Bài giảng trọng tâm Nguyên hàm, Tích phân cực hay của thầy Đặng Việt Hùng

Bài giảng trọng tâm Nguyên hàm, Tích phân cực hay của thầy Đặng Việt Hùng thầy Đặng Việt Hùng, tích phân, phương pháp giải toán tích phân, nguyên hàm, tích phân trong đề thi đại học, mẹo giải toán nguyên hàm tích phân, bài tập nguyên hàm có đáp án, bài tập tích phân có đáp án, tích phân nguyên hàm ôn thi đại học của thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 1 CỔNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM TÍCH PHÂN Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 2 I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = = ( ) ' '( ) dy df x y dx f x dx Ví d ụ :  d(x 2 – 2x + 2) = (x 2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx    Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau  ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) 1 3 3 3 3 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x xdx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 x x dx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) ax 1 1 ln ax ln ax d b dx dx d b d x ax b a b a x + = = + → = + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 2 b dx b d b d b xdx d c x a a + = + + = − + → = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin2 2 ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x a a + = + + = + → =  ( ) ( ) ( ) ax 2 2 1 1 1 ax 2 b ax b ax b x x e dx e d b d e e dx d e a a + + + = + = → =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 tan tan2 2 cos cos cos 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = =  +  → =   + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot cot2 2 sin sin sin 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = = −  +  → = −   + + II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm s ố f(x) liên t ụ c trên m ộ t kho ả ng (a; b). Hàm F(x) đượ c g ọ i là nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) n ế u F’(x) = f(x) và đượ c vi ế t là ( ) f x dx ∫ . T ừ đ ó ta có : ( ) ( ) f x dx F x = ∫ Nh ậ n xét: V ớ i C là m ộ t h ằ ng s ố nào đ ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t ổ ng quát hóa ta vi ế t ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , khi đ ó F(x) + C đượ c g ọ i là m ộ t h ọ nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x). V ớ i m ộ t giá tr ị c ụ th ể c ủ a C thì ta đượ c m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố đ ã cho. Ví d ụ :  Hàm s ố f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x 2 + C, vì (x 2 + C)’ = 2x  Hàm s ố f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm s ố f(x) và g(x) liên t ụ c và t ồ n t ạ i các nguyên hàm t ươ ng ứ ng F(x) và G(x), khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: a) Tính ch ấ t 1: ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ Chứng minh: 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 3 Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x f x ′ ′ = = ⇒ ∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: Theo tính ch ấ t 1 ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ′ ′ ′ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Theo đị nh ngh ĩ a nguyên hàm thì v ế ph ả i chính là nguyên hàm c ủ a f(x) + g(x). T ừ đ ó ta có [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ) . ( ) ( ) , 0 k f x dx k f x dx k = ∀ ≠ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: T ươ ng t ự nh ư tính ch ấ t 2, ta xét ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) k f x dx k f x k f x dx k f x dx ′ = → = ⇒ ∫ ∫ ∫ đ pcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) f x dx f t dt f u du = = ∫ ∫ ∫ Tính ch ấ t trên đượ c g ọ i là tính bất biến c ủ a nguyên hàm, t ứ c là nguyên hàm c ủ a m ộ t hàm s ố ch ỉ ph ụ thu ộ c vào hàm, mà không ph ụ thu ộ c vào bi ế n. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM    Công thức 1: dx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 1 x C dx x C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c du u C = + ∫    Công thức 2: 1 1 + = + + ∫ n n x x dx C n Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do 1 1 1 1 n n n n x x C x x dx C n n + + ′   + = ⇒ = +   + +   ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 1 1 n n u u du C n + = + + ∫ + V ớ i 1 2 2 2 2 2 dx dx du n x C u C x x u = − ⇒ = = + ←→ = + ∫ ∫ ∫ + V ớ i 2 2 1 1 2 dx du n C C x x u u = − ⇒ = − + ←→ = − + ∫ ∫ Ví dụ: a) 3 2 3 x x dx C = + ∫ b) ( ) 5 4 4 2 2 2 5 x x x dx x dx xdx x C + = + = + + ∫ ∫ ∫ c) 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 3 x x x x x x x dx dx xdx x dx C x C x x − − = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 4 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 5 n u du x I x dx x d x I C + = + = + + → = + ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 4 e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2011 2010 2010 1 3 1 1 3 1 3 1 3 3 2011 n u du x I x dx x d x I C − = − = − − − → = − + ∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 du u d x dx I I C C x x x x + = = → = − + = − + + + + + ∫ ∫ g) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 2 3 4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5 4 4 3 8 I x dx x d x I x C x C = + = + + ⇒ = + + = + + ∫ ∫    Công thức 3: ln dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 1 ln ln dx x C x C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được ln du u C u = + ∫ + ( ) 1 ln 2 1 1 2x 2 ln ax 1 ax ax ln 2 2 2 dx x k C d ax b dx k b C dx b a b a k x C k x  = + +  +  + = = + + →  + +  = − − +  −  ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 3 3 1 1 1 2 ln 4 dx x x dx x dx dx x x C x x x x   + + = + + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 3 2 1 1 ln 3 2 3 2 3 3 2 3 du u d x dx I I x C x x + = = → = + + + + ∫ ∫ c) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 2 2 3 ln 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 d x x x dx dx x dx xdx x x x C x x x x + + +   = + = + = + = + + +   + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫    Công thức 4: sinx cos dx x C = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) cos sin x sinx cos x C dx x C ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c sinu cos du u C = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin sin cos sin 2 cos2 2 + = + + = − + + → = − + ∫ ∫ ∫ ax b dx ax b d ax b ax b C xdx x C a a Ví dụ: a) ( ) 3 2 2 1 1 1 sinx sinx cos 2 1 2 1 2 2 1 d x dx x x dx x xdx dx x dx x x x x −   + + = + + = − + =   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 2 2 1 cos ln 2 1 5 2 x x x C = − + − + b) ( ) ( ) 4 3 3 1 3 1 3 sin2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3 4 3 4 3 2 4 4 3 2 4 d x dx x dx xdx xd x c x x C x x x −   + = + = + = − + − +   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c) sin sinx sin3 2 x x dx   + +     ∫ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ; 2 2 2 ; 3 3 3 2 2 2 2 3 x x d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x     = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =         T ừ đó : ( ) ( ) 1 1 sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin2 2 sin3 3 2 2 2 2 2 3 x x x x x dx dx xdx xdx d xd x xd x     + + = + + = + +         ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 5 1 1 2cos os2 os3 2 2 3 x c x c x C = − − − +    Công thức 5: cos sin xdx x C = + ∫ Chứng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) sin cos cos sin ′ + = ⇒ = + ∫ x C x xdx x C  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c cosu sin du u C = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin 2 2 + = + + = + + → = + ∫ ∫ ∫ ax b dx ax b d ax b ax b C xdx x C a a Ví dụ: a) 4 1 5 cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1 1 1 x x x dx xdx dx dx x x x C x x −     − + = − + − = + + − + +     + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 2 1 cos2 sin cos2 sin sin 2 cos 2 2 + − = + − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x dx xdx xdx xdx x x C c) ( ) 2 1 cos2 1 1 1 1 1 1 sin cos2 cos2 2 sin2 2 2 2 2 4 2 4 −   = = − = − = − +     ∫ ∫ ∫ ∫ x xdx dx x dx x xd x x x C    Công thức 6: 2 tan cos dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 2 2 1 tan tanx cos cos dx x C C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được 2 tanu os du C c u = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 tan tan2 cos cos cos 2 2 d ax b dx dx ax b C x C ax b a ax b a x + = = + + → = + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 2 2 1 1 cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2 cos cos 2 dx x x dx xdx xdx x x x C x x   + − = + − = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 4 1 2 1 2 2 cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4 d x d x dx dx I dx x x x x x x   − − = + = + = −     − − − − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 os 1 1 tan 2 1 ln 5 4 2 2 du c u x x C → = − − − + c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 os 2 2 3 2 1 1 tan 3 2 cos 3 2 2 cos 3 2 2 du c u d x dx I I x C x x − = = − → = − − + − − ∫ ∫    Công thức 7: 2 cot x sin dx C x = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 2 2 1 cot cot x sin dx x C C sin x x ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 2 cotu sin du C u = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 cot cot2 sin sin sin 2 2 + = = − + + → = − + + + ∫ ∫ ∫ d ax b dx dx ax b C x C ax b a ax b a x Ví dụ: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 6 a) 6 5 5 2 2 1 1 cos2 2 cos2 2 sin2 cot sin sin 2 3 dx x x x dx xdx x dx x x C x x   − + = − + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 2 1 3 1 1 1 cot 1 3 cot 1 3 sin 1 3 3 sin 1 3 3 3 du u d x dx I I x C x C x x − = = − → = − − −  + = − +   − − ∫ ∫ c) 2 sin 2 2 2 2 2cot 2 sin sin 2 2 du u x d dx x I I C x x         = = → = − +                 ∫ ∫    Công thức 8: x x e dx e C = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) x x x x e C e e dx e C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được u u e du e C = + ∫ + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 + + + + + − −  = +   = + = + →   = − +   ∫ ∫ ∫ ∫ x k x k ax b ax b ax b k x k x e dx e C e dx e d ax b e C a a e dx e C Ví dụ: a) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 1 4 4 1 1 2 1 4.2 sin 3 sin 3 2 3 sin 3 x x x d x dx e dx e dx dx e d x x x x x x x − + − + − +   − + = − + = − − + − +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 1 cot3 8 2 3 x e x x C − + = − + + + b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 4 1 4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3 3 3 x x x e c x dx e dx c x dx e d x c x d x + + + + − = + − = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 2 4 1 sin 1 3 3 3 x e x C + = − − +    Công thức 9: ln x x a a dx C a = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ln ln ln ln x x x x x a a a a C a a dx C a a a ′   + = = ⇒ = +     ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c u u a du a C = + ∫ + ( ) 1 1 kx m kx m kx m a dx a d kx m a C k k + + + = + = + ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3ln2 2ln3 u x x a dux x x x x x I dx dx dx d x d x I C = + = + = + → = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3 1 3 2 3 2 2 3 2 1 2 4 3 2 4 2ln2 4 x x x x x x x x e dx dx e dx d x e d x e C − − + − + − + + − = − = − − − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ( ) 5 1 2 I x x dx = + ∫ 2) 3 5 2 7 1 3 I x dx x   = −     ∫ 3) ( ) 5 2 3 3 3 4 2 I x x x dx = − + ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 7 4) 3 4 2 5 1 2 4 x I x dx x x   = − +       ∫ 5) 5 1 x+ dx x I   =     ∫ 6) 4 6 2 2 3 x I dx x + = ∫ 7) ( ) 2 7 1x I dx x − = ∫ 8) ( ) 2 3 8 2 1 I x dx = − ∫ 9) ( ) 2 2 9 2 4x I dx x + = ∫ 10) 4 3 2 10 2 3 2 1 x x x I dx x + − + = ∫ 11) 2 11 x x x x I dx x − − = ∫ 12) 12 3 1 1 I dx x x   = −     ∫ 13) 3 13 1 I x dx x   = −     ∫ 14) 2 14 3 1 I x dx x   = +     ∫ 15) ( ) 2 3 15 2 3x x I dx x − = ∫ 16) ( ) ( ) 4 16 2 I x x x x dx = − − ∫ 17) 17 5 1 (2 3) I dx x = − ∫ 18) 18 4 1 ( 3) x I dx x + = − ∫ 19) 19 π sin 2 7 x I dx   = +     ∫ 20) 20 sin2 sin 3 x I x dx   = +     ∫ 21) 21 sin 2 x I x dx   = +     ∫ 22) 22 π 1 sin 3 sin 4 2 x I x dx   +   = + −         ∫ 23) 2 23 cos 2 x I dx = ∫ 24) 2 24 sin 2 x I dx = ∫ 26) 26 2 cos 4 dx I x = ∫ 27) ( ) 27 2 cos 2 1 dx I x = − ∫ 28) ( ) 2 28 tan 2 I x x dx = + ∫ 29) 4 29 tan I x dx = ∫ 30) 2 30 cot I xdx = ∫ 31) ( ) 31 2 sin 2 3 dx I x = + ∫ 32) 32 1 cos6 dx I x = − ∫ 33) 2 2 33 2 1 cot dx I x x x   = + +     ∫ 34) 2 34 1 dx 3 2 I x x   = +   +   ∫ 35) 2 35 1 sin 2 5 I x dx x   = −   −   ∫ 36) 36 2 dx 3 x I x + = − ∫ 37) 37 2 1 4 3 x I dx x − = + ∫ 38) 38 6 5 x I dx x = − ∫ 39) 2 39 11 3 x x I dx x + + = + ∫ 40) 2 40 2 5 1 x x I dx x − + = − ∫ 41) 3 2 41 3 2 1 2 x x x I dx x + + + = + ∫ 42) 3 2 42 4 4 1 2 1 x x I dx x + − = + ∫ 43) 2 43 4 6 1 2 1 x x I dx x + + = + ∫ 44) 2x 3 44 I e dx − + = ∫ 45) 3 1 45 cos(1 ) x I x e dx −   = − +   ∫ 46) 2 1 46 . x I x e dx − + = ∫ 47) 47 2 2 sin (3 1) x I e dx x −   = +   +   ∫ 48) 48 2 2 cos x x e I e dx x −   = +     ∫ 49) ( ) 1 2 4 3 49 2 x x I e dx − + = − ∫ 50) 50 1 2 x I dx = ∫ 51) 51 2 7 x x I dx = ∫ 52) 2 1 52 3 x I dx + = ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 8 CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 xdx d x d x a d a x = = ± = − − 6. ( ) ( ) ( ) 2 cot cot cot sin dx d x d x a d a x x = − = − ± = − 2. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 x dx d x d x a d a x = = ± = − − 7. ( ) ( ) ( ) 2 dx d x d x a d a x x = = ± = − − 3. sin (cos ) (cos ) ( cos ) xdx d x d x a d a x = − = − ± = − 8. ( ) ( ) ( ) x x x x e dx d e d e a d a e = = ± = − − 4. cos (sin ) (sin ) ( sin ) xdx d x d x a d a x = = ± = − − 9. ( ) ( ) ( ) ln ln ln dx d x d x a d a x x = = ± = − − 5. ( ) ( ) ( ) 2 tan tan tan cos dx d x d x a d a x x = = ± = − − 10. ( ) ( ) 1 1 dx d ax b d b ax a a = + = − − Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 2 1 x I dx x = + ∫ b) 2 10 2 (1 ) I x x dx = + ∫ c) 2 3 3 1 x dx I x = + ∫ Hướng dẫn giải: a) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 ln x xdx d d x d x a du d u u    = = = ±         =   Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 (ln ) ln 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ln 1 . 2 2 2 1 1 1 du d u u C u d x d x x I dx I x C x x x = = + + = = = ←→ = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x xdx d d x d x a u u du d n +    = = = ±           =    +    Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 10 10 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 22 x I x x dx x d x C + = + = + + = + ∫ ∫ c) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) 3 2 3 1 3 3 2 x x dx d d x a du d u u    = = ±         =   Ta có ( ) ( ) 3 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 . 3 3 3 1 1 2 1 d x d x x dx x I C x x x + + + = = = = + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 4 1 I x x dx = − ∫ b) 5 2 1 dx I x = − ∫ c) 6 5 2 I x dx = − ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: 02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 9 a) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x xdx d d x d a x u u du d n +    = = = − −           =    +    Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 3 x I x x dx x d x x d x C − = − = − = − − − = − + ∫ ∫ ∫ b) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) ( ) 1 1 ax ax 2 dx d b d b a a du d u u  = + = − −     =   Ta có ( ) ( ) ( ) 2 5 5 2 1 2 1 1 2 1 . 2 2 1 2 1 2 2 1 du d u u d x d x dx I I x C x x x = − − = = = ←→ = − + − − − ∫ ∫ ∫ c) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) 1 1 1 ax ax 1 n n dx d b d b a a u u du d n +  = + = − −       =    +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 2 6 5 2 2 5 2 1 1 1 5 2 5 2 2 5 2 5 2 . . 2 2 2 3 3 x x I x dx x d x x d x C C − − ⇒ = − = − = − − − = − + = − + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 3 7 5 4 2 5 x I dx x = − ∫ b) 8 5 (3 2 ) dx I x = − ∫ c) 3 9 ln x I dx x = ∫ Hướng dẫn giải: a) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) 4 3 4 4 1 1 1 4 4 4 1 n n x x dx d d x a d a x du u d n u − +    = = ± = − −           =    − +    ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 5 5 1 3 4 4 5 7 5 5 4 4 5 5 5 5 4 2 1 1 2 5 5 . . 2 2 4 8 5 5 x d x x x I dx x d x C C x x −     − −   ⇒ = = = − − = + = + − − ∫ ∫ ∫ b) Ta có ( ) ( ) ( ) 6 5 8 5 3 2 1 3 2 3 2 . (3 2 ) 2 12 x dx I x d x C x − = = − − − = − + − ∫ ∫ c) S ử d ụ ng công th ứ c vi phân ( ) ln dx d x x = ta được ( ) 3 4 3 9 ln ln ln ln . 4 x x I dx xd x C x = = = + ∫ ∫ Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( ) 10 2010 3 4 2 dx I x = − ∫ b) 11 cos x I dx x = ∫ c) 12 cos sin I x xdx = ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 2010 10 2010 2009 4 2 3 3 3 3 4 2 4 2 . 2 2 2009 4 2 4018 4 2 x dx I x d x C C x x − − − = = − − − = − + = + − − − ∫ ∫ b) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) cos sin 2 udu d u dx d x x  =   =   Ta có ( ) 11 cos cos 2 2 os 2sin . 2 x x I dx dx c x d x x C x x = = = = + ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 10 c) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) cos sin sin x cos udu d u dx d x  =   = −   Ta có ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 2 12 2 cos 2 cos cos sin cos cos . 3 3 x x I x xdx x d x C = = − = − = − + ∫ ∫ Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 3 13 sin cos I x xdx = ∫ b) 14 5 sin cos x I dx x = ∫ c) 4 15 sin cos I x xdx = ∫ Hướng dẫn giải: a) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) sin cos cos sin udu d u xdx d x  = −   =   Ta có ( ) ( ) ( ) 1 4 3 3 4 3 3 4 1 3 4 3 3 3 13 3 sinx 3 sin sin cos sinx sin 4 4 u du d u x I x xdx d x I C C     =     = = ←→ = + = + ∫ ∫ b) Ta có ( ) 4 14 5 5 4 cos sin (cos ) 1 . cos cos 4 4cos x x d x I dx C C x x x − = = − = − + = + − ∫ ∫ c) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) 1 cos sin 1 n n xdx d x u u du d n +  =     =    +    Khi đ ó ta đượ c ( ) 5 4 5 5 4 4 15 15 sin sin cos sin sin . 5 u u du d x I x xdx xd x I C   =       = = ←→ = + ∫ ∫ Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 16 tanx I dx = ∫ b) 17 sin 4 cos4 I x xdx = ∫ c) 18 sin 1 3cos xdx I x = + ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) S ử d ụ ng các công th ứ c sin x (cos ) ln dx d x du u C u = −    = +   ∫ Ta có ( ) 16 cos sin tan ln cos . cos cos d x xdx I xdx x C x x = = = − = − + ∫ ∫ ∫ b) Ta có ( ) ( ) 17 1 1 sin 4 cos4 sin 4 cos4 4 sin4 sin4 4 4 I x xdx x xd x x d x = = = ∫ ∫ ∫ ( ) 3 3 2 2 sin 4 1 sin 4 . . 4 3 6 x x C C = + = + c) Ta có ( ) ( ) 18 cos 3cos 1 sin 1 1 ln 1 3cos . 1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3 d x d x xdx I x C x x x + = = − = − = − + + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( ) 19 2 2cos 2 5sin xdx I x = − ∫ b) 20 cos 4sin x 3 xdx I = − ∫ c) ( ) 21 tan .ln cos I x x dx = ∫ Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức vi phân 2 cos (sin x) 1 xdx d du d u u =      = −       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 19 2 2 2 2 sin 2 5sin 2cos 2 2 . 5 5 2 5sin 2 5sin 2 5sin 2 5sin d x d x xdx I C x x x x − ⇒ = = = − = + − − − − ∫ ∫ ∫ b) Sử dụng công thức vi phân ( ) cos (sin x) 2 xdx d du d u u =    =   [...]... gia Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 24 05 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số I MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi đó Q(x) = ax + b Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia... thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải Nhận xét: 2 ( ) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 29 Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó,... nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc: P( x) P ( x) A Bx + C = = + 2 2 Q ( x) ( x − x1 ) mx + nx + p x − x1 mx + nx + p ( ) Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến Chú ý: du 1 u - Nguyên hàm ∫ 2 = arctan   + C 2 u u +a a - Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:... THPT quốc gia Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 36 06 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM 1) Khái niệm về phân thức đơn giản Một phân số được gọi là đơn giản nếu nó có một trong các dạng sau k k k k ; ; ; , ( b 2 − 4ac < 0 ) n 2 2 ax + b ( ax + b) ax + bx + c (ax + bx + c)n Ví du 1: Các phân thức sau được gọi là phân thức đơn giản 1 2 2 5 5 ; ; ; ; 4... xảy ra với Q(x) TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích P( x) P ( x) 1 A B  Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )  → = =  +  Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a  x − x1 x − x2  Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét... tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx dx a) I1 = 2 b) I 2 = ∫ 2 c) I 3 = 2 4x + 4x + 2 x + 2x + 3 9 x + 24 x + 20 ∫ ∫ Hướng dẫn giải: d ( x +... toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx x −1 2 x2 + x + 4 a) I1 = 2 b) I 2 = dx c) I 3 = dx x 2 ( 2 x − 1) x ( x + 2) ( x + 1)2 ( 2 x − 3) Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc: ∫ ∫ ∫ Hướng dẫn giải: a) Xét I1 = dx ∫ x ( x + 2) 2 Cách 1: (Đồng nhất... gia Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 26 11   1  −5  2x + 3 1 dx 11 dx 1 11 Từ đó I 3 = 2 dx =  + 5  dx = − + = − ln x + 1 + ln x − 4 + C 5 x +1 5 x − 4 5 5 x − 3x − 4  x +1 x − 4      1 11 Vậy I 3 = − ln x + 1 + ln x − 4 + C 5 5 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: ∫ ∫ ∫ ∫ (... thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải Chú ý: Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác 1 phải theo quy tắc ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 1)(3 x − 1) : dung ' Ví dụ: 3x − 4 x + 1 = 2 1  ( x − 1)  x −  : sai 3  Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu,... Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 22 ∫ d) I 4 = x ln x dx dx   du = x u = ln x x2 x 2 dx x 2 x2  ←  →  I 4 = x ln x dx = ln x − → = ln x − + C Cách 1: Đặt  2 2 2 x 2 4  x dx = dv v = x  2  ∫ ∫  x2  x2 x2 x2 x 2 dx x 2 x2 Cách 2: I 4 = x ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − = ln x − + C 2 2 2 x 2 4  2  2 Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các . Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT. PHÂN Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT. NGUYÊN HÀM Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT