳng thức xảy :

6

2

3 3 6

2

m

m m

m n

n m

  

   

  

 

  

  

 



Phương trình đường thẳng :

2 6

x y

d  

 

20 Gọi ( ;0), (0; )A a B b với ,a b0 Phương trình đường thẳng d x y

(35)

38

Do đường thẳng d qua điểm M nên ta có: 1

a b

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Ta có: OA3OB a 3b2 a b.3 OA3OB2 3ab

Mà ta có: 3 1 ab 12

a b a b   ab  

Suy ra: OA3OB2 3.12OA3OB12

Đẳng thức xảy khi:

6

3

: :

2

3

1

a b

a x y

d d x y

b a b

a b

  

  

         

  

 

   

Cách 2:Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars.

Ta có:

2

3

3 ( ) 3 12

OA OB a b a b a b OA OB

a b a b

 

             

   

Đẳng thức xảy khi:

3

: :

6

:

3

1

a b

a

a b

d x y b

a b

 

  

     

  

   



21 Xét tam giác OAB vng O ta có:

2 2

1 1

OA OB OH với H chân đường cao hạ

từ O xuống cạnh AB tam giác OAB

Để 12 12

OA OB nhỏ

1

OH nhỏ nhất, tức

là OH lớn Mà OH lớn H M

trùng

Như đường thẳng d nhận OM (4;3) làm vectơ pháp tuyến

Suy phương trình đường thẳng cần tìm

: 25

d x y 

24 HD: Vì M nằm d3 nên M(2yM;yM) từ ta tính khoảng cách từ M tới d1 lần khoảng

cách từ M đến d2

ĐS: M1( 22; 11),  M2(2;1) 25 ĐS: x3y11    0 x y 26 Bạn đọc tự giải

(36)

39 31 HD: : 2 6;

5

AB x    y B 

 

Vì Cd nên 2  

1

4

(2 2; ); ; , 0;1

7

C C

C y  y AB BC AB  BC C   C

 

32

43 27 (7;3), ;

11 11

C C   

 

35 HD: Cách viết phương trình cạnh tam giác sau tì mối quan hệ chúng với đường thẳng d đưa kết luận Cách quan hệ cách thay toạ độ ba điểm A, B, C vào đường thẳng d

36 HD: Cách dùng công hức Herron Cách (0, )

2 OBC

S  d BC BC

37 HD: Điểm đối xứng A qua đường phân giác góc B nằm BC, điểm đối xứng A

qua đường phân giác góc C nằm BC

38 HD: Tính góc đường phân giác cạnh để xác định xem hai đường phân giác đường đường cần tìm

41 HD: Cách gọi I tâm đường tròn IA Ox

IA IB

   

 Cách gọi I tâm đường trịn M

trung điểm AB thì IA Ox

IM AB

   

 Cách gọi I tâm đường tròn I nằm đường trung trực

AB nằm đường thẳng qua A vuông góc với Ox

42 Gọi I trung điểm đường trịn IAIBd I d x( , :   y 0) 43 Bạn đọc tự giải

45 a Gọi I a b( ; ) ta có:

2 2 2

( , ) ( , ) (2 ) (4 ) (2 ) (4 )

d I Ox d I Oy IA b  a  a  b a  a  a

2

10 (10;10) ( ) : ( 10) ( 10) 10

12 20

2 (2; 2) ( ) : ( 2) ( 2) 10

a I C x y

a a

a I C x y

       

     

      

 46 Bạn đọc tự giải

48 a Hai đường tròn tiếp xúc với IJ  R1R2