TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CỰC HAY

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 1 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. Công thức tích phân từng phần: Cho hai hàm số ( ), ( ) u x v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có     ' ' ' ' ' ' uv u v uv uv dx u vdx uv dx        ( ) b b b a a a d uv vdu udv d uv vdu udv          b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu           . Ta có công thức: b b b a a a udv uv vdu     (1). Công thức (1) còn được viết dưới dạng: ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x g x f x g x dx     (2). II. Phương pháp giải toán: Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =  b a dxxf .)( Phương pháp chung: Cách 1: Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I =  b a dxxf .)( =  b a dxxfxf .)().( 21 Bước 2: Đặt:          v du dxxfdv xfu )( )( 2 1 (Chọn 0 C  ) Bước 3: Khi đó: I =    b a b a b a vduuvudv . (công thức (1)) Chú ý: Việc đặt ( ), ( ) u f x dv g x dx   (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm ( ) v x và vi phân ' ( ) du u x dx  không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu  phải tính được. Cách 2: Hoặc: phân tích ' 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x f x dx f x f x dx    và sử dụng trực tiếp công thức (2) Các dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích phân:     2 cos n P x I dx ax b      Đặt:     2 1 cos n u P x dv dx ax b        Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 2 Dạng 2: Tính tích phân:     2 sin n P x I dx ax b      Đặt:     2 1 sin n u P x dv dx ax b        Dạng 3: Tính tích phân:     . ln n I P x ax b dx      hoặc     . log n m I P x ax b dx      Đặt:       ln log m ax b u ax b dv P x dx               TQ 1:     . ln m n I P x ax b dx      TQ 2:     .ln n I P x f x dx         hoặc     ln n f x I dx P x         Đặt:   ln u f x           Trong đó   n P x là một đa thức hoặc một hàm lượng giác Dạng 4: Tính tích phân:       sin cos n ax b bx c ax b ax b I P x dx e a                       Đặt:       sin cos n ax b bx c u P x ax b ax b dv dx e a                              TQ:     x n I P x f e dx     Dạng 5: Tính tích phân:       sin cos ln ax b ax b e ax b I c dx ax b ax b                            Dạng 6: Tính tích phân:       2 2 1 ln cos 1 sin ax b ax b ax b ax b I e dx c ax b                               Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 3 Đặt:       2 2 n 1 cos 1 sin ax b ax b l ax b u e c ax b dv dx ax b                                     Dạng 7: Tính tích phân:     n P x I dx f x     với       ; ; m m ax b r f x ax b e ax b      Đặt:     u P x dx dv f x        Dạng 8: Tính tích phân         sin ln cos ln sin log cos log k a a x x x dx x x                Đặt:         sin ln cos ln sin log cos log a a k x x u x x dv x dx                          CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÍNH: Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa về các dạng trên và tính tích phân một lần Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: 1 0 x I xe dx   . Giải: Cách 1: Đặt: x x u x du dx dv e dx v e            (chọn 0 C  ) 1 1 1 1 0 0 0 0 ( 1) 1 x x x x xe dx xe e dx x e         . Cách 2:   1 1 1 / 1 1 / 0 0 0 0 0 ( 1) 1 x x x x x xe dx x e dx xe x e dx x e          . Vậy 1 I  . Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 4 Bài 3: Tính tích phân 2 0 sin x I e xdx    . Giải: Cách 1: Đặt sin cos x x u x du xdx dv e dx v e            2 2 2 2 0 0 0 sin sin cos x x x I e xdx e x e xdx e J             . Đặt cos sin x x u x du xdx dv e dx v e             2 2 2 0 0 0 cos cos sin 1 x x x J e xdx e x e xdx I             2 2 1 ( 1 ) 2 e I e I I           . Cách 2:     2 2 2 / / 2 2 0 0 0 0 sin . sin cos cos . x x x x I x e dx e x e xdx e x e dx                2 2 2 2 0 0 cos sin 1 x x e e x e xdx I e I                        . Vậy 2 1 2 e I    . Bài 4: Tính tích phân sau:   2 6 cos ln sin I x x dx     Đặt:   cos ln sin sin cos sin x u x du dx x dv dx v x                Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:         2 2 6 6 1 2 2 2 cos ln sin sin ln sin cos ln sin sin ln2 1 2 6 6 6 I x x dx x x xdx inx x x                    Bài 5: Tính tích phân sau: 3 2 4 sin xdx I x     Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 5 Đặt 2 cot sin u x du dx dx v x dv x               Áp dụng công thức tính tích phân từng phần   3 3 2 4 4 9 4 3 1 1 3 3 3 cot cot . ln sin ln 3 36 2 2 sin 3 4 4 xdx I x x xdx x x                       Bài 6: Tính tích phân sau: 1 0 (2 1) x I x e dx    Giải: Đặt 2 1 2 x x u x du dx dv e dx v e             1 1 1 0 0 0 (2 1) 2 3 1 2 3 1 (2 2) 1 x x x I x e e dx e e e e e              Cách 2:       1 ' ' 0 (2 1) 2 1 (2 1) 2 1 x x x x I x e dx x e dx x e x e dx             Bài 7: Tính tích phân sau: 1 2 0 ( 2) x I x e dx    Giải: Đặt 2 2 2 2 1 2 x x du dx u x v e dv e dx               2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 0 0 0 1 1 1 1 5 3 ( 2) ( ) 1 1 ( ) 2 2 2 4 2 4 4 4 x x x e e e e I x e e dx e                . Bài 8: Tính tích phân sau: 2 2 1 ln x I dx x   . Giải: Đặt 2 1 2 ln 1 1 dx du u x x dx dv x dx x v x x                        . 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ln ( ). ln 2 ln 2 1 2 2 dx dx I x x dx x x x x               1 2 2 1 1 1 1 1 ln2 ln 2 ln 2 1 1 2 1 2 2 2 x x            . Bài 9: Tính tích phân sau: 2 1 (2 1)ln I x xdx    . Giải: Đặt 2 ln (2 1) dx du u x x dv x dx v x x                . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( )ln 2ln 2 ( 1) 2ln2 2ln 2 2 2 x x x I x x x dx x dx x x                     . Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 6 Bài tập hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: 4 4 2 0 0 1 1 . ln 2 1 cos2 2 8 4 cos x x I dx dx x x           HD: Ta có 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ) ln ln 2 4 4 2 2 2 4 8 42cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x                         Bài 2: (ĐH TK1 – B 2003) Tính tích phân sau: 2 4 4 0 0 . 20 3 1 1 x x x x x e e e I dx dx e e          HD: Ta có: ln5 ln5 ln5 ln 2 ln 2 ln 2 2 ( 1) 2 1 2 1 x x x x x x I e d e e e e e dx         ln 5 ln 5 ln 2 ln 2 4 20 =16 2 1 ( 1) 16 ( 1) 1 3 3 x x x x e d e e e         Bài 3: Tính tích phân sau: ln8 ln3 . 1 x x x e I dx e    Bài 4: Tính tích phân sau:     1 2 0 ln 1 1 4 ln2 ln 3 3 2 x I dx x        Bài 6: Tính tích phân sau:   2 2 0 0 1 5 .sin cos2 sin3 sin 2 9 I x x xdx x x x dx          Bài 7: Tính tích phân sau: 2 0 1 sin 2 xdx I x     Cách 1: Đặt 2 t x    Cách 2: Biến đổi 2 1 sin 2 1 cos 2 2cos 2 4 x x x                     , tích phân từng phần Bài 8: Tính tích phân sau: 3 2 0 cos x I dx x    Giải: Đặt: 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 7   3 3 3 4 2 0 0 0 0 cos 3 sin 3 3 3 tan tan ln cos ln2 3 3 3 cos 3 cos 3 3cos 0 0 d x x x I dx x x xdx dx x x xx                         Phương Pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa về các dạng trên và tích phân từng phần nhiều lần Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: 1 2 2 2 0 1 1 sin . 6 4 I x x dx       Giải:   1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos2 1 1 sin . cos 2 2 2 2 x I x xdx x dx x dx x x dx             2 1 1 3 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 (sin2 ) sin2 2 in2 . 6 4 6 4 x x d x x x xs x dx              2 1 1 2 2 2 3 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cos2 ) cos2 cos2 sin(2 ) 0 6 6 6 6 4 4 4 8 4 xd x x x xdx x                             Bài 2: Tính tích phân sau: 1 0 x I xe dx   . Đặt 1 2 2 t x dt dx dx tdt x      Suy ra   1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 4 2 2 t t t t t I t e dt t e te dt e te e dt e                        Bài 3: Tính tích phân sau: 2 2 1 cos (ln ) e I x dx    . Giải: Ta có:   2 2 2 1 1 1 1 1 1 cos(2ln ) ( 1) cos(2ln ) 2 2 2 e e I x dx e x dx           Đặt 2 2 2 1 1 1 1 1 cos(2ln ) cos(2ln ) sin(2ln ) 2 2 e e e J x dx x x x dx         2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) sin(2ln ) cos(2ln ) ( 1) 4 2 2 e e e x x x dx e J               Suy ra: 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 3) 10 2 10 5 J e I e e e               Bài tập tự giải: Bài 1: Tính tích phân sau: Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 8     2 2 2 2 1 1 1 1 os ln 1 os 2ln 2 3 2 5 e e I c x dx c x dx e                     Bài 2: Tính 1 2 0 x I x e dx   HD: Đặt: 2 2 x x du xdx u x v e dv e dx              Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 2 2 0 0 0 1 2 2 0 x x x x I x e dx x e xe dx e xe dx         Tiếp tục tính: 1 0 x J xe dx   Đặt x x u x du dx dv e dx v e            Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 0 0 1 1 0 x x x J xe dx xe xe dx       Vậy 2 I e   Phương pháp 3: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa về các dạng trên và khi tính tích phân xuất hiện lại tích phân ban đầu Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân: 2 0 sin x I e xdx    . Giải: Đặt sin cos x x u x du xdx dv e dx v e            2 2 2 2 0 0 0 sin sin cos x x x I e xdx e x e xdx e J             . Đặt cos sin x x u x du xdx dv e dx v e             2 2 2 0 0 0 cos cos sin 1 x x x J e xdx e x e xdx I             2 2 1 ( 1 ) 2 e I e I I           Bài 2: Tính tích phân sau: 3 0 cos cos3 . 8 I x x dx      HD: 3 3 0 0 1 cos cos3 . cos (sin3 ) 3 I x x dx xd x       Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 9 3 2 2 0 0 0 1 cos sin3 3 cos sin sin3 . cos sin sin3 . 3 x x x x x dx x x xdx               2 2 2 0 0 0 1 1 1 cos (cos2 cos4 ) cos cos2 cos cos4 ) 2 2 2 x x x dx x xdx x x dx           2 0 0 1 1 (1 cos2 )cos2 cos (cos3 cos sin3 sin ) 4 2 x xdx x x x x x dx         3 2 0 0 0 1 1 1 (1 cos2 )cos2 cos cos3 . cos sin sin3 . 4 2 2 x xdx x x dx x x x dx           0 0 0 1 1 1 1 1 (1 cos 2 )cos2 – cos2 (1 cos4 ) 4 2 2 4 8 x xdx I I xdx x dx             0 0 1 1 sin2 sin8 8 8 32 8 x x         Bài 3: Tính tích phân sau: 1 2 2 2 0 2 ( 1) sin . 1 4 x e I e x dx         HD: Ta có: 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 sin . sin 2 sin cos . sin 2 . x x x x I x de e x x x e dx x de                1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 sin 2 . sin2 2 cos2 . 2 cos2 4 sin2 x x x x x J x de e x x de e x e xdx                   2 2 2 2 2 (1 ) 2 ( 1) 2 1 4 1 4 1 4 e e e J J I                  Bài 4: Tính tích phân sau: 2 0 cos x I e xdx    . Giải: Đặt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x            2 2 2 2 0 0 cos sin sin 2 0 x x x I e xdx e x e xdx e I             Tính I 2 Đặt 1 1 1 1 sin cos x x u e du e dx dv xdx v x             2 2 2 2 0 1 cos cos 1 1 2 2 0 x x e I e x e xdx I I e I I                 Bài tập tự giải: Bài 1: Tính tích phân sau:   4 0 ln 1 tan ln 2 8 I x dx       Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 10 Bài 2: Tính tích phân: 2 0 sin . 1 x x I dx cos x     Đặt 2 2 0 0 ( )sin sin . . 1 1 t t x x t I dx dx I cos t cos x                   2 0 sin . 2 1 x I dx cos x       . Đặt 1 2 2 1 cos . 2 2 2 4 1 dt x t I t             Phương pháp 4: Tích phân từng phần xuất hiện làm triệt tiêu một tích phân khác Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:   2 2 2 2 2 0 0 1 sin sin 1 cos 1 cos 2cos 2 x x x o x e e e x I dx dx dx e x x x               Giải: Cách 1: Ta có: 2 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 sin sin 1 sin . . . 1 osx 1 osx 1 osx 2 1 osx cos 2 x x x x x I I x e dx x e dx x I e dx e dx e dx x c c c c                       Tính: 2 1 2 0 1 2 cos 2 x e dx I x    Đặt: 2 tan 2 2 x x u e du e dx dx dv x v x cos                  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 2 2 2 2 1 2 0 0 0 1 tan tan . tan . 2 2 2 2 2 cos 0 2 x x x x e dx x x x I e e dx e e dx x              Tính: 2 2 2 2 2 0 0 0 2sin co sin 2 2 . . tan . 1 osx 2 2 2 x x x x x s x x I e dx e dx e dx x c cos           Vậy 2 I e   Cách 2: Ta có: 2 2 2 2 2 0 0 0 0 sin . . (tan ) tan . 1 cos 2 2 2cos 2 xx x x e x e x x I dx dx e d e dx x x              [...]... (ĐHKTHN – 2001) Tính tích phân sau: I  3 sin 3 xdx  3  6  0  2 2 Bài 2: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau: I   esin x sin x.cos3 xdx  0 1  e  1 2 2 Bài 3: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau: I   x sin xdx  2 2  8 0 1 2 Bài 4: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau: I   x3e x dx  0 3 Bài 5: Tính tích phân sau: I   0 3 xe 1 2 x 2 1 x2  1 dx 2 4 Bài 6: Tính tích phân sau: I   cos... Bài 7: (TN – 2007) Tính tích phân sau: I   2 x ln xdx 1 1 Bài 8: (TN – 2008) Tính tích phân sau: I   (4 x  1)e x dx 0  Bài 9: (TN – 2009) Tính tích phân sau: I   x(1  cos x)dx 0  2 Bài 10: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   ( x  sin 2 x) cos xdx 0 1 Bài 11: (TN – 2008 PB) Tính tích phân sau: I   (1  e x ) xdx 0 Bài tập giải mẫu tổng hợp: e Bài 1: Tính tích phân I   x ln xdx 1 Giải:... – 2001) Tính tích phân sau: I   x lg 2 xdx  50   ln10 4 ln 2 10 1 x 1 Bài 8: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I    x  1 0 e Bài 9: Tính tích phân sau: I   1 e ln x  x  1 2  1 e x 2 2 dx dx  0 1 Bài 10: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau: I   x ln  x 2  x  1 dx 0 x 2 2 Bài 11: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau: I   xe dx 0 1 2 Bài 12: (ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau: I... 35: Tính tích phân sau: I   e 0 3 Bài 36: Tính tích phân sau: I   0  4 tan x sin x e tan x tan x dx   dx cos3 x cos 2 x 0 x3 1  x2 3 dx   0 x2 x 1  x2 dx u  x 2  HD: Đặt  x dx  dv  1  x2   4 Bài 37: Tính tích phân sau: I   cos x ln  tan x dx  6  2 Bài 38: Tính tích phân sau: I   cos x ln 1  sin x dx 0  3 Bài 39: Tính tích phân sau: I   0  4 Bài 40: Tính tích phân sau:... 45: Tính tích phân sau: I   x ln 0  DĐ: 01672 076 933 or 01694 013 498 1  x2 dx 1  x2 Bài 46: Tính tích phân sau: I    x 2  1 cos 2 xdx 0  Bài 47: Tính tích phân sau: I   e2 x sin 2 xdx 0  2 Bài 48: (ĐHNN I – B 1998) Tính tích phân sau: I   e2 x sin 3xdx  0 3  2e 13  2 Bài 49: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau: I    x 2  1 sin xdx 0  4 Bài 50: (ĐHSPII – 1997) Tính tích phân sau:... Tính tích phân sau: I   x 2 e x dx 0 Giải: 1 1 I   x 2  2 x  2  e x   0 dx  e  2 0 0 Chú thích: + Mũi tên đi xuống chỉ tích của 2 nhân tử ra khỏi tích phân (cùng với dấu trên mũi tên) + Mũi tên ngang là tích 2 nhân tử còn trong tích phân (cùng với dấu trên mũi tên) e Bài 2: Tính tích phân sau: I   ln xdx 1 Giải: e e e I   ln xdx  x ln x 1   dx  1 1 1  2 Bài 3: Tính tích phân. .. e Bài 25: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau: I  2x   3 x  1 dx  1 3 Bài 26: (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau: I   1 2 Bài 27: Tính tích phân sau: I   ln 1  x  1 x 2 3  ln x  x  1 dx  ln 2 dx  3 4  2 7 4e 3 1  ln 3  ln 2 4 8 3 3  Bài 28: (ĐHAN – D 1999) Tính tích phân sau: I   x 2 sin 2 xdx   2  4 0  3 Bài 29: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau: I    3  2  x sin... công thức tính tích phân từng phần:  tet dt  tet 0 1 1 t 1 1   e dt  tet  et  1 0 0 0 0 Vậy I  2 1 Bài 3: Tính tích phân sau: I   x ln  x 2  1 dx 0 Giải: Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx  x  0 t  1 Đổi cận:   x  1 t  2 1 Khi đó: I   x ln  x 2  1 dx  0 2 1 ln tdt 2 1 dx  u  ln t du  Đặt:   t  dv  dt v  t  2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:  ln tdt... Bài tập tự giải: e2 Bài 1: (GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I   ( e 1 1 e2  )dx  e  ln 2 x ln x 2 Bài 2: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau:  2 1 cos x I   ln 0 1  sin x  1  cos x 4 dx  ln    2 ln 2  1 e  x t 2 Phương pháp 5: Kết hợp với phương pháp biến đổi số để tính tích phân từng phần Đặt Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I   4 1 e x x dx Giải: Đặt t  x... 2004) Tính tích phân sau: I   ln  x 2  x  dx  3ln 3  2 2 e Bài 21: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau: I   x 2 ln xdx  1 2e3  1 9 1 Bài 22: (ĐH – D 2006) Tính tích phân sau: I    x  2  e2 x dx  0 5  3e 2 32  2 Bài 23: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau: I    2 x  1 cos 2 xdx  0 2  1   8 4 2  4 x  1 dx   ln 2 1  cos 2 x 8 4 0 Bài 24: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: . Loinguyen1310@gmail.com “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 1 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. Công thức tích phân từng phần: Cho hai hàm số ( ), ( ) u x v x liên tục và.          Phương pháp 4: Tích phân từng phần xuất hiện làm triệt tiêu một tích phân khác Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:   2 2 2 2 2 0 0 1 sin sin 1. hay ta đa tình “ 20 Bài 44: Tính tích phân sau:   1 2 0 ln 1 1 x I dx x     Đặt tan x t  Bài 45: Tính tích phân sau: 2 2 2 0 1 ln 1 x I x dx x      Bài 46: Tính tích phân