[r]
(1)TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1: BẢNG CƠNG THỨC NGUN HÀM
Hàm sớ sơ cấp Hàm số hợp : u = u(x) Công thức suy rộng
2 1
ln x
ln
cos sin sin cos
tan cos cot sin x x x x x
x dx c
dx
x c x
e dx e c
a
a dx c a
a
x dx x c
x dx x c
dx x c x dx x c x 2 1
ln x
ln
cos sin
sin cos
tan cos cot sin u u u u u
u du c
du
u c u
e dx e c a
a dx c a
a
u du u c
u du u c
du u c u du u c u +1
1 ( x + b) ( x + b) x =
k +
k
k d C
x
ln kx + b kx + b
d
C k
k.x + b k.x + b
x = k
e d e C
k.x +b k.x +b x = 1
k ln
a
a d C
a
1
os(kx + b)dx = sin (kx + b) + C k
c
1
sin (kx + b)dx = os(kx + b) + C
k c 2 x
tan( x + b) + C cos (kx + b)
x
cot( x + b) + C sin (kx + b)
d k k d k k 2 x ln x
d x a
C
a a x a
2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
DẠNG 1: Xét tích phân
( )
b
a
I f x dx
Phương pháp: * Đặt x( )t dx/( )t dt
* Đổi cận:
x a t
x b t
Suy ra:
( ) '( )
I f t t dt
Các dạng thường gặp
2
)
b
a
a a x dx
đặt x a sint
2 ) b a dx b
a x
đặt x a sint
2 ) b a dx c
a x
đặt x a tant
DẠNG 2: Xét tích phân
( )
b
a
I f x dx
Phương pháp: * Đặt t u x ( )dt u x dx /( )
* Đổi cận:
x a t
x b t
Suy ra
( ) ( )
I g t dt G t
(2) 3: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức:
a b
udv=[uv]a b
−
a b
vdu
* BÀI TẬP:
1/ Tìm nguyên hàm hàm số sau a/ f(x)=x3+cosx −1
x b/ g(x)=5x
4
−2x+ cos2x
c/ h(x)=−
x4+
2
x+5sinx d/ m(x)=4x−tg2x+2
e/ n(x)=4x
−3x2+2
x2 g/
2x3−3 ¿2
p(x)=¿
h/ y=√x+√3x+√4 x i/ y= x2 (5 –x )4
2/ Tìm nguyên hàm sau
a/ sinx⋅ecosxdx b/ sin 7x⋅cos xdx c/ (tg6x+tg4x)dx
d/ 4x −2 3dx e/ 2x+3
x2+3x+7dx g/ (cos 4x
+sin4x)dx
3/ Tìm nguyên hàm hàm số
a/ f(x)=sin 2xcosx biết nguyên hàm baèng x=π
b/ f(x)=3x
4−2x3 +5
x2 ;(x ≠0) , biết nguyên hàm x =
c/ ( ) 2cos(2 6)
x
f x
biết nguyên hàm x = d/ f(x)=2x2−3
x vaø F(1) = 4
e/ f(x) = cos5x.cos3x vaø F(π
4)=1
4/ Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x)
a/ F(x) = (4x –5).ex + ; f(x) = (4x –1) ex
b/ F(x) = tg4x + 3x –5 ; f(x) = tg5x + 4tg3x + 3
c/ F(x) = ln(x
2 +4
x2+3) ; f(x) =
−2x
(x2+4)(x2+3)
5/ Tính tích phân sau
a/
1
xdx b/ √xdx c/
1
dx
x3
d/
1
dx
3
√x2 e/ 1
(x2−3x)dx f/
(2√x+3
x)dx
g/
1
x2−2x
x dx h/ 1
2
2x+6x2−4x3
−2x3 dx k/
0
x3
+9x2+3x −5
(3)p/
π
6
π
3
2−cos3x
cos2x dx q/ π
6
π
4
tg2x −2
sin2x dx i/ π
4
π
2
cotg2xdx
j/
π
4
π
3
dx sin2x
2cos
2x
2
t/
π
6
π
3
1−cos 2x
1+cos 2x dx
6/ Tính tích phân sau
a/
0
|x −2|dx b/
−4
|x2−4|dx c/
2
√x2−6x+9 dx d/
−1
3√4−|x|dx
e/
1−|x| (¿)dx
−1
¿
f/
π
4 3π
4
√cos 2x+1 dx g/
|x2−3x
+2|dx h/
−3
√x2
+4x+4 dx
7/ Tính tích phân sau a/
3x −2¿5dx ¿
0
¿
b/
x2+1¿6dx
x¿
0
¿
c/
−1
x√x2+3 dx d/
2x2 √1+x3
dx
e/
−1
x x2
+1dx f/ 0
1
x2
2− x3dx g/
x.ex2dx h/
1
e√x
2√xdx
k/
−1
x2e− x3
dx l/
1
e
2+lnx
x dx m/ e
e2 dx
x√1+lnx n/
0
π
6
(sin 2x+cos 2x)dx
8/ Tính tích phân sau
a/
0
π
x2cos xdx b/
0
xe3xdx c/
1
e e
lnxdx d/
0
π
exsin xdx
e/
1
(2x+1)lnxdx f/
π
4
π
2
xdx
sin2x g/
e√xdx h/
−π
4
π
4
tgxdx
i/ 3
√x −3 dx
k/
4
0 25 3x dx
m/ −1
exdx
2+ex n/ 3
dx
x2−3x+2
(4)a/ −1
(x+3)exdx
b/
1
2011
( 1)
x x dx
c/ π
6
π
3
xcos xdx
d/
1
x xdx
e/
1
(2x −1)ln xdx f/
π
6
2√1+4 sin 3xcos xdx g/
0
e
excos xdx h/
1
e
dx