Chuyên đề 3. Nguyên Hàm – Tích phân – Ứng dụng

Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Oy của tam giác đó. Lời giải tham khảo[r]

(1)

3A NGUYÊN HÀM

 Dạng 39 Nguyên hàm hàm đa thức, phân thức

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số   2

  x

f x x

A.  

2

4   

 f x dx x x C B.  

3

3   

 f x dx x x C

C.  

2

2   

 f x dx x x C D.  

2

2   

 f x dx x x C

Lời giải tham khảo

2

3

2

 

   

 

 

 x x dx x x C

Câu Tìm nguyên hàm của hàm số  

5

1 18

 

   

 

x

f x x

A  

6

1 18

 

   

 

 f x dx x C B.  

6

18

 

    

 

 f x dx x C

C.  

6

1

1 18

      

 

 f x dx x C D.  

6

1

1 18

 

    

 

 f x dx x C

Đặt

3

1 18  x 

t

Câu Cho f x 3x2 ,2 f 0 8. Hàm số y f x  là hàm số nào trong các hàm sau đây?

A. f x 2x23 8. B. f x   x22 4.

C. f x 6x24. D. f x   x23.

Sử dụng f x  f x dx 

Giả thiết f 0 8 giúp ta tìm được hằng số C

Câu Tìm giá trị của tham số m để hàm số F x mx3 3m2x2 4x3 là một

nguyên hàm của hàm số f x( )3x2 10x4.

A. m3. B. m0. C. m1. D. m2.

Áp dụng F x’  f x  và đồng nhất hệ số ta có m1.

(2)

Câu Tìm nguyên hàm của hàm số f x  13

x

A.   12

  

 f x dx C

x B.  

1

 

 f x dx C

x

C.   2

  

 f x dx x C. D.  f x dx  ln3 x C.

2

3

1 1

2 2



   

       



  x

I dx x dx C x C C

x x

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số

2

1 ( )

1   



x x

f x

x

A. ( )

1

  



 f x dx x C

x B.

1 ( )

( 1)

  



 f x dx C

x

C.

2

( ) ln

   

 f x dx x x C. D. ( )  ln 1 

 f x dx x x C.

. . . . . .

Câu Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

3



 

f x

x x

A ( ) ln 

 



 f x dx x C

x B.

2 ( ) ln

1 

 



 f x dx x C

x

C. ( ) ln 

 



 f x dx x C

x D.

1 ( ) ln

2 

 



 f x dx x C

x

(3)

Câu Tìm nguyên hàm F x  của hàm số  

4

2

2    x x

f x

x thoả mãn F 1 2.

A

3

2

3   3

x x

x B.

3

2

3   3

x x

x

C.

3

2

3   3

x x

x D.

3

2

9   

x x

x

. . . . . . .

Câu 9. Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số (2 2)

( 1)  



x x

y

x ?

A.

2

1   



x x

y

x B.

2

1   



x x

y

x

C.

2

1 



x y

x D.

2 1

1   



x x

y

x

. . . . . . .

Câu 10 Tìm nguyên hàm F x  của hàm số f x  thoả mãn   +

2

'  b ,

f x ax

x f' 1 0,

 1 4,

f f 1 2.

A.

2

1  

x

x B.

2

1  

x

C.

2 1 5

2  2

x

x D. Kết quả khác.

(4)

Câu 11 Tìm giá trị của tham số a để hàm số

2

3 ( )

2   



ax a F x

x là một nguyên hàm của

hàm số

 2

6 ( )

2  



f x

x

A. a 1. B. a1 hoặc a 3.

C. a3. D. a 1 hoặc a3.

. . . . . . .

Câu 12 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x21

x

A.  f x dx   ln x  1C

x B.  

1 ln

  

 f x dx x C

x

C  f x dx  ln x 1C

x D.  

1 ln

   

 f x dx x C

x

. . . . . . .

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )3x15.

A. ( ) 13 16

  

 f x dx x C. B. ( ) 3 16

18

  

 f x dx x C.

C. ( ) 3 15 18

  

 f x dx x C. D. ( ) 13 16

6

  

 f x dx x C.

. . . . . . .

(5)

 Dạng 40 Nguyên hàm hàm thức

Câu 14 Tìm nguyên hàm của hàm số f x x2 3 2 x

x

A  

3 ln 3    

 f x dx x x x C B.  

3 ln 3   

 f x dx x x x

C.  

3 ln 3    

 f x dx x x x C D.  

3 ln 3    

 f x dx x x x C

2 2 2

 

    

 

 

 x x dx x dx  dx  xdx

x x

1

2 2 2

3 ln

3

x dx  dx x dx x  x  x C

x

Câu 15 Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 1x 2

A.    

3 2   

 f x dx x C. B.    

3 2 1   

 f x dx x C.

C.    

3 2   

 f x dx x C. D.    

3 2 1   

 f x dx x C.

  1 1 212 1 2 12 1 2 11 232

2

          

f x x xdx x xdx x d x x C

Câu 16 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  +2x

A   23 2 +2

  

 f x dx x x C. B.   23 2 +2

3

  

 f x dx x x C.

C. ( ) 93 2 +2

  

 f x dx x x C. D. ( ) 33 2 +2

2

  

 f x dx x x C.

Ta có +2 3 +2  

1

2

( ) 3

9

     

 f x dx  x dx  x dx x x C

Câu 17 Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 1x 2

A.    

2 1   

 f x dx x C. B.    

3 1   

 f x dx x C.

C.    

2

1

  

 f x dx x x C D.    

2 1   

 f x dx x C.

 

2 2

1 1

2

   

x x dx  x d x  

2

1

 x x C

(6)

Câu 18 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  33x1.

A.  f x dx  (3x1) 33 x1C B.   33 1

3

  

 f x dx x C.

C.   1(3 1) 33 1

4

   

 f x dx x x C. D.   3 3 1

 f x dx x C

           

4

1

3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1

4

3 3

3

 

        

 f x dx  x dx  x d x  x d x x C

  13 13 3 1

4

 f x dx x x C.

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số   14

1

 



f x x

x.

A.   53 14 ln

3

   

 f x dx x x C. B.   3 14 ln

5

    

 f x dx x x C.

C.   3 14 ln

5

   

 f x dx x x C. D.   3 14 ln

5

   

 f x dx x x C.

2

3 14 14.1 33 14 ln 1

1

 

        

   

 

   

 x dx  x dx x x C

x x

(7)

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số  

1 



f x

x.

A.  f x dx  2 xC B.  f x dx  2 ln x1C

C.  f x dx  2 x 2 ln x1 C D.  f x dx  2 x 2 ln x1 C

. . . . . .

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số  

2 

 

f x

x nào sau đây là đúng?

A.  f x dx   2x 1 ln 2x 1 4C

B.  f x dx   2x 1 ln 2x 1 4C

C.  f x dx   2x 1 ln 2x 1 4C

D.  f x dx  2 2x 1 ln 2x 1 4C

. . . . . . .

Câu 22 Tìm nguyên hàm của hàm số   

f x

x x

A  f x dx  2 ln x1C B.   ln

1

 



 f x dx C

x

C.   2 ln  

 

 f x dx x C

x D.  f x dx  2 ln x x C

(8)

Câu 23 Tìm nguyên hàm của hàm số  

2 

 

f x

x x x x

A.      

 f x dx C

x x B.  

2   



 f x dx C

x

C.  

1

  

 

 f x dx C

x x D.  

2

  



 f x dx C

x x

. . . . . . .

Câu 24 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x2 k với k0.

A   ln

2

     

 f x dx x x k k x x k C.

B.   ln

2

     

 f x dx x k x x x k C.

C.   ln 2

   

 f x dx k x x k C.

D.  

2

1

 



 f x dx C

x k

. . . . . . .

Câu 25. Cho F x 3x 1 ax2 bx c  2 - 1x là một nguyên hàm của hàm số

  10 -

2 -   x x

f x

x trên khoảng

1 ;

 



 

 . Tính

  

S a b c.

A. S3. B. S0. C. S4. D. S2.

(9)

Câu 26 Tìm các giá trị của tham số a b c để , , F x (ax2 bx c ) - 3x là một nguyên

hàm của hàm số  

2

20 - 30 -

  x x

f x

x trong khoảng

3

;

      

A. a4, b2, c 2. B. a1, b 2, c4.

C. a 2, b1, c 4. D. a4, b 2, c1.

. . . . . . .

Câu 27 Trong các hàm số sau:

 I f x  x2 1  II f x  x2 1 5

 III  

2

1 



f x x

 IV  

2

1 - 



f x x

Hỏi hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F x( )ln x x2 1 ?

A.Chỉ  I B. Chỉ  III C Chỉ II D. Chỉ  III và (IV).

. . . . . . .

2

3

 

  

 

f x x

x

A   3 126 ln

5

   

 f x dx x x x x C. B.  

3

1

3

 

    

 

 f x dx x C

x

C.     2 

 f x dx x x x C. D.   3 ln 12

5

   

 f x dx x x x x C.

(10)

2

 

x f x

a x

.

A.    1 

 f x dx x C. B.   ln  

 f x dx a x C.

C.     

 f x dx a x C. D.  f x dx  ln a2 x2 C.

. . . . . . .

(11)

 Dạng 41 Nguyên hàm hàm lượng giác

Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin2x.

A.   sin

2

  

 f x dx x x C. B.   sin

2

  

 f x dx x x C.

C.   sin

2

  

 f x dx x x C. D.   sin

2

  

 f x dx x x C.

2 cos sin

sin

2



   

 xdx  xdx x x C.

Câu 31 Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin 2 x1.

A.  f x dx  cos(2x1)C. B.   1cos(2 1)

2 

  

 f x dx x C.

C.   1cos(2 1)

2

  

 f x dx x C. D.  f x dx   cos(2x1)C.

       

sin sin 2 cos

2

       

 x dx  x d x x C.

Câu 32 Tìm nguyên hàm F x  của hàm số f x  1 sin 3x thoả mãn  

    

F 

A. ( ) 1cos

3

  

F x x x  B. ( ) 1cos

3

  

F x x 

C. ( ) 1cos

3

  

F x x x  D. ( ) 1cos

3

  

F x x x 

  1cos

3

  

F x x x 

Câu 33. Tìm nguyên hàm F x  của hàm số f x 2x3 3x2  1 sin 2x thoả mãn  0 1

F

A  

4

1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x B.  

4

1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x

C.  

4 1 1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x D.  

4 1 1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x

   

2 sin 2 cos

4

     x  x   

F x x x x dx x x C

Vì F 0 1 nên 1cos 1

(12)

Câu 34. Cho f x 3 sin x và f  0 10. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f x 3x5 cosx2. B. f  3

C.

2  

    

f   D. f x 3x5 cosx.

f x  f' x dx3x5 cosx C ; f(0) 10 C 5

Vậy f x 3x5 cosx5 f  3.

Câu 35. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. cosx dxsinx C B. sinx dx cosx C

C. e dxx ex C. D. 12 tan

sin   

 dx x C

x

2

1

cot

sin   

 dx x C

x

Câu 36 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  1 cot2 x.

A.  f x dx  tanx C B.  f x dx   tanx C

C.  f x dx  cotx C D.  f x dx   cotx C

 

2

1

1 cot cot

sin

    

 x dx  dx x C

x

Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số f x xcosx.

A  f x dxxsin – cosx xC. B.  f x dx xsin – cosx xC.

C.  f x dxxsinxcosxC. D.  f x dx xsinxcosxC.

Đặt ux dv, cosxdx ta chọn ; dudx v, sin x

Do đó Ixsinx sinxdxxsinxcosx C

Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin x cos x5.

A   os2 os8

4 16

  

 f x dx c x c x C B.   1sin os8

4 16

  

 f x dx x c x C.

C.   os2 sin

4 16

  

 f x dx c x x C. D.   os2 os8

4 16

   

 f x dx c x c x C.

  os os

1 1

( ) sin sin 2

2 16

    

(13)

Câu 39 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  12 sin cos1

x x

x

A.   1cos2

 

 f x dx C

x B.  

1

sin

4

 

 f x dx C

x C.

  1cos1

4

 

 f x dx C

x D.  

1

sin

4

 

 f x dx C

x

Đặt t 

x.

Câu 40. Tìm nguyên hàm F x  của hàm số   12

cos  

f x

x thoả mãn F 0 1.

A. – tan x. B. 1 – tan x. C. 1 tan x. D. tanx1.

Lời giải tham khảo Chọn đáp án B

os2

( )   tan 

F x dx x C

c x F 0 1 nên C1

Câu 41 Tìm nguyên hàm của hàm số   cos2

 x

f x

x.

A  f x dx x   tanx+ln cosx C. B.  f x dx x   tanx+ln sinx C.

C.  f x dx x   tanx-ln sinx C. D.  f x dx x   tanx-ln cosx C.

. . . . . . .

3

4

sin cos  x

f x

x.

A.   13 cos cos

  

 f x dx C

x

x B.  

1

cos cos

   

 f x dx C

x

C.   13 cos cos

  

 f x dx C

x

x D.  

1

3 cos cos

  

 f x dx C

x x

(14)

Câu 43 Tìm nguyên hàm của hàm số   2 2

sin cos



f x

x x.

A.  f x dx  cotxtanx C B.  f x dx   cotxtanx C

C.  f x dx   cotxtanx C D.  f x dx  cotxtanx C

. . . . . . . .

 2

1

cos sin





f x

x x

.

A.   1tan

2

      

 

 f x dx x  C B.   1tan

2

     

 

 f x dx x  C

C.   1tan

2

      

 

 f x dx x  C D.   1tan

2

     

 

 f x dx x  C

. . . . . . . .

Câu 45 Cho in in

in in

s cos s

cos s cos s

   

     

    

 x  x x

I dx A B dx

x x x x Tính giá trị ,A B.

A.

2

 

A B B.

2

  

A B

C. 1,

2

  

A B D. 1,

2

  

A B

(15)

Câu 46 Tìm nguyên hàm của hàm số f x xsin 1x 2

A.   2

1 cos sin

      

B.   2

1 cos sin

      

C.    1 cos 1 sin 1  .

D.   2

1 cos sin

     

. . . . . . .

Câu 47 Xét các mệnh sau đây:

 I F x  x cosx là một nguyên hàm của  

2

sin - cos

2

 

  

 

x x

f x

 II  

4

6

x

F x   x là một nguyên hàm của   3

f x x

x

 

 III F x tanx là một nguyên hàm của f x  ln cosx Mệnh đề nào sai?

A  I và  II B. Chỉ  III C.Chỉ  II D. Chỉ  I và  III

. . . . . . .

Câu 48 Cho hàm số F x ex 2( tana 2x b tanx c là một nguyên hàm của  )

 

tan  x

f x e x trên khoản ;

2

 



 

 

 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.   1tan2 tan

2 2

 

    

 

x

F x e x x

B.   1tan2 tan

2 2

 

    

 

x

F x e x x

C.   1tan2 2tan

2 2

 

    

 

x

F x e x x

D.   1tan2 tan

2 2

 

    

 

x

(16)

. . . . . . .

Câu 49 Tìm nguyên hàm của hàm số f x tan2 x.

A.  f x dx  tanx x C  B.  f x dx  tanx x C 

C.  f x dx   tanx x C  D.  f x dx   tanx x C 

. . . . . . .

Câu 50 Tìm nguyên hàm của hàm số f x xcos x2

A.   1sin

 

 f x dx x C. B.   1s in

2

  

 f x dx x C.

C.   1s in 2

  

 f x dx x C. D.   1s in 2

2

 

 f x dx x C.

. . . . . . .

Câu 51 Tìm nguyên hàm của hàm số f x xsin2 x.

A.  

sin cos

2

   

 f x dx x x x x C. B.  

sin cos

4

   

 f x dx x x x x C.

C.  

cos

4

 

      

 f x dx x x x C. D.  

sin cos

4

   

 f x dx x x x x C.

(17)

Câu 52 Cho a0, C là hằng số. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. sinax b dx   1cosax b C

a B.    

1

cos    sin  

 ax b dx ax b C

a

C  

  

1



   



 ax b dx ax b  C

  D.

1

 

 

eax bdx eax b C

a

. . . . . . .

Câu 53 Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin 2xcosx.

A.  f x dx  cos 2xsinx C B.   1cos sin

2

   

 f x dx x x C.

C.  f x dx   cos 2xsinx C D.   sin2 sin 

 f x dx x x C.

. . . . . . .

Câu 54 Tìm nguyên hàm của hàm số f x x2 1 sin 2x

x

A  

3

1 ln | | cos

3

   

 f x dx x x x C. B.  

3

1 ln | | cos

3

   

 f x dx x x x C.

C.  

3

1 ln | | cos

3

   

 f x dx x x x C. D.  

3

1 ln | | cos

3

  

 f x dx x x x.

. . . . . . .

(18)

 Dạng 42 Nguyên hàm hàm mũ – lôgarit

Câu 55 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.    

 x    x 

y e F x e C. B.   

    x 

x

y F x e C

e

C.    

  x   x 

y e F x e C. D.   

     x 

x

y F x e C

e

 

  

e dxx e x C  Đáp án A đúng.

1  

   

ex dx e dxx e x C  Đáp án B đúng.

  

    

 e dxx e dx ex x C  Đáp án C đúng.

1  

      

 x dx  x dx e dxx e x C

e e  Đáp án D sai.

Câu 56 Tìm nguyên hàm của hàm số f x x e.x.

A.  f x dxx e.x –ex C. B.  f x dxxex ex C.

C.  f x dxx.ex e–x C. D.  f x d  xex x e.x C.

+  f x dx( ) x e dxx .

+ Đặt uxdudx và dve dxx ve x

+ Vậy  f x dx( ) x ex.e dx x ex  x e.x C

Câu 57 Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2xe x2

A.  f x dx  2ex2 C B.  f x dx  2x e2 x2 C

C.  f x dx e   x2 C D.  f x dx  2xex2 C

Đặt t x 2

Câu 58 Tìm nguyên hàm của hàm số   1 



x f x

e

A.  f x dx  xlnex1C. B.  f x dx    x lnex1C.

C.  f x dx    x lnex1C. D.  f x dx  xlnex1C.

Đặt t ex 1.

Câu 59 Tìm nguyên hàm của hàm số  

x

e f x

x

A  f x dx  2e x C. B.  

 

 f x dx e x C.

C.  

2

 



x e

f x dx C. D.  f x dx e   x C.

(19)

Đặt t  x .

Câu 60 Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?

 I  

1

ln

4

xdx

x C

x    

  II cot - 12 sin

xdx C

x

 



 III 2cos 2cos

sin

-2

x x

e xdx e C



A.Chỉ  I B. Chỉ  III C.Chỉ  I và  II D. Chỉ  I và  III

 

2

4

1

ln

2

4



   

 

 xdx d x x C

x x

 

2 cos sin cos cos cos

2

    

e x xdx e xd x e x C

Câu 61 Tìm nguyên hàm của hàm số   ln ln 

ln

 x

f x

x x

A.    

2

ln ln 2

 

 f x dx x C. B.    

2

ln ln

 

 f x dx x C.

C.    

2

ln ln 2

  

 f x dx x C. D.    

2

ln ln

2

 



x

f x dx C.

. . . . . . . .

Câu 62 Tìm giá trị của tham số a b để , F x   ax b e  x là một nguyên hàm của hàm số

   x

f x xe

A. a1, b1. B. a 1, b2. C. a2, b1. D. a 1, b1.

(20)

Câu 63 Tìm nguyên hàm F x  của hàm số   21

 x

f x xe thoả mãn  0

 e

F

A.

2 1

2





x

e

e. B.

2 1

2



x

e

e. C.

2 1

4





x

e

e. D.

2 1

4



x

e

e.

. . . . . . .

Câu 64 Tìm nguyên hàm của hàm số f x ex(2x e 3x).

A.   2 4

   

 f x dx xex ex e x C. B.   2

4

   

 f x dx xex ex e x C.

C.   2 4

   

 f x dx xex ex e x C. D.   2

4

   

 f x dx xex ex e x C.

. . . . . . .

Câu 65 Cho a0 và a1. C là hằng số. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a dxx ax.lna C B.

2

2 ln

 



x

x a

a dx C

a

C.  

a dxx a x C. D.  .ln

a dxx a x a C

. . . . . . .

(21)

 Dạng 43 Bài tập tổng hợp nguyên hàm

Câu 66 Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại?

A.

2 1

1  



x x dx

x B.

2 2 2

  

 x x dx

C. sin 3xdx. D.

e xdxx

Trong ý B biểu thức trong căn ln âm nên hàm khơng liên tục dẫn đến khơng có ngun hàm

Câu 67 Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng a b; . Giả sử

( )

G x cũng là một nguyên hàm của f x  trên khoảng a b; . Mệnh đề nào dưới đây là

đúng?

A F x G x trên khoảng a b; .

B G x F x –M trên khoảng a b;  với M là một hằng số nào đó

C F x G x C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định.

D. F x  và G x  là hai hàm số khơng có sự liên quan.

Câu 68. Ngun hàm nào dưới đây khơng tồn tại?

A.  

2

2   



x x

f x

x B.  

2

   

f x x x

C. f x s in3 x D. f x xe3x.

Ta có: x2 2x 2  x 

Vậy khơng tồn tại

2

x x

  

nên không nguyên hàm  x22x2dx

Mặt khác:biểu thức :

2

1

x x

x

 

 có nghĩa  x ≠ 1, biểu thức: sin 3x;

3x

(22)

.

(23)

3B TÍCH PHÂN

 Dạng 44 Tích phân hàm đa thức, phân thức

Câu 1. Tìm các giá trị của b sao cho

0

(2 4)

b

x dx



A.  5 B. 1;5. C.  1 D. 1; 4.

2

0

1

(2 4) ( ) 5

5

b

b b

x dx x x b b

b

  

          

 



Câu 2. Cho     

1

3 ln(2 1)

I x x x dx. Tìm giá trị của a biết I blna c với , ,a b c

là các số hữu tỉ.

A. a 3 B. a 3. C. 

a D.  2

3

a

     

            

1 1

2

1

0 0

3 ln(2 1) ln(2 1)

I x x x dx x x dx x dx I I

Giải I2 bằng phương pháp từng phần  

 

ln(2 1)

u x

dv dx

 3ln3 1  3

I a

Câu Tính tích phân



  

0

2

1

( 1)

I x x dx.

A. 70  

I B.

60  

I C.

15 

I D.

60 

I

(24)

1

5

(1 )  x

I x dx.

A. 42  

I B.

42 

I C.

6  

I D.

6 

I

. . . . . . .

Câu Tính tích phân    

1 1000

3

0

3 ( 1)

I x x x dx.

A. 

1001

4 3003

I B. 

1001

3 3000

I C. 

1000

4 3000

I D. 

1001

3 3003

I

. . . . . . .

2

1

4 

 x x

I dx

x

A. 29

2

I  B. 11

2

I  C. 11

2

I  D. 29

2

I  

2 2

1

4 11

( 4)

2 

x x   

I dx x dx

x

Câu 7. Cho

5

1

ln 1

 dx a

x . Tính giá trị của a

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

5

1

ln(2 1) ln ln

2 1   

 dx x

x

Câu Tính tích phân 2

0

1 





I

x

A. 

I  B.

4  

I  C.

2 

I  D.

6 

I 

(25)

Đặt ; , tan , t

2   

 

x t   viết tích phân theo biến t và các cận mới 0,

 

t t  rồi tính

tích phân mới nhận được.

Từ xtant ta có:  

1

1 tan cos

  

dx dt t dt

t

Do đó:   4

0

2

0 0

1

tan |

4

1 tan

     

 

  

I dx t dt dt t

x t



 



Câu Cho     



1

0

2

ln

x x

dx a b

x Tính Pa b .

A. 21  

P . B 21

4 

P . C

21  

P . D.

21 

P

     

2 ln

2 2

x x

dx

x

Câu 10 Tính tích phân

1 16 10    x I dx e

A. 16

10 ln



I e. B.

2 16 2 10 ln   e I

e

C. 15 2 10 ln   e I

e D.

2 16 10 ln   e I e . . . . . . .

Câu 11 Cho

2 15 ln dx

x  xk 

 Tính giá trị của k.

(26)

Câu 12 Tính tích phân  

 

8

10

3

2  



 x

I dx

x

.

A.

18

9

3 63.3

 

I B.

18

9

3 63.3

 

I C.

18

9

3 63.3   

I D.

18

9

3 63.3

  

I

. . . . . . .

2

1

2  5  

e

x x

I dx

x

A.I 4 e7e8. B. I 7 e4e8. C.I 8 e7e4. D. I 4 e7e8.

. . . . . . .

2

5

I x x dx.

A. 42 13  

I B. 13

42 

I C. 13

42  

I D. 42

13 

I

(27)

 Dạng 45 Tích phân hàm thức

1

2

0

1

I x x dx.

A. 

I B.

8 

I C.

4 

I D.

16  

I

Đổi biến số Đặt x sint, đổi cận

0              t x

x t

4

0

2

 

 

x

I x x dx.

A. 478 15

I  B. 448

15

I  C. 408

15

I  D. 378

15

I 

Đặt t  2x1

2

t

t x x  tdt dx

      

4 t=3 x=0 t=1

x  



2

2 1

2 4

2 2

     

       

 

t t t t

x x

 

4

3

4

1

2

3

1 478

2 . 2 1

1

2 15

                  t t t t

I t dt t t dt t

t

2 2    x I dx x

A.

4

 

I B.

8

 

I C.

8

 

I D.

4

 

I

Đặt xsint khi đó dxcostdt

Đổi cận: với 0;

2

x  t x  t 

Ta có:

2

4 4

2

0 0

sin os sin os

(1 os2t)

1 sin cos

   



  

  

tc t tc t

I dt dt c dt

t t

4

1 1

sin

2

 

     

 



t t

(28)

Câu 18 Tính tích phân 





3

2

0

x

I dx

x

.

A

I  . B.

3

I   C.

3

I  D.

3

I  

Đặt u= x2 1 u2  x2 1 udu xdx x=0  u= ; x=  u=





3

2

0

x dx x

=  

2

1

(u 1)du =   

 

3 2

1

u

u = 4

3.

7 3





 x dx

I

x

A. 141 10  

I B. 141

10 

I C. 141

20 

I D. 47

10  

I

. . . . . . . .

Câu 20 Tính tích phân  

2

3

0

min ;

I  x x dx.

A. 

I . B.

5  

I . C.

4  

I . D.

4 

I

(29)

5

0

4   

I x x dx

A. 19 

I B. I 1. C. 19

3  

I D. 28

3  

I

. . . . . . . .

2

0

4

 

I x dx

A.

2

1

 

I B.

2

1

 

I C.

2 

I D. I .

. . . . . . . .

Câu 23. Tính tích phân

1

2

0

3

 

I x x dx

A. 

I B.

9 

I C.

9 

I . D. I 1.

. . . . . . . .

(30)

 Dạng 46 Tích phân hàm lượng giác



tan

6

0

I xdx

A. ln3 

I B. ln

2 

I C. ln2

3 

I D. I ln 2.

 

  



      

tan  

6 6

0 0

sin

cos ln cos 6 ln

cos cos

0

x

xdx dx d x x

x x





0

.sin x

I x dx.

A. 

I B. I 0. C. I . D. I 1

  

 



 x         inx 

0

0 0

.sin (cos ) cos cos ( cos s )

I x dx xd x x x xdx x

Câu 26 Tính tích phân  os 

2

3

0

1 sin  

I c x xdx

 A. 15 

I B. 15

4  

I C. 15

2 

I D. 15

2  

I

Đặt tc xos  1 dt sin dx x. Đổi cận 2; 1;

     

x t x  t

1 2 15 4

   t 

I t dt

Câu 27. Tính tích phân 4 

0 sin

 

I x x dx



.

A.

8

 

I  B.

2

 

I  C.

8

 

I  D.

8

 

I 

      4 4 0 2

2 sin : : 1

sin cos

1 1 1

2 cos cos cos sin

4 4

                                       du dx u x

I x x dx Đăt ta có

dv x dx v x dx

I x x x dx x x x

(31)

Câu 28 Tính tích phân cos  

I x xdx

A.

2  

I B.

2  

I C.

2 

I D.

2  

I

Đặt

os d sin

   



 

 

 

u x du dx

dv c x x v x x

2

0

sin sin cos

2

Ix x  dx  x  



   

Câu 29 Tính tích phân sinx

cos 

I e xdx

 A. 2 

I e B.

2

2 1

 

I e C.

2

2 1

 

I e D.

2 1 



I e

Ta có in   in

in

2

s s 4 2

0

s

  x  x  

I e d x e e



.

     2

sin cos

I x xdx

A. I  0. B. I 1. C.

I  D.

6

I 

2

sin cos



  

I x xdx



.



 2

0

sin cos

I x xdx

A 

I B.

3 

I C.

8 

I D.

4 

I

2 2

0

0 0

1 1

sin cos sin (1 cos ) ( sin )

4 8



  



        

I x xdx xdx x dx x x

  2 sin cos

I x xdx

A 15 

I . B.

15 

I C.

13 

I D.

15  

I

 

 

2

2 2

sin cos sin cos cos

(32)

Đặt tsinxdtcosxdx; Đổi cận x0 t 0;   1

x t

Do đó        

 



1

2

0

2

3 15

t t

I t t dt

Câu 33 Tính tích phân ( sin )

I  x x dx.

A.

3

I   B.

2

3

I   C.

3

5

I    D.

2

5

I   

. . . . . . . .

sin cos 



 x

I dx

x



.

A. 1 2

 

I B. 1 2

3

 

I C. 1 2

2

 

I . D. I  2.

. . . . . . .

Câu 35 Để tính

3

2

6

tan cot

  

I x x dx



. Một bạn giải như sau:

Bước 1:  

3

2

6

tan cot  

I x x dx



Bước 2:

3

6

tan cot  

I x x dx



Bước 3:  

3

6

tan cot  

I x x dx



Bước 4: os2 sin2

3

6

2  c x

I dx

x



Bước 5:

3

ln sin 2 ln

2

  

I x



 Bạn này làm sai từ bước nào?

(33)

. . . . . . .

Câu 36 Biết

2

cos 3 

 

 x

x

dx m



. Tính giá trị của

2

cos



 

 x

x

I dx



.

A. I  m. B.

 

I  m. C. I m. D.

4

 

I  m.

. . . . . . .







2

2 cos 2sin

x

I dx

x

A. ln5

I B. ln3

5

I C. I 5 ln 3. D. I 3 ln 5.

. . . . . . .

3

2

1 sin sin  



x

I dx

x

A. 2

 

I B. 2

2

 



I . C.

2  

I D. 2

2

 



I

(34)

Câu 39 Tính tích phân in3

cos

3

0

s  x

I dx

x



.

A.

3 

I B.

2  

I C.

2  

I D.

2  

I

. . . . . .

Câu 40 Cho

   

     



4

3

sin

4

cos 2

x

dx m

x . Tính

1  

P m

A.

4  

P . B.

4 

P . C.P0. D. P1.

. . . . . .

Câu 41 Tính tích phân  





2

0

max sin ; cosx

I x dx

A. I 1. B. I  2. C. I  D. I 2.

. . . . . . .

2

0

cos xdx





A.



. B.

4



. C.

3

2



. D.

3



(35)

 Dạng 47 Tích phân hàm mũ – lơgarit

2

0

2

 e dx x

A e 4 B. e4 1. C. 4e 4 D. 3e 4

2

0

2  1

 e dxx e

Câu 44 Cho

1

0 

 x

I e xdx Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A   e

I B.

2 

 e

I

e C.

1   e

I D.

2   e

I

e

Đặt

2

   

t x dt xdx

1

0

1 1

1

2 2



  

     

 

e x xdx e dtt e

e e

2



  x

I x e dx

A. 3 2 1

 

I e B. 2(1 2)

  

I e C. I 52 3

e D.

1

 

I

e

Đặt   2 

  



 x x

u x du dx

dv e dx v e

   

 

0 0

2

0

2 2

2

5

2 3



 

    

       

 x x  x

x x

I x e dx x e e dx

x e e

e e

1

ln 

e

I xdx.

A. I 4. B. I 3. C. I 2. D. I 1.

1

ln

e

I  xdx; Đặt u lnx

dv dx      ta có du dx x v x        , khi đó

1 1

1

.ln ln ( 1)

e

e e e

I  x x dxx x x  e e 

e

1

.ln 

I x x dx.

A.   e

I B.

2   e

I C.

  e

I D.

2   e I

(36)

Ta có: d d

2

2 1

1

ln 1

ln

2

1                      e e du dx

u x x e

I x x x x

dv x x

v x

.

1

ln

e

I  x xdx.

A. 2 2

 

I e e . B. 2 2

 

I e e C. 2 2

9

 

I e e . D. 2 2

 

I e e

Tích phân từng phần :

3 2 ln                  du dx u x x

dv x dx v x

1

ln 

e

I x xdx.

A.   e

I B.

3

2

  e

I C.

3 2

9   e

I D.

3 2

9   e

I

Tính

3

2

1 1

1

ln ln

3

            e e e x e

I x xdx x x dx

1

( 1) ln d

 

e

I x x x.

A.   e

I B.

2

3

 e

I C.

2

3

  e

I D.

2  e I

Sử dụng cơng thức tính tích phân từng phần ta có:

2 2 2

1 1 1

1

( 1) ln d ln

2 2 4

                              e e e e

x x e x e

I x x x x x x dx e x

x

Câu 51 Cho

.ln( 1)

 

e

I x x dx

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 2ln

18

  

I B. 3ln

18

  

I C. 2ln

18

 

I D. 2ln

18

  

I

Đặt   3

2

1

3 d d d                    du x

u ln x

v x x

v x x ln( 1)   e

I x x dx

3

ln( 1)

 x x

1 3  

 x dx x 1 ln  3  

 x dx

(37)

Tính

3

0 1

 x dx x 1    

x dx

x  

2 1           

 x x dx

x ln   ln( 1)   e

I x x dx 1ln

3

 ln

3         ln 18   

Câu 52. Tính tích phân  

3 ln

 

I x x dx

A. 12 ln ln 11

  

I B. 12 ln ln 11

2

  

I

C. 12 ln ln 11

  

I D. 12 ln ln 11

2

  

I

   

4

3

2

1

ln

2 ln : :

2 4

                  

 u x du dx

I x x dx Đăt ta có x

dv x dx v x

            4 2 3

4 ln ln

2 11

12 ln ln                    x

C x x x dx x x x

Câu 53 Cho m là một số dương và

0

(4 ln ln 2)  

m

x x

I x dx Tìm m khi I12.

A m4. B. m3. C. m1. D. m2.

. . . . . . . Câu 54. Tính tích phân ln  e x I dx

x

A. 2   e

I B.

2

1

  e

I C.

2 

I D.

2  

I

(38)

1

1 ln 

e

x

I dx

x

A. I 2. B. I 1

e. C. Ie. D.

3 

I

. . . . . .

Câu 56 Tính tích phân 2

1

ln 

e x

I dx

x

A. I  1

e. B.

2  

I

e C.

1

 

I

e. D.

1

 

I

e.

. . . . . . .

2

5

ln

 x

I dx

x

A 15 ln

256  

I B. 14 ln

256  

I C. 13 ln

256  

I D. 15 ln

256  

I

. . . . . . .

1

0

1

x

e x

I dx

xe

 





A.  2

ln

 

I e B.  

ln

 

I e C. I ln 1 e. D. I lne1.

(39)

Câu 59 Biết

0

1 x

x

dx a

e 



 Tính giá trị của tích phân

0

1 x

x

I dx

e

 



A.

I  a. B. I  1 a. C.

3

I  a. D. I  1 a.

. . . . . . .

1

ln

 





e x

I dx

x x

A. I ln(e1). B. I ln(e1). C. I  ln(e1). D. I ln(1e).

. . . . . . .

1

2 ln

e

x

I dx

x





A. 2 3  

I B. 3 2

3  

I C. 3 2

2  

I . D. 3 2

3  

I

. . . . . . .

1 2

0

 x

I x e dx.

A.

2

4  e

I B.

2 1

4   e

I C.

2 1

4   e

I D.

4 

I

(40)

3

2

3 ln

( 1)

 



 x

I dx

x

A. 3(1 ln 3) ln

  

I B. 3(1 ln 3) ln

4

  

I

C. 3(1 ln 3) ln

  

I D. 3(1 ln 3) ln

4

  

I

. . . . . .

2 sin

0

.cos

x

I e x xdx



 

A.

2

  

I e B.

2   

I e C.

2   

I e D.

2   

I e

. . . . . .

ln







x

e

I dx

e

.

A 22 

I . B 19

3 

I . C. 23

3 

I . D. 20

3 

I .

. . . . . .

1

(2 1) ln

 

e

I x xdx.

A. I e2 3. B.

2

1

  e

I C.

2

 

I e D.

2

3

  e

I

(41)

 Dạng 48 Bất đẳng thức tích phân

Câu 67 Tìm giá trị a dương để  2

a

xx dx

 đạt giá trị lớn nhất.

A. a 1. B.

a  C. a 2. D.

2

a 

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f a , có f a a a a0.

Câu 68 Tìm các giá trị thực m1 sao cho  

1

ln 1 

 x dx m



A. m e 1. B. me 2 C. m2 e D. me

Tính tích phân  

1 ln 1

m x dx theo tham số m, sau đó tìm m từ phương trình Im.

Câu 69 Tìm số dương k nhỏ nhất thỏa mãn

1

0

0  

 x kdx

A. k 3. B. k4. C. k1. D. k2.

*

k

   ,  x 0; , 2 x k 0, do đó

0

0,  

 x kdx   k *. Suy ra số nguyên dương k

nhỏ nhất thỏa mãn bài ra là k1.

Câu 70 Gọi S là tập hợp các số nguyên dương kthỏa mãn điều kiện

1

ln

e

k dx e

x  

 Tìm

S.

A. S 1; 2;3. B. S  1; C. S 2;3. D. S  .

Tính tích phân theo hằng số k, rồi tìm k ngun dương từ điều kiện.

Câu 71 Cho

1

0

dx I

x m





 , với m0. Tìm các giá trị của tham số m để I 1.

A 0

m

  . B.

4

m  . C. 1

8m 4. D. m 0.

(42)

 Dạng 49 Bài tập tổng hợp tích phân

4

3



   

I x x dx

A. 19

 B. 19

2 C.

28

6 D. 19

1

2 2

1

3 3

1

( 2) ( 2) ( 2)

3 3 19

2 2

3 3 2



        

     

            

     

  

I x x dx x x dx x x dx

x x x x x x

x x x

1

2 2



  x  x

I dx

A. I 2 ln 2. B.

ln 

I C. Iln 2. D.

ln 

I

Đặt t2x hoặc có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm kết quả.

2 2

1



 

J x dx

A. 3. B. 4. C. 9. D.

2

.

Xét dấu x2 1 trên đoạn 2; 2

x -2 -1 1 2

2

1 

x + 0 - 0 +

     

2 1

2 2

2 1

1 1

I x dx x dx x dx x dx



  

       

3 1 1 2

4

2 1

3 3

x x x

     

         

 

     

.

Câu 75 Cho

10

0

( ) 17,

 f z dz

8

0

( ) 12

 f t dt Tính

10

8

3 ( ) 

 f x dx

A. -15. B. 29. C. 15. D. 5.

10

8

( ) 5

 f x dx nên

10

8

3 ( ) 15

  

 f x dx

(43)

Câu 76. Cho hàm số f x  liên tục trên 0; 10 thỏa mãn

10

0

( ) 7; ( ) 3

 f x dx  f x dx Tính

2 10

0

( ) ( )  

P f x dx f x dx

A. P3. B. P2. C. P4. D. P1.

Ta có:

10

0

( )  (10) (0)7; ( )  (6) (2)3

 f x dx F F  f x dx F F

2 10

0

( ) ( ) (2) (0) (10) (6)

        

P f x dx f x dx F F F F

Câu 77 Cho ( )







a

f x dx . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f x là hàm số chẵn. ( ) B. f x( )

là hàm số lẻ.

C. f x không liên tục trên đoạn ( )  a a; . D. Các đáp án đều sai.

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 

            

   

a a a

a a

f x dx f x dx f x dx f x f x dx f x f x f x lẻ.……

Câu 78 Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số 12

sin x và đồ thị hàm số yF x  đi

qua ;      

M  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.   cot  

F x x. B. F x  3cotx.

C.   cot  

F x x. D. F x  cotx C

(44)

Câu 79 Cho e2xcos 3xdxe2xacos 3x b sin 3xc, trong đó , ,a b c là các hằng số. Tính

tổng a b

A.

13

  

a b B.

13

  

a b C.

13

 

a b D.

13

 

a b

. . . . . . .

Câu 80 Trong Giải tích, với hàm số y f x liên tục trên miền ( ) D[ , ]a b có đồ thị là một đường cong C thì độ dài của C được xác định bằng cơng thức

 2d

1 ( )

b 

a

L f x x

Tính độ dài của đường cong C cho bởi

2

ln  x 

y x trên 1; 2.

A. 3 ln

8  B.

31 ln

24 C.

3 ln

8 D.

55 48.

. . . . . . .

Câu 81 Cho

3

2

3 ln

(ln 1) ln

( 1)



   



 x

I dx a b

x với , a b  Tính giá trị biểu thức T 4a2b.

A. 4. B. 7. C. 5. D. 6.

. . . . . . .

(45)

3C DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

 Dạng 50 Tính diện tích hình phẳng

Câu 1. Cho hàm số y  f x  liên tục trên đoạn a b; . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y f x  trục hồnh và hai đường thẳng xa x, b Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A   

b

a

S f x dx B.  ( )2

b

a

S f x dx C.   

b

a

S f x dx D.   

a

b

S f x dx

Câu Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờ thị của hai hàm sớ y f x ,

 



y g x và các đường thẳng xa x, b Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.     

b

a

S f x g x dx B.     

b

a

S f x g x dx

C.     

b

a

S f x g x dx D.     2

b

a

S f x g x dx

   

 

b

a

S f x g x dx

Câu Cho hàm số f x  xác định và đồng biến trên 0; 1 và có 1  

    

f Cơng thức tính

diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y1  f x ; y2 f x( ) ;2 x1 0;

2 1

x ?

A.       

1

2

(1 ( ))  1

 f x f x dx  f x f x dx

B.      

1

2

0

( ) 

 f x f x dx

C.    

1

2

0

( ) 

 f x f x dx

D.       

1

2

1 ( )  ( ) 1

 f x f x dx  f x f x dx

Công thức tổng quát ứng dụng y1  f x y( ); 2 g x x( ); 1 a x; 2 b a( b) là:

( ) ( )  

b

(46)

Do f x đồng biến nên ta có: ( )

 

1

2

0

1

1 ; ( ) 1 ( ) ( ( )) ( ( )

2    )( 1)

      S  f x f  

f x x f x x x dx f x f x dx

1

2

( ) (1 ( )) ( )( ( ) 1)  f x  f x dx f x f x  dx

Câu 4. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx và 2 yx2.

A. 

S B.

2 

S C.

2 

S D. 15

2 

S

2

1

9

2



    

S x x dx

Câu Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx và đường thẳng 2

2 

y x

A 

S B.

2 

S C.

3 

S D. 23

15 

S

2

2      

 

x

x x

x

2

0

4

3 S x  x dx

Câu Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y2x và 2 yx.

A. S5. B. S7. C. 

S D. 11

2 

S

Giái phương trình hồnh độ 2x2 xx 1 x 2 Áp dụng cơng thức diện tích (Bấm máy ).

Câu Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x và 2 y 2x4.

A. 13 

S B. S9. C. 13

3 

S D.

9 

S

Phương trình hồnh độ giao điểm của y 2x và 2 y 2x4 là:

2

2 2

2              

 

x

x x x x

x

 

2

2 2

1

2

2 2 4

3 

 

  

            

 

 

S x x dx x x dx x x x

Câu 8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( ) :P y3x , đường thẳng 2

2 3,   

y x trục tung và x1.

A. 

S (đvdt). B. 

S (đvdt). C.  

S (đvdt). D.

4  

S (đvdt).

(47)

Phương trình hồnh độ giao điểm: 3 2 3 2 0

2           

 

x

x x x x

x

Diện tích cần tìm được tính bằng cơng thức sau đây:

 

1 2 2

0

1

3

0

2

4

2

3 3

   

    

 

S x xdx x xdx

x x x x

x đvdt

Câu 9. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx3 3x và yx.

A. S12. B. S4. C. S6. D. S8.

Ta có PT hoành độ giao điểm

0

4

2   

   

   

x

x x x

x

Diện tích    

0

3

2

4 4



        

S x x dx x x dx

Câu 10 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3 x và yx x 

A. S12. B. S37. C. 37 12 

S D. S11

3      0;  2; 1

x x x x x x x

0

3

2

37

2

12



       

S x x x dx x x x dx

(48)

Câu 11. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 3x3 và

đường thẳng y5.

A. 

S B. 45

4 

S C. 27

4 

S D. 21

4 

S

. . . . . .

Câu 12. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx4 2x2 1 và trục

hoành.

A. 16 15 

S B.

15 

S C.

15 

S D. 15

8 

S

. . . . . .

Câu 13 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y5x4 3x2 8, trục

Ox trên đoạn 1; 3.

A. S100. B. S150. C. S180. D. S200.

. . . . . .

Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đườngy x2 4x3 , yx3.

A. 197 

S B. 109

6 

S C. 56

3 

S D. 88

3 

S

(49)

Câu 15. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y x; 2 và đường thẳng x1 bằng

A. S e ln 4 B. S e ln 4

C. S e ln 4 D. S e ln 4

. . . . . .

Câu 16 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yln ,x x1,xe

e và

trục hồnh.

A. S 1

e. B.

1 1       

S

e C.

1 1       

S

e D.

1  

S

e.

. . . . . . .

Câu 17. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

1  

 

x y

x và hai trục

toạ độ.

A. Sln – 1. B. Sln 2. C. Sln 1. D. S2 ln 1.

. . . . . . .

Câu 18. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y1 x

x , y2, y0,

0 

x

A. S– ln 3. B. Sln 3. C. S2 ln 3. D. S 2 ln 3.

(50)

Câu 19 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

2   x x

x

y , y0,

2,   

x x

A – nl 16 

S B. l n

4

 

S C. l n

6

 

S D. l

1 n

4

 

S

. . . . . .

Câu 20 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 ,

 



y y

x

A.

2

 

S  B.

2

 

S  C.

6

 

S  D.

6

 

S 

. . . . . .

Câu 21. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx 1x2 , trục Ox và

đường thẳng x1.

A. 2

3  

S B.

3 

S C. S2 1 D. 2

3  

S

. . . . . .

Câu 22. Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường  P : y –x22, y0,

0,  

x x Tính tọa độ điểm M nào trên  P mà tiếp tuyến tại đó tạo với  H một hình thang có diện tích nhỏ nhất.

A. 9;      

M B. 7;

2      

M C. 1;

2

 



 

 

M D. Khơng tồn tại điểm M.

(51)

Câu 23 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx2 4, y0, x3,

0 

x

A S15. B. S18 . C. S20. D. S22.

. . . . . . .

Câu 24 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx2 2 ,x yx

A. 

S B.

2 

S C. 19

2 

S D. 11

2 

S

. . . . . . .

(52)

(53)

3D THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY (CĐ 17)

 Dạng 51 Tính thể tích khối trịn xoay

Câu Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo quay hình cong, giới hạn đồ thị hàm sốy f x , trục Ox hai đường thẳng xa x, b a b quay xung quanh

trục Ox Mệnh đề đúng?

A    

b

a

V  f x dx B  2 



b

a

V f x dx C  2 



b

a

V  f x dx D   

b

a

V f x dx

Câu Cho hình phẳng  H giới hạn đường y 3 ;x yx x; 0 ; x1 Tính thể tích V vật thể tròn xoay  H quay quanh Ox

A. 

V  B

2

8 

V  C V 82 D V 8

Xét hình thang giới hạn đường: y3 ;x yx x; 0 ; x1

Ta có:    

1

2

0

8

3

   

V  x dx x dx 

Câu Cho tam giác giới hạn ba đường yx x, 1, trục Ox Tính thể tích V khối trịn xoay tạo phép quay quanh trục Oy tam giác

A 

V  B

3 

V  C V  D

3 

V 

Thể tích hình cần tính thể tích khối trụ trừ thể tích khối nón

Câu Thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường

2

1  

y x , y0 quanh trục Ox có kết dạng a

b



Tính a b

A a b 11 B a b 17 C a b 31 D a b 25

1

2

1

16

(1 )

15



 

 x dx 

 Nên a16, b15, a b 31

Câu Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y2x , trục 2 Ox hai đường thẳng

1,   

x x xung quanh trục Ox

A

0

2

1

(2 )



  

V  x dx B

0

2

1

(2 )



  

V x dx

C

0

2

(2 )

  

V  x dx D

0

2

  

(54)

0

2

1

(2 )



  

V  x dx

Câu Tính thể tích V hình khối hình phẳng giới hạn đường

2

4 ,

   

y x y x quay quanh trục Ox

A V 14 B V 15 C V 16 D V 17

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số:

2

4

1        

 

x

x x

x

Thể tích cần tìm:      

1 2 2 2

2 2

1

4 12 16

 

 

      

 

 

 

V  x x dx  x dx  đvtt

Câu Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y x2 3 ;x y  x quay quanh trục Ox

A 56 15 

V  B

15 

V  C 56

15  

V  D 56

5 

V 

Phương trình hồnh độ giao điểm tìm được x0; x 2

Gọi V1; V2 Tính được thể tích phần là 32 ;

5

 

56

15

V  

Câu Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2x x , trục hồnh Tính  thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox

A. 16 15 

V B

3 

V  C

3 

V D 16

15 

V 

Phương trình HĐGĐ    

 

x x

   

2

2 2

2 4

0 0

4 16

2 4

3 15

 

           

 

  x x

V  x x dx  x x x dx  x 

Câu Tính thể tích V khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường

2 4 4, 0, 0, 3

     

y x x y x x quay quanh trục Ox

A 33 

V  B 33

6 

V  C 33

5 

V  D 33

4 

V 

 

3

4

0

33

5    

(55)

Câu 10 Gọi  H hình phẳng giới hạn đường yx2 1 y4x2 Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng  H quanh trục Ox

A 

V  B 248

3 

V  C 224

15 

V  D 1016

15 

V 

2

1 4

3           

 

x

x x x x

x

   

 

3

2

2 2

1

224

4

15

     

V  x x dx 

Câu 11 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường yx2 1, x0 tiếp tuyến với đồ thị hàm số

2 1

 

y x điểm 1; 2

A 15 

V B

15 

V  C

15 

V D 15

8 

V 

Viết phương trình tiếp tuyến, vẽ hình xác định miền cần tính diện tích, sử dụng máy tính cầm tay để tìm kết

Câu 12 Tính thể tích V khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường thẳng

1

, 0, ( 1)

2

   

y y x a a quay quanh trục Ox

A 11  

V

a B

1       

V

a  C

1       

V

a  D

1       

V

a

2

1

 

   

 



a dx V

a x

 

Câu 13 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x0;x biết thiết diện vật thể với mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

(0x) tam giác có cạnh 2 s xin

A V  B

3 

V  C V 2 D V 2

(56)

Câu 14 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x0,x2, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x

0x2 nửa hình trịn đường kính 5x2

A V 4 B V  C V 3 D V 2

Câu 15 Tính thể tích V vật thể giới hạn hai mặt phẳng x0 x3, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0x3 hình chử nhật có kích thước x  x 2

A V 16 B V 17 C V 19 D V 18

Câu 16 Cho hình phẳng  H giới hạn đườngy x1, trục hoành x4 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H quanh trục Ox

A 

V  B

2

7 

V  C

6 

V D

3 

V 

Câu 17 Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục hoành y 1x2, y0.

A 31416

20001 

V B

3 

V  C

2 

V  D

2 

V

(57)

Câu 18 Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường yx ln(1x2), trục Ox đường thẳng x1

A 1ln

3

 

    

 

V   B 1ln

3

 

    

 

V  

C 1ln

 

    

 

V   D 1ln

3

 

    

 

V  

Câu 19 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo phép quay quanh trục Oy hình

phẳng giới hạn đường 22 , 0, 1

  



y

x y y

y

A

3 

V  B

2 

V  C

4 

V  D

2 

V 

Câu 20 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn

đường sin cos , 0, 0,

    

y x x y x x  quay quanh trục Ox

A

2        

V   B

2        

V  

C

2        

V   D

2

 

   

 

V  

(58)

Câu 21 Cho hình phẳng  H giới hạn đường ysin ,x x0,y0,x Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình  H quay quanh Ox

A V 2 B

2

2 

V  C

2

4 

V  D

2 

V 

Câu 22 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường ln , 1, 2,

   

y x x x y quay xung quanh trục Ox

A V 2 ln 2 ln 1    B V ln 2 ln 12   

C V 2ln 2 ln 12    D V ln 2 ln 12  

Câu 23 Cho hình phẳng  H giới hạn đường: yxln , yx 0,xe Tính thể tích

V khối trịn xoay tạo thành quay hình  H quanh trục Ox

A

3

(5 -2) V=

28

e



B

3

(5 -2) V=

25

e



C

3

(5 +2) V=

27

e



D

3

(5 -2) V=

27

e



Câu 24 Tính thể tích V khới tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường  x

y e , trục tung và ye quay quanh trục Ox

A V (e2 1). B ( 1)

2   e

V  C V (e2 2). D ( 1)

2   e

V 

(59)

Câu 25 Tính thể tích V khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  x

y e , trục hoành hai đường thẳng x0, x3 quay quanh trục Ox

A  

6

1

2 

 e

V  B  

6

1

2 

 e

V C  

6

1

2 

 e

V  D  

6

1

2 

 e

V

Câu 26 Cho hình phẳng A giới hạn đường , 

 x  x

y e y e x1 Tính thể tích

V khối trịn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hoành

A

2

1 2



 

    

 

e e

V  B

2

1 2



 

    

 

e e

V 

C

2

1 2



 

    

 

e e

V  D

2

1 2



 

    

 

e e

V 

Câu 27 Cho hình phẳng A giới hạn đường cong có phương trình

1 2.

 x

y x e đường thẳng x1,x2 trục hoành Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay A quanh trục hoành

A

4

 

V e e B

4

 

   

 

V  e e

C

4

  

V e e D

4

 

   

 

V  e e

(60)

Câu 28 Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x e , trục hồnh x đường thẳng x1 Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H xung

quanh trục Ox

A  1

4

 

V  e B  1

4

 

V  e C  1

2

 

V  e D  1

2

 

V  e

Câu 29 Tính thể tích V hình khối hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y xe , x

trục tung, trục hoành, x2 quay quanh trục Ox

A 15 1

4

 

V e B V 5e4 1. C 5 1

4

 

V  e D V 5e4 1.

Câu 30 Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn 

x

y xe , x0 x1 Tính thể tích V

của vật thể trịn xoay thu quay hình  H quanh trục Ox

A V e2 B V e1 C V e2 D V e1

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	1,31 MB