Chuyên đề 3. Nguyên Hàm – Tích phân – Ứng dụng

Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Oy của tam giác đó. Lời giải tham khảo[r]

3A NGUYÊN HÀM

 

 

 Dạng 39 Nguyên hàm hàm đa thức, phân thức

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số    2

  x

f x x  

A.   

2

4   

 f x dx x x C   B.   

3

3   

 f x dx x x C   

C.   

2

2   

 f x dx x x C   D.   

2

2   

 f x dx x x C  

Lời giải tham khảo 

2

2

3

2

 

   

 

 

 x x dx x x C  

Câu Tìm nguyên hàm của hàm số    

5

1 18

 

   

 

x

f x x  

A  

6

1 18

 

   

 

 f x dx x C   B.   

6

6

18

 

    

 

 f x dx x C  

C.   

6

1

1 18

      

 

 f x dx x C   D.   

6

1

1 18

 

    

 

 f x dx x C  

Lời giải tham khảo 

Đặt 

3

1 18  x 

t  

Câu Cho  f x 3x2 ,2 f 0 8. Hàm số y f x  là hàm số nào trong các hàm sau  đây? 

A.  f x 2x23 8.  B. f x   x22 4.   

C.  f x 6x24.  D. f x   x23. 

Lời giải tham khảo 

Sử dụng  f x  f x dx    

Giả thiết  f 0 8 giúp ta tìm được hằng số C  

Câu Tìm  giá  trị  của  tham  số  m   để  hàm  số  F x mx3 3m2x2 4x3  là  một 

nguyên hàm của hàm số  f x( )3x2 10x4. 

A. m3.  B. m0.  C. m1.  D. m2. 

Lời giải tham khảo 

Áp dụng F x’  f x  và đồng nhất hệ số ta có m1. 

Câu Tìm nguyên hàm của hàm số  f x  13

x  

A.    12

  

 f x dx C

x   B.   

1

 

 f x dx C

x    

C.    2

  

 f x dx x C.  D.  f x dx  ln3 x C. 

Lời giải tham khảo 

2

3

3

1 1

2 2



   

       



  x

I dx x dx C x C C

x x  

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số 

2

1 ( )

1   



x x

f x

x  

A.  ( )

1

  



 f x dx x C

x   B. 

1 ( )

( 1)

  



 f x dx C

x  

C. 

2

( ) ln

   

 f x dx x x C.  D.  ( )  ln 1 

 f x dx x x C. 

                    .            .           .           .           .           .          

Câu Tìm nguyên hàm của hàm số  ( ) 2

3



 

f x

x x  

A ( ) ln 

 



 f x dx x C

x   B. 

2 ( ) ln

1 

 



 f x dx x C

x  

C.  ( ) ln 

 



 f x dx x C

x   D. 

1 ( ) ln

2 

 



 f x dx x C

x  

Câu Tìm nguyên hàm F x  của hàm số   

4

2

2    x x

f x

x  thoả mãn F 1 2. 

A

3

2

3   3

x x

x   B. 

3

2

3   3

x x

x   

C. 

3

2

3   3

x x

x   D. 

3

2

9   

x x

x  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 9. Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số  (2 2)

( 1)  



x x

y

x ? 

A. 

2

1   



x x

y

x   B. 

2

1   



x x

y

x    

C. 

2

1 



x y

x   D. 

2 1

1   



x x

y

x  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 10 Tìm nguyên  hàm F x  của hàm số  f x  thoả mãn    +

2

'  b ,

f x ax

x f' 1 0,

 1 4,

f f 1 2.  

A. 

2

1  

x

x   B. 

2

1  

x

x    

 

C. 

2 1 5

2  2

x

x   D. Kết quả khác. 

Câu 11 Tìm giá trị của tham số  a  để hàm số 

2

3 ( )

2   



ax a F x

x  là một nguyên hàm của 

hàm số 

 2

6 ( )

2  



f x

x

 

A. a 1.  B. a1 hoặc a 3. 

C. a3.  D. a 1 hoặc a3. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 12 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x  x21

x  

A.  f x dx   ln x  1C

x   B.   

1 ln

  

 f x dx x C

x  

C  f x dx  ln x 1C

x   D.   

1 ln

   

 f x dx x C

x  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số   f x( )3x15. 

A.  ( ) 13 16

  

 f x dx x C.  B.  ( ) 3 16

18

  

 f x dx x C. 

C.  ( ) 3 15 18

  

 f x dx x C.  D.  ( ) 13 16

6

  

 f x dx x C. 

 .            .            .           .           .           .           .          

 Dạng 40 Nguyên hàm hàm thức

Câu 14 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x x2 3 2 x

x  

A  

3 ln 3    

 f x dx x x x C   B.   

3 ln 3   

 f x dx x x x  

C.   

3 ln 3    

 f x dx x x x C   D.   

3 ln 3    

 f x dx x x x C  

Lời giải tham khảo 

2 2 2

 

    

 

 

 x x dx x dx  dx  xdx

x x  

1

2 2 2

3 ln

3

x dx  dx x dx x  x  x C

x  

Câu 15 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x x 1x 2   

A.     

3 2   

 f x dx x C.  B.     

3 2 1   

 f x dx x C. 

C.     

3 2   

 f x dx x C.  D.     

3 2 1   

 f x dx x C. 

Lời giải tham khảo 

  1 1 212 1 2 12 1 2 11 232

2

          

f x x xdx x xdx x d x x C

 

Câu 16 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x  +2x  

A   23 2 +2

  

 f x dx x x C.  B.    23 2 +2

3

  

 f x dx x x C. 

C.  ( ) 93 2 +2

  

 f x dx x x C.  D.  ( ) 33 2 +2

2

  

 f x dx x x C. 

Lời giải tham khảo 

Ta có  +2 3 +2  

1

2

( ) 3

9

     

 f x dx  x dx  x dx x x C  

Câu 17 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x x 1x 2  

A.     

2 1   

 f x dx x C.  B.     

3 1   

 f x dx x C. 

C.     

2

2

1

  

 f x dx x x C   D.     

2 1   

 f x dx x C. 

Lời giải tham khảo 

 

2 2

1 1

2

   

x x dx  x d x  

2

2

1

 x x C  

Câu 18 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x  33x1. 

A.  f x dx  (3x1) 33 x1C   B.    33 1

3

  

 f x dx x C. 

C.    1(3 1) 33 1

4

   

 f x dx x x C.  D.    3 3 1

 f x dx x C  

Lời giải tham khảo 

           

4

1

3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1

4

3 3

3

 

        

 f x dx  x dx  x d x  x d x x C 

    13 13 3 1

4

 f x dx x x C.  

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số    14

1

 



f x x

x. 

A.    53 14 ln

3

   

 f x dx x x C.  B.    3 14 ln

5

    

 f x dx x x C. 

C.    3 14 ln

5

   

 f x dx x x C.  D.    3 14 ln

5

   

 f x dx x x C. 

Lời giải tham khảo 

2

3 14 14.1 33 14 ln 1

1

 

 

        

   

 

   

 x dx  x dx x x C

x x

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số   

1 



f x

x. 

A.  f x dx  2 xC   B.  f x dx  2 ln x1C  

C.  f x dx  2 x 2 ln x1 C   D.  f x dx  2 x 2 ln x1 C  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số   

2 

 

f x

x  nào sau đây là đúng? 

A.  f x dx   2x 1 ln 2x 1 4C   

B.  f x dx   2x 1 ln 2x 1 4C  

C.  f x dx   2x 1 ln 2x 1 4C   

D.  f x dx  2 2x 1 ln 2x 1 4C  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 22 Tìm nguyên hàm của hàm số    

f x

x x   

A  f x dx  2 ln x1C   B.    ln

1

 



 f x dx C

x  

C.    2 ln  

 

 f x dx x C

x   D.  f x dx  2 ln x x C  

Câu 23 Tìm nguyên hàm của hàm số   

2 

 

f x

x x x x  

A.       

 f x dx C

x x   B.   

2   



 f x dx C

x    

C.   

1

  

 

 f x dx C

x x    D.   

2

  



 f x dx C

x x  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 24 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x  x2 k  với k0.  

A   ln

2

     

 f x dx x x k k x x k C.   

B.    ln

2

     

 f x dx x k x x x k C. 

C.    ln 2

   

 f x dx k x x k C.   

D.   

2

1

 



 f x dx C

x k  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 25. Cho F x 3x 1 ax2 bx c  2 - 1x  là một nguyên hàm của hàm số 

  10 -

2 -   x x

f x

x  trên khoảng 

1 ;

 



 

 . Tính 

  

S a b c. 

A. S3.  B. S0.  C. S4.  D. S2. 

Câu 26 Tìm các giá trị của tham số a b c  để , , F x (ax2 bx c ) - 3x  là một nguyên 

hàm của hàm số   

2

20 - 30 -

  x x

f x

x  trong khoảng 

3

;

        

A. a4, b2, c 2.  B. a1, b 2, c4. 

C. a 2, b1, c 4.  D. a4, b 2, c1. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 27 Trong các hàm số sau: 

   I      f x  x2 1       II    f x  x2 1 5  

   III    

2

1 



f x x

       IV     

2

1 - 



f x x

 

Hỏi hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F x( )ln x x2 1 ? 

A.Chỉ  I   B. Chỉ  III   C Chỉ II   D. Chỉ  III  và (IV). 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 28 Tìm nguyên hàm của hàm số   

2

3

 

  

 

f x x

x  

A   3 126 ln

5

   

 f x dx x x x x C.  B.   

3

1

3

 

    

 

 f x dx x C

x  

C.      2 

 f x dx x x x C.  D.    3 ln 12

5

   

 f x dx x x x x C. 

Câu 29 Tìm nguyên hàm của hàm số   

2

 

x f x

a x

. 

A.     1 

 f x dx x C.  B.    ln  

 f x dx a x C.   

C.      

 f x dx a x C.  D.  f x dx  ln a2 x2 C. 

 .            .            .           .           .           .           .          

 Dạng 41 Nguyên hàm hàm lượng giác

Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số  f x sin2x. 

A.    sin

2

  

 f x dx x x C.  B.    sin

2

  

 f x dx x x C.   

C.    sin

2

  

 f x dx x x C.  D.    sin

2

  

 f x dx x x C. 

Lời giải tham khảo 

2 cos sin

sin

2



   

 xdx  xdx x x C. 

Câu 31 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x sin 2 x1. 

A.  f x dx  cos(2x1)C.  B.    1cos(2 1)

2 

  

 f x dx x C. 

C.    1cos(2 1)

2

  

 f x dx x C.  D.  f x dx   cos(2x1)C. 

Lời giải tham khảo 

       

sin sin 2 cos

2

       

 x dx  x d x x C. 

Câu 32 Tìm nguyên hàm F x  của hàm số  f x  1 sin 3x thoả mãn   

    

F   

A.  ( ) 1cos

3

  

F x x x    B.  ( ) 1cos

3

  

F x x   

C.  ( ) 1cos

3

  

F x x x    D.  ( ) 1cos

3

  

F x x x   

Lời giải tham khảo 

  1cos

3

  

F x x x 

 

Câu 33.  Tìm  nguyên  hàm  F x   của  hàm  số  f x 2x3 3x2  1 sin 2x  thoả  mãn   0 1

F  

A  

4

1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x   B.   

4

1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x  

C.   

4 1 1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x   D.   

4 1 1

2 cos

4 2

 x  x   

F x x x  

Lời giải tham khảo 

   

2 sin 2 cos

4

     x  x   

F x x x x dx x x C

  Vì F 0 1 nên 1cos 1

Câu 34. Cho  f x 3 sin x và  f  0 10. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A.  f x 3x5 cosx2.  B.  f  3  

C. 

2  

    

f     D.  f x 3x5 cosx. 

Lời giải tham khảo 

         f x  f' x dx3x5 cosx C ;  f(0) 10 C 5 

Vậy  f x 3x5 cosx5 f  3. 

Câu 35. Mệnh đề nào dưới đây là sai? 

A. cosx dxsinx C   B. sinx dx cosx C  

C. e dxx ex C.  D.  12 tan

sin   

 dx x C

x  

Lời giải tham khảo 

2

1

cot

sin   

 dx x C

x  

Câu 36 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x  1 cot2 x.  

A.  f x dx  tanx C   B.  f x dx   tanx C    

C.  f x dx  cotx C   D.  f x dx   cotx C  

Lời giải tham khảo 

 

2

1

1 cot cot

sin

    

 x dx  dx x C

x  

Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số  f x xcosx. 

A  f x dxxsin – cosx xC.  B.  f x dx xsin – cosx xC.     

C.  f x dxxsinxcosxC.  D.  f x dx xsinxcosxC. 

Lời giải tham khảo 

Đặt ux dv, cosxdx  ta chọn ;  dudx v, sin x   

Do đó Ixsinx sinxdxxsinxcosx C

Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số  f x sin x cos x5. 

A   os2 os8

4 16

  

 f x dx c x c x C B.    1sin os8

4 16

  

 f x dx x c x C. 

C.    os2 sin

4 16

  

 f x dx c x x C.  D.    os2 os8

4 16

   

 f x dx c x c x C. 

Lời giải tham khảo

  os os

1 1

( ) sin sin 2

2 16

    

Câu 39 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x  12 sin cos1

x x

x   

A.    1cos2

 

 f x dx C

x   B.   

1

sin

4

 

 f x dx C

x   C. 

  1cos1

4

 

 f x dx C

x   D.   

1

sin

4

 

 f x dx C

x  

Lời giải tham khảo 

Đặt t 

x. 

Câu 40. Tìm nguyên hàm F x  của hàm số    12

cos  

f x

x thoả mãn F 0 1. 

A. – tan x.  B. 1 – tan x.  C. 1 tan x.  D. tanx1. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án B

os2

( )   tan 

F x dx x C

c x F 0 1 nên  C1

 

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 41 Tìm nguyên hàm của hàm số    cos2

 x

f x

x. 

A  f x dx x   tanx+ln cosx C.  B.  f x dx x   tanx+ln sinx C. 

C.  f x dx x   tanx-ln sinx C.  D.  f x dx x   tanx-ln cosx C. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 42 Tìm nguyên hàm của hàm số   

3

4

sin cos  x

f x

x. 

A.    13 cos cos

  

 f x dx C

x

x   B.   

1

cos cos

   

 f x dx C

x

x  

C.    13 cos cos

  

 f x dx C

x

x   D.   

1

3 cos cos

  

 f x dx C

x x  

Câu 43 Tìm nguyên hàm của hàm số    2 2

sin cos



f x

x x. 

A.  f x dx  cotxtanx C   B.  f x dx   cotxtanx C  

C.  f x dx   cotxtanx C   D.  f x dx  cotxtanx C  

 .            .            .           .           .           .           .            .          

Câu 44 Tìm nguyên hàm của hàm số   

 2

1

cos sin





f x

x x

. 

A.    1tan

2

      

 

 f x dx x  C   B.    1tan

2

     

 

 f x dx x  C  

C.    1tan

2

      

 

 f x dx x  C   D.    1tan

2

     

 

 f x dx x  C  

 .            .            .           .           .           .           .            .          

Câu 45 Cho  in in

in in

s cos s

cos s cos s

   

     

    

 x  x x

I dx A B dx

x x x x  Tính giá trị  ,A B. 

A. 

2

 

A B   B. 

2

  

A B    

C.  1,

2

  

A B   D.  1,

2

  

A B  

Câu 46 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x xsin 1x 2  

A.    2

1 cos sin

      

 f x dx x x x C    

B.    2

1 cos sin

      

 f x dx x x x C  

C.     1 cos 1 sin 1  .

 f x dx x x x C    

D.    2

1 cos sin

     

 f x dx x x x C  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 47 Xét các mệnh sau đây: 

 I   F x  x cosx là một nguyên hàm của   

2

sin - cos

2

 

  

 

x x

f x  

   II    

4

6

x

F x   x là một nguyên hàm của    3

f x x

x

   

   III F x tanx là một nguyên hàm của f x  ln cosx   Mệnh đề nào sai? 

A  I  và  II   B. Chỉ  III   C.Chỉ  II   D. Chỉ  I  và  III  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 48 Cho  hàm  số  F x ex 2( tana 2x b tanx c   là  một  nguyên  hàm  của  )

 

tan  x

f x e x  trên khoản  ;

2

 



 

 

 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A.    1tan2 tan

2 2

 

    

 

x

F x e x x  

B.    1tan2 tan

2 2

 

    

 

x

F x e x x  

C.    1tan2 2tan

2 2

 

    

 

x

F x e x x    

D.    1tan2 tan

2 2

 

    

 

x

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 49 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x tan2 x. 

A.  f x dx  tanx x C           B.  f x dx  tanx x C     

C.  f x dx   tanx x C    D.  f x dx   tanx x C   

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 50 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x xcos x2  

A.    1sin

 

 f x dx x C.  B.    1s in

2

  

 f x dx x C. 

C.   1s in 2

  

 f x dx x C.  D.    1s in 2

2

 

 f x dx x C. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 51 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x xsin2 x.  

A.   

sin cos

2

   

 f x dx x x x x C.  B.   

sin cos

4

   

 f x dx x x x x C. 

C.  

cos

4

 

      

 f x dx x x x C.  D.   

sin cos

4

   

 f x dx x x x x C. 

Câu 52 Cho a0, C là hằng số. Mệnh đề nào dưới đây sai? 

A. sinax b dx   1cosax b C

a   B.     

1

cos    sin  

 ax b dx ax b C

a  

C  

  

1

1



   



 ax b dx ax b  C

    D.  

1

 

 

eax bdx eax b C

a  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 53 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x sin 2xcosx. 

A.  f x dx  cos 2xsinx C   B.    1cos sin

2

   

 f x dx x x C. 

C.  f x dx   cos 2xsinx C   D.    sin2 sin 

 f x dx x x C. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 54 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x x2 1 sin 2x

x  

A  

3

1 ln | | cos

3

   

 f x dx x x x C.  B.   

3

1 ln | | cos

3

   

 f x dx x x x C. 

C.   

3

1 ln | | cos

3

   

 f x dx x x x C.  D.   

3

1 ln | | cos

3

  

 f x dx x x x. 

 .            .            .           .           .           .           .          

 Dạng 42 Nguyên hàm hàm mũ – lôgarit

Câu 55 Mệnh đề nào sau đây là sai? 

A.     

 x    x 

y e F x e C.  B.    

    x 

x

y F x e C

e  

C.     

  x   x 

y e F x e C.  D.    

     x 

x

y F x e C

e  

Lời giải tham khảo 

 

  

e dxx e x C  Đáp án A đúng. 

1  

   

ex dx e dxx e x C  Đáp án B đúng. 

  

    

 e dxx e dx ex x C  Đáp án C đúng. 

1  

      

 x dx  x dx e dxx e x C

e e  Đáp án D sai. 

Câu 56 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x x e.x.  

A.  f x dxx e.x –ex C.  B.  f x dxxex ex C. 

C.  f x dxx.ex e–x C.  D.  f x d  xex x e.x C. 

Lời giải tham khảo 

+  f x dx( ) x e dxx .  

+ Đặt uxdudx  và dve dxx ve   x

+ Vậy   f x dx( ) x ex.e dx x ex  x e.x C 

Câu 57 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x 2xe x2  

A.  f x dx  2ex2 C   B.  f x dx  2x e2 x2 C  

C.  f x dx e   x2 C   D.  f x dx  2xex2 C  

Lời giải tham khảo 

Đặt t x  2

Câu 58 Tìm nguyên hàm của hàm số    1 



x f x

e  

A.  f x dx  xlnex1C.  B.  f x dx    x lnex1C. 

C.  f x dx    x lnex1C.  D.  f x dx  xlnex1C. 

Lời giải tham khảo 

Đặt t ex 1. 

Câu 59 Tìm nguyên hàm của hàm số   

x

e f x

x  

A  f x dx  2e x C.  B.   

 

 f x dx e x C. 

C.   

2

 



x e

f x dx C.  D.  f x dx e   x C. 

Đặt t  x  . 

Câu 60 Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? 

   I      

1

ln

4

xdx

x C

x    

          II   cot - 12 sin

xdx C

x

 

  

   III   2cos 2cos

sin

-2

x x

e xdx e C

  

A.Chỉ  I   B. Chỉ  III        C.Chỉ  I  và  II   D. Chỉ  I  và  III  

Lời giải tham khảo 

 

 

2

2

2

4

1

ln

2

4



   

 

 xdx d x x C

x x  

 

2 cos sin cos cos cos

2

    

e x xdx e xd x e x C

   

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 61 Tìm nguyên hàm của hàm số    ln ln 

ln

 x

f x

x x  

A.    

2

ln ln 2

 

 f x dx x C.  B.     

2

ln ln

 

 f x dx x C. 

C.    

2

ln ln 2

  

 f x dx x C.  D.     

2

ln ln

2

 



x

f x dx C. 

 .            .            .           .           .           .           .            .          

Câu 62 Tìm giá trị của tham số a b  để , F x   ax b e  x là một nguyên hàm của hàm số 

   x

f x xe  

A. a1, b1.  B. a 1, b2.  C. a2, b1.  D. a 1, b1. 

Câu 63 Tìm nguyên hàm F x  của hàm số    21

 x

f x xe  thoả mãn   0

 e

F  

A. 

2 1

2





x

e

e.  B. 

2 1

2





x

e

e.  C. 

2 1

4





x

e

e.  D. 

2 1

4





x

e

e. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 64 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x ex(2x e 3x).  

A.    2 4

   

 f x dx xex ex e x C.  B.    2

4

   

 f x dx xex ex e x C. 

C.    2 4

   

 f x dx xex ex e x C.  D.    2

4

   

 f x dx xex ex e x C. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 65 Cho a0 và a1. C là hằng số. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A. a dxx ax.lna C   B. 

2

2 ln

 



x

x a

a dx C

a  

C.   

a dxx a x C.  D.   .ln

a dxx a x a C

 .            .            .           .           .           .           .          

 Dạng 43 Bài tập tổng hợp nguyên hàm

 

Câu 66 Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại? 

A. 

2 1

1  



x x dx

x   B. 

2 2 2

  

 x x dx  

C. sin 3xdx.  D. 

e xdxx  

Lời giải tham khảo 

Trong ý B biểu thức trong căn ln âm nên hàm khơng liên tục dẫn đến khơng có ngun  hàm 

Câu 67 Cho    F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f x   trên  khoảng  a b; .  Giả  sử 

( )

G x cũng  là  một  nguyên  hàm  của  f x   trên  khoảng a b; .  Mệnh  đề  nào  dưới  đây  là 

đúng? 

A F x G x trên khoảng a b; .

B G x F x –M trên khoảng a b;  với M  là một hằng số nào đó

C F x G x C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định.

D. F x  và G x  là hai hàm số khơng có sự liên quan. 

 

Câu 68. Ngun hàm nào dưới đây khơng tồn tại? 

A.   

2

2   



x x

f x

x   B.   

2

2

   

f x x x  

C.  f x s in3 x   D.  f x xe3x. 

Lời giải tham khảo 

Ta có: x2 2x 2  x 

 Vậy khơng tồn tại 

2

2

x x

    

      nên không nguyên hàm  x22x2dx

 

Mặt khác:biểu thức : 

2

1

x x

x

 

  có nghĩa  x ≠ 1, biểu thức: sin 3x; 

3x

 .          

3B TÍCH PHÂN

   

   

 Dạng 44 Tích phân hàm đa thức, phân thức

Câu 1. Tìm các giá trị của b sao cho  

0

(2 4)

b

x dx

  

A.  5   B. 1;5.  C.  1   D. 1; 4. 

Lời giải tham khảo 

2

0

1

(2 4) ( ) 5

5

b

b b

x dx x x b b

b

  

          

 

  

Câu 2. Cho      

1

3 ln(2 1)

I x x x dx. Tìm giá trị của  a  biết I blna c  với  , ,a b c  

là các số hữu tỉ. 

A. a 3   B. a 3.  C.  

a   D.   2

3

a  

Lời giải tham khảo 

     

            

1 1

2

1

0 0

3 ln(2 1) ln(2 1)

I x x x dx x x dx x dx I I  

Giải I2 bằng phương pháp từng phần  

 

ln(2 1)

u x

dv dx  

 3ln3 1  3

I a  

 

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu Tính tích phân 



  

0

2

1

( 1)

I x x dx. 

A.  70  

I   B. 

60  

I   C. 

15 

I   D. 

60 

I  

Câu Tính tích phân 

1

5

(1 )  x

I x dx. 

A.  42  

I   B. 

42 

I   C. 

6  

I   D. 

6 

I  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu Tính tích phân     

1 1000

3

0

3 ( 1)

I x x x dx. 

A.  

1001

4 3003

I   B.  

1001

3 3000

I   C.  

1000

4 3000

I   D.  

1001

3 3003

I  

 .            .            .           .           .           .           .          

 

Câu Tính tích phân 

2

1

4 

 x x

I dx

x  

A.  29

2

I    B.  11

2

I    C.  11

2

I    D.  29

2

I    

Lời giải tham khảo 

2 2

1

4 11

( 4)

2 

x x   

I dx x dx

x

Câu 7. Cho 

5

1

ln 1

 dx a

x . Tính giá trị của  a  

A. 2.  B. 3.  C. 4.  D. 5. 

Lời giải tham khảo 

5

5

1

1

ln(2 1) ln ln

2 1   

 dx x

x  

Câu Tính tích phân  2

0

1 





I

x  

A.  

I    B. 

4  

I    C. 

2 

I    D. 

6 

I   

Đặt  ; , tan , t

2   

 

x t    viết tích phân theo biến t và các cận mới  0, 

 

t t   rồi tính 

tích phân mới nhận được. 

Từ xtant ta có:   

1

1 tan cos

  

dx dt t dt

t  

Do đó:    4

0

2

0 0

1

tan |

4

1 tan

     

 

  

I dx t dt dt t

x t



 



 

Câu Cho      



1

0

2

ln

x x

dx a b

x  Tính Pa b . 

A. 21  

P .  B 21

4 

P .  C

21  

P .  D. 

21 

P  

Lời giải tham khảo 

     

2 ln

2 2

x x

dx

x   

 

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 10 Tính tích phân 

1 16 10    x I dx e  

A.  16

10 ln



I e.  B. 

2 16 2 10 ln   e I

e    

C.  15 2 10 ln   e I

e   D. 

2 16 10 ln   e I e    .            .            .           .           .           .           .          

Câu 11 Cho 

2 15 ln dx

x  xk 

  Tính giá trị của k. 

Câu 12 Tính tích phân   

 

8

10

3

2  



 x

I dx

x

. 

A.

18

9

3 63.3

 

I   B. 

18

9

3 63.3

 

I   C.

18

9

3 63.3   

I   D. 

18

9

3 63.3

  

I  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 13 Tính tích phân  

2

1

2  5  

e

x x

I dx

x  

A.I 4 e7e8.  B. I 7 e4e8.  C.I 8 e7e4.  D. I 4 e7e8. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 14 Tính tích phân   

2

5

I x x dx. 

A.  42 13  

I   B.  13

42 

I   C.  13

42  

I   D.  42

13 

I  

 Dạng 45 Tích phân hàm thức

Câu 15 Tính tích phân 

1

2

0

1

I x x dx. 

A.  

I   B. 

8 

I   C. 

4 

I   D. 

16  

I  

Lời giải tham khảo 

Đổi biến số  Đặt x sint, đổi cận 

0              t x

x t  

Câu 16 Tính tích phân 

4

0

2

2

 

 

x

I x x dx. 

A.  478 15

I    B.  448

15

I    C.  408

15

I    D.  378

15

I   

Lời giải tham khảo 

Đặt t  2x1 

2

2

2

2

t

t x x  tdt dx

      

        

4  t=3 x=0   t=1

x  



 

2

2

2 1

2 4

2 2

     

       

 

t t t t

x x

 

 

4

3

4

1

2

3

1 478

2 . 2 1

1

2 15

                  t t t t

I t dt t t dt t

t  

Câu 17 Tính tích phân 

2 2    x I dx x  

A.

4

 

I   B. 

8

 

I   C. 

8

 

I   D. 

4

 

I  

Lời giải tham khảo 

Đặt xsint khi đó dxcostdt 

Đổi cận: với  0;    

2

x  t x  t   

Ta có:

2

4 4

2

0 0

sin os sin os

(1 os2t)

1 sin cos

   



  

  

tc t tc t

I dt dt c dt

t t  

      

4

1 1

sin

2

 

     

 





t t

Câu 18 Tính tích phân  





3

2

0

x

I dx

x

. 

A

I  .  B. 

3

I     C. 

3

I    D. 

3

I    

Lời giải tham khảo 

Đặt  u= x2 1 u2  x2 1 udu xdx x=0  u= ; x=  u=





3

2

0

x dx x

=  

2

1

(u 1)du =   

 

3 2

1

u

u = 4

3. 

 

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 19 Tính tích phân 

7 3





 x dx

I

x

 

A. 141 10  

I   B.  141

10 

I   C.  141

20 

I   D.  47

10  

I  

 .            .            .           .           .           .           .            .          

Câu 20 Tính tích phân   

2

3

0

min ;

I  x x dx. 

A. 

I .  B.

5  

I .  C.

4  

I .  D. 

4 

I  

Câu 21 Tính tích phân 

5

0

4   

I x x dx  

A.  19 

I   B. I 1.  C.  19

3  

I   D.  28

3  

I  

 .            .            .           .           .           .           .            .          

Câu 22 Tính tích phân 

2

2

0

4

 

I x dx  

A. 

2

1

 

I   B. 

2

1

 

I   C. 

2 

I   D. I . 

 .            .            .           .           .           .           .            .          

Câu 23. Tính tích phân 

1

2

0

3

 

I x x dx  

A.  

I   B. 

9 

I   C. 

9 

I .  D. I 1. 

 .            .            .           .           .           .           .            .          

 

 Dạng 46 Tích phân hàm lượng giác

Câu 24 Tính tích phân 



tan

6

0

I xdx  

A.  ln3 

I   B.  ln

2 

I   C.  ln2

3 

I   D. I ln 2. 

Lời giải tham khảo 

 

  



      

tan  

6 6

0 0

sin

cos ln cos 6 ln

cos cos

0

x

xdx dx d x x

x x  

Câu 25 Tính tích phân 





0

.sin x

I x dx. 

A.  

I   B. I 0.   C. I .  D. I 1  

Lời giải tham khảo 

  

 



 x         inx 

0

0 0

.sin (cos ) cos cos ( cos s )

I x dx xd x x x xdx x  

Câu 26 Tính tích phân   os 

2

3

0

1 sin  

I c x xdx

   A.   15 

I   B.  15

4  

I   C.  15

2 

I   D.  15

2  

I  

Lời giải tham khảo 

Đặt  tc xos  1 dt sin dx x. Đổi cận 2; 1;

     

x t x  t  

1 2 15 4

   t 

I t dt

 

Câu 27. Tính tích phân  4 

0 sin

 

I x x dx



. 

A. 

8

 

I    B. 

2

 

I    C. 

8

 

I    D. 

8

 

I   

Lời giải tham khảo 

      4 4 0 2

2 sin : : 1

sin cos

1 1 1

2 cos cos cos sin

4 4

                                       du dx u x

I x x dx Đăt ta có

dv x dx v x dx

I x x x dx x x x

Câu 28 Tính tích phân  cos  

I x xdx  

A.

2  

I   B. 

2  

I   C. 

2 

I   D. 

2  

I  

Lời giải tham khảo 

Đặt 

os d sin

   



 

 

 

u x du dx

dv c x x v x x

2

2

0

0

sin sin cos

2

Ix x  dx  x  



   

 

Câu 29 Tính tích phân  sinx

cos 

I e xdx

   A.  2 

I e   B. 

2

2 1

 

I e   C. 

2

2 1

 

I e   D. 

2 1 



I e  

Lời giải tham khảo 

Ta có  in   in

in

2

s s 4 2

0

s

  x  x  

I e d x e e





. 

Câu 30 Tính tích phân 

     2

sin cos

I x xdx  

A. I  0.  B. I 1.  C. 

I    D. 

6

I   

Lời giải tham khảo 

2

2

sin cos



  

I x xdx





. 

Câu 31 Tính tích phân 



 2

0

sin cos

I x xdx  

A 

I   B. 

3 

I   C. 

8 

I   D. 

4 

I  

Lời giải tham khảo 

2 2

0

0 0

1 1

sin cos sin (1 cos ) ( sin )

4 8



  



        

I x xdx xdx x dx x x  

Câu 32 Tính tích phân 

  2 sin cos

I x xdx  

A 15 

I .  B. 

15 

I   C. 

13 

I   D. 

15  

I  

Lời giải tham khảo 

 

 

2

2 2

sin cos sin cos cos

Đặt tsinxdtcosxdx;  Đổi cận x0 t 0;    1

x t  

Do đó         

 



1

2

0

2

3 15

t t

I t t dt  

 

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 33 Tính tích phân  ( sin )

I  x x dx. 

A. 

3

3

I     B. 

2

3

I     C. 

3

5

I      D. 

2

5

I     

 .            .            .           .           .           .           .            .          

Câu 34. Tính tích phân 

sin cos 



 x

I dx

x



. 

A.  1 2

 

I   B.  1 2

3

 

I   C.  1 2

2

 

I .  D. I  2. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 35 Để tính 

3

2

6

tan cot

  

I x x dx





. Một bạn giải như sau:  

      Bước 1:   

3

2

6

tan cot  

I x x dx





      Bước 2: 

3

6

tan cot  

I x x dx





 

      Bước 3:   

3

6

tan cot  

I x x dx





      Bước 4:  os2 sin2

3

6

2  c x

I dx

x





 

      Bước 5: 

3

ln sin 2 ln

2

  

I x



  Bạn này làm sai từ bước nào? 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 36 Biết 

2

cos 3 

 

 x

x

dx m





. Tính giá trị của 

2

cos



 

 x

x

I dx





. 

A. I  m.  B. 

 

I  m.  C. I m.  D. 

4

 

I  m. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 37 Tính tích phân 







2

2 cos 2sin

x

I dx

x  

A.  ln5

I   B.  ln3

5

I   C. I 5 ln 3.  D. I 3 ln 5. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 38 Tính tích phân 

3

2

1 sin sin  





x

I dx

x  

A.  2

 

I   B.  2

2

 



I .  C. 

2  

I   D.  2

2

 



I  

Câu 39 Tính tích phân  in3

cos

3

0

s  x

I dx

x



. 

A.

 

3 

I   B. 

2  

I   C. 

2  

I   D. 

2  

I  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 40 Cho 

   

     



4

3

sin

4

cos 2

x

dx m

x  . Tính 

1  

P m  

A.

4  

P .  B.

4 

P .  C.P0.  D. P1. 

 .            .            .           .           .           .          

Câu 41 Tính tích phân   





2

0

max sin ; cosx

I x dx  

A. I 1.  B. I  2.  C. I    D. I 2. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 42. Tính tích phân 

2

0

cos xdx



  

A. 



.  B. 

4



.  C. 

3

2



.  D. 

3

  

 Dạng 47 Tích phân hàm mũ – lơgarit

Câu 43 Tính tích phân 

2

0

2

 e dx  x

A e  4 B. e4 1.  C. 4e  4 D. 3e  4

Lời giải tham khảo 

2

2

0

2  1

 e dxx e  

Câu 44 Cho 

1

0 

 x

I e xdx  Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A   e

I   B. 

2 

 e

I

e   C. 

1   e

I   D. 

2   e

I

e  

Lời giải tham khảo 

Đặt 

2

   

t x dt xdx

1

0

1 1

1

2 2





  

     

 

e x xdx e dtt e

e e  

Câu 45 Tính tích phân   

2



  x

I x e dx  

A.  3 2 1

 

I e   B.  2(1 2)

  

I e   C. I 52 3

e   D. 

1

 

I

e  

Lời giải tham khảo 

Đặt   2 

  



 x x

u x du dx

dv e dx v e  

   

 

0 0

2

2

0

2 2

2

5

2 3



 

 

    

       

 x x  x

x x

I x e dx x e e dx

x e e

e e

 

Câu 46 Tính tích phân 

1

ln 

e

I xdx. 

A. I 4.  B. I 3.  C. I 2.  D. I 1. 

Lời giải tham khảo 

1

ln

e

I  xdx; Đặt  u lnx

dv dx       ta có  du dx x v x        , khi đó 

1 1

1

.ln ln ( 1)

e

e e e

I  x x dxx x x  e e   

Câu 47 Tính tích phân 

e

1

.ln 

I x x dx. 

A.     e

I   B. 

2   e

I   C.

    e

I    D. 

2   e I  

Ta có:  d d

2

2 1

1

ln 1

ln

2

1                      e e du dx

u x x e

I x x x x

dv x x

v x

. 

Câu 48 Tính tích phân 

1

ln

e

I  x xdx.  

A.  2 2

 

I e e .  B.  2 2

 

I e e   C.  2 2

9

 

I e e .  D.  2 2

 

I e e  

Lời giải tham khảo 

Tích phân từng phần :

3 2 ln                  du dx u x x

dv x dx v x

 

Câu 49 Tính tích phân 

1

ln 

e

I x xdx. 

A.    e

I   B. 

3

2

  e

I   C. 

3 2

9   e

I   D. 

3 2

9   e

I  

Lời giải tham khảo 

Tính 

3

2

1 1

1

ln ln

3

            e e e x e

I x xdx x x dx  

Câu 50 Tính tích phân 

1

( 1) ln d

 

e

I x x x. 

A.    e

I   B. 

2

3

 e

I   C. 

2

3

  e

I   D. 

2  e I  

Lời giải tham khảo 

Sử dụng cơng thức tính tích phân từng phần ta có: 

2 2 2

1 1 1

1

( 1) ln d ln

2 2 4

                              e e e e

x x e x e

I x x x x x x dx e x

x  

Câu 51 Cho 

.ln( 1)

 

e

I x x dx

  

Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A.  2ln

18

  

I B.  3ln

18

  

I C.  2ln

18

 

I D.  2ln

18

  

I  

Lời giải tham khảo

Đặt   3

2

1      

3 d d d                    du x

u ln x

v x x

v x x ln( 1)   e

I x x dx

3

ln( 1)

 x x

1 3  

 x dx x 1 ln  3  

 x dx

Tính 

3

0 1

 x dx x 1    

x dx

x     

2 1           

 x x dx

x ln     ln( 1)   e

I x x dx 1ln

3

 ln

3         ln 18     

Câu 52. Tính tích phân   

3 ln

 

I x x dx  

A.  12 ln ln 11

  

I   B.  12 ln ln 11

2

  

I  

C.  12 ln ln 11

  

I   D.  12 ln ln 11

2

  

I  

Lời giải tham khảo

   

4

3

2

1

ln

2 ln : :

2 4

                  

 u x du dx

I x x dx Đăt ta có x

dv x dx v x  

            4 2 3

4 ln ln

2 11

12 ln ln                    x

C x x x dx x x x

 

 

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 53 Cho  m  là một số dương và 

0

(4 ln ln 2)  

m

x x

I x dx  Tìm  m  khi I12. 

A m4.  B. m3.  C. m1.  D. m2. 

 .            .            .           .           .           .           .           Câu 54. Tính tích phân  ln  e x I dx

x  

A.  2   e

I   B. 

2

1

  e

I   C. 

2 

I   D. 

2  

I  

Câu 55 Tính tích phân 

1

1 ln 

e

x

I dx

x  

A. I 2.  B. I 1

e.  C. Ie.  D. 

3 

I  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 56 Tính tích phân  2

1

ln 

e x

I dx

x  

A. I  1

e.  B. 

2  

I

e   C. 

1

 

I

e.  D. 

1

 

I

e. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 57 Tính tích phân 

2

5

ln

 x

I dx

x  

A 15 ln

256  

I   B.  14 ln

256  

I   C.  13 ln

256  

I   D.  15 ln

256  

I  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 58 Tính tích phân   

1

0

1

x

x

e x

I dx

xe

 



  

A.   2

ln

 

I e   B.   

ln

 

I e   C. I ln 1 e.  D. I lne1. 

Câu 59 Biết 

0

1 x

x

dx a

e 



  Tính giá trị của tích phân 

0

1 x

x

I dx

e

 

        

A. 

I  a.  B. I  1 a.  C. 

3

I  a.  D. I  1 a. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 60 Tính tích phân 

1

ln

ln

 





e x

I dx

x x  

A. I ln(e1).  B. I ln(e1).  C. I  ln(e1).  D. I ln(1e). 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 61 Tính tích phân 

1

2 ln

e

x

I dx

x



  

A. 2 3  

I   B.  3 2

3  

I   C. 3 2

2  

I .  D.  3 2

3  

I  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 62 Tính tích phân 

1 2

0

 x

I x e dx. 

A. 

2

4  e

I   B. 

2 1

4   e

I   C. 

2 1

4   e

I   D. 

4 

I  

Câu 63 Tính tích phân 

3

2

3 ln

( 1)

 



 x

I dx

x  

A.  3(1 ln 3) ln

  

I   B.  3(1 ln 3) ln

4

  

I  

C.  3(1 ln 3) ln

  

I   D.  3(1 ln 3) ln

4

  

I  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 64 Tính tích phân   

2 sin

0

.cos

x

I e x xdx



   

A. 

2

  

I e   B. 

2   

I e   C. 

2   

I e   D. 

2   

I e  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 65 Tính tích phân 

ln

ln







x

x

e

I dx

e

. 

A 22 

I .  B 19

3 

I  .  C.  23

3 

I .  D.  20

3 

I . 

 .            .            .           .           .           .          

Câu 66. Tính tích phân 

1

(2 1) ln

 

e

I x xdx. 

A. I e2 3.  B. 

2

1

  e

I   C. 

2

 

I e   D. 

2

3

  e

I

 Dạng 48 Bất đẳng thức tích phân

Câu 67 Tìm giá trị a dương để   2

a

xx dx

  đạt giá trị lớn nhất. 

A. a 1.  B. 

a    C. a 2.  D. 

2

a   

Lời giải tham khảo 

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  f a , có  f a a a a0. 

Câu 68 Tìm các giá trị thực m1 sao cho   

1

ln 1 

 x dx m



 

A. m e 1.  B. me  2 C. m2 e   D. me  

Lời giải tham khảo 

Tính tích phân   

1 ln 1

m x dx  theo tham số m, sau đó tìm m từ phương trình Im. 

Câu 69 Tìm số dương k nhỏ nhất thỏa mãn 

1

0

0  

 x kdx  

A. k 3.  B. k4.  C. k1.  D. k2. 

Lời giải tham khảo 

*

k

   ,  x 0; , 2 x k 0, do đó 

0

0

0,  

 x kdx   k *. Suy ra số nguyên dương k 

nhỏ nhất thỏa mãn bài ra là k1. 

Câu 70 Gọi S là tập hợp các số nguyên dương kthỏa mãn điều kiện 

1

ln

e

k dx e

x  

  Tìm 

S. 

A. S 1; 2;3.  B. S  1;   C. S 2;3.  D. S  . 

Lời giải tham khảo 

Tính tích phân theo hằng số k, rồi tìm k ngun dương từ điều kiện. 

Câu 71 Cho 

1

0

dx I

x m





 , với m0. Tìm các giá trị của tham số m để I 1. 

A 0

m

  .  B. 

4

m  .  C. 1

8m 4.  D. m 0. 

Lời giải tham khảo 

 

 Dạng 49 Bài tập tổng hợp tích phân

Câu 72 Tính tích phân 

4

3



   

I x x dx  

A. 19

   B. 19

2   C. 

28

6   D. 19  

Lời giải tham khảo 

1

2 2

1

1

3 3

1

( 2) ( 2) ( 2)

3 3 19

2 2

3 3 2





        

     

            

     

  

I x x dx x x dx x x dx

x x x x x x

x x x

 

Câu 73 Tính tích phân 

1

1

2 2



  x  x

I dx  

A. I 2 ln 2.  B. 

ln 

I   C. Iln 2.  D. 

ln 

I  

Lời giải tham khảo 

Đặt t2x hoặc có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm kết quả. 

Câu 74 Tính tích phân 

2 2

1



 

J x dx  

A. 3.  B. 4.  C. 9.  D. 

2

. 

Lời giải tham khảo 

Xét dấu  x2 1 trên đoạn 2; 2 

x  -2      -1       1      2 

2

1 

x           +      0        -         0         + 

     

2 1

2 2

2 1

1 1

I x dx x dx x dx x dx



  

       

3 1 1 2

4

2 1

3 3

x x x

x x x

     

         

 

     

.    

 

Câu 75 Cho 

10

0

( ) 17,

 f z dz  

8

0

( ) 12

 f t dt  Tính 

10

8

3 ( ) 

 f x dx  

A. -15.  B. 29.  C. 15.  D. 5. 

Lời giải tham khảo 

10

8

( ) 5

 f x dx nên

10

8

3 ( ) 15

  

 f x dx

Câu 76.  Cho  hàm  số  f x   liên  tục  trên 0; 10  thỏa  mãn 

10

0

( ) 7; ( ) 3

 f x dx  f x dx   Tính 

2 10

0

( ) ( )  

P f x dx f x dx  

A. P3.  B. P2.  C. P4.  D. P1. 

Lời giải tham khảo 

Ta có: 

10

0

( )  (10) (0)7; ( )  (6) (2)3

 f x dx F F  f x dx F F  

2 10

0

( ) ( ) (2) (0) (10) (6)

        

P f x dx f x dx F F F F  

Câu 77 Cho  ( )







a

a

f x dx . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A.  f x là hàm số chẵn. ( ) B.  f x( )

 

là hàm số lẻ. 

C.  f x  không liên tục trên đoạn ( )  a a; .  D. Các đáp án đều sai. 

Lời giải tham khảo 

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 

            

   

a a a

a a

f x dx f x dx f x dx f x f x dx f x f x f x lẻ.…… 

 

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 78 Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số  12

sin x và đồ thị hàm số yF x  đi 

qua  ;      

M   Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A.    cot  

F x x.  B. F x  3cotx.   

C.    cot  

F x x.  D. F x  cotx C  

Câu 79 Cho e2xcos 3xdxe2xacos 3x b sin 3xc, trong đó  , ,a b c  là các hằng số. Tính 

tổng a b  

A. 

13

  

a b   B. 

13

  

a b   C. 

13

 

a b   D. 

13

 

a b  

 .           .           .           .           .           .            .          

Câu 80 Trong  Giải  tích,  với  hàm  số y f x   liên  tục  trên  miền ( ) D[ , ]a b   có  đồ  thị  là  một  đường cong C thì độ dài của  C được xác định bằng cơng thức  

 2d

1 ( )

b 

a

L f x x  

Tính độ dài của đường cong C cho bởi 

2

ln  x 

y x  trên 1; 2. 

A. 3 ln

8    B. 

31 ln

24   C. 

3 ln

8   D. 

55 48. 

 .           .           .           .           .           .            .          

Câu 81 Cho 

3

2

3 ln

(ln 1) ln

( 1)



   



 x

I dx a b

x  với  , a b   Tính giá trị biểu thức T 4a2b. 

A. 4.  B. 7.  C. 5.  D. 6. 

 .           .           .           .           .           .            .          

3C DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

 

 

 Dạng 50 Tính diện tích hình phẳng

  

Câu 1. Cho hàm số y  f x  liên tục trên đoạn a b; . Gọi S là diện tích hình phẳng giới  hạn bởi hàm số y f x  trục hồnh và hai đường thẳng xa x, b  Mệnh đề nào  sau  đây là đúng? 

A   

b

a

S f x dx   B.   ( )2

b

a

S f x dx   C.    

b

a

S f x dx   D.    

a

b

S f x dx  

 

Câu Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờ thị của hai hàm sớ y f x , 

 



y g x  và các đường thẳng xa x, b  Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A.      

b

a

S f x g x dx   B.      

b

a

S f x g x dx  

C.      

b

a

S f x g x dx   D.      2

b

a

S f x g x dx  

Lời giải tham khảo 

   

 

b

a

S f x g x dx  

Câu Cho hàm số  f x  xác định và đồng biến trên 0; 1 và có 1  

    

f  Cơng thức tính 

diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y1  f x ; y2 f x( ) ;2 x1 0; 

2 1

x ? 

A.        

1

1

1

2

(1 ( ))  1

 f x f x dx  f x f x dx         

B.       

1

2

0

( ) 

 f x f x dx  

C.     

1

2

0

( ) 

 f x f x dx    

D.        

1

1

1

2

1 ( )  ( ) 1

 f x f x dx  f x f x dx  

Lời giải tham khảo 

Công thức tổng quát ứng dụng y1  f x y( ); 2 g x x( ); 1 a x; 2 b a( b) là:  

( ) ( )  

b

Do  f x  đồng biến nên ta có: ( )

 

1

2

0

1

1 ; ( ) 1 ( ) ( ( )) ( ( )

2    )( 1)

      S  f x f  

f x x f x x x dx f x f x dx  

1

1

1

2

( ) (1 ( )) ( )( ( ) 1)  f x  f x dx f x f x  dx  

Câu 4. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx  và 2 yx2. 

A.  

S   B. 

2 

S   C. 

2 

S   D.  15

2 

S  

Lời giải tham khảo 

2

1

9

2



    

S x x dx  

Câu Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx  và đường thẳng 2

2 

y x  

A 

S   B. 

2 

S   C. 

3 

S   D.  23

15 

S  

Lời giải tham khảo 

2

2

2      

 

x

x x

x

2

0

4

3 S x  x dx  

Câu Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y2x  và 2 yx. 

A. S5.  B. S7.  C.  

S   D.  11

2 

S  

Lời giải tham khảo 

Giái phương trình hồnh độ 2x2 xx 1 x 2   Áp dụng cơng thức diện tích (Bấm máy ). 

Câu Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x  và 2 y 2x4. 

A.  13 

S   B. S9.  C.  13

3 

S   D. 

9 

S  

Lời giải tham khảo 

Phương trình hồnh độ giao điểm của y 2x  và 2 y 2x4 là: 

2

2 2

2              

 

x

x x x x

x   

 

2

2 2

1

1

2

2 2 4

3 

 

  

            

 

 

S x x dx x x dx x x x  

Câu 8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( ) :P y3x , đường thẳng 2

2 3,   

y x  trục tung và x1. 

A.  

S  (đvdt).  B.  

S  (đvdt).  C.   

S  (đvdt).  D. 

4  

S   (đvdt). 

Phương trình hồnh độ giao điểm: 3 2 3 2 0

2           

 

x

x x x x

x   

Diện tích cần tìm được tính bằng cơng thức sau đây: 

 

1 2 2

0

1

3

0

2

4

2

3 3

   

    

 

S x xdx x xdx

x x x x

x đvdt

 

Câu 9. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx3 3x  và  yx. 

A. S12.  B. S4.  C. S6.  D. S8. 

Lời giải tham khảo 

Ta có PT hoành độ giao điểm 

0

4

2   

   

   

x

x x x

x

 

Diện tích     

0

3

2

4 4



        

S x x dx x x dx  

Câu 10 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3 x  và yx x  

A. S12.  B. S37.  C.  37 12 

S   D. S11

Lời giải tham khảo 

3      0;  2; 1

x x x x x x x  

0

3

2

37

2

12



       

S x x x dx x x x dx  

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 11.  Tính  diện  tích S  của  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các  đường  y x3 3x3  và 

đường thẳng y5. 

A.  

S   B.  45

4 

S   C.  27

4 

S   D.  21

4 

S  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 12. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx4 2x2 1 và trục 

hoành. 

A.  16 15 

S   B. 

15 

S   C. 

15 

S   D.  15

8 

S  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 13 Tính diện tích S của hình  phẳng  giới  hạn bởi  các đường y5x4 3x2 8, trục 

 

Ox trên đoạn 1; 3. 

A. S100.  B. S150.  C. S180.  D. S200. 

 .            .            .           .           .           .          

Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đườngy x2 4x3 , yx3. 

A.  197 

S   B.  109

6 

S   C.  56

3 

S   D.  88

3 

S  

Câu 15. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y x; 2 và đường  thẳng x1 bằng  

A. S e ln 4   B. S e ln 4  

C. S e ln 4   D. S e ln 4  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 16 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yln ,x x1,xe

e  và 

trục hồnh. 

A. S 1

e.  B. 

1 1       

S

e   C. 

1 1       

S

e   D. 

1  

S

e. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 17. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 

1  

 

x y

x  và hai trục 

toạ độ. 

A. Sln – 1.  B. Sln 2.  C. Sln 1.   D. S2 ln 1.  

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 18. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y1 x

x , y2, y0, 

0 

x  

A. S– ln 3.  B. Sln 3.  C. S2 ln 3.  D. S 2 ln 3. 

Câu 19 Tính  diện  tích S  của  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các  đường 

2

2   x x

x

y ,  y0, 

2,   

x x  

A – nl 16 

S   B.  l n

4

 

S         C.  l n

6

 

S   D.  l

1 n

4

 

S  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 20 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường  2 ,

 



y y

x  

A.

2

 

S    B. 

2

 

S    C. 

6

 

S    D. 

6

 

S   

 .            .            .           .           .           .          

Câu 21. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx 1x2 , trục Ox và 

đường thẳng x1. 

A. 2

3  

S   B. 

3 

S   C. S2 1   D.  2

3  

S  

 .            .            .           .           .           .          

Câu 22.  Gọi   H   là  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các  đường   P : y –x22, y0, 

0,  

x x  Tính tọa độ điểm M nào trên  P  mà tiếp tuyến tại đó tạo với  H  một hình  thang có diện tích nhỏ nhất. 

A.  9;      

M   B.  7;

2      

M   C.  1;

2

 



 

 

M   D. Khơng tồn tại điểm M. 

Câu 23 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx2 4, y0, x3, 

0 

x  

A S15.  B. S18 .        C. S20.  D. S22. 

 .            .            .           .           .           .           .          

Câu 24 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx2 2 ,x yx  

A.  

S   B. 

2 

S   C.  19

2 

S   D.  11

2 

S  

 .            .            .           .           .           .           .          

3D THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY (CĐ 17)

 Dạng 51 Tính thể tích khối trịn xoay

Câu Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo quay hình cong, giới hạn đồ thị hàm sốy f x , trục Ox hai đường thẳng xa x, b a b quay xung quanh

trục Ox Mệnh đề đúng?

A    

b

a

V  f x dx B  2 



b

a

V f x dx C  2 



b

a

V  f x dx D   

b

a

V f x dx

Câu Cho hình phẳng  H giới hạn đường y 3 ;x yx x; 0 ; x1 Tính thể tích V vật thể tròn xoay  H quay quanh Ox

A. 

V  B

2

8 

V  C V 82 D V 8

Lời giải tham khảo

Xét hình thang giới hạn đường: y3 ;x yx x; 0 ; x1

Ta có:    

1

2

0

8

3

   

V  x dx x dx 

Câu Cho tam giác giới hạn ba đường yx x, 1, trục Ox Tính thể tích V khối trịn xoay tạo phép quay quanh trục Oy tam giác

A 

V  B

3 

V  C V  D

3 

V 

Lời giải tham khảo

Thể tích hình cần tính thể tích khối trụ trừ thể tích khối nón

Câu Thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường

2

1  

y x , y0 quanh trục Ox có kết dạng a

b



Tính a b

A a b 11 B a b 17 C a b 31 D a b 25

Lời giải tham khảo

1

2

1

16

(1 )

15



 

 x dx 

 Nên a16, b15, a b 31

Câu Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y2x , trục 2 Ox hai đường thẳng

1,   

x x xung quanh trục Ox

A

0

2

1

(2 )



  

V  x dx B

0

2

1

(2 )



  

V x dx

C

0

2

(2 )

  

V  x dx D

0

2

  

Lời giải tham khảo

0

2

1

(2 )



  

V  x dx

Câu Tính thể tích V hình khối hình phẳng giới hạn đường

2

4 ,

   

y x y x quay quanh trục Ox

A V 14 B V 15 C V 16 D V 17

Lời giải tham khảo

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số:

2

4

1        

 

x

x x

x

Thể tích cần tìm:      

1 2 2 2

2 2

1

4 12 16

 

 

      

 

 

 

V  x x dx  x dx  đvtt

Câu Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y x2 3 ;x y  x quay quanh trục Ox

A 56 15 

V  B

15 

V  C 56

15  

V  D 56

5 

V 

Lời giải tham khảo

Phương trình hồnh độ giao điểm tìm được x0; x 2

Gọi V1; V2 Tính được thể tích phần là 32 ;

5

 

56

15

V  

Câu Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2x x , trục hồnh Tính  thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox

A. 16 15 

V B

3 

V  C

3 

V D 16

15 

V 

Lời giải tham khảo

Phương trình HĐGĐ    

 

x x

   

2

2 2

2 4

0 0

4 16

2 4

3 15

 

           

 

  x x

V  x x dx  x x x dx  x 

Câu Tính thể tích V khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường

2 4 4, 0, 0, 3

     

y x x y x x quay quanh trục Ox

A 33 

V  B 33

6 

V  C 33

5 

V  D 33

4 

V 

Lời giải tham khảo

 

3

4

0

33

5    

Câu 10 Gọi  H hình phẳng giới hạn đường yx2 1 y4x2 Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng  H quanh trục Ox

A 

V  B 248

3 

V  C 224

15 

V  D 1016

15 

V 

Lời giải tham khảo

2

1 4

3           

 

x

x x x x

x

   

 

3

2

2 2

1

224

4

15

     

V  x x dx 

Câu 11 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường yx2 1, x0 tiếp tuyến với đồ thị hàm số

2 1

 

y x điểm 1; 2

A 15 

V B

15 

V  C

15 

V D 15

8 

V 

Lời giải tham khảo

Viết phương trình tiếp tuyến, vẽ hình xác định miền cần tính diện tích, sử dụng máy tính cầm tay để tìm kết

Câu 12 Tính thể tích V khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường thẳng

1

, 0, ( 1)

2

   

y y x a a quay quanh trục Ox

A 11  

V

a B

1       

V

a  C

1       

V

a  D

1       

V

a

Lời giải tham khảo

2

1

 

   

 



a dx V

a x

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 13 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x0;x biết thiết diện vật thể với mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

(0x) tam giác có cạnh 2 s xin

A V  B

3 

V  C V 2 D V 2

Câu 14 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x0,x2, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x

0x2 nửa hình trịn đường kính 5x2

A V 4 B V  C V 3 D V 2

Câu 15 Tính thể tích V vật thể giới hạn hai mặt phẳng x0 x3, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0x3 hình chử nhật có kích thước x  x 2

A V 16 B V 17 C V 19 D V 18

Câu 16 Cho hình phẳng  H giới hạn đườngy x1, trục hoành x4 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H quanh trục Ox

A 

V  B

2

7 

V  C

6 

V D

3 

V 

Câu 17 Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục hoành y 1x2, y0.

A 31416

20001 

V B

3 

V  C

2 

V  D

2 

V

Câu 18 Tính thể tích V khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường yx ln(1x2), trục Ox đường thẳng x1

A 1ln

3

 

    

 

V   B 1ln

3

 

    

 

V  

C 1ln

 

    

 

V   D 1ln

3

 

    

 

V  

Câu 19 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo phép quay quanh trục Oy hình

phẳng giới hạn đường 22 , 0, 1

  



y

x y y

y

A

3 

V  B

2 

V  C

4 

V  D

2 

V 

Câu 20 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn

đường sin cos , 0, 0,

    

y x x y x x  quay quanh trục Ox

A

2        

V   B

2        

V  

C

2        

V   D

2

 

   

 

V  

Câu 21 Cho hình phẳng  H giới hạn đường ysin ,x x0,y0,x Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình  H quay quanh Ox

A V 2 B

2

2 

V  C

2

4 

V  D

2 

V 

Câu 22 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường ln , 1, 2,

   

y x x x y quay xung quanh trục Ox

A V 2 ln 2 ln 1    B V ln 2 ln 12   

C V 2ln 2 ln 12    D V ln 2 ln 12  

Câu 23 Cho hình phẳng  H giới hạn đường: yxln , yx 0,xe Tính thể tích

V khối trịn xoay tạo thành quay hình  H quanh trục Ox

A

3

(5 -2) V=

28

e



B

3

(5 -2) V=

25

e



C

3

(5 +2) V=

27

e



D

3

(5 -2) V=

27

e



Câu 24 Tính thể tích V khới tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường  x

y e , trục tung và ye quay quanh trục Ox

A V (e2 1). B ( 1)

2   e

V  C V (e2 2). D ( 1)

2   e

V 

Câu 25 Tính thể tích V khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  x

y e , trục hoành hai đường thẳng x0, x3 quay quanh trục Ox

A  

6

1

2 

 e

V  B  

6

1

2 

 e

V C  

6

1

2 

 e

V  D  

6

1

2 

 e

V

Câu 26 Cho hình phẳng A giới hạn đường , 

 x  x

y e y e x1 Tính thể tích

V khối trịn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hoành

A

2

1 2



 

    

 

e e

V  B

2

1 2



 

    

 

e e

V 

C

2

1 2



 

    

 

e e

V  D

2

1 2



 

    

 

e e

V 

Câu 27 Cho hình phẳng A giới hạn đường cong có phương trình

1 2.

 x

y x e đường thẳng x1,x2 trục hoành Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay A quanh trục hoành

A

4

 

V e e B

4

 

   

 

V  e e

C

4

  

V e e D

4

 

   

 

V  e e

Câu 28 Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x e , trục hồnh x đường thẳng x1 Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H xung

quanh trục Ox

A  1

4

 

V  e B  1

4

 

V  e C  1

2

 

V  e D  1

2

 

V  e

Câu 29 Tính thể tích V hình khối hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y xe , x

trục tung, trục hoành, x2 quay quanh trục Ox

A 15 1

4

 

V e B V 5e4 1. C 5 1

4

 

V  e D V 5e4 1.

Câu 30 Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn 

x

y xe , x0 x1 Tính thể tích V

của vật thể trịn xoay thu quay hình  H quanh trục Ox

A V e2 B V e1 C V e2 D V e1