Đang tải... (xem toàn văn)
C©u 4: 3 ®iÓm Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định trên OA C không trùng với O,A, điểm M di động trên đờng tròn, tại M vẽ đờng thẳng vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ[r]
(1)TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax by c , a ( D) a ' x b ' y c ', a ' 0 ( D ') Cho hệ phương trình: a b Hệ phương trình có nghiệm (D) cắt (D’) a ' b ' a b c Hệ phương trình vô nghiệm (D) // (D’) a ' b ' c ' a b c Hệ phương trình có vô số nghiệm (D) (D’) a ' b ' c ' II BÀI TẬP VẬN DỤNG x y m x my Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để: a) x = và y = là nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vô nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = HD: Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2a) Hệ (1) có nghiệm x = và y = m = 1 m a b c m 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: a ' b ' c ' 1 m 1 m m m m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm m2 2m Hệ (1) có nghiệm: x = m ; y = m m2 2m Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = m + m = m2 + m – = m 1(thoûa ÑK coùnghieäm) m 2(khoâng thoûa ÑK coùnghieäm) Vậy m = 1, hệ( có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = x y k x y 9 k Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ (1) k = Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm là x = – và y = Tìm nghiệm hệ (1) theo k NĂM HỌC : 2014 - 2015 (2) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ HD: Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = k = – 5k 3k Hệ (1) có nghiệm: x = ; y = x y 2 x my 1 Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = –7 Xác định giá trị m để: a) x = – và y = là nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vô nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m HD: Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = m = 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 3m 1 Hệ (1) có nghiệm: x = m ; y = m mx y 2x y Bài tập 4: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình (1) m = (1) HD: 2 và y = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = 13 ; y = 13 2 2a) Hệ (1) có nghiệm x = và y = m = 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2 1 m2 Hệ (1) có nghiệm: x = 3m ; y = 3m x y 2x y m Bài tập : Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình (1) m = –1 (1) x y HD: Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – Tìm: Nghiệm hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – x 12 m m 12 y m m Theo đề bài: m < NĂM HỌC : 2014 - 2015 (3) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 2 x y 3m 3 x y 2m Bài tập 6: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình m = – HD: x y Với giá trị nào m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa Khi m = – , hệ pt có nghiệm: x = và y = – Tìm: Nghiệm hệ (1) theo m: x = 4m + ; y = – – 5m x m y m Theo đề bài: –3< m < –1 2mx y Bài tập 7: Cho hệ phương trình : mx y 1 (1) Giải hệ (1) m = Xác định giá trị m để hệ (1): a) Có nghiệm và tìm nghiệm đó theo m b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = HD: Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – ; y = 2a) Khi m 0, hệ (1) có nghiệm: 2b) m = x m y 1 mx y m Bài tập : Cho hệ phương trình : x y m ( m là tham số) (I) a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình phương pháp cộng b) Tính giá trị tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm và tính nghiệm đó theo m a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = ; y = HD: b) Hệ (I) có nghiệm m 4 x Khi đó hệ(I) có nghiệm nhất: 3m m 3m y m ; m CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a 0): NĂM HỌC : 2014 - 2015 (4) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Hàm số y = ax2(a 0) có tính chất sau: Nếu a > thì hàm số đồng biến x > và nghịch biến x < Nếu a < thì hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > ◦ Đồ thị hàm số y = ax2(a 0): Là Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành là điểm thấp đồ thị Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành là điểm cao đồ thị ◦ Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a 0): Lập bảng các giá trị tương ứng (P) Dựa và bảng giá trị vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b: Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) và (D): cho vế phải hàm số đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu > pt có nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại điểm phân biệt + Nếu = pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc + Nếu < pt vô nghiệm (D) và (P) không giao Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (Dm) theo tham số m: Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) và (D m): cho vế phải hàm số đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = Lập (hoặc ' ) pt hoành độ giao điểm Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt > giải bất pt tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) tại điểm = giải pt tìm m + (Dm) và (P) không giao < giải bất pt tìm m II BÀI TẬP VẬN DỤNG x Bài tập 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) và (D 4) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm HD: Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– ; 8) 2a) m = m 2b) ' = + 2m > 1 2c) m = tọa độ tiếp điểm (-1 ; ) Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm trên (P) tại điểm có hoành độ NĂM HỌC : 2014 - 2015 (5) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm 1 ; ;) và (1 ; – 2) HD: Tọa độ giao điểm: ( 2a) m = – 2b) m < 9 ; ) 2c) m = tọa độ tiếp điểm ( Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x có đồ thị (P) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ vuông góc ; Gọi A( ) và B(2; 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định tọa độ các giao điểm đường thẳng AB và (P) Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ nó – HD: 2a) Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5 25 2b) Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và ( ; ) Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 2 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = – xM nên: xM + yM = – xM + (– xM ) = – x1 y1 x2 y2 2 – xM + x M + = ; Vậy có điểm thỏa đề bài: M1(2; – ) và M2( 2 ) Bài tập 4: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ các giao điểm (P) và (D) Tìm tọa độ điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ điểm đó – 1 HD: Tọa độ giao điểm: ( ; ) và (1 ; ) Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = 3 x2 x M nên: xM + yM = – xM +( M ) = – 4 x1 y1 3 x2 x2 y2 M + xM + = ; Vậy có điểm thỏa đề bài: M1( 3 ) và M2(2; – 6) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (6) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Bài tập 5: Cho hàm số y = x có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ các giao điểm (P) và (D) x A xB 11 y 8 yB Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) cho A Xác định tọa độ A và B 25 1; ; ) và ( ) HD: Tọa độ giao điểm: ( Đặt xA = xB = t 2 x A(xA; yA) (P) yA = A = t2 5 B(xB; yB) (D) yB = xB + = t + t1 22 40 t2 10 t t 11 Theo đề bài: 11 y A yB 11 t2 = 8.( t + ) 8 x y A ( ; ) A A 3 x 2 y 11 B( 2; 11) B B 3 Với t = 10 200 10 200 x A 11 y A 363 A( 11 ; 363 ) 10 x 10 y 25 B( 10 ; 25 ) B B 11 33 11 33 Với t = 11 Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B Gọi (P) là đồ thị hàm số y = –2x2 a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho b) Xác định tọa độ các giao điểm (P) và (d) HD: Phương trình đường thẳng AB: y = x 1 Tọa độ giao điểm: (1; –2) và ( ; 18 ) Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy Gọi (D) là đường thẳng qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Tìm k để (D) qua B nằm trên (P) biết hoành độ B là HD: 2a) Phương trình đường thẳng (D) có dạng tổng quát: y = ax + b (D) có hệ số góc k (D): y = kx + b (D) qua A(–2; –1) –1 = k.( –2) + b b = 2k – Phương trình đường thẳng (D): y = kx + k – 2b) Điểm B(xB; yB) (P) B(1; – 2) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (7) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ (D) qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – k = Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và(D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm chúng Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ và B là điểm thuộc (P) có hoành độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trên trục tung cho: IA + IB nhỏ HD: Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1) Tọa độ A(5; 7) và B(– ; 4) I(xI, yI) Oy I(0: yI) IA + IB nhỏ ba điểm I, A, B thẳng hàng 34 Phương trình đường thẳng AB: y = x + 34 34 34 I(xI, yI) đường thẳng AB nên: yI = + = I(0; ) Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – có đồ thị (D) a) Vẽ (P) và(D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm (P) và (D) phương pháp đại số b) Gọi A là điểm thuộc (D) có tung độ và B là điểm thuộc (P) có hoành độ – Xác định tọa độ A và B c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB nhỏ HD: a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) và (–1; 1) b) Tọa độ A(3; 1) và B(– ; – 1) c) yA = > 0, yB = – < A, B nằm khác phía trục Ox đó MA + MB nhỏ M, A, B thẳng hàng M là giao điểm AB với truc Ox Đường thẳng AB có dạng: y = ax + b Đường thẳng AB qua hai điểm A, B a 1 3a b 1 b a b Đường thẳng AB: y = x – 1 y x y 2 y x Tọa độ M là nghiệm hệ pt: Vậy: M(1; 0) Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Gọi A và B là các giao điểm (P) và (D), xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm) CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông HD: Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4) Gọi H, K là hình chiếu A, B trên trục Ox, ta có: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (8) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 OHA vuông tại H SOHA = OH.OA = 1 = (cm2) 1 OKB vuông tại K SOKB = OK.KB = 2 = (cm2) Gọi I là giao điểm (D) với trục Ox yI = xI = I(2; 0) 1 IKB vuông tại K SIKB = BK.KI = 4 = (cm2) SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = – ( + 4) = 3,5 (cm2) Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’) (D’) qua A(1; 1) a = (D’): y = x (D) có a = – và (D’) có a’ = a a’ = – (D) (D’) OA AB OAB vuông tại A CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a 0) (1) ¨Daïng toång quaùt ax2 + bx + c = b 4ac 0 Voâ nghieäm ¨Daïng thu goïn: 0 0 x1,2= x =x2= - b =2b’( b chaün) ax2 +2b’x + c = (a 0) ' b' ac ' ' 0 NĂM HỌC : 2014 - 2015 ' (9) x1=x2= - x,2= TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Chuù yù: Neáu ac < thì phöông trình luoân luoân coù hai nghieäm soá b) Nhẩm nghiệm: x1 1 x2 c a a + b +c = pt (1) có nghiệm: x1 x2 c a * a – b +c = pt (1) có nghiệm: Hệ thức Vi ét và ứng dụng: b S x x a P x x c a a) Định lý: Nếu x1, x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì ta có: u v S b) Định lý đảo: Nếu u.v P u, v là nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P 0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 2P 1 x x S x1 x2 P Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 1 x12 x22 S2 2P 2 x x ( x x ) P2 2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 Bình phương hiệu các nghiệm: ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 4P 3 Tổng lập phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) 3x1 x2 ( x1 x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 1 2 3 x x x x2 a) b) c) ( x1 x2 ) d) x1 x2 Giải: b S x1 x2 a 12 P x x c 35 a Phương trình có ' = > pt có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 2 a) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74 NĂM HỌC : 2014 - 2015 (10) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 x x S 12 x1 x2 P = 35 b) x1 x2 2 c) ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 S -4P = 122 – 4.35 = 3 d) x1 x2 ( x1 x2 ) 3x1 x2 ( x1 x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ' ; 0 hoặc a.c < 0) b S x1 x2 a P x x c a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m là tham số) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Gọi x1, x2 là nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + = (2m – 3)2 0, m Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với m b 2m S x1 x2 a 2S 2m 1 P x x c m a 2 P m Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 2S 2m 1 P 2m 2S + 4P = -1 Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm Tìm hai số biết tổng và tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải: u v S Nếu số u và v c ó: u.v P u, v là hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (*) Giải pt (*): u x1 u x2 v x2 v x1 + Nếu ' > (hoặc > 0) pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 Vậy hoặc b' b' + Nếu ' = (hoặc = 0) pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy u = v = a + Nếu ' < (hoặc < 0) pt (*) vô nghiệm Vậy không có số u, v thỏa đề bài Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28 Giải: Theo đề bài u, v là hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = x2 – 11x + 28 = 0(*) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (11) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ x1 7 3 x2 4 Phương trình (*) có = > u u v Vậy: hay v Ví dụ 2: Cho hai số a = Giải: +1 và b = – Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b a + b = ( +1) + (3 – ) = a.b = ( +1) (3 – ) = Suy ra: a, b là nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = x2 – 4x + = 0: Đây là pt cần tìm Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 + c > 0, m (với c là số dương) Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 0, m Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ' > giải bất pt tìm tham số m kết luận + Phương trình có nghiệm kép ' = giải pt tìm tham số m kết luận + Phương trình vô nghiệm ' < giải bất pt tìm tham số m kết luận + Phương trình có nghiệm ' giải bất pt tìm tham số m kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < giải bất pt tìm tham số m kết luận Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c Giá trị nhỏ P: Pmin = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x – (m – 3)x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m NĂM HỌC : 2014 - 2015 (12) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ HD: Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + = 0, pt có a – b + c = –5 + = x1 c x2 a Vậy m = – 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > 0, m Hệ thức: 2S + P = – 2(x1 + x2) + x1x2 = – Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x 1, x2 không phụ thuộc vào m x1 1 c x2 3 a HD: Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + = 0, pt có a + b + c = +(–4) + = Vậy m = 3, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x = 1, x2 = = (m – 1)2 0, m m ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > |m – 1| > m Hệ thức: S – P = x1 + x2 – x1x2 = Bài tập : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = 2 CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m HD: Khi m = 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = = (2m – 3)2 0, m 3 m m 2 ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (2m – 3) > |2m – 3| > Hệ thức: 2S + 4P = 2( x1 + x2) + x1x2 = Bài tập : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu HD: Khi m = 5, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = = (m – 2)2 0, m m ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > |m – 2| > m NĂM HỌC : 2014 - 2015 (13) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Hệ thức: S – P = x1 + x2 – x1x2 = Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ' > – 2m > m < Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(2m – 3) < m < Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1) Tìm m để: a) Pt (1) có nghiệm phân biệt b) Pt (1) có nghiệm là – 2 Giả sử x1, x2 là nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = HD: 1a Phương trình (1) có ' = – 2m m1 0 m 1b Pt (1) có nghiệm là – khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = m2 + 4m = Vậy m = m = – thì pt (1) có nghiệm là – S x1 x2 2m 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): P x1 x2 m Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + = 4m2 – 8m + – 4m2 + 8m – + = (đpcm) Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Giải phương trình (1) m = –2 CMR: m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 là hai nghiệm pt (1) Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m HD: Khi m = –2 x1 = ; x2 = 19 m 2 > 0, m ' = m2 + m + = S x1 x2 2m P x1 x2 m Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 = (2m + 2) – 2(m – 4) = 10 Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 Gọi x , x là hai nghiệm (1) Tính A = x1 x2 theo m Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 CMR: Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m NĂM HỌC : 2014 - 2015 (14) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ HD: 2 Tìm m để x1 x2 = 10 Khi m = –1 x1 = 10 ; x2 = 10 = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + > 0, m Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(2m – 7) < m< Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 2 x1 x2 = 10 m2 – 6m + = m = m = Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tổng bình phương các nghiệm pt (1) 11 HD: Khi m = –1 x1 = ; x2 = –3 2a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt = –4m > m < 2b Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(4m + 1) < m < 2 2c Tổng các bình phương hai nghiệm pt (1) 11 x1 x2 = 11 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 11 – 8m = 11 m = Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m là tham số) (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m HD: a) m a Phương trình (1) có nghiệm kép ' = m2 – = m m b' m b Khi pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = a = m + c Khi m = x1 = x2 = d Khi m = – x1 = x2 = – b) m Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ' > m2 – > m Hệ thức: S – P = – x1 + x2 – x1x1 = – hay: x1x1 – (x1 + x2) = -CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình): Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ; NĂM HỌC : 2014 - 2015 (15) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ các đại lượng Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu bài II BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG Bài tập1: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là và viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải thì số lớn số ban đầu là 682 HD: Gọi x là chữ số hàng chục (x N, < x 9) Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x 9) Số cần tìm có dạng xy = 10x + y Vì chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là nên ta có pt: x – y = (1) Khi thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải thì số mới: xyx =100x +10y + x = 101x +10y Vì số lớn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình: (101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2) x y 91x y 682 Từ (1) và (2) ta có hệ pt: x 7 y 5 Giải hệ pt ta (thỏa ĐK) số cần tìm là 75 Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số này bé ba lần số là Tìm hai số đó HD: Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N) x y 59 x y 59 x 3 y 2 x y Theo đề bài ta có hệ pt: x 34 y 25 Giải hệ ta được: (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25 Bài tập 3: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số nó 10; tích hai chữ số nhỏ số đã cho là 12 Tìm số đã cho HD: Gọi x là chữ số hàng chục số đã cho (x N, < x 9) Chữ số hàng đơn vị: 10 – x Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 Tích hai chữ số ấy: x(10 – x) Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – = Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = (nhận) Vậy số cần tìm là 28 Bài tập 4: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích nó tăng thêm 144m Tính các kích thước hình chữ nhật HD: 280 Nửa chu vi hình chữ nhật: = 140 (m) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (16) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Gọi x (m) là chiều dài hình chữ nhật (0 < x < 140) Chiều rộng hình chữ nhật là 140 – x (m) Diện tích ban đầu hình chữ nhật là x(140 – x) (m2) Khi giảm chiều dài hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2) Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình: (x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 5x = 430 x = 86 (thỏa ĐK) Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m) Bài tập 5: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích nó tăng thêm 50m Tính diện tích khu vườn ban đầu HD: Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m Diện tích khu vườn: 000 m2 Bài tập 6: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m2 Tính các kich thước nó HD: 160 Nửa chu vi hình chữ nhật: = 80 (m) Gọi x (m) là kích thước hình chữ nhật (0 < x < 80) Kích thước còn lại hình chữ nhật là 80 – x (m) Diện tích hình chữ nhật là x(80 – x) (m2) Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình: x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 = Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận) Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m Bài tập 7: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng là 20m Tính diện tích sân trường HD: Gọi x, y (m) là chiều dài và chiều rộng sân trường ( < x, y < 170) Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1) Vì ba lần chiều dài lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2) x y 170 x y 20 Từ (1) và (2) ta có hệ pt: x 100 y 70 Giải hệ pt ta (thỏa ĐK) Bài tập 8: Cho tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh này 5cm thì diện tích giảm 100cm Tình hai cạnh góc vuông tam giác HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5) 5 x y 200 x y 45 Theo đề bài ta có hệ pt: x 20 y 25 Giải hệ pt ta (thỏa ĐK) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (17) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền 5cm, diện tích 6cm Tìm độ dài các cạnh góc vuông HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5) Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1) Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: xy = xy = 12 (2) x y 25 ( x y ) xy 25 x y 12 x y 12 Từ (1) và (2) ta có hệ pt: ( x y ) 49 x y x y 12 x y 12 ( vì x, y > 0) x 3 x 4 y 4 y 3 Giải hệ pt ta (thỏa ĐK) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm Bài tập 10: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ và vòi thứ hai thì bể nước Hỏi vòi chảy mình bao lâu thì đầy bể? HD: Gọi x (h), y (h) là thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4) Trong 1h, vòi chảy được: x (bể) Trong 1h, vòi chảy được: y (bể) 24 Vì hai vòi nước cùng chảy 48 phút = h đầy bể nên 1h hai vòi cùng chảy 5 24 bể, đó ta có pt: x + y = 24 (1) 3 Vì vòi thứ và vòi thứ hai thì bể nước nên ta có pt: x + y = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 1 x y 24 3 x y (I) u v 24 1 3u 4v (II) Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (18) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 1 u x 12 12 1 x 12 v y y 8 (thỏa ĐK) Giải hệ (II), ta được: Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 12h, vòi chảy riêng đầy bể 8h Bài tập11: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước 20 phút thì đầy bể Nếu để vòi thứ chảy mình 10 phút và vòi thứ hai chảy mình 12 phút thì 15 thể tích bể nước Hỏi vòi chảy mình bao lâu đầy bể? HD: Vòi chảy riêng đầy bể 120 phút = 2h, vòi chảy riêng đầy bể 240 phút = 4h Bài tập 12: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể cạn 4 (không có nước) thì sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ và sau mở thêm vòi thứ hai thì sau bể nước Hỏi từ đầu mở vòi thứ hai thì sau bao lâu đầy bể? HD: Gọi x (h), y (h) là thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > ) Trong 1h, vòi chảy được: x (bể) Trong 1h, vòi chảy được: y (bể) Vì hai vòi nước cùng chảy bể, 1 đó ta có pt: x + y = 24 (1) 4 24 5 = h đầy bể nên 1h hai vòi cùng chảy 24 Vì lúc đầu mở vòi thứ và sau mở thêm vòi thứ hai thì sau bể nước 6 1 nên ta có pt: x + x y = (2) 1 x y 24 1 x x y Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I) u v 24 1 9u u v Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành: NĂM HỌC : 2014 - 2015 u v 24 51 u v 5 (II) (19) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 1 u x 12 12 1 x 12 v y y 8 (thỏa ĐK) Giải hệ (II), ta được: Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 8h Bài tập13: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn chưa có nước thì sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng thì vòi bao lâu chảy đầy bể? HD: Gọi x (h) là thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (x > 27) Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h) Mỗi vòi thứ chảy x (bể) Mỗi vòi thứ hai chảy x 27 (bể) Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên 1h hai vòi cùng chảy 18 bể, đó nên ta có pt: 1 x x 27 18 x2 – 63x + 486 = Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = (loại) Vậy: Vòi thứ chảy riêng đầy bể 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 27h Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre): Giải bài toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách 90 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A và xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B là 27 phút Tính vận tốc xe HD: Gọi x, y là vận tốc xe I và xe II (x, y > 0) Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, đó ta có pt: x + y = 90 (1) 90 Thời gian xe I hết đoạn đướng AB: x (h) 90 Thời gian xe II hết đoạn đướng AB: y (h) 90 9 90 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút = 20 h nên ta có pt: x – y = 20 (2) y = 90 x ( a) x + y = 90 10 90 90 10 (b ) x 90 x 20 y 20 x Từ (1) và (2) ta có hệ pt: Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại) Thế x = 40 vào (a) y = 50 (nhận) Vậy: Xe I có vận tốc: 40 km/h Xe II có vận tốc: 50 km/h NĂM HỌC : 2014 - 2015 (20) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Bài tập 15: Giải bài toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách 110 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A và xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B là 44 phút Tính vận tốc xe HD: Gọi x, y là vận tốc xe I và xe II (x, y > 0) Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, đó ta có pt: 2x +2y =110 (1) 110 Thời gian xe I hết đoạn đướng AB: x (h) 110 Thời gian xe II hết đoạn đướng AB: y (h) 110 11 11 110 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút = 15 h nên ta có pt: x – y = 15 (2) (a ) y = 55 x 2x + 2y = 110 110 11 110 110 11 110 x y 15 x 55 x 15 (b) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại) Thế x = 25 vào (a) y = (nhận) Vậy: Xe I có vận tốc: 40 km/h Xe II có vận tốc: 50 km/h CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký hiệu toán học Hệ Góc tâm: Trong (O,R) có: AOB tâm chắn AmB đường tròn, số đo góc tâm số đo cung bị chắn AOB = sđ AmB Hình vẽ Góc nội tiếp: * Định lý: Trong đường (O,R) có: BAC nội tiếp chắn BC tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị BAC = sđ BC chắn * Hệ quả: Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn các cung a) (O,R) có: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (21) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ BACn.tieápchaé b) Các góc nội tiếp cùng chắn cung chắn các EDFn.tieápchaé cung thì BACEDF EF BC b) (O,R) có: BAC n.tieáp chaén BC BAC BDC BDC n.tieáp chaén BC (O,R) có: c) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm cùng chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông BAC n.tieáp chaén BC EDF n.tieáp chaén EF BAC EDF EF BC c) (O,R) có: 1 Góc tạo tia tiếp tuyến BAC n.tieáp chaén BC BAC BOC và dây cung: BOC tâm chắn BC * Định lý: Trong đường tròn, số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung d) (O,R) có: nửa số đo cung bị BAC chắn nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC BAC = 900 * Hệ quả: Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung thì Góc có đỉnh bên (O,R) có: đường tròn: * Định lý: Góc có đỉnh bên BAx tạo tia tiếp tuyến và dây cung đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn AB BAx chắn = sđ AB Góc có đỉnh bên ngoài NĂM HỌC : 2014 - 2015 (22) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ đường tròn: (O,R) có: * Định lý: Góc có đỉnh bên BAx tạo tt & dc chắn AB ngoài đường tròn nửa BAx ACB ACB noäi tieáp chaén AB hiệu số đo hai cung bị chắn Cung chứa góc: * Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB (O,R) có: góc không đổi là hai cung BEC có đỉnh bên đường tròn tròn chứa góc sñ AD ) BEC = (sñ BC (O,R) có: * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F cùng BEC có đỉnh bên ngoài đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, cùng nhìn đoạn AB BEC = (sñ BC sñ AD ) góc không đổi Các đểm A, B, D, E, F cùng thuộc đường tròn b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB góc vuông Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB Tứ giác nội tiếp: a) ADB AEB AFB cùng nhìn * Định nghĩa: Một tứ giác có đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc bốn đỉnh nằm trên dường đường tròn tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn * Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 * Định lý đảo: Nếu tứ b) ACB ADB AEB AFB 90 cùng giác có tổng số đo hai góc nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, F đối diện 1800 thì tứ giác thuộc đường tròn đường kính AB đó nội tiếp đường tròn Độ dài đường tròn, cung tròn: * Chu vi đường tròn: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (23) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ * Tứ giác ABCD có A, B, C, D (O) ABCD là tứ giác nội tiếp (O) * Độ dài cung tròn: * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Diện tích hình tròn, hình 180 A C quạt tròn: * Diện tích hình tròn: B D 180 * Tứ giác ABCD có: A C 1800 ABCD là tứ giác n.tiếp * Diện tích hình quạt tròn: Hoặc: D 1800 B ABCD là tứ giác n.tiếp * Diện tích hình viên phân: C = 2 R = d * Diện tích hình vành khăn: HÌNH KHÔNG GIAN 1.Hình trụ: * Diện tích xung quanh: * Diện tích toàn phần: Rn 1800 S R d2 R n .R S 360 * Thể tích: 2.Hình nón: * Diện tích xung quanh: * Diện tích toàn phần: Sviên phân = Squạt - SABC S ( R12 R22 ) S xq 2 Rh * Thể tích: Stp = Sxq + 2.Sđáy Stp 2 Rh 2 R NĂM HỌC : 2014 - 2015 (24) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ V S h R 2h S: diện tích đáy; h: chiều cao S xq R.l Stp = Sxq + Sđáy Hình nón cụt: * Diện tích xung quanh: Stp R R Vnón = Vtrụ * Diện tích toàn phần: V R 2h * Thể tích: S: diện tích đáy; h: chiều cao, l: đường sinh Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: l h2 R2 S xq ( R1 R2 )l Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ * Thể tích: Stp ( R1 R2 )l ( R12 R22 ) 2 V h( R R22 R1R2 ) S 34 R d V R3 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các phân giác các góc ABC , ACB cắt đường tròn tại E, F CMR: OF AB và OE AC NĂM HỌC : 2014 - 2015 (25) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Gọi M là giao điểm của OF và AB; N là giao điểm OE và AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác này Gọi I là giao điểm BE và CF; D là điểm đối xứng I qua BC CMR: ID MN CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC = 600 HD: CMR: OF AB và OE AC: + (O,R) có: ACF n.tieáp chaén AF BCF n.tieáp chaén BF AF BF OF AB ACF BCF (CF laøphaân giaùc) + (O,R) có: ABE n.tieáp chaén AE CAE n.tieáp chaén CE AE CE OE AC ABE CAE ( BE laø phaân giaùc) CMR: Tứ giác AMON nội tiếp: OF AB taïi M OMA 90 OMA ONA 180 OE AC taïi N ONA 90 Tứ AMON nội tiếp * Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AMON: 2 OA R OA S Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA CMR: ID MN: + I và D đối xứng qua BC ID BC (1) + (O,R) có: OF AB taïi M MA MB AB OE AC taïi N NA NC AC MN là đường trung bình ABC MN // BC (2) Từ (1) và (2) ID MN CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC = 600: + I và D đối xứng qua BC BC là đường trung trực ID, suy ra: IBD cân B CBD CBE ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao) ICD cân C BCD BCF ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao) + Khi D nằm trên (O,R) thì: CBD n.tieáp chaén CD CD CE CBE n.tieáp chaén CE CBD CBE (cmt ) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (26) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ AE (cmt ) CE AE EC CD Mà: AE EC CD ACD ACD CD Mặc khác: (1) BCD n.tieáp chaén BD BD BF BCF n.tieáp chaén BF AF FB BD Mà: BF AF (cmt ) BCD BCF (cmt ) AF FB BD ABD 1 ABD BD Mặc khác: (2) BAC 1 sñ BC 1 (sñ BD sñ CD ) BAC n tieáp chaén BC 2 (3) 1 BAC sñ ABD sñ ABD sñ ABD sñ ABD 3600 60 2 3 + Từ (1), (2) và (3) Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD cho BM = CN Các đoạn thằng AM và BN cắt tại H CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là tứ giác nội tiếp HD: a Khi BM = Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn MN theo a CMR: Tứ giác AHND và MHNC nội tiếp: + ABM = BCN (c.g.c) BAM CBN 0 + CBN ABH ABC 90 AHB 90 (ĐL tổng góc AHB) AM BN H AHN MHN 90 + Tứ giác AHND có: AHN ADN 180 AHND là tứ giác nội tiếp + Tứ giác MHNC có: MHN MCN 180 MHNC là tứ giác nội tiếp a Khi BM = Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: a a 3a + Khi BM = CN = DN = 3a 5a AN AD DN a = + AND vuông D S + Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND: Tìm giá trị nhỏ MN theo a: AN 25 a 5a :4 64 NĂM HỌC : 2014 - 2015 (27) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ + Đặt x = BM = CN CM = a – x a a2 x 2 2 2 2 + MCN vuông C MN = CM + CN = (a – x) + x = 2x – 2ax + a = a a2 x 2 0 MN2 đạt giá trị nhỏ là a2 a a x MN đạt giá trị nhỏ là 2 a a Vậy giá trị nhỏ MN là BM = Bài 3: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao BH và CK cắt (O) tại E và F a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp b) CMR: OA EF và EF // HK c) Khi ABC là tam giác đều có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O) HD: a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp: + BH AC BHC = 900 nhìn đoạn BC H đường tròn đường kính BC (1) + CK AB BKC = 900 nhìn đoạn BC K đường tròn đường kính BC (2) + Từ (1) và (2) B, H, C, K đường tròn đường kính BC Tứ giác BKHC nội tiếp đường tròn đường kính BC b) CMR: OA EF và EF // HK: + Đường tròn đường kính BC có: KBH n tieáp chaén HK KBH KCH ABE ACF KCH n tieáp chaén HK + Đường tròn (O) có: ABE n.tieáp chaén AE AE CF AE AF CAE n.tieáp chaén AF ABE CAF (cmt ) (1) + Mặc khác: OE = OF = R (2) Từ (1) và ( 2) OA là đường trung trực EF OA EF + Đường tròn đường kính BC có: BCK n tieáp chaén BK BCK BHK BCF BHK BHK n tieáp chaén BK (3) + Đường tròn (O) có: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (28) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ BCF n tieáp chaén BF BCF BEF BEF n tieáp chaén BF (4) BHK BEF EF // HK BHK vaø BEF đồ n g vò Từ (3) và (4) c) Khi ABC là tam giác có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O: + Gọi R là bán kính (O) và h là chiều cao ABC đều, ta có: a h= 2 a a O là trọng tâm ABC R = OA = h = 2 a a2 3 S(O) = R = (đvdt) 1 a a a (đvdt) SABC = a.h = 2 a (4 3 ) 1 a2 a2 36 Svp = ( S(O) – SABC ) = ( - )= (đvdt) Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E là điểm trên cạnh BC Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên đường tròn b) CMR: DE.HE = BE.CE c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E là trung điểm BC d) CMR: HC là tia phân giác DHF HD: a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng thuộc đường tròn: + BAD = 900 nhìn đoạn BD A đường tròn đường kính BD (1) + BHD = 900 nhìn đoạn BD H đường tròn đường kính BD (2) + BCD = 900 nhìn đoạn BD C đường tròn đường kính BD (3) Từ (1), (2) và (3) A, B, H, C, D đường tròn đường kính BD b) CMR: DE.HE = BE.CE: + DEC và BEH có: DEC BEH ( đối đỉnh) DCE BHE 900 DEC BEH (g.g) DE EC BE EH DE.HE = BE.CE c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E là trung điểm BC: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (29) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ BC a EB EC 2 Khi E là trung điểm BC 2 DEC vuông C DE EC CD a a a DE = BE.CE EH DE Từ: DE.HE = BE.CE (cmt) a a a a EH : 10 2 2 a a 3a DH = DE + EH = + 10 = d) CMR: HC là tia phân giác DEF : + Đường tròn đường kính BD có: CHD n.tieáp chaén CD CHD CBD 1CBDA045 CBD n.tieáp chaén CD 2 CHD 450 (1) Mà: + Mặc khác: CHD CHF DHF 90 (2) 1 CHD CHF DHF HC là tia phân giác DHF + Từ (1) và (2) Bài 5: Một hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn Tâm O bán kính R Một điểm M di động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H 1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp đường tròn và DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC 3) MDC và MAH M vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi đó M’D cắt AC tại H’ Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I Chứng minh I là trung điểm H’C HD: CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường tròn: + ABCD là hình vuông BD AC BOH 90 (1) + (O) có: BMD nội tiếp chắn đường tròn BMD 90 (2) 0 + Từ (1) và (2) BOH BMD 90 90 180 MBOH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BH * CMR: DH.DM = 2R2: DOH và DMB có: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (30) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ DOH DMB 900 BDM : chung DOH DMB (g.g) DO DH DO DB DH DM R.2R DH DM DH DM 2R DM DB (đpcm) CMR: MD.MH = MA.MC: MDC n tieáp chaén MC MDC MAC MDC MAH MAC n tieáp chaén MC + (O,R) có: CD = AD (ABCD là hình vuông) CD AD CMD n tieáp chaén CD AMD n tieáp chaén AD CMD AMD CMD AMH AD CD + MDC và MAH có: MDC MAH (cmt ) MD MC MD MH MA MC CMD AMH (cmt ) MDC MAH (g.g) MA MH Chứng minh I là trung điểm H’C: + Khi MDC = MAH MD = MA + (O,R) có: MD = MA MCD MBA MC CD MB BA (1) Do:CD = BA CD BA (2) Từ (1) và (2) MC MB M là điểm chính BC Hay M’là điểm chính BC + Do MDC = MAH M’DC = M’AH’ M’C = M’H’ M’H’C cân M (3) + Do M’I AC M’I H’C (4) Từ (3) và (4) M’I là đường là đường trung tuyến M’H’C IH’ = IC Hay I là trung điểm H’C (đpcm) Bài 6: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt tại A và B Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính AC đường tròn (O) và đường kính AD đường tròn (O’) a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng NĂM HỌC : 2014 - 2015 (31) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ b) Tính độ dài đoạn OO’ c) Gọi EF là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF HD: a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng: + (O) có ABC nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AC ABC = 900 (1) + (O’) có ABD nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD ABD = 900 (2) + Từ (1) và (2) CBD = ABC + ABD = 1800 Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tính độ dài đoạn OO’: + (O) và (O’) cắt A và B OO’ là đường trung trực AB + Gọi H là giao điểm OO’ và AB OO’ AB H; HA = HB = AB = 12 (cm) 2 2 + AHO vuông H OH OA HA = 20 12 16 (cm) 2 2 + AHO’ vuông H O ' H O ' A HA = 15 12 (cm) Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + = 25 (cm) c) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF: + Gọi K là giao điểm AB và EF 2 + OEK vuông E KE OK OE (1) 2 + OHK vuông H OK OH HK (2) 2 2 + Từ (1) và (2) KE = (OH + HK ) – OE = 16 + HK2 – 202 = HK2 – 144 (*) 2 + O’FK vuông F KF O ' K O ' F (3) 2 + O’HK vuông H O ' K O ' H HK (2) 2 2 + Từ (3) và (4) KF = (O’H + HK ) – O’F = + HK2 – 152 = HK2 – 144 (**) K laø trung ñieåm cuûa EF 2 KE KF EF +Từ (*) và (**) KE = KF KE = KF Mà: AB qua trung điểm EF (đpcm) Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By tại C và D CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp b) CD = CA + DB và COD = 900 c) AC BD = R2 Khi BAM = 600 Chứng tỏ BDM là tam giác đều và tính diện tích hình quạt tròn chắn cung MB nửa đường tròn đã cho theo R HD: 1a) CMR: Tứ giác AOMC nội tiếp: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (32) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ OAC = 900 (1) + CD là tiếp tuyến M OMC = 900 (2) Từ (1) và (2) OAC + OMC = 1800 AOMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OC 1b) CMR: CD = CA + DB và COD = 900: + Hai tiếp tuyến CA và CM cắt C CA = CM và OC là tia phân giác AOM (1) + Hai tiếp tuyến DB và DM cắt D DB = DM và OD là tia phân giác MOB (2) Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB + Ax là tiếp tuyến A AOM MOB 1800 (keà bu)ø OC laø phaân giaùc cuûa AOM OD laø phaân giaùc cuûa MOB + (O,R)có: COD = 900 1c) CMR: AC BD = R2: COD vuoâng taïi O 2 OM MC.MD AC.BD R với OM = R,MC AC, MD BD OM CD Khi BAM = 600 Chứng tỏ BDM là tam giác và tính diện tích hình quạt tròn chắn cung MB nửa đường tròn đã cho theo R: + Nửa (O, R) có: BAM noäi tieáp chaén BM DBM BAM 60 DBM tạo t.tuyến và dây cungchắn BM (1) BDM BDM có DB = DM cân D (2) Từ (1) và (2) BDM + Nửa (O, R) có: BAM noäi tieáp chaén BM 0 BOM 2.BAM 2 60 120 BOM tâm chắn BM R n R 60 R 360 (đvdt) Squạt = 360 Bài 8: Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), đây A, B là các tiếp điểm và C nằm M, D a) CMR: MA2 = MC MD b) Gọi I là trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn NĂM HỌC : 2014 - 2015 (33) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ c) Gọi H là giao điểm AB và MO CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB là phân giác CHD d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến tại C và D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng HD: a) CMR:MA2 = MC MD: + MAC và MDA có: MDA:chung MAC MDA (cuøng chaén AC) MAC MDA (g.g) MA MC MA MC.MD MD MA (đpcm)) b) CMR:5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn: + (O) có: I là trung điểm dây CD OI CD OIM 90 nhìn đoạn OM (1) MA OA (T/c tiếp tuyến) OAM 90 nhìn đoạn OM (2) MB OB (T/c tiếp tuyến) OBM 90 nhìn đoạn OM (3) Từ (1), (2) và (3) điểm M, A, I, O, B đường tròn đường kính OM MA2 MC MD (cmt ) c) CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB là phân giác CHD : OAM + vuông A MA2 = MO MH Mà: MH MC MO MH = MC MD MD MO + và MDO có: DOM : chung MH MC MDO (c.g.c) MD MO MHC MHC MDO MHC CDO Maø: MHC CHO 1800 (keà bu)ø CDO CHO 1800 Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn (đpcm) * CMR: AB là phân giác CHD : + COD có OC = OD = R COD cân O CDO DCO MDO DCO đường tròn nội tiếp tứ giác CHOD) Maø: OHD DCO (cuøng chaén OD NĂM HỌC : 2014 - 2015 (34) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ MDO OHD OHD MHC Maø: MDO MHC (cmt) (1) AHC 900 MHC AHD 900 OHD + Mặc khác: (2) AHC AHD Maø: AHC AHD CHD Từ (1) và (2) Suy ra: HA là tia phân giác CHD AB là tia phân giác CHD (đpcm) d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến C và D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng: + Gọi K là giao điểm tiếp tuyến C và D (O) + CK OC (T/c tiếp tuyến) OCK 90 nhìn đoạn OK (1) + DK OD (T/c tiếp tuyến) ODK 90 nhìn đoạn OK (2) Từ (1), (2) Tứ giác OCK nội tiếp đường tròn đường kính OK OKC ODC (cuøng chaén OC) OKC MDO OKC MHC Maø: MHC OHC 180 (keà bu)ø Maø: MHC MDO (cmt) OKC OHC 180 Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OK OHK OCK = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) HK MO HK AB Maø: AB MO (cmt) điểm A, B, K thẳng hàng (đpcm) Bài 9: Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp Chứng minh: KM DB Chứng minh: KC KD = KH KB Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích tam giác ABM, tam giác DCM CMR: (S ABM + SDCM ) không đổi Xác định vị trí M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó theo a HD: CMR: BHCD là tứ giác nội tiếp: + BHD = 900 nhìn đoạn BD H đường tròn đường kính BD (1) + BCD = 900 nhìn đoạn BD C đường tròn đường kính BD (2) Từ (1) và (2) B, H, C, D đường tròn đường kính BD Chứng minh: KM DB: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (35) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ + BDK có : DH BK BC DK DH caét DK taïi M M là trực tâm BDK KM là đường cao thứ ba KM DB Chứng minh: KC KD = KH KB: KCB KHD 900 BKD : chung KCB KHD (g.g) + KCB và KHD có: KC KH KB KD KC KD = KH KB (đpcm) CMR: (SABM + SDCM ) không đổi: 1 AB.BM a.BM + ABM vuông B SABM = = (1) 1 CD.CM a.CM + DCM vuông C SDCM = = (2) 1 a.BM a.CM Từ (1) và (2) SABM + SDCM = +2 1 1 a.(BM CM) a.BC a.a a 2 2 = a2 không đổi (SABM + SDCM ) không đổi + Vì a là không đổi * Xác định vị trí M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó theo a: + Đặt x = BM CM = a – x 2 2 1 1 1 1 2 SABM SDCM a.BM a.CM a.x a.(a x) 2 + Ta có: = 2 a x (a x)2 = a x 2ax a = 2 a 2(x ax a2 ) = 2 1 a (x a)2 a ) = 2 a4 a (x a) a 8 = a4 1 x a x a 2 =0 + Giá trị nhỏ S ABM SDCM là : NĂM HỌC : 2014 - 2015 (36) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ a4 2 Vậy M là trung điểm BC thì S ABM SDCM đạt giá trị nhỏ là Bài 10: Cho điểm A ngoài đường tròn (O, R) Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến đường tròn (B và C là hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm A và F) a) CMR: AEC và ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF b) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên đường tròn c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác MIFB là hình thang d) Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngoài hình tròn (O) HD: a) CMR: AEC và ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF: + AEC và ACF có: ACE CFE (cuøng chaén CE CAF : chung KCB KHD (g.g) AC AE AF AC AC2 = AE AF (đpcm) b) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên đường tròn: + (O) có: I là trung điểm dây EF OI EF 900 OIA nhìn đoạn OA (1) AB OB (T/c tiếp tuyến) OBA 90 nhìn đoạn OA (2) AC OC (T/c tiếp tuyến ) OCA 90 nhìn đoạn OA (3) Từ (1), (2) và (3) điểm , A,B, O, I, C đường tròn đường kính OA c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác MIFB là hình thang: + MỘT SỐ ĐỀ THI CÁC NĂM PHÒNG GD – ĐT KRÔNG NÔ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài (2 điểm) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (37) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ a 1 P : a a a 1 a a Cho biểu thức (Với a và a 1 ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P a = 2 Bài (1,5 điểm) Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x – m a) Vẽ Parabol (P) b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm Bài (1,5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 3 x y 3 a) x2 – 6x + = b) x y 1 Bài 4: (1,5 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một xe khách và xe du lịch khởi hành đồng thời từ Krông Nô TX Gia Nghĩa Xe du lịch có vận tốc lớn vận tốc xe khách là 20 km/h, đó nó đến TX Gia Nghĩa trước xe khách 30 phút Tính vận tốc xe, biết khoảng cách Krông Nô và TX Gia Nghĩa là 120 km Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H Chứng minh : a) Tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn b) Bốn điểm A, C, D, F cùng nằm trên đường tròn c) AE AC = AH AD d) Tính thể tích hình tạo quay nửa hình tròn qua bốn điểm A, C, D, F quanh cạnh AC cố định Biết AE = 4cm, AH = 5cm, AD = 8cm Bài 6:( 0,5đ) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) eeeeee Hết ffffff ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài Bài (2 điểm) Nội dung a 1 P : a a a 1 a a a a a a) a 1 a a1 b) Ta có : a = 32 1 Bài a1 : a1 a a 1 a1 0,5đ 0,25đ a 1 0,5đ a1 a 0,25đ 2 1 Điểm 1 thay vào biểu thức P a) Vẽ đúng đồ thị Parabol (P) 1 2 1 1 NĂM HỌC : 2014 - 2015 0,5đ 0,75đ (38) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ (1,5 điểm) y m x2– 2xx+ m = b) Ta có phương trình hoành độ giao -2 -1điểm x12 = 2x– Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm thì phương trình có hai nghiệm Suy 4m m Bài (1,5 điểm) Bài (1,5 điểm) a) Ta có a + b + c = + (- 6) + = c 5 Nên phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = a 3x y 3 3x y 3 5 x 5 x y x y x y b) 0,5đ 0,25đ 0,5đ x 1 y 0 Hệ phương trình có nghiệm (1;0) Bài Gọi vận tốc xe khách là x(km/h), x>0 Vận tốc xe du lịch là x + 20 (km/h) 120 Thời gian xe khách từ Krông Nô đến TX Gia Nghĩa là x (giờ) 120 Thời gian xe du lịch từ Krông Nô đến TX Gia Nghĩa là x 20 (giờ) (25 phút = ) 12 Theo bài ta có pt: 120 120 x - x 20 = Bài (3,0 điểm) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Giải pt: x(x+20) = 4800 hay x2 + 20x – 4800 = Δ ' = 100 + 4800 = 4900, √ Δ' = 70 x 1=60 ; x2 =−80 Vì x > nên x = - 80 loại Vận tốc xe khách là: 60 km/h Vận tốc xe du lịch là: 80km/h Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận đúng 0,25đ 0,25đ 0,5đ A E F H B D O C NĂM HỌC : 2014 - 2015 (39) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 0 a) Tứ giác CEHD có CEH CDH 90 90 180 Suy tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn b) Tứ giác ACDF có AFC ADC 90 ; điểm D và F cùng nhìn đoạn AC góc 900 nên tứ giác ACDF nội tiếp đường tròn đường kính AC Vậy : Bốn điểm A, C, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AC c) Xét AEH và ADC có AEH ADC 90 , DAC chung AE AH AD AC AE AC = AH AD suy AEH ADC d) Thể tích hình cần tính là hình cầu có bán kính AC AH.AD 5.8 AC 10 AE Theo trên : AE AC = AH AD cm 4 R 53 523, 3 Khi đó thể tích hình cầu là : V = (cm3) Bài Từ 1003x + 2y = 2008 suy x chẵn và 1003x < 2008 (0,5 suy x = 2, y = điểm) Lưu ý : Học sinh giải cách khác, đúng cho điểm tối đa PHÒNG GD – ĐT KRÔNG NÔ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ DỰ BỊ ĐỀ BÀI : Bài (2 điểm) a 1 P : a a a 1 a a Cho biểu thức (Với a và a 1 ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P a = 2 Bài (1,5 điểm) 2 x y 5 3x y 5 a) Giải hệ phương trình 3 2 x x b) Giải phương trình Bài (1,5 điểm) Cho hàm số y 4x có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy b) Với giá trị nào m thì đường thẳng y = – x + m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt Bài (1,5 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình: NĂM HỌC : 2014 - 2015 (40) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 26 và tích 160 ? Bài (3,5 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R Vẽ hai đường kính AB và CD đường tròn (O) OE AO vuông góc với Trên AO lấy điểm E cho , tia CE cắt đường tròn (O) tại M a) Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đường tròn b) Tính CE theo R c) Gọi I là giao điểm CM và AD Chứng minh OI AD d) Tính diện tích hình tạo dây AD và cung nhỏ AD đường tròn (O) -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP (ĐỀ DỰ BỊ) Bài (2,0điểm) Nội dung a 1 P : a a a 1 a a a a a b) Ta có : a = 32 1 a a1 a1 a1 0,5đ 0,25đ a 1 0,5đ 0,25đ 1 1 2 1 1 5 x 10 3 x y 5 x 2 y 5 x x 2 y b) Điều kiện x 4 Biến đổi a 1 2 x y 5 x y a) Biến đổi : a1 a a1 a 1 thay vào biểu thức P a 1 (1,5điểm) Điểm 3 2 3(x 4) 3(x 4) 2(x 4)(x 4) x x4 2x 56 x 2 (thỏa mãn đk) Vậy nghiệm phương trình x1 2 7; x NĂM HỌC : 2014 - 2015 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (41) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ a) Lập bảng giá trị đúng (1,5điểm) 0,25đ Vẽ đồ thị đúng 0,5đ b) Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng y = - x + m và đồ thị (P) là 4x2 = - x + m <=> 4x2 + x – m = Lí luận để đường thẳng cắt (P) tại hai đỉểm thì: 1 16m m 16 Bài Gọi số là x (ĐK: x N), suy số còn lại là 26 – x (1,5điểm) Tích hai số 60, nên ta có phương trình x(26 – x) = 160 Giải phương trình tìm x = 10 (nhận) và x = 16 (nhận) Vậy hai số cần tìm là 10 và 16 C A E Hình vẽ đúng O B I (3,5điểm) 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a) Lí luận EOD 900 (gt) EMD 900 (góc nt chắn ½ đt) Suy EOD EMD 180 KL: MEOD tứ giác nội tiếp 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ M D b) Áp dung định lí Pitago tam giác OEC, ta có CE2 = OC2 + OE2 (*) 1 R 10 OE AO R CE 3 vào (*) tính Thế OC = R, c) Lí luận được: AO là trung tuyến ACD 0,25đ 0,25đ 0,25đ OE AO Và ta có Nên E là trọng tâm tam giác ACD Do đó CI là trung tuyến tam giác ACD => I là trung điểm AD Từ đó suy OI AD 0,25đ 0,25đ 0,25đ d) Tính diện tích hình quạt OAD S quatOAD R2 (đvdt) Diện tích tam giác vuông OAD: Diện tích cần tìm: S S quatOAD S OAD S OAD 0,25đ R2 0,25đ (đvdt) R 2 R R ( 2) 4 (đvdt) NĂM HỌC : 2014 - 2015 0,25đ (42) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ PHÒNG GD & ĐT KRÔNG NÔ ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2012 - 2103 TRƯỜNG THCS ĐẮK DRÔ MÔN TOÁN THỜI GIAN : 120 PHÚT ĐỀ RA: Câu (1,5 đ) a) Với giá trị nào m thì hàm số y = (1 - 2m)x - đồng biến trên R 3x y 5 b) Giải hệ phương trình: x 2y 4 c) Giải phương trình: x2 + 5x – = Câu (2 đ) a 1 P : a a a a Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < -1 a 0;a 1 Câu (2 đ) Anh Nam và chị Thuỷ xe đạp từ huyện lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng lúc Vận tốc xe anh Nam lớn vận tốc xe chị Thuỷ là km/h nên anh Nam đến tỉnh trước chị Thuỷ nửa Tính vận tốc xe người Bài 4: (1,5 đ) a) Viết công thức tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ? b) Áp dụng : Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm, chiều cao 9cm Hãy tính : * Diện tích xung quanh hình trụ * Thể tích hình trụ Câu (3 đ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt tại E Kẻ EF vuông góc với AD tại F Chứng minh rằng: a) Tứ giác DCFE nội tiếp b) CDE CFE c) Tia CA là tia phân giác góc BCF Hết: PHÒNG GD&ĐT Câu Câu a HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II HỌC KỲ II MÔN THI: TOÁN Nội Dung Điểm Hàm số y = (1 - 2m)x - đồng biến trên R và NĂM HỌC : 2014 - 2015 0,25đ (43) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ - 2m > -2m > -1 m m b c Câu a thì hàm số y = (1 - Với 2m)x - đồng biến trên R 3x y 5 6x 2y 10 x 2y 4 x 2y 4 3x y 5 y 1 7x 14 x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; 1) x + 5x – = Có : a + b + c = + + ( -6) =0 Suy x1 = 1; c 6 x2 a 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a) Với a> 0, a 1 , ta có: a 1 P : a 1 a a a 0,25đ 1 a 1 P : a a1 a 1 a a 2 a P a a1 a a a 1 0,25đ P P b 0,25đ 1 a a a a 1 a1 0,25đ a1 Vậy P = b) P < -1 0,25đ 0,25đ a với a> 0, a 1 0,25đ 0,25đ NĂM HỌC : 2014 - 2015 (44) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 a1 2 a 0 a1 a 1 1 a1 Do 0,25đ a 1 0 a1 a 1 a 1 a 1 Vậy < a < thì P < -1 Câu Gọi x (km/h) là vận tốc xe chị Thuỷ (x > 0) Thì vận tốc xe anh Nam là x + ( km/h) Thời gian chị Thuỷ hết 30 quãng đường 30 km là: x (giờ) Thời gian anh Nam hết 30 quãng đường 30 km là: x (giờ) Do anh Nam đến tỉnh trước chị Thuỷ nửa = (giờ) , Nên ta có phương trình: 30 30 x x 3 Giải phương trình ta x = 12 Vậy vận tốc xe chị Thuỷ là : 12 km/h vận tốc xe anh Nam là 12 + = 15 km/h 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu a a) S xq 2 rh V r h b b) Diện tích xung quanh hình trụ là : 0,25đ 0,25đ S 2 rh 2.3,14.6.9 339,12(cm ) Thể tích hình trụ là : 0,5đ 0,5đ V r h 3,14.6 1017,36 NĂM HỌC : 2014 - 2015 (45) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Câu 0,5đ C B E A a F a)Ta có: ACD = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD ) Hay ECD = 90 Xét tứ giác DCEF có: ECD = 900 ( cm trên ) EFD = 900 ( vì EF AD (gt) ) D 0,5đ 0,5đ ECD + EFD = 900 900 1800 , mà ECD , EFD là góc vị b c trí đối diện => Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( đpcm ) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) => CDE = CFE ( góc nội tiếp cùng chắn CE ) ( đpcm ) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) =D C ( góc => EF nội tiếp cùng chắn ) (4) Xét đường tròn đường kính AD, ta có: =D C ( góc nội tiếp cùng chắn AB ) (5) =C C hay CA (4) và (5) => NĂM HỌC : 2014 - 2015 0,5đ 0,5đ 0,5đ (46) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ là tia phân giác BCF ( đpcm ) MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO TỰ GIẢI ĐỀ Bài (1,5 điểm) a/ Nêu hệ thức Vi ét và ứng dụng nó b/ Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy R Độ dài đường cao h Tính diện tích toàn phần hình trụ Bài 2: (1.5 điểm) Cho hàm số y = f(x) = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y= -x +2 a Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ b Tìm toạ độ giao điểm (d) và (P) đồ thị và phép tính Bài (2 điểm) Cho phương trình ( ẩn số x ): x2 – (m + 2)x + m + = (1) a/ Giải pt (1) m=1 b,Tìm giá trị m để pt ( 1) có nghiệm c,Tìm giá trị m để pt (1) có nghiệm phân biệt và nghiệm cùng dương d/Tìm giá trị m để pt có nghiệm và giá trị biểu thức :P = x 12 + x22 – x1x2 đạt GTNN Bài (2 điểm ) Giải bài toán cách lập phương trình Một xe lửa từ Hà Nội vào Bình Sơn ( Quảng Ngãi) Sau đó xe lửa khác từ Bình Sơn Hà Nội với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ là km/h Hai xe gặp tại ga chính quãng đường Tìm vận tốc xe, giả thiết quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km Bài (3 điểm ) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC, A là điểm nằm trên đường tròn cho AB = R a Tìm các góc tam giác ABC b Vẽ tiếp tuyến x’Bx với đường tròn (O), kẻ Ax // x’x Chứng minh AD.AC = AB.DB c Tính theo R diện tích tam giác ABD phần nằm ngoài đường tròn (O) ĐỀ 2: 2x y 3 x 2my 1 Bài : (2 điểm) Cho hệ phương trình (*) với m là tham số: a) Giải hệ phương trình với m = - b) Với giá trị nào m thì hệ phương trình trên có nghiệm ? Bài : (2 điểm) Xét phương trình ẩn x : (m + 1) x2 – 2x + m = (**) với m a) Giải phương trình với m = -2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = m Bài : (1.5 điểm) Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 5m Nếu giảm chiều dài 2m và gấp đôi chiều rộng thì hình chữ nhật có diện tích lớn diện tích hình chữ nhật ban đầu là 240m Tính kích thước ban đầu hình chữ nhật ? NĂM HỌC : 2014 - 2015 (47) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Bài : (2.5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn, dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi F là giao điểm AE và nửa đường tròn (O) Gọi K là giao điểm CF và ED ? a) Chứng minh tứ giác EBFK nội tiếp đường tròn b) Tam giác BKC là tam giác gì ? vì ? Bài : (2 điểm) Một hình trụ có bán kính đáy là 14cm, diện tích xung quanh 880cm Tính chiều cao hình trụ, diện tích toàn phần và thể tích hình trụ 22 ) (Lấy ĐỀ 3: C©u1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: 1 + A= √ 5+2 √5 −2 b) Rót gän biÓu thøc sau ®©y: 2|x − 7| A= x −6 x − C©u 2: (2 ®iÓm) Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã tæng cña chiÒu dµi vµ chiÒu réng lµ 28m NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn gÊp đôi và chiều rộng lên gấp thì diện tích ruộng là 1152m Tìm diện tích ruộng đã cho ban ®Çu C©u 3: (3 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: (m-4)x2 -2mx + m + = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m= b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phơng trình có nghiệm C©u 4: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R Một đờng thẳng d cắt đờng tròn điểm A và B Từ điểm M trên d (M nằm ngoài hình tròn) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ tới đờng tròn (O) a) Chứng minh rằng: QMO = QPO và M di động trên d (M nằm ngoài hình tròn), thì các đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn qua điểm cố định b) Xác định vị trí điểm M để tam giác MPQ là tam giác c) Với vị trí điểm M đã cho, hãy tìm tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ ĐỀ C©u1: (2 ®iÓm) 1)Tìm tập xác định hàm số sau đây : 2x a) y= 10 b) y= x c) y= x 2) Cho hàm số y = ax+b Tìm a biết b =3 và đồ thị qua điểm (2 ;1) C©u 2: (3 ®iÓm) (a b)y (b a)x ay Cho hÖ ph¬ng tr×nh : a) Tìm a, b để hệ có nghiệm x =2; y=1 b) Gi¶i hÖ víi a =2; y=1 c) Cho b # Tìm a, b để hệ có nghiệm thoả mãn: y-x >0 C©u 3: (2 ®iÓm) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (48) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Rót gän x 11x 18 A (x 2)(x 3) víi x 2; x a) b) B= x x x x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Trªn AC lÊy D Dùng CE BD a) Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp b) Chøng minh AD.CD=ED.BD c) Từ D kẻ DK BC Chứng minh AB, DK, EC đồng qui điểm và góc DKE = góc ABE ĐỀ 5: C©u1: (2,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) (x2+1)(3x2-5x+2)=0 b) x 4 C©u 2: (2 ®iÓm) a 2 a a 1 ) a1 a Rót gän : A= a a ( C©u 3: (2,5 ®iÓm) Cho hµm sè: y = (2m- 1)x + n - = a) Vẽ đồ thị với m= 1, n=2 b) Tìm m, n để đồ thị hàm số cắt oy điểm có tung độ ( ) và cắt ox điểm có hoành độ b»ng ( ) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Một đờng thẳng d (ABCD) A Trên d lấy S Nối SB, SC, SD a) BiÕt SA=h TÝnh V cña h×nh chopS.ABCD b) Chøng minh rSBC, rSCD lµ c¸c rvu«ng c) Gäi O lµ giao ®iÓm cña BD vµ AC Chøng minh BD SO ĐỀ 6: C©u 1: XÐt biÓu thøc: A = x √ x+2 x +2 √ x +1 x √ x +3 x +3 √ x +1 a) Rót gän A b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – (a-1)x – a2 + a -2 =0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh a = -1 b) Tìm a để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện x12 + x22 đạt giá trị nhỏ C©u 3: Một tam giác có chiều cao 3/4 cạnh đáy Nếu tăng chiều cao lên dm và giảm cạnh đáy dm, thì diện tích nó tăng thêm 12dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy tam giác C©u 4: Cho đờng tròn (O) và (O’) cắt A, B Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lợt các điểm C, D Lấy M trên cung nhỏ BC đờn tròn (O) Gọi giao điểm thứ đờng thẳng MB với đờng tròn (O’) là N và giao điểm hai đờng thẳng CM, DN là P a) Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? b) Chứng minh ACDN nội tiếp đợc đờng tròn c) Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O’) là Q, chứng minh BQ//CP NĂM HỌC : 2014 - 2015 (49) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ -ĐỀ : C©u 1: Cho M = ( √2a − 1√ a ) ( √√a−a+11 − √√aa+−11 ) a) Rót gän M b) Tìm a để M = -2 C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – (m+1)x +m - =0 (1) a) Chøng minh r»ng víi mäi m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Chøng minh biÓu thøc M= x1 (1-x2) + x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m (ë ®©y x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)) C©u 3: Một đội xe tải phải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm quy định Vì đội có xe phải điều làm việc khác nên xe phải trở thêm 0,7 hàng Tính số xe đội lúc đầu C©u 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O và P là trung điểm cung AB không chứa C và D Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t t¹i K Chøng minh r»ng: a) Gãc CID b»ng gãc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc đờng tròn c) IK//AB -ĐỀ 8: C©u1: (3 ®iÓm) a) Tìm các giá trị M để hàm số : y= (2-m)x + 19 NghÞch biÕn §ång biÕn 2 + ¿: b) Rót gän : P =( x √ x + x + √ x x+ √ x +1 x − √ x c) Vẽ đồ thị hàm số: y =x-1 (1) và y =x+1 (2) trên cùng hệ trục toạ độ Cho nhận xét hai đồ thị trên C©u 2: (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh x2-y-2 = (m lµ tham sè) x+y+m = a) Gi¶i hÖ víi m= - b) Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1; y1), (x2; y2) thoả mãn: x1.x2+y1.y2>0 C©u 3: (2 ®iÓm) Ba « t« trë 100 tÊn hµng tæng céng hÕt 40 chuyÕn Sè chuyÕn xe thø nhÊt chë gÊp rìi sè chuyÕn xe thø hai Mçi chuyÕn xe thø nhÊt chë tÊn, xe thø trë 2,5 tÊn, xe thø trë tÊn TÝnh xem mçi « t« trë bao nhiªu chuyÕn C©u 4: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định trên OA (C không trùng với O,A), điểm M di động trên đờng tròn, M vẽ đờng thẳng vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lợt D và E a) CM: Tam gi¸c DCE vu«ng b) CM: Tích AD.BE là không đổi c) T×m vÞ trÝ M cho diÖn tÝch tø gi¸c ABDE nhá nhÊt ĐỀ 9: C©u1: (3 ®iÓm) a) Tìm tập xác định hàm số sau: y= √ x −1 ; y= NĂM HỌC : 2014 - 2015 x −2 x +5 (50) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ b) Rót gän B= 2√x−9 x +3 √ x+ −√ − x −5 √ x+6 √ x −2 − √ x c) Giải hệ phơng trình sau phơng pháp đồ thị: y = 1-x y = 1+x C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2-2(m+1)x +n + =0 a) Tìm giá trị m và n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là và -2 b) Cho m = 0, tìm các giá trị nguyên n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: x x2 lµ mét sè nguyªn = x x1 C©u 3: (2 ®iÓm) Ba bình có thể tích tổng cộng là 132 l Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ lấy lợng nớc đó đổ vào hai bình thì: bình thứ ba đầy nớc, còn bình thứ hai đợc nửa bình, bình thứ hai đầy nớc, còn bình thứ ba đợc phần ba bình (coi nh quá trình đổ nớc từ bình này sang bình lợng níc hao phÝ b»ng kh«ng) Hãy xác định thể tích bình? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B và D cắt K a) Chøng minh: c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh: IK // BC c) Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành? ĐỀ 10: C©u1: (3 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ 2x 2x ¿ a x + =2 ¿ b ¿ − >2¿ c ¿ ¿ x −3 y +1=0 ¿ −2 y − 3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ { 3 3 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 -3x -2 = a) H·y gi¶i ph¬ng tr×nh b) Gäi nghiÖm ph¬ng tr×nh lµ x1, x2 TÝnh x14 + x24 C©u 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A tíi B, cïng mét lóc ngêi kh¸c còng ®i tõ B tíi A víi vËn tèc b»ng 4/5 vËn tèc ngời thứ Sau ngời gặp Hỏi ngời quãng đờng AB hết bao lâu? C©u 4: (2 ®iÓm) Trên đờng tròn (O ; R), đờng kính AB, lấy điểm M cho MA>MB Các tiếp tuyến đờng tròn (O) M và B cắt điểm P, các đờng thẳng AB, MP cắt điểm Q, các đờng thẳng AM, OM cắt đờng thẳng BP lật lợt các điểm R, S a) Chøng minh tø gi¸c AMPO lµ h×nh thang b) Chøng minh MB// SQ C©u 5: (1 ®iÓm) Cho sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a2 + b2 +c2 = Chøng minh r»ng: a + b + c + ab + bc + ca 1+ √ ĐỀ 11: C©u1: (3 ®iÓm) 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − ¿ =x −3 x +1 ¿ 2a 3a b) Tìm a để biểu thức sau có bậc hai: A= − −1 NĂM HỌC : 2014 - 2015 (51) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ ¿ x+2 y −4=0 c) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x − y +5=0 ¿{ ¿ C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2-2x-1=0 a) H·y gi¶i ph¬ng tr×nh: b) Gäi nghiÖm ph¬ng tr×nh lµ x1, x2 TÝnh (x1 - x2 )4 C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô du lịch từ A tới C, cùng lúc từ địa điểm B trên đoạn đờng AC có ô tô tải cùng đến C Sau ô tô du lịch và ô tô tải cùng tới C Hỏi ô tô du lịch từ A đến B bao lâu biết r»ng vËn tèc « t« t¶i b»ng vËn tèc « t« du lÞch C©u 4: (2 ®iÓm) Trên đờng tròn (O ; R), lấy điểm A, B, cho AB<2R Gọi giao điểm các tiếp tuyến đờng tròn (O) A và B là P, qua A, B kẻ các dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm các dây AD, BC lµ Q a) Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp đợc b) Chøng minh PQ// AC C©u 5: (1 ®iÓm) BiÕt r»ng: y2+yz+z2=1- x Chøng minh r»ng : − √ ≤ x + y + z ≤ √ ĐỀ 12: C©u1: (3 ®iÓm) 1) Tìm tập xác định biểu thức : a) b) √ x+2 x −25 ¿ + =5 x y 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : − =1 x y ¿{ ¿ C©u 2: (3 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc Èn x: x2 + 2mx-2m-3=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m=-1 b) CMR ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m c) Tìm nghiệm phơng trình (1) tổng các bình phơng nghiệm đó nhận giá trị nhỏ C©u 3: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng ABC (gãc A =900) trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm D (D kh«ng trïng víi c¸c ®iÓm A, C)§êng trßn đờng kính DC cắt BC điểm thứ hai E, đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC điểm F ( F không trïng víi D) Chøng minh: a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b) Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn c) AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF C©u 4: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (y2+4)(x2+y2)=8xy2 ĐỀ 13 : C©u1: (2,5 ®iÓm) Cho hµm sè bËc nhÊt : y =2x+b (1) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (52) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến?giải thích? b) Biết đồ thị hàm số (1) qua A (1 ;3) Tìm b và vẽ đồ thị hàm số (1) C©u 2: (2,5 ®iÓm) a1 1 a 1 Cho A= a) T×m TX§ vµ rót gän A b) Tìm các số nguyên tố a để A nguyên C©u 3: (2 ®iÓm) Cho ruông hình chữ nhật có diện tích 100m2 Tính độ dài các cạnh ruộng Biết t¨ng chiÒu réng cña thöa ruéng lªn 2m vµ gi¶m chiÒu dµi cña thöa ruéng 5m th× diÖn tÝch cña thöa ruéng t¨ng thªm 5m2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm (O) Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn, kẻ hai tiếp tuyến PA, PC với (O) a) Chøng minh tø gi¸c PAOC néi tiÕp b) Tia AO c¾t (O) t¹i B §êng th¼ng qua P//AB c¾t BC t¹i D Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña OC vµ PD J lµ giao ®iÓm cña PC vµ DO K lµ trung ®iÓm cña AD Chøng minh I, J, K th¼ng hµng ĐỀ 14 : C©u1: (3 ®iÓm) Cho hµm sè bËc mét : y = (m2+1)x -1 a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao? b) Chứng tỏ đồ thị hàm số đã cho luôn qua điểm cố định (x0; y0) với m C©u 2: (2,5 ®iÓm) x y m 2 x 1 y Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a) Gi¶i hÖ m=1 b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ v« nghiÖm? C©u 3: (2 ®iÓm) T×m sè biÕt r»ng tæng cña sè b»ng 17 NÕu sè thø nhÊt t¨ng 3, sè thø hai t¨ng th× tÝch cña chóng b»ng 105 C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho r ABC cân (AB =AC, góc B >450), đờng tròn tiếp xúc với AB, AC lần lợt B và C Trên cung nhỏ BC lấy M (M không trùng với B, C) hạ các đờng vuông góc MI, MH MK xuống các cạnh BC, CA, AB a) ChØ c¸ch dùng (O) b)Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp c) Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB vµ IQ K lµ giao ®iÓm cña MC vµ IH Chøng minh PQ MI ĐỀ 15: C©u1: (3 ®iÓm) Cho c¸c biÓu thøc : 25 25 a= ; b= P= x √ y − y √ x víi x>0, y>0 5+ √ − 2√ √ xy 1) TÝnh a+b 2) Rót gän biÓu thøc P NĂM HỌC : 2014 - 2015 (53) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 3) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P thay x b»ng biÓu thøc a vµ thay y b»ng biÓu thøc b C©u 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc Èn x x2+(2m+1)x+m2+3m=0 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=0 2) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm 3) Xác định m để phơng trình có nghiệm và tổng các bình phơng các nghiệm lớn C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Một ca nô ngợc dòng từ A đến B với vận tốc là 20km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở bến A Thời gian ca nô ngợc dòng từ A đến B nhiều thời gian canô xuôi dòng từ B A là 40 phút Tính khoảng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B BiÕt vËn tèc dßng níc lµ 5km/h, vËn tèc riªng cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng lµ b»ng C©u 4: (2,5 diÓm) Cho tứ giác ABCD (AB//CD) nội tiếp đờng tròn tâm (O) TIếp tuyến A và tiếp tuyến D đờng trßn t©m (O) c¾t t¹i E/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD Chøng minh: 1) Gãc CAB = 1/2 gãc AOD 2) Tø gi¸c AEDO néi tiÕp 3) EI//AB ĐỀ 16: C©u1: (2 ®iÓm) a)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= - √ 2− 1¿2 ¿ 2+ √ √¿ b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2+x-2=0 C©u 2: (2,5 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn x, y, tham sè m: ¿ x+ y =2 x+ y =m 2+3 m+1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m=0 b) Xác định các giá trị tham số m để hệ có nghiệm (xo; yo ) thoả mãn x0=y0 c) Xác định các giá trị nguyên tham số m để hệ phơng trình đã cho có nghiệm (a;b), với a và b là c¸c sè nguyªn C©u 3: (1,75 ®iÓm) : Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Ngời ta dự kiến trồng 300 cây thời gian đã định Do điều kiện thuận lợi nên ngày trồng nhiều cây so với dự kiến, vì đã trồng xong 300 cây trớc ngày Hỏi dự kiến ban đầu ngày trång bao nhiªu c©y? (Gi¶ sö sè c©y dù kiÕn trång mçi ngµy lµ b»ng nhau) Câu 4: (3 điểm) Cho đờng tròn (O) bán kính BC Điểm A thuộc đoạn OB( A không trùng với O và B) vẽ đờng tròn (O’) đờng kính AC Đờng thằng qua trung điểm M đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) D và E Gọi F là giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O’) K là giao điểm thứ hai vủa CE với đờng tròn (O’) CM: a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi b) AF// BD c) Ba ®iÓm E, A, F th¼ng hµng d) Bốn điểm M, F, C, E cùng thuộc đờng tròn e) Ba đờng thẳng CM, DK và EF đồng quy Câu 5: (0,75 điểm): Cho a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện a+b=2ab Xác định giá trị nhỏ biểu a+1 b+1 thøc B= + a −1 2b − ĐỀ 17 : C©u1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 1 − 25 √ √ NĂM HỌC : 2014 - 2015 (54) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ ¿ x +2 y=3 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x − y =1 ¿{ ¿ C©u 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc Èn x, tham sè m x2+4mx+3m2+2m-1=0 a) gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=0 b) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm phân biệt c) Xác định các giá trị m để phơng trình nhận x=2 là nghiệm C©u 3: (1,75 ®iÓm): Gi¶i bµi tãan b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt, chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng lµ m, diÖn tÝch b»ng 300m TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên C©u 4: (3 ®iÓm) Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm) Đờng thẳng qua P cắt đờng tròn (O) điểm E và F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gäi H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF CMR a) Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn b) Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên đờng tròn c) Tam gi¸c PQO c©n d) PM2=PE.PF e) Gãc PHM = gãc PHN C©u (0,75 ®iÓm): Gi¶ sö ( √ a2 +1 −a )( √ b2 +1− b ) =1 H·y tÝnh tæng cña a+b - ĐỀ 18: Câu1: a) Tìm tập xác định các biểu thức sau : x4 a1) a2) x b) Cho hµm sè bËc nhÊt Èn x: y= (a+1)x +1 b1) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số qua điểm có toạ độ (1 ;1) b2) Xác định các giá trị a để hàm số đồng biến C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: 2x2-5x+2=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ a ; b3 đó a và b là nghiệm phơng trình (1) C©u 3: 1 1 ):( ) x x x víi x Cho biÓu thøc: A= x x ( -2, x 0, x a) Rót gän biÓu thøc A 3A b) Xác định các giá trị nguyên x để là số nguyên tố Câu 4: Cho hình chữ nhật Nếu tăng độ dài cạnh nó lên 1cm thì diện tích hình chữ nhật t¨ng thªm 13cm2 NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 2cm, chiÒu réng ®i 1cm th× diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt sÏ gi¶m 15cm2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đã cho Câu 5: Cho đờng tròn tâm (O) có tâm là O, đờng kính AB Trên tiếp tuyến đờng tròn (O) A lấy điểm M (M kh«ng trïng víi A) Tõ M kÎ tiÕp tuyÕn MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt t¹i E vµ F Chøng minh: a) Bốn điểm A, M, I và O nằm trên đờng tròn b) gãc IAB = gãc AMO c) O lµ trung ®iÓm cña FE NĂM HỌC : 2014 - 2015 (55) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ ĐỀ 19: C©u1: a) Trôc c¨n thøc ë mÉu cña mçi ph©n thøc −9 a1) a2) √3 √3 − √2 1 + b) Rót gän biÓu thøc : √2 −1 √ 2+1 c) Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn (O) có tâm là O kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đờng tròn (O) (P,Q lµ tiÕp ®iÓm) BiÕt sè ®o gãc POQ =1400 TÝnh sè ®o gãc MPQ C©u 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ ¿ x+3 y =8 x+3 y =8 xy a) x+ y =5 b) x+2 y =5 xy ¿{ ¿{ ¿ ¿ C©u Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc Èn x tham sè k: x2 -2(k-3)x +k2 -6k =0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi k=0 b) Giả sử phơng trình (1) có nghiệm là x1,, x2 Xác định các gía trị nguyên tham số k cho x1 + x2 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè nguyªn C©u 4: Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch 90km, ®i ngîc chiÒu vµ gÆp sau 1,2 giê (xe thø nhÊt khëi hµnh tõ A, xe thø hai khëi hµnh tõ B)T×m vËn tèc cña mçi xe BiÕt r»ng thời gian để xe thứ hết quãng đờng AB ít thời gian để xe thứ hai hết quãng đờng AB là C©u 5) : Cho tam gi¸c vu«ng ABC (gãc A=900, AB>AC) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®o¹n th¼ng AC ( M trïng với A và C) Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai BC và MB với đờng tròn đờng kính MC, gọi S là giao điểm thứ hai AD với đờng tròn đờng kính MC, T là giao điểm MN và AB Chứng minh: a) Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc đờng tròn b) CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCS TA TC c) = TD TB ĐỀ 20: C©u1: a) Rót gän : A= √ x − 12 x +9+2 x − víix< √2 x +4 x +15 x b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: − = x +1 −2 x x −1 Câu 2: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian qui định với vận tốc xác định Nếu ngời đó tăng vận tốc (3km/h) thì đến B sớm 1(h) Nếu ngời đó giảm vận tốc (2km/h) thì đến B muộn 1(h) Tính quãng đờng AB, vận tốc và thời gian ngời đó C©u Cho tam giác ABC vuông A, điểm D nằm A, B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tâm O các điểm thứ hai F,G Chứng minh a) BE.BC =BD.BA b) Gãc AED = gãc ABF c) Tø gi¸c AFGC lµ h×nh thang d) AC, BF, DE đồng qui C©u Chøng minh r»ng: Cã nhÊt mét cÆp sè (x,y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x − 12 √ x − √ y+ y +11=0 ĐỀ 21: 2 NĂM HỌC : 2014 - 2015 (56) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ √2 x − x+ √ − √ x+ √ x 1+ ¿ C©u1: Cho M= ( √ x+1 √ x+ + √2 x + √ x − 1¿ :¿ √2 x+1 √2 x −1 a) Rót gän M x √ b) TÝnh gi¸ trÞ cña M x = 3+2 ¿ ¿ C©u 2: Hai vßi cïng ch¶y vµo ®Çy mét bÓ hÕt 4h 48’ NÕu ch¶y riªng th× vßi ch¶y nhanh h¬n vßi lµ 4h Hái nÕu ch¶y riªng mét m×nh th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ bao l©u? C©u Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài A Tiếp tuyến chung Ax, đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) và (O2) lần lợt B và C và cắt Ax M Kẻ đờng kính BO1 D, CO2E Chứng minh rằng: a)M lµ trung ®iÓm cña BC b) Tam gi¸c O1MO2 vu«ng c) B, A, E vµ C, A, D th¼ng hµng d) Gọi I là trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc d Câu Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm ¿ x −(2 m−3) x+ 6=0 2 x + x+(m− 5)=0 ¿{ ¿ ĐỀ 22: C©u1:(2,5 ®iÓm) a+1 ab+a a+1 ab +a Cho biÓu thøc: A= ( + −1):( + +1) ab+1 ab −1 ab+1 ab − a) Rót gän M b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt : a= √ − √ vµ b= √ 4+ √ c) BiÕt a, b lµ sè d¬ng tho¶ m·n a+b =4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A C©u 2: (1,5 ®iÓm) Hai địa điểm A và B cách 650km Hai ô tô ngợc chiều nhau, chúng cùng khởi hành thì sau 10h sÏ gÆp Nhng nÕu xe thø khëi hµnh sím h¬n xe thø nhÊt 4h 20’ th× chóng cïng gÆp sau 8giê tÝnh tõ lóc xe thø nhÊt khëi hµnh TÝnh vËn tèc mçi xe C©u (3 ®iÓm) Cho đờng tròn (O,r), lấy trên đờng tròn đó hai điểm A và B cho AB< 2r Gọi P là giao điểm tiếp tuyến với đờng tròn A và B 1) Chøng minh tø gi¸c AOBP néi tiÕp 2) Qua A, B kÎ d©y cung AC, BD song song víi Gäi Q lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC (sao cho Q và B khác phía AP) Chøng minh tø gi¸c AQPB néi tiÕp 3) Chøng minh PQ//AC C©u (2 ®iÓm) ¿ ax − y =a Cho hÖ ph¬ng tr×nh: y − x =a+1 ¿{ ¿ 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a=-1 2) Tìm các giá trị a để hệ có nghiệm thảo mãn điều kiện y-x=1 C©u ( ®iÓm) NĂM HỌC : 2014 - 2015 (57) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ Cho hai sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn √ x − √ y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 4x+4y ĐỀ 23: C©u (2 ®iÓm) x 1 x x 2 x x x1 x 1 Cho biÓu thøc: A= 1 x x a) Tìm tập xác định A b) Rót gän A c) So s¸nh A víi C©u (2 ®iÓm) Cho hµm sè : y = a x + (d1) a)Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số (d1) qua điểm M(1;3) Vẽ đồ thị hàm số (d1) với hệ số a vừa tìm đợc b) Tìm m để đồ thị hàm (d1)cắt Parabol (P) :y = mx2tại hai điểm phân biệt A, B c) Tìm m để hai điểm A và B bên trái trục tung C©u (2®iÓm) Hai xe ôtô khởi hành cùng lúc từ thành phố A đến thành phố B cách 315 km Xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km, nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai nửa Tính vận tốc mçi xe ? C©u (1®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) 2x2+ 5x + = ; b) x = 2- x C©u (3 ®iÓm) Cho điểm P cố định nằm ngoài đờng tròn (O;R) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA,PB tới đờng tròn (O;R) (A,B là các tiếp điểm)và cát tuyến PMN (M,N thuộc đờng tròn (O;R),M nằm Pvà N).Gọi K là trung điểm đoạn MN, BK cắt đơng tròn (O;R) F a)Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp đờng tròn Xác định bán kính đờng tròn đó b)Chøng minh PB2 = PM.PN c)Chøng minh AF// MN d)Chứng minh đờng tròn (O;R) thay đổi và qua điểm M,N cố định thì hai điểm A,B thuộc đờng tròn cố định HÕt NĂM HỌC : 2014 - 2015 (58)