ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT 1.. Do đó nếu fx có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm họ nguyên hàm khác nhau hằng số C... + Hàm số fx được gọi là hàm dưới dấu tích phân.. + fxd
Trang 1NGUYÊN HÀM
I ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
1 Định nghĩa
a/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu " Ỵ x (a; b) ta có
/
F (x) = f(x)
b/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu " Ỵ x (a; b) ta có
/
F (x) = f(x) và F (a)+/ = f(a), F (b)-/ = f(b)
Nhận xét:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C, C Ỵ ¡ cũng là nguyên hàm của f(x) Do đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác nhau hằng số C
Ký hiệu: ị f(x)dx = F(x) + C
2 Tính chất
a/ ( )/
ị
b/ ị a.f(x)dx = a f(x)dx (a ị ¹ 0)
c/ ị [ f(x) ± g(x) dx ] = ị f(x)dx ± ị g(x)dx
3 Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng (a0)
a.dx = ax + C, a Ỵ
1 x
1
a +
-a +
a +
a +
ị
ị
1
C
a
C
ị
a
ị
x
lna
lna
a +b
a
ị
a
ị
a
ị
2
ị
2
ị
4 Bài tập
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x f(x)
= +
5/f(x) 22x 3
-=
2
x 2x 1 f(x) = (x + 1)5 +
Trang 2-7/ ln x
f(x)
2x
f(x)
2x
+
=
11/f(x) = x2 x3 + 1 12/f(x) = e3cosx sin x
13/f(x) 2 2
1 x
=
5 f(x)
=
f(x)
=
+
=
2cosx f(x)
=
+
19/ f(x) 5sin x2 23cotg x2
cos x
3
f(x)
x x
5 x
2
x e
-23/
2
f(x)
+
=
3x f(x)
=
+
1 f(x)
x cos (ln x)
sin x cosx f(x)
=
-Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:
1/
x x
e f(x)
=
cosx f(x)
sin x
2
p
2
p
5/
1 x 2 x
1 x x x )
x
3
1 F(1)
TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng ( a b ; ) và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với a, b Ỵ a b ( ; ) ta gọi hiệu F(b) - F(a) là tích phân từ a đến b của f(x)
Ký hiệu:
b
b a a
ị
(công thức Newton - Leibniz)
+ Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân
+ f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x)
+ a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b)
+ x là biến số tích phân
Nhận xét:
2 Tính chất
Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng ( a b ; ) và a, b, c Ỵ a b ( ; ) ta có
1/
a
a
ị
2/
Trang 33/
k.f(x)dx = k f(x)dx k " Ỵ
5/
b
a f(x) ³ 0 x " Ỵ a; b Þ ị f(x)dx ³ 0
b
a
f(x) £ 0 x " Ỵ a; b Þ ị f(x)dx £ 0
4 Bài tập
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng định nghĩa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
Bài 1 : Tính các tích phân :
1/ x(x2 1)dx
1
0
2/ x x ( x2 1 ) dx
16
1
3/ x x x dx
8
x x
x
4
1
3 ) 1 (
Bài 2 : Tính các tích phân :
x
2
1 5 3
3
x
x
2
11 2
1 2
x
x x
5
4
2 3
5 2
x x
x
5
4
3 2
5/
dx x
x
5
4
1
x x
x
4
3
3
x x
5
4
3
x x
x
5
4
1 2
9/
dx
x
2
1
10/ dx
x
x
1
0 2
3
1
Bài 3 : Tính các tích phân :
1/
2
0
cos 3 cos
xdx
x 2/
2
0
sin 2 sin
xdx
2
0
3 sin cos
xdx
x 4/
2
0
5 cos 2 sin
xdx x
5/
2
0
4 cos
xdx 6/
3
6
2
2 cos sin 1
dx x
3
6
2
2 cos sin
2 cos
dx x x
x
x
e e
x
cos 3 ( 4
0
2
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng
b
a
dx x u x u
f[ ( )] '( ) ( trong đó u(x) là hàm số biến x)
*Phương pháp:
+ Đặt t = u(x) dt = u’(x)dx
+ Đổi cận : Khi x = a t = u(a), khi x = b t= u(b)
+ Thay thế :
Khi đó
b
a
dx x u x u
f[ ( )] '( ) =
) (
) ( ) (
b u
a u
dt t f
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập.
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/
8
x
2/
1
0
8
1
x
4/
2 ln
0
1dx
2
1 x 1 x2
dx
6/
2
3
2 x 1 x2
dx
Bài 2 : Tính các tích phân :
Trang 41/ e x xdx
1
0
2
2
2/ e xcos xdx 2
0
sin 2 1
3/ e e dx
x
e x
1
0
4/
e x x
dx e
1
ln 5/ dx
x
etgx
2
0 2 cos
Bài 3 :Tính các tích phân :
x
x
2
01 2 cos
sin
x x e
e
2
ln
1
3/
1
0
sine dx
e x x
4/
1 0
dx e e
e
x x
x
5/
27
1 x ( 1 3 x ) dx
dx
6/
0
4
cos xdx 7/
1
1
2 ) 11 12 ( x x dx 8/
2 3 6
cos sin
x dx x
2 ln 2
2
dx
10/
2
0
3 3
3
cos sin
sin
dx x x
x 11/
3x x 3 x dx
3
cos sin
cos
12/
2 ln
0
x
e dx
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng
b
a
dx x v x
u( ) '( ) ( trong đó u(x), v’(x) là những hàm số biến x)
*Phương pháp:
+ Đặt
dx x v dv x u u
) ( ' ) (
ta có
) ( ) ( '
x v v
dx x u du
Khi đó
b
a
dx x v x
u( ) '( ) = b
a
x v x
u( ) ( ) -
b
a
dx x v x
u'( ) ( )
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …
- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
2
0
cos
xdx
ex 2/
2 4 2
sin
dx x
x 3/
0 2
cos
sin dx
x
x x
4/
1
0
2) 1 ln( x dx
e
dx x
0
2
) (ln 6/
2
61 cos
sin
dx
x
x
x
7/
2 0
2sin
xdx
x 8/
e
dx x
1
2 ) ln 1
e
e
dx x
1
ln 10/
2 0
sin
xdx
ex 11/
1
0
) 1 ln( x dx
dx x x
e
e
2
ln
1
ln
1
2
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* Aùp dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức a 2 x2 , 21 2
x
a mà không thể tính bằng các
phương đã học
*Phương pháp:
+ Đặt biến mới
-Dạng chứa 2 2
x
a : Đặt x = asint, t
2
; 2
- Dạng chứa 2 1 2
x
a : Đặt x = atant, t
2
; 2
+ Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
a
dx x
a
x
0
2 2
2 ( a > 0 ) 2/ dx
x
x
1
2 2
2
2
1
3/
e
x x
dx
1
0
3
0
2
9
1 dx
x
6/
1
1
1
dx x
3
1 dx
x
1
0
2
2
1
dx x x
BÀI TẬP ÔN TẬP
Trang 51)
1
0
2 2
dx x
4
9
1
x 3 dx e
2
0
5 sin )
3 xdx 4) sin(ln x x ) dx
e
1
e
1
2) ln xdx x
2
0 3 3
2
1 x
dx
x
7)
2
1
2 9
x
dx
8)
e
e 1
dx
4
1
ln dx x
x
10)
2
0
dx ) x cos 1 ln(
x
e xdx
1
2
ln 12) 4 3
0
tan xdx
13)
e
xdx x
x
1
2 1 ) ln
2
1
) 1 ( 5
dx x x
x
15)
2
0 sin
xdx
ex 16)
2
0
x cos xdx
4
0
2
cos
2
sin
2
1
dx x
x 18)
2
1
dx 5 x
lnx
19)
4
0
2
sin
dx
x 20)
4
0 2 cos
x
2
0
22)
0
2
sin
1 x dx 23)
2
1
2
dx 2 x
1 x
24)
4
0
4
2 cos
sin 3 2
dx x
2
0
2cos
xdx
1
1 x
x
27)
2
π
0 x.sin2xdx28) 1
0
2 1dx x
0
1
0
2.n(x 1)dx
x l 31)02
5x dx in
e
1
dx
lnx
.
2
0
2) dx in(x
s x
34)
2
0
5
3x 2cos x) dx
(cos
35)
1
0
3 dx ) 1
(x
x
36) 2
6 2
3 dx sin
cos
x
37)
1
0
1
1
x
x
38)6 0 sin 5 sin 6 x xdx
2
0
3 2
5 x x2 4
dx
41)
4
0
2 2 sin 1
sin 2 1
dx x
2
11 x 1 dx
x
43)
2
0
2 x cos xdx sin
1
1
x
x
I 45)2
π
0 x.sin2xdx46) 1
0
2 1dx x
1
0
2.n(x 1)dx
x l
49)02
5x dx
in
e
1
dx lnx x
51)
2
0
2) dx in(x
.
s
2
6 2
3 dx sin
cos
x
53)
1
0
1
1
x
x
54) 3
6
1 tan
1 tan
x dx x
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:
1) Giới hạn bởi (P): y = x2 và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2)
2) Giới hạn bởi (C ) : y =
1
2
x
x
, đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x = ( > 2) Tính để diện tích S = 16 đvdt
3) Giới hạn bởi : y2 = 4x và đường thẳng 2x – y – 4 = 0
4) Giới hạn bởi : y = x và y = sin2x + x (0 x )
5) Giới hạn bởi y = x3 – 3x2 + 2x ; y = 0
6) Giới hạn bởi y = x2 – 2x ; y = x + 4
7) Giới hạn bởi : y 2 = 2x và 27 y2 = 8 ( x- 1)3
Trang 68) Giới hạn bởi các đường :
y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1
9) Giới hạn bởi y = x2 – 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2
10) Giới hạn bởi y2 = x ; y = – x + 2
11)Giới hạn bởi
2 x
12 x 10 x 2
y 2
và đường thẳng y = 0 BÀI 2 : Cho Parapol (P) Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
b) Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox
1) y = - x2 + 2x và y = 0
2) y = sin x, y = 0, x =
3) y = cosx , y = 0, x = 0, x = 2
4) y =
x
4
và y = 5 – x 5) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2
6) Cho hàm số y = f(x) được xác định trên đoạn 0,3 với : f(x) =
3 2
, 3
2 1
, 1
1 0
,
x x
x x x
a/ Vẽ đồ thị hàm số y = f (x)
b/ Tính diện tích của hình (H) chắn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox
c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình (H) khi quay quanh Ox
7) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y =
x2 – 1 và y = 0
BÀI 4 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cácđường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 ; y = x2 – 2x
1) Tính diện tích hình (H)
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)xoay xung quanh trục Ox
BÀI 5 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox :
y = x2 – 1 và y = 0
BÀI 6 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2 + 2x +1 ; y = –
x
2
và x = –
2 1
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường sau đây quay xung quanh trục Ox :
x = 0 ; x =
2
; y = 0 ; y = xsinx
