Nguyên hàm tích phân

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.    x   Cx xx ++−           x x +  C x x +−         x x −  x       x x −  C x x x ++−        xxx ++  C xxx +++                xx −  Cxx +−      x x   −   Cxxx ++−     x x −  Cxx +−         x        Cxx ++            xx       xx x       Cx +−      Cxx +−−    !  !   Cee xx +−     !      x e x − !        C a a xx ++      !   Ce x + +    2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng "#$   "  #$%     +− x x  " xx − #$      −− xxx "     + x #$       −++ x x x  "    #$      6" &&'&  =−== fff x b      ++ x x 1) ∫       + dx x x 2 3 1 2) ∫ −− dx x xx 4 45 134 3) ∫       + dx x 1 x 3 4) ( ) ∫ + dxxx 3 3 2 5) ( ) ( ) ∫ ++ dx2x-xx 1 3 6) ∫       + dx x x 3 1 7) ∫       + dx x x 4 2 1 8) ∫ + dx x xx 2 4 9) ( ) ∫ + dxbax 2 3 10) ∫ ++ − dx x xx 4 3 4 2 11) ( ) ( ) ∫ ++ dxbxaxx 12) dxe2 xx ∫ 13) ( ) ∫ − dxe xx 2 2 14) ∫ ++ dxee x-x 2 15) ∫ −+ dxee x-x 2 16) ∫ + dx e e x 5x-2 1 17) ∫ + dx x 1-x 1 18) ∫ dxcos2x-1 19) ∫ + dx cosx1 x4sin 2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. ()*+ ∫ dxxuxuf ',- ./01*234  34 dxxudt ' =⇒  + ∫ ∫ = dttfdxxuxuf ',- BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:  ∫ − dxx    ∫ −   x dx   dxx ∫ −    ∫ − x dx  ∫ + xdxx     ∫ + dxxx     xdxx   ∫ +   ∫ + dx x x    ∫ + dx x x       ∫ +   xx dx   dx x x ∫     ∫ + dxex x     ∫ xdxx    ∫ dx x x      ∫ gxdx  ∫ x tgxdx    ∫ x dx   ∫ x dx   ∫ tgxdx  ∫ dx x e x  ∫ −  x x e dxe  ∫ dx x e tgx    ∫ − dxx    ∫ −   x dx  ∫ − dxxx    ∫ +   x dx  ∫ −    x dxx  ∫ ++   xx dx  ∫ xdxx    dxxx  ∫ −  ∫ +  x e dx  dxxx   ∫ +        5    5   5  2 xdx x + − + + ∫ ∫ ∫ ∫     5       4 3 2 5 4 2 2 xdx x dx x dx (6x-5)dx cosxdx sin cos x x x 3x sin x+ + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   5    0 ln dx cos + ∫ ∫   ! ! 5sin( ) ∫   2 (2x-3)dx x − + ∫  2 2 3 xdx x dx 1 x x+ + ∫ ∫ ( )       6  05 05 05 0   5 5 !  !    5 ! 5    sin e dx e dx sin2x cot cot ( ) cos lnx dx cos ln + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫      ! 5 !  5 − ∫ ∫ 1) ( ) ∫ + dxx 4 13 2) ∫ +− − dx xx x 24 42 2 3) xlnx dx ∫ 4) ∫ −+ dx xx x 1 2 2 5) ∫ + dx1xx 6) ( ) ∫ + dxe 3 x 1 7) ∫ + dx x1 x 2 8) ∫ +− + dx xx 4x 2 12 9) ∫ +− dx xx x 2 3 12 10) ∫ − + dx x 1x 2 11) ( ) ∫ + 3 1x xdx 12) ∫ + dxxx 2 1 13) ∫ xdxcos 4 14) ∫ xxcossin dx 22 15) ∫ dx1-2xx 16) ( ) ∫ − 2 4 3 4x dxx 17) ( ) ∫ + dxxx 2 3 3 12 18) ∫ xdxcosxsin 5 19) ∫ xdxtg 3 20) ∫ dxe x 1 x 21) ∫ dx xcos e tgx 2 22) dx x x ln x 1 ∫ − + − 1 1 1 2 23) ∫ + dxxx 3 23 1 24) ( ) ∫ xlnln.xlnx dx 25) ∫ dx1-xx 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. 7844&#$**$69:2;*$6<=><+ ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu '' ?@ ∫ ∫ −= vduuvudv #A544"5&5##"5 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:  ∫ xdxx   ∫ xdxx  ∫ + xdxx    ∫ ++ xdxxx    ∫ xdxx   ∫ xdxx   ∫ dxex x   ∫ xdx  ∫ xdxx   dxx ∫    ∫ x xdx  ∫ dxe x  ∫ dx x x    ∫ xdxxtg   ∫ dxx  ∫ + dxx    ∫ xdxe x   ∫ dxex x    ∫ + dxxx    ∫ xdx x   ∫ xdxx 0  ∫ + dxxx   ∫ + dx x x    ∫ xdxx   1) ( ) ∫ + xdxcosx 12 2) ∫ dxex x2 3) ∫ xdxln 4) ∫ xdxsine x 5) ( ) ∫ dxxlncos 6) ∫ dxxe x 7) ∫       − dx xln xln 11 2 8) ∫ xdxsine x 22 9) ∫       − + dx x x lnx 1 1 NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỶ Tìm các nguyên hàm sau: Bµi1: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: 1) ∫ + dx x x 1 2 2 2) ∫ ++ 1xx dx 2 3) ∫ ++ dx xx x 2 1 4) ∫ − 2 ax dx 2 5) + 23xx dx 2 6) + ++ dx xx xx 2 2 23 1 7) + 0)(a dx ax x 2 2 1 8) 1 3 x dx 9) + dx x 1x 3 1 10) ++ 34 24 xx dx 11) ( ) + dx 1-xx 1x 2 12) + 3-2xx dx 2 13) dx x4x x 3 3 1 14) + 2xx xdx 24 3 15) ( ) + dx 1x x 4 7 2 Bài2: 1) Cho hàm số y = 23 333 3 2 + ++ xx xx a) Xác định các hằng số A, B, C để: y = ( ) ( ) 21 1 2 + + + x C x B x A b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho ( ) ( ) ( ) 233 111 13 + + + = + + x B x A x x b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) = ( ) 3 1 13 + + x x 1. ( ) ( ) 2 2 1 2x dx x + + 2. ( ) ( ) 2 1 x dx x + + 3. 2 dx 1 9x+ 4. 2 dx 2x + 5. 6. NGUYấN HM HM LNG GIC Tỡm cỏc nguyờn hm sau: 1) xcos.xsin dx 2) xdxsin 2 3) cosx dx 4) dx 2 x cos.xcos 5) ++ 52cosx4sinx dx 6) + xcos-2sinxcosxxsin dx 22 7) .sin4xdxcosx.cos2x 8) dxxtg 5 9) xcos dx 6 10) xsin dx 6 11) ∫ dx xx.sincos cos2x 22 12) ∫ xcos.xsin dx 22 13) ∫ xdxsin2x.cos3 14) ∫ dxxcos 6 15) ∫ xdxsin.xcos 8 3 16) ∫ xdxcos 2 17) ∫ xdxsin 3 18) ∫ xdxtg 2 19) ∫ x.cosxdxsin 2 20) ∫ dx xcos tgx 3 21) ∫ + + xcosxsin xcos 3 14 2 22.    5 cos 1 cos2x + + ∫ 23.   5   cos2x cos sin ∫ 24.  0 5 ∫ 25.  0 5cot ∫ 26.   5cos sin ∫ 6. NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỶ Tìm các nguyên hàm sau: 1) ∫ − 2 4 x dx 2) ∫ −+ 11 xx dx 3) ( ) ∫ + 2xx dx 4) ∫ x-1x dx 5) ∫ + + 1x dx 1-x 1x 3 6) ( ) ∫ +−+ ++ dx xx 1x 11 2 2 7) ∫ +++ 3 xx dx 11 8) ∫ +++ 11 xx dx 9) ∫ − dxx 2 4 10) ∫ −− dxxx 2 4 11) ∫ −+− 143 2 xx dx 12.      5  − ∫ 13. 2 dx 3-3x ∫ 14.    dx − ∫ 15.    dx − ∫ 16.    dx − ∫ TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:      x x dx+ + ∫ 2.        e x x dx x x + + + ∫ 3.   x dx− ∫ 4.   x dx+ ∫ 5.     x cosx x dx π π + + ∫ 6.     x e x dx+ ∫ 7.     x x x dx+ ∫ 8.     x x x dx+ − + ∫ 9.      x cosx dx x π π + + ∫ 10.      x e x dx+ + ∫ 11.      x x x x dx+ + ∫ 12.     x x x dx− + + ∫ 12.      5( ). − + ∫ 13.  2 2 -1 x.dx x + ∫ 14.  !      5  − − ∫ 15.   5 2 dx x 2+ + − ∫ 16.      5    ( ). ln + + ∫ 17.      5  cos . sin π π ∫ 18.    0 5  . cos π ∫ 19.       ! ! ! ! dx − − − + ∫ 20.      ! 5 ! ! . − + ∫ 21.    5  + ∫ 22.     5 ! ! ln . − + ∫ 22.   5  sin π + ∫ 24. ∫ − ++     dxxx 25. ∫ −−        dxxx 26. ∫ − −    dxxx 27. ∫ − −     dxx 28. dx xx ∫       +     29. ∫ −      dx x xx 30. ∫ e e x dx   31. ∫   dxx 32. dx x xx e ∫ −+    33. dx x x ∫         −        II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:  1.      xcos xdx π π ∫ 2.      xcos xdx π π ∫ 3.      x dx cosx π + ∫ 3.   tgxdx π ∫ 4.    gxdx π π ∫ 5.     xcosxdx π + ∫ 6.    x x dx+ ∫ 7.    x x dx− ∫ 8.     x x dx+ ∫ 9.      x dx x + ∫      x x dx− ∫       dx x x + ∫       dx x+ ∫         dx x x − + + ∫        dx x + ∫           dx x+ ∫     x e cosxdx π π ∫      cosx e xdx π π ∫  18.     x e xdx + ∫ 19.      xcos xdx π π ∫ 20.    x e cosxdx π π ∫ 21.    cosx e xdx π π ∫ 22.     x e xdx + ∫        xcos xdx π π ∫        xcos xdx π π ∫       x dx cosx π + ∫     tgxdx π ∫      gxdx π π ∫       xcosxdx π + ∫     x x dx+ ∫ 30.    x x dx− ∫ 31.     x x dx+ ∫ 32.      x dx x + ∫ 33.     x x dx− ∫ 34.      dx x x + ∫ 35.    e x dx x + ∫ 36.    e x dx x ∫ 37.     e x x dx x + ∫ 38.    e x e dx x + ∫ 39.      e e x dx x x + ∫ 40.       e e dx cos x+ ∫ 41.     x dx x+ − ∫ 42.     x dx x + ∫ 43.   x x dx+ ∫ 44.     dx x x+ + ∫ 45.     dx x x+ − ∫ 46.   x dx x + ∫      e x dx x + ∫ 47.    e x dx x ∫ 48.     e x x dx x + ∫ 49.    e x e dx x + ∫ 50.      e e x dx x x + ∫ 51.       e e dx cos x+ ∫ 52.     + ∫ x x dx 53. ( )      + ∫ x xdx π 54.     x dx− ∫ 55.     x dx− ∫ 56.     dx x+ ∫ 57. dxe x ∫ − +    58. ∫ −   dxe x  1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫  1 0 x dx 2x 1+ ∫   1 0 x 1 xdx− ∫   1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫  1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫   3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫   6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫  3 2 0 4sin x dx 1 cos x π + ∫   4 2 0 1 sin 2x dx cos x π + ∫   2 4 0 cos 2xdx π ∫  2 6 1 sin 2x cos2x dx sin x cos x π π + + + ∫  1 x 0 1 dx e 1+ ∫   dxxx     ∫ − π  ∫ +     π dx x x   ∫ +     π dx x x   ∫ −     π dx x x   ∫ − −+ +       dx xx x   ∫ ++ −    xx dx  2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫   2 5 0 cos xdx π ∫  4 2 0 sin 4x dx 1 cos x π + ∫  1 3 2 0 x 1 x dx− ∫  2 2 3 0 sin 2x(1 sin x) dx π + ∫   4 4 0 1 dx cos x π ∫   e 1 1 ln x dx x + ∫   4 0 1 dx cos x π ∫  e 2 1 1 ln x dx x + ∫   1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫   6 2 0 cos x dx 6 5sin x sin x π − + ∫  3 4 0 tg x dx cos 2x ∫  4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x π + + ∫  ∫ +      π dx xx x   ∫ −+ −    xx ee dx   ∫ +      π dx x x   ∫     π π dx x tgx   ∫ −     π dxxtg   ∫ + −     π π dx x xx   ∫ + +     π dx x xx   ∫ +     π dx x xx   ∫ +     π xdxxe x   ∫ −+    dx x x   ∫ + e dx x xx     ∫ + −      π dx x x  1 2 0 1 x dx− ∫   1 2 0 1 dx 1 x+ ∫   1 2 0 1 dx 4 x− ∫  1 2 0 1 dx x x 1− + ∫  1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫   2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫   2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫  2 2 2 1 x 4 x dx− ∫  2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫   3 2 2 1 9 3x dx x + ∫   1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫   2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫  2 0 cos 7 cos 2 x dx x π + ∫   1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫   2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫   ∫ ++ −    xx dx  ∫ ++    x dx   ∫ − −     dx x xx   8 2 3 1 1 dx x x + ∫   7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫   3 5 2 0 1x x dx+ ∫   ln2 x 0 1 dx e 2+ ∫   7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫   2 2 3 0 1x x dx+ ∫  ∫ +    xx dx  II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: B0*C)*D*EF0D*GH 4 #'        '  b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫                IDa ̣ ng 1    ax ax f x cosax dx e β α           ∫    '     ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = =           ⇒       = =                   ∫ IDa ̣ ng 2:   f x ax dx β α ∫ J K        dx du u ax x dv f x dx v f x dx  = =   ⇒   =   =  ∫ IDa ̣ ng 3:         ∫ ax ax e dx cosax β α  LM N 54 K HM N * N M N *D*E4 %       x x e dx x + ∫ 2J K      x u x e dx dv x  =   =  +  .%        x dx x − ∫ 2J K        u x x dx dv x  =   =  −  [...]... diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau x x3 Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y = o x 1 y= 0 Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích. .. Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: a a a f ( x)dx = [ f ( x) + f (x)]dx 0 Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 3 3 ; 2 2 3 2 Tính: f ( x)dx 3 2 1 +) Tính x 4 + sin x dx 2 1 1 + x ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 cos 2 x , a f ( x)dx = 0 Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: a 1 ln( x + Ví dụ: Tính: 1 + x 2 )dx 1 2 cos x ln( x + 1 + x 2 )dx 2 a Bài toán 2: Hàm. .. diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần x 2 + 2ax + 3a 2 y = 1+ a4 Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Tìm a để diện 2 y = a ax 1 + a 4 tích lớn nhất Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau: x2 y = 4 4 1) (H1): 2 y = x 4 2 4) 7) y = x 2 (H4): 2 x = y ln x y= 2 x (H7): y = 0 x = e x = 1 ... x + 1 + x 2 )dx 2 a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: f ( x)dx = 2 a a f ( x)dx 0 1 Ví dụ: Tính x 2 1 x + cos x dx 4 sin 2 x x dx 4 x +1 2 2 a Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: (1 b>0, a) 3 x +1 1 + 2 Ví dụ: Tính: 2 2 x 3 Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; Ví dụ: Tính sin x sin 3 x cos 5 x dx 1+ ex dx 2 2 ], thì... 1 x = , x = 10 10 y 2 = 2 x 43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp 2 27 y = 8( x 1) 2 tuyến đi qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất 45) y = x 3 2x 2 + 4x 3 y= 0 TNH TH TCH VT TH TRềN XOAY Cụng thc: O y x=a a x=b (C ) : y = f ( x ) y=0 b b x y b x=0 y=b (C ) : x = f ( y ) y=a a x . dx − ∫ 15.    dx − ∫ 16.    dx − ∫ TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:      x x dx+ + ∫ 2. . 11 2 8) ∫ xdxsine x 22 9) ∫       − + dx x x lnx 1 1 NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỶ Tìm các nguyên hàm sau: Bµi1: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: 1) ∫ + dx x x