Tài liêu ÔN tập TOÁN 8 lên 9

ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I PHẦN ĐẠI SỐ A LÝ THUYẾT: Phát biểu qui tắt nhân đơn thức với đa thức; Đa thức với đa thức Áp dụng tính: a/ xy(3x2y - 3yx + y2) b/ (2x + 1)(6x3 - 7x2 - x + 2) Khi đơn thức A chia hết cho đơn thức B ? Đa thức C chia hết cho đa thức D ? Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 b/(x2 - 2x + 1):(1 -x) Thế phân thức đại số? Cho ví dụ? Định nghĩa hai phân thức x−3 x − 4x + x − x có khơng? Áp dụng: Hai phân thức sau x Nêu tính chất phân thức đại số? Áp dụng: Hai phân thức sau hay sai? ( x − 8) 2(8 − x) = (8 − x) 2 Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số Áp dụng : Rút gọn 8x − 8x − Muốn qui đồng mẫu thức phân thức đại số ta làm ? 3x x −1 Áp dụng qui đồng : x − x + x + B BÀI TẬP: I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC : Bài 1: Thực phép tính sau: a) −2 xy ( x y − x y + xy ) d) 3x ( x3 – x + ) b) ( −2 x ) ( x3 – 3x – x + 1) e) ( xy + y – 5x ) x y     − 10 x + y − z ÷ − xy ÷   c)  f) ( 3x y – xy + x ) (− xy )  Bài 2: Thực phép tính sau: a) (x + x – x + 1) ( x – ) x – ) ( x – x + 1) – x ( x + 11) ( c) Bài 3: b) ( 2x – 3xy + y ) ( x + y ) d) x(1 − x)(4 − x) − ( x − 4)(3 x + 5) Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a) (3 x + 7)(2 x + 3) − (3 x − 5)(2 x + 11) 2 2 b) (3 x − x + 1)( x + x + 3) − x( x − 1) − x ( x + 2) Bài 4: Tìm x biết x + 3) ( x − ) − ( x − 1) ( x − 1) = −27 a) ( 0, x ( x – 0,5 ) – 0,3 x ( x + 1, 3) = 0,138 c) b) d) x ( 12 x + ) – x ( 20 x – ) = −100 ( x + 1) ( x + ) ( x + 5) – x ( x + ) = 27 II PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 a) x yz − x y z + xyz c) x2 ( m + n ) − y ( m + n ) e) x2 ( a − b ) + ( b − a ) 50 x ( x − y ) − y ( y − x ) g) Bài a) ( x − 3) + ( x − 4) ( x − 2) − ( − x ) 2 b) x + 24 x − 12 xy x2 ( x − y ) + y2 ( y − x ) d) 2 10 x ( a − 2b ) − ( x + ) ( 2b − a ) f) m+ m m ∈ ¥* 15 a b − 45 a b h) ( 2 b) ) ( 2a − 3b ) ( 4a − b ) − ( a − b2 ) − ( 3b − 2a ) 2 d) (x − y) + 4( x − y ) − 12 c) a − g) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 2 h) ( x + x + 5)( x + 10 x + 21) + 15 III CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN Bài 1: Thực phép tính: ( 12 x y z ) : ( 15xy ) a) 3 b) ( −12 x ) : ( 3x ) c) ( 21a b x 15 ( 81a x d) Bài 2: a) (x ( 4x a) 10 – 6a 2b3 x + 9a 3b x ) : ( 3a 2b x ) y – 36 x5 y – 18ax y – 18ax y ) : ( −9 x y ) Thực phép chia: – x + x + 3) : ( x + 1) + 12 x y + y ) : ( x + y ) b) (x – x – x + 14 ) : ( 64a b b) 2 (x – 49m4 n ) : ( 8ab + m n ) Bài 3: Xác định số hữu tỉ cho: a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + c) Đa thức 3x2 + ax – chia hết cho đa thức x – a Bài Chứng minh rằng: a a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho với a ∈ Z b a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho với a ∈ Z c x2 + 2x + > với x ∈ Z Bài 5: Tìm giá trị lớn đa thức sau: a) A= − 2x + 6x + – 7) B = 2xy − y + 16x − 5x − y − 14 IV PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH : Phân thức A B xác định B ≠ Bài : Tìm x để phân thức sau xác định : x+6 A = x−2 Bài 2: Cho phân thức E= x − 16 C = 3x − x B = x − 6x 5x + 2x2 + 2x a/ Tìm điều kiện x để phân thức xác định b/ Tìm giá trị x để giá trị phân thức -1 V CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC : Câu 1: Thực phép tính sau : a) xy − y xy + y + 2x2 y3 x2 y3 b) x+3 4+ x + x−2 2− x Câu 2: : Thức phép tính sau : x +1 2x + a) x + + x + 3x ; x−6 − b) x + x + x x + x + 3x : c) 3x − x − 3x VI CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP: x2 − x − 2x − A= + − x − x − 7x + 10 x− Bài : Cho : a Rút gọn A b Tìm x nguyên để A nguyên  x2  + +   x − x − 3x x +  Bài : Cho M =  :  10 − x   x − +  x +   a Tìm điều kiện xác định M b Rút gọn M x c Tính giá trị M = Bài 3: a b c  y y2 + y + ì ữ: y 1 − y3 y +  y2 −1  Cho biểu thức N = Rút gọn N y= Tính giá trị N Tìm giá trị y để N ln có giá trị dương x4 + x3 + x + A= x − x + 2x − x + Bài 4: Cho biểu thức : a Rút gọn biểu thức A b Chứng minh A không âm với giá trị x PHẦN 2: HÌNH HỌC A LÍ THUYẾT: Định lí tổng góc tứ giác Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Định nghĩa, tính chất đường trung bình tam giác, hình thang Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng Diện tích hình chữ nhật, hình vng, tam giác B BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K, M trung điểm BD, AC, CD, AB a) Chứng minh: tứ giác AFKD hình thang tứ giác KEMF hình bình hành b) Chứng minh: EF // CD c) Đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc với BC cắt H Chứng minh: tam giác HCD tam giác cân Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao M trung điểm AB Gọi D điểm đối xứng H qua M a) Chứng minh tứ giác AHBD hình chữ nhật b) Trên đoạn HC lấy điểm E cho HB = HE Chứng minh tứ giác AEHD hình bình hành c) Gọi N điểm đối xứng A qua H Chứng minh: Tứ giác AENB hình thoi d) MN cắt BH K Chứng minh: BE = 3BK Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E điểm đối xứng B qua C a) Chứng minh tứ giác ACED hình bình hành b) Gọi M trung điểm BC Tia AM cắt tia DC F Chứng minh tứ giác BDEF hình thoi c) Gọi I giao điểm AE DC Tia BI cắt DE K Chứng minh KI = AE Bài 4: Cho ∆ ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH (H ∈ BC) Kẻ HD ⊥ AB D HE ⊥ AC E a) Chứng minh: Tứ giác ADHE hình chữ nhật b) Gọi F điểm đối xứng điểm H qua điểm E Chứng minh: Tứ giác ADEF hình bình hành d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: AM ⊥ AF Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Gọi M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật b) Gọi E điểm đối xứng C qua A Chứng minh tứ giác ADBE hình bình hành c) EM cắt AB K cắt CD I Vẽ IH ⊥ AB (H ∈ AB) Chứng minh ∆IKB cân Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi G, H E trung điểm cạnh AB, AC BC a) Chứng minh tứ giác BCHG hình thang b) Gọi O điểm đối xứng với E qua H Chứng minh tứ giác EAOC hình bình hành c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM Vẽ HD ⊥ AB, HE ⊥ AC (D ∈ AB, E ∈ AC) a) Chứng minh: tứ giác ADHE hình chữ nhật AB AC = AH BC b) Gọi P điểm đối xứng A qua E Tứ giác DHPE hình gì? Vì sao? c) Gọi V giao điểm DE AH Qua A kẻ đường thẳng xy vng góc với đường thẳng MV Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy Bài Cho ∆ABC cân A Gọi D, E trung điểm AB AC a/ Cho BC = 10 cm Tính độ dài DE b/ Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân c/ Gọi K trung điểm BC, F trung điểm BK, H giao điểm AK DE Chứng minh tứ giác DHKF hình chữ nhật d/ Chứng minh đường thẳng DK, HF, BE đồng quy Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB a/ Chứng minh: MD ⊥ AB b/ Gọi E điểm đối xứng với M qua D Chứng minh tứ giác EACM hình bình hành c/ Chứng minh tứ giác AEBM hình thoi d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi M, N, K thứ tự trung điểm AB, AC BC KN = AB a) Chứng minh ABKN hình thang vng b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt tia KN Q.Chứng minh AKCQ hình thoi c) MN cắt BQ O AK cắt BN I Biết BC = 24cm, tính độ dài OI Bài 11 Cho ∆ABC vng A có AB = cm, AC = cm Gọi M trung điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh AC a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh tứ giác BMND hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AMDN hình chữ nhật Gọi E điểm đối xứng D qua M Chứng minh tứ giác BDAE hình thoi Bài 12: Cho ABC vng A có AB < AC Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ MN vng góc với AC N, kẻ ME vng góc với AB E a) Chứng minh tứ giác ANME hình chữ nhật tứ giác NMBE hình bình hành b) Vẽ D đối xứng M qua E Chứng minh tứ giác ADBM hình thoi c) Vẽ đường cao AH ABC Chứng minh tứ giác MNEH hình thang cân Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB lần đáy nhỏ CD Gọi I trung điểm AB Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC E a) Chứng minh AICD BCDI hình bình hành b) Chứng minh AD = DE c) Giả sử A = D = 900 AD = CD Chứng minh BC ⊥ AC A ( AB < AC ) Bài 14: Cho tam giác ABC vuông M , N , P trung điểm AB, AC , BC a) Chứng minh: Tứ giác BMNP hình bình hành b) Vẽ Q đối xứng với P qua N Chứng minh: Tứ giác APCQ hình thoi c) Vẽ R đối xứng với P qua M Chứng minh: R, A, Q thẳng hàng Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Gọi M, N, K trung điểm AB, BC AC a) Chứng minh tứ giác AMNK hình bình hành b) Vẽ đường cao AH tam giác ABC Tứ giác MKNH hình gì? Vì sao? c) Gọi I điểm đối xứng H qua M AH IC cắt MK E F Chứng minh HC – HB = 2EF ĐÁP ÁN BÀI TẬP ƠN TẬP HỌC KÌ I I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC : Bài 2 a) −2 xy ( x y − x y + xy ) b) − x + x + x – x = −2 xy x3 y + xy 2 x y − xy xy = −2 x y + x3 y − 10 x y 5 x y – xy + xyz c) d) x – x + 15 x 2 e) x y + 3x y – x y 2 2 f) − x y + x y – 12 x y Bài 2: a) x – x – 37 x + 15 x – 2 c) x – x + x – x + 10 x – – x –11x = − x2 – 2 b) x – x y – xy + y d) x ( − 3x ) ( − x ) − ( x − ) ( x + ) ( ) ( − 3x ) − ( x − ) ( 3x + 5) = ( x − 3x − 12 x + x ) − ( 3x + x − 12 x − 20 ) = x − 3x2 2 ( ) ( = x3 − 15 x + x − x − x − 20 ) = x3 − 15 x + x − 3x + x + 20 = x3 − 18 x + 11x + 20 Bài 3: a) (3 x + 7)(2 x + 3) − (3x − 5)(2 x + 11) = x(2 x + 3) + 7(2 x + 3) − x(2 x + 11) + 5(2 x + 11) = x + x + 14 x + 21 − x − 33 x + 10 x + 55 = 76 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x 2 2 b) (3 x − x + 1)( x + x + 3) − x( x − 1) − x ( x + 2) = x ( x + x + 3) − x( x + x + 3) + ( x + x + 3) − x.x + x − x x − 3x 2 = x + x3 + x − x − x − x + x + x + − x + x − x − x =0 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến Bài 4 x + 3) ( x − ) − ( x − 1) ( x − 1) = −27 a) ( (4 x + 12)(3 x − 2) − (3 x − 3)(4 x − 1) = −27 b) 60 x + 35 x – 60 x + 15 x = −100 12 x − x + 36 x − 24 − 12 x + x + 12 x − = −27 43 x − 27 = −27 43 x = −27 + 27 43 x = x=0 c) x ( 12 x + ) – x ( 20 x – ) = −100 50 x = −100 x =− 0, x ( x – 0,5 ) – 0,3 x ( x + 1, ) = 0,138 d) 0, x – 0,3 x – 0, x – 0,39 x = 0,138 (x + x + ) ( x + ) – x3 – x = 27 −0, 69 x = 0,138 x3 + x + 3x + 15 x + x + 10 – x – x = 27 17 x + 10 = 27 x = 0, 17 x = 17 x = II PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: 3 a) x yz − x y z + xyz 2 b) x + 24 x − 12 xy = xyz ( x − x y + z ) = x ( x2 + 6x − y ) c) x2 ( m + n ) − y ( m + n ) d) = ( m + n ) ( x2 − y2 ) ( )( = ( m + n) x − 3y x + y e) x2 ( a − b) + ( b − a ) 4x2 ( x − y ) + y2 ( y − x ) = 4x2 ( x − y ) − y ( x − y ) ) = ( x − y ) ( 4x2 − y ) = ( x − y) ( 2x − 3y ) ( 2x + y) 10 x ( a − 2b ) − ( x + ) ( 2b − a ) f) = 10 x ( a − 2b ) − ( x + ) ( a − 2b ) = x2 ( a − b ) − ( a − b ) = ( a − b ) ( x2 − 2) ( = ( a − 2b ) ( 10 x − x − ) )( = ( a − b) x − x + ) 50 x ( x − y ) − y ( y − x ) g) = 50 x ( x − y ) − y ( x − y ) 2 2 = ( a − 2b ) ( 9x − 2) ( 3x − ) ( 3x + ) m+ m h) 15a b − 45a b m m 2 = ( a − 2b ) ( m∈¥ ) = 15a a b − 45a b ( m ∈ ¥ ) = 15a b ( a − ) ( m∈¥ ) = 15a b ( a − ) ( a + ) ( m ∈ ¥ ) ( 50 x − y ) = ( x − y ) ( 25 x − y ) = ( x − y) 2 m * * * m * = ( x − y ) ( 5x − y ) ( 5x + y ) Câu : a ) ( x − 3) + ( x − ) ( x − ) − ( − x ) = ( x − 3) + ( x − ) ( x − ) − ( x − ) = ( x − 3) 2 ( x − − 1) + ( x − ) ( x − ) = ( x − 3) ( x − ) + ( x − ) ( x − ) = ( x − 4) ( x2 − x + + x − 2) = ( x − 4) ( x2 − 5x + ) b) ( 2a − 3b ) ( 4a − b ) − ( a − b ) − ( 3b − 2a ) = ( 2a − 3b ) ( 4a − b ) − ( a − b ) − ( 2a − 3b ) = ( 2a − 3b ) ( 2a + 2b ) − ( a − b ) ( a + b ) = ( a + b ) ( 4a − 6b − a + b ) = ( a + b ) ( 3a − 5b ) d ) (x − y) + 4( x − y ) − 12 = ( a4 ) −1 = ( x − y ) + 4( x − y ) + − 16 = ( a − 1) ( a + 1) ( a + 1) = ( x − y + 2) − 16 = ( x − y + + 4)( x − y + − 4) = ( x − y + 6)( x − y − 2) g ) A = ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 h) B = ( x + x + 5)( x + 10 x + 21) + 15 = [( x + 2)( x + 5)].[( x + 3)( x + 4)] − 24 = ( x + 5)( x + 1)( x + 3)( x + 7) + 15 = ( x + 7x + 10)( x + x + 12) − 24 = ( x + 8x + 15)( x + 8x + 7) + 15 = ( a − 1) ( a + 1) = ( a − 1) ( a + 1) ( a + 1) ( a + 1) 2 Đặt x + 7x + 10 = t = ( 2a − 3b ) ( 4a − b − 2a + 3b ) − ( a − b ) ( a + b ) c) a -1 2 Đặt x + 8x + = t ⇒ A = t ( t + 2) − 24 = t − 4t + 6t − 24 ⇒ B = (t + 8) t + 15 = t + 8t + 15 = t ( t − 4) + 6(t − 4) = (t − 4)(t + 6) = t + 3t + 5t + 15 2 ⇒ A = ( x + 7x + 10 − 4)( x + 7x + 10 + 6) = t (t + 3) + 5(t + 3) = (t + 3)( t + 5) Vậy ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 ⇒ B = ( x + 8x + + 3) ( x + 8x + + ) = ( x + 7x + 6)( x + 7x + 16) = ( x + 8x + 10)( x + 8x + 12) 2 Vậy ( x + x + 5)( x + 10 x + 21) + 15 = ( x + 8x + 10)( x + 8x + 12) III CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN Bài 1: ( 12 x y z ) : ( 15 xy ) a) 3 12 x3 y z = 15 xy = x2z c) ( −12 x ) : ( 3x ) 15 b) 10 −12 x15 10 = 2x = - 4x5 d) ( 21a b x – 6a 2b3 x + 9a 3b x ) : ( 3a 2b x ) 21a 4b x 6a 2b3 x 9a 3b x − + 3a 2b x 3a 2b x 3a 2b x = = 7a x – 2bx + 3ab x 2 ( 81a x 4 y – 36 x5 y – 18ax y – 18ax y ) : ( −9 x y ) 81a x y 36 x y 18ax5 y 18ax y − − − 3 3 3 − x y − x y − x y −9 x3 y = = − 9a x + x y + 2ax y + 2ax y Bài 2: x − x + x + ( x + x ) − (2 x + x) + (3 x + 3) = x +1 x +1 a) x ( x + 1) − x( x + 1) + 3( x + 1) = x +1 = x2 − 2x + x3 − x − x + 14 x3 − x + x − x − x + 14 = x−7 x−7 b) x ( x − 7) + x( x − 7) − 2( x − 7) = x−7 = x2 + x − x + 12 x y + y (2 x + y ) = = x2 + y2 2 2 2x + y 2x + 3y a) 64a 2b − 49m n (8ab − m n)(8ab + m n) = = 8ab − m n 2 8ab + 7m n 8ab + 7m n b) Bài 3: x − x + a x − 12 x + x − 18 + a + 18 x( x − 3) + 6( x − 3) + a + 18 = = x − x − x −3 a) = 4x + + a + 18 x −3 a + 18 Để đa thức 4x – 6x + a chia hết cho đa thức x – x − = ⇔ a + 18 = ⇔ a = - 18 2 x + x + a x + x − x − 15 + a + 15 x( x + 3) − 5( x + 3) + a + 15 = = x + x + x+3 b) a + 15 = 2x − + x+3 a + 15 Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + ⇔ x + = ⇔ a + 15 = ⇔ a = - 15 x + ax − x − 3ax + 4ax − 4a + 4a − 3x( x − a) + 4a ( x − a) + 4a − = = x − a x − a x−a c) = x + 4a + 4a − x−a 4a − Đa thức 3x2 + ax – chia hết cho đa thức x – a ⇔ x − a = ⇔ 4a2 – = ⇔  2a − = a =  2a + = ⇔  a = −1  (2a – 2)(2a + 2) = ⇔  Bài 4: a) Ta có: a ( a + 1) + 2a ( a + 1) = a + a + 2a + 2a = a ( a + 3a + ) = a ( a + 1) ( a + ) Ta có tích số ngun liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho b) Ta có: a ( 2a − 3) − a ( a + 1) = 2a − 3a − 2a − a = −5a M ∀a ∈ Z c) Ta có: x + x + = ( x + 1) + > ∀x ∈ Z Bài 5: A = − 2x + 6x + B = 2xy − y + 16x − 5x − y − 14 B = (− x + 2xy − y ) + 4( x − y ) + 12 x − x −14 9  = − 2( x − 3x) + = -2  x − x + ÷ + + B = − [(x − 2xy + y ) − 4( x − y ) + 4] − (4 x −12 x + 9) − 4  B = − [( x − y ) − 2.( x − y ).2 + 2 ] − (2x − 3) −1  27 27  = − 2 x − ÷ + ≤ ,∀ x 2 2  B = − ( x − y − 2) − (2x − 3) −1 3  27 −2  x − ÷ ≤ A≤ 2  Vì nên Vậy Amax 27 ⇔ x= = IV PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH : 2 Vì −( x − y − 2) ≤ 0, − (2x − 3) ≤ ∀ x nên Bmax = -1 đạt x= ; y=− 2 ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Câu (2 điểm) Cho hai biểu thức a) Tính giá trị A b) Chứng minh B= A= x= x−2 − 5x 2x B= + + x + x − − x x + với x ≠ ±2 2x x−2 c) Đặt P = A.B Tìm x để P ≤ Câu (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Hai lớp 8A 8B trường có tổng 95 học sinh Trong đợt quyên góp sách tặng em học sinh vùng lũ lụt học sinh lớp 8A ủng hộ quyển, học sinh lớp 8B ủng hộc Tính số học sinh lớp, biết hai lớp ủng hộ 379 Câu Câu (2 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x + 1) − ( x − 3) = x − x + x + 12 + + =0 b) x x − 3x − x c) x ( x + 1) − x ≥ ( x − ) x − 2x + + 5x − < 1+ 12 d) (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) Kẻ đường cao AH , phân giác BD Gọi I giao điểm AH BD a) Chứng minh : ∆ABD ∽ ∆HBI b) Chứng minh : AB = BH BC Tính AH BH = 9cm , HC = 16cm c) Chứng minh : ∆AID cân DA = DC.IH d) Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm Câu BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng (0,5 điểm) Cho x , y , z ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + x+ y−z y+z−x z+x− y x y z BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KÌ II Câu 50 36 x−3  x − 11   + x Q = 1 − − − ÷:  ÷ x +1   x − − x x +  với x ≠ ; x ≠ −3  Cho biểu thức a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q biết x + x = c) Tìm x để Q = − x d) Tìm x để Q < e) Tìm điều kiện m để ln có giá trị x thỏa mãn Q = m Lời giải a) Rút gọn Q Với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ −3 , ta có: 36 x −  x + − ( x − 11)  x − 11   + x Q = 1 − − − ÷:  ÷= x +1   x − − x x +3 x +1   3+ x 36 x −3 :  + − ÷ ÷  x − ( x − 3) ( x + ) x +  x + − x + 11 ( + x ) ( x + 3) + 36 − ( x − 3) ( x − ) 12 x + x + + 36 − x + x − = : = : x +1 x +1 ( x − 3) ( x + 3) ( x − 3) ( x + 3) = 12 12 x + 36 12 ( x − 3) ( x + 3) x − : = = x + ( x − 3) ( x + 3) x + 12 ( x + 3) x +1 x −3 x + với x ≠ ; x ≠ −3 Vậy b) Tính giá trị Q biết x + x = Q= 2x = x = x + x = ⇔ x ( x + 3) = ⇔  ⇔ x + =  x = −3 Với x = −3 không thỏa mãn điều kiện 0−3 ⇒Q= = −3 +1 Với x = thỏa mãn điều kiện Q = − Vậy x + x = c) Tìm x để Q = − x Với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ −3 , ta có: x−3 Q = −x ⇔ = − x ⇒ x − = − x ( x + 1) ⇔ x − = − x − x x +1 ⇔ x + x − = ⇔ x + 3x − x − =  x = −3 ( KTM ) x + = ⇔ x ( x + 3) − ( x + 3) = ⇔ ( x + 3) ( x − 1) = ⇔  ⇔  x −1 =  x = 1( TM ) Vậy x = Q = − x d) Tìm x để Q < Với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ −3 , ta có: x −3 x −3 x − − x −1 −4 −1 x +1 x +1 x +1 x +1 Vậy x > −1; x ≠ Q < Q Lời giải a) Rút gọn A Với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ −2 , ta có: x2 + 2x  x + − x2  x ( x + 2) A= : − + ÷= x − 4x +  x − x x − 2x  ( x − 2) = = x ( x + 2) ( x − 2) x ( x + 2) ( x − 2) : ( x + 2) ( x − 2) + x + − x2 x ( x − 2) =  x+2 − x2 :  + + x − x ( x − 2)  x x ( x + ) x2 − + x + − x2 : x ( x − 2) ( x − 2) x ( x + 2) x ( x − 2) x+2 x2 : = = x ( x − ) ( x − 2) x + x−2 A= x x−2 Vậy với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ −2 , ta có: 2x +1 = b) Tính giá trị A biết 2 x + = 2x = −1 2 x = x = 2x +1 = ⇔  ⇔ ⇔ ⇔  x + = −  x = − −  x = −4  x = −2 Với x = −2 không thỏa mãn điều kiện xác định Với x = thỏa mãn điều kiện xác định 2x −1 = Vậy A = −1 c) Tìm x để A < Với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ −2 , ta có: ⇒ A= 12 = = −1 − −1  ÷ ÷  A ) x + x +  x − 14  − 3x B= − − ÷:  x + x − − x x +  x − Với x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ −5 Cho biểu thức: a) Chứng minh B= x2 + x + x−2 ( x + 5) − x − 45 = b) Tính giá trị biểu thức B biết c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên B= −3 d) Tìm x để e) Tìm x để B < f) Tìm GTLN biểu thức M biết g) Với x > , tìm GTNN B M= :B x−2 Lời giải a) Chứng minh Ta có B= x2 + x + x−2 x + x +  x − 14  − 3x B= − − ÷:  x + x − − x x +  x − Với x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ −5  − 3x x + x +  x − 14 B= + − : x − x + x − x + ( ) ( )   x −1  ( x + 5) ( x + ) − ( x − 1) ( x + 1)  x3 − − 3x B= +   ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + )  ( x − )  − 3x + x + 10 x + 25 − x +  ( x − 1) ( x + x + 1) B=  ( x − ) ( x − 1) ( x + 5)    35 + x  ( x − 1) ( x + x + 1) B=  x − x + ( x − ) ( ) ( )    ( + x )  ( x − 1) ( x + x + 1) B=  ( x − )  ( x − 1) ( x + )  B= x2 + x + x − (đpcm) b) Tính giá trị biểu thức B B= x2 + x + x−2 B= x + 10 x + 25 − x − 24 x−2 ( x + 5) B= ( x + 5) biết − x − 45 = − x − 45 + 21 x + ) − x − 45 = ( x−2 (do ) 21 x−2 c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên B= x2 + x + B= x−2 B= x2 − x + + x − x−2 ( x − 2) B= x−2 B = x + 3+ + ( x − 2) + x−2 x−2 x−2 x − ∈ U ( ) = { −7; − 1;1;7} Vì x nguyên nên để B Hay x ∈ { −5;1;3;9} d) Tìm x để B= −3 Để ⇔ B= −3 x + x + −3 = x−2 ⇔ ( x + x + 1) = −3 ( x − ) ⇔ x + x + = −3 x + ⇔ x2 + x − = ⇔ x2 + 8x − x − = ⇔ 4x ( x + 2) − ( x + 2) = ⇔ ( x + ) ( x − 1) =  x = −2 x + =  ⇔ ⇔ x = x − =   x= −3 B= Vậy x = −2 ; e) Tìm x để B < 1  x + x +1 =  x + ÷ + > 2  Vì ⇔ 1  x+ ÷ ≥0 2 (Do  ) x2 + x + 2  Mà 1  x+ ÷ ≥0 2 Vì  nên A = x + x + đạt GTNN x=− Vậy GTLN biểu thức M g) Với x > , tìm GTNN B 1  x+ ÷ =0 ⇒ x = − 2  B= x2 + x + x−2 B= x2 − x + + x − + x + x−2 5x − x−2 B = x−2+ +5 x−2 B = ( x − 2) + Vì x > ⇒ x − > nên áp dụng bắt đẳng thức Cosi với hai số khơng âm, ta có: B = x−2+ ≥2 x−2 ( x − 2) x−2 +5≥ +5 x−2 x−2 = ⇔ ( x − 2) = ⇔ x − = x − Dấu “=” xảy (do x − > ) B = x−2+ ⇔ x = −2 Vậy Bmin = + x = − Câu 53  2+ x 4x2 − x  x − 3x P= − − ÷: − x x − + x  x − x3  Cho biểu thức Với x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ a) Rút gọn P x −5 = b) Tính giá trị biểu thức P biết c) Tìm x để P > d) Tìm GTNN P x > e) Tìm x thỏa mãn P = −8 Lời giải a) Rút gọn P  2+ x x2 − x  x − 3x P= − − ÷:  − x x − + x  2x − x  ( + x) ( + x) ( − x) ( − x) x2 P =  + −  ( − x) ( + x) − x ( + x) ( − x)  + x + x + x2 − + x − x2 P= − x2   x2 + 8x  x2 ( − x ) P= ÷  − x  x ( x − 3) x ( x + 2) x2 ( − x ) P= − x2 x ( x − 3) P= 4x2 ( x − 3)  x − x3 ÷ ÷ x − x   x2 ( − x ) ÷  x ( x − 3) x −5 = b) Tính giá trị biểu thức P biết x −5 = Ta có x −5 = x = (nhận) x − = −2 x = (loại) 4x2 P= ( x − 3) , x = Thay vào 4.7 P= = 49 ( − 3) Giá trị biểu thức P = 49 c) Tìm x để P > P= x −5 = 4x2 ( x − 3) Ta có 4x2 ⇔ >0 ( x − 3) 2 Vì x ≥ ⇔ x ≥ nên Vậy P > x > −3 x2 >0 ( x − 3) x − > ⇔ x > −3 d) Tìm GTNN P x > Vì x ≥ x > hay x − > Vậy GTNN P x = ⇔ x = e) Tìm x thỏa mãn P = −8 x2 ≥0 ( x − 3) 4x2 = −8 ( x − 3) Ta có x = −8 ( x − 3) x + x − 24 = (2 x + 2)2 = 28 Câu 54  x + = 28   x + = − 28  28 − (TM) x =   − 28 − (TM) x =  x+2 M= − + x + x + x − − x với x ≠ −3; x ≠ Cho biểu thức M= x−4 x−2 a) Chứng minh b) Tìm x biết M = −3 c) Tính giá trị M biết x + x + = ( 3x − 5) d) Tìm giá trị tham số m để phương trình M = m có nghiệm Lời giải a) Chứng minh M= x−4 x−2 M= x+2 − + x + x + x − − x Điều kiện : x ≠ −3; x ≠ M= ( x + 2) ( x − 2) − x+3 − ( x + 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − ) M= x2 − − − x − ( x + 3) ( x − ) M= x − x − 12 ( x + 3) ( x − ) M= ( x + 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − ) M= x−4 x−2 Vậy với x ≠ −3; x ≠ biểu thức b) Tìm x biết M = −3 M= x−4 x−2 Ta có: M = −3 ⇔ x−4 = −3 x−2 ⇒ x − = −3 ( x − ) ⇔ x − = −3 x + ⇔ x = 10 ⇔ x= ( TM ) Vậy với M = −3 x= x + x + = ( 3x − ) c) Tính giá trị M biết Ta có: x + x + = ( 3x − ) ⇔ ( x + 1) = ( 3x − ) 2  x + = 3x −  x = ⇔  x = ( TM ) ⇔ ⇔  x = 1( TM )  x + = −3 x + 4 x = x−4 3− M= = −1 x − ta được: 3− Thay x = vào biểu thức Vậy với x = giá trị biểu thức M = −1 M= M= x−4 1− M= =3 x − ta được: 1− Thay x = vào biểu thức Vậy với x = giá trị biểu thức M = d) Tìm giá trị tham số m để phương trình M = m có nghiệm Ta có: M = m ⇔ x−4 =m x−2 ⇒ x − = m ( x − 2) ⇔ mx − x = 2m − ⇔ ( m − 1) x = 2m − ( *) * Với x ≠ −3; x ≠ , để M = m có nghiệm x thỏa mãn phương trình ( )     m − ≠ m ≠ m ≠ m ≠      2m −  2m −  2m − + 3m −  5m − ⇔ ≠ −3 ⇔  +3≠ ⇔  ≠0 ⇔ ≠0 m −1  m −1  m −1   m −1  2m −  2m −  2m − − 2m +  −2 ≠0  m − ≠  m − − ≠   m − ≠ m −1 m ≠  ⇔ m ≠ ⇔ m≠   5m − ≠ Vậy với m ≠ Câu 55 Cho biểu thức m≠ P= phương trình M = m có nghiệm x2 + − − x − x − x + x + với x ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x + x − = c) So sánh P với d) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Rút gọn biểu thức P x2 + P= − − x − x − x + x + Điều kiện: x ≠ ( x − 2) x2 + x + x2 + P= − − ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) ( x − 2) ( x + 2x + 4) ( x − 2) ( x + 2x + 4) x2 + x + − x2 − − x + P= ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) P= −2 x + ( x − 2) ( x2 + x + 4) P= P= −2 ( x − ) ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) −2 x + 2x + Vậy với x ≠ giá trị biểu thức P= −2 x + 2x + 2 b) Tính giá trị biểu thức P biết x + x − = Ta có: x + x − = ⇔ x + x − 3x − = ⇔ 2x ( x + 2) − 3( x + 2) = ⇔ ( x + ) ( x − 3) =  x = −2 ( TM )  x + = ⇔  ⇔ x = ( TM )  2 x − = −2 x + x + ta được: Thay x = −2 vào biểu thức −2 −2 P= = =− ( −2 ) + ( −2 ) + 4 − + P= Vậy với x = −2 giá trị biểu thức x= Thay P=− −2 P= 2 vào biểu thức x + x + ta được: −2 −2 P= = =− 37 3 +3+  ÷ + + 4 2 P=− giá trị biểu thức 37 Vậy với c) So sánh P với x= x + x + = x + x + + = ( x + 1) + > Ta có: Mà −2 < ⇒ ⇔ −2 ( x + 1) +3 0) chiều dài quãng đường từ bến A đến bến B ( x ( km / h ) Vận tốc ca-nô xi dịng từ bến A đến bến B là: x ( km / h ) Vận tốc ca-nô ngược dòng từ bến B bến A là: Vận tốc dòng nước 2km / h Vì vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngược dịng lần vận tốc dịng nước nên ta có phương trình: x x − = 2.2 7 x x 140 ⇔ − = 35 35 35 ⇔ x − x = 140 ⇔ x = 140 ⇔ x = 70 (thỏa mãn điều kiện) Câu 59 70 km Vậy quãng đường từ bến A đến bến B dài ( ) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 45km / h Lúc người với vận tốc 40km / h nên thời gian nhiều thời gian 10 phút Tính quãng đường AB Lời giải Đổi: 10 phút = Gọi x ( km ) chiều dài quãng đường AB ( x > 0) x ( h) Thời gian xe máy từ A đến B là: 45 x ( h) Thời gian xe máy từ B A là: 40 Do thời gian nhiều thời gian 10 phút nên ta có phương trình: x x − = 40 45 9x 8x 60 ⇔ − = 360 360 360 ⇔ x − x = 60 ⇔ x = 60 (thỏa mãn điều kiện) 60 km Vậy quãng đường AB dài ( ) ... 49m n (8ab − m n)(8ab + m n) = = 8ab − m n 2 8ab + 7m n 8ab + 7m n b) Bài 3: x − x + a x − 12 x + x − 18 + a + 18 x( x − 3) + 6( x − 3) + a + 18 = = x − x − x −3 a) = 4x + + a + 18 x −3 a + 18. .. + 2) = x ( x − 2) ( x + 2) 8x = x + ( x − 2) ( x + 2) x + Vậy P= 8x x + x ≠ ±2 ; x ≠ −1 c) Tìm x để P < Với x ≠ ±2 ; x ≠ −1 , ta có P