Ôn thi Nguyên H-Tích Phân

Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 MỤC LỤC PHẦN TRANG MỤC LỤC 1 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 2 I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: 5 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 15 I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 15 II. BÀI TẬP LUYỆN: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 25 I - LÍ THUYẾT 25 II - BÀI TẬP 27 BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN 28 I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 28 II - BÀI TẬP 28 ĐẠI SỐ TỔ HỢP 29 I - LÝ THUYẾT 29 II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP 31 III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON 36 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 1 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu trong khoảng đó ta có: F'(x) = f(x). +Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi hằng số C: F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a, b). +Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm là k.F(x) trên (a, b). +Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương ứng là: F(x), G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) - h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) - H(x). +Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau: 1. y = f(x) = x α → F(x) = 1 x 1 +α +α + C 2. y = f(x) = x 1 → F(x) = xln +C 3. y = f(x) = sinx → F(x) = -cosx +C 4. y = f(x) = cosx → F(x) = sinx + C 5. y = f(x) = xsin 1 2 → F(x) = -cotgx + C 6. y = f(x) = xcos 1 2 → F(x) = tgx + C 7. y = f(x) = e x → F(x) = e x + C 8. y = f(x) = a x → F(x) = aln a x +C +Mọi hàm liên tục trên một đoạn nào đó đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Người ta kí hiệu họ nguyên hàm: F(x) + C = ∫ dx).x(f 2. Vi phân: Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm y' = f'(x) trên khoảng (a, b). Xét một điểm x ∈ (a, b) tùy ý. Tại điểm cho số gia ∆x, sao cho x + ∆x ∈ (a, b), thì tích số gia f'(x).∆x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x tương ứng với số gia ∆x. +dy = df(x) = f'(x).∆x ⇔ dy = y'dx. Ví dụ: +d(x 2 ) = 2x.dx Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 2 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 + d(sinx) = cosxdx. -Nếu y = y(u) và u = u(x) → dy = y'(u).du = y'(u).u'(x).dx = y' u(x) .u'(x).dx Ví dụ: y = (2x+5) 3 → dy = 3. (2x + 5) 2 .dx 3. Tính chất của tích phân: + )x(fdx).x(f ' =       ∫ + ∫ += C)u(Fdu).u(f + ∫ ∫ = dx)x(f.adx)x(f.a + ∫ ∫ ∫ +=+ dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f( + ∫ ∫ ∫ −=− dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f( Giả sử F(x) có đạo hàm là f(x) từ đó suy ra: ∫ += C)x(F))x(F(d 4. Công thức Newton - Lepnit: ∫ −= b a )a(F)b(Fdx).x(f 5. Định nghĩa tích phân xác định: +Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị không âm xác định trên khoảng (a, b), hình chắn phía trên bởi y = f(x) và phía dưới bởi trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. +Để tính diện tích hình thang cong người ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ bởi các điểm x 0 , x 1 , , x n . Ta gọi ∆x i = x i - x i-1 . Từ các điểm x i , dựng các đường thẳng song song với trục Oy khi đó hình thang cong được chia làm nhiều hình thang cong nhỏ. Tài liệu luyện thi đại học môn Toán 0 x y a b Trang 3 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 +Trong mỗi đoạn ∆x i chọn một điểm ε i khi đó tung độ y i ứng với điểm ε i là y i = f(ε i ) suy ra, nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có kích thước là (x i - x i-1 ); f(ε i ) thì được mỗi hình chữ nhật đó là: δ i = f(ε i ) . (x i - x i-1 ). Suy ra diện tích toàn phần hình cong là: S = S 1 + S 2 + + S n = ∑ n 1 i S +Nếu n càng lớn thì ∆x i càng nhỏ và độ chính xác càng lớn. S = ∑ = ∞→ n 1i i n SLim . Giới hạn phía phải được kí hiệu là: ∫ ∑ = = ∞→ b a n 1i i n dx)x(fSLim . +Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm (không nhất thiết phải cách đều nhau) a = x 0 , x 1 , , x n = b. Đặt ∆ i = x i - x i-1 (1 ≤ i ≤ n). Gọi số lớn nhất trong các kí hiệu đó là Max∆ i . Trong mỗi đoạn [x i-1 , x i ] chọn một điểm ε i tùy ý: x i-1 ≤ ε i ≤ x i . Lập tích f(ε i ).∆ i trên mỗi đoạn chia. Lập tổng ∫ ∑∑ = →∆ =→∆ε b a n 1i i 0Max ii SLimdx)x(fx).(f i Để tính tích phân theo định nghĩa ta thường chia thành các đoạn bằng nhau: ∆x i = x i - x i-1 = (b-a)/n = h. Lấy điểm ε i là đầu mút phải (hoặc trái) mỗi đoạn. ε i = a + (i-1).h (trái) ε i = a + i.h (phải) +Tính chất của tích phân xác định: ∫ ∫ = b a b a dx)x(fCdx)x(f.C ∫ ∫∫ ±=± b a b a b a dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ -Nếu f(x) ≤ g(x) thì: ∫∫ ≤ b a b a dx)x(gdx)x(f -Nếu m, M là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x) thì: ∫ −≤≤− b a )ab(mdx)x(f)ab(M Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 4 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: DẠNG 1: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT: 1. ∫ + dx)1e( 3x 2. dx2e xx ∫ 3. ∫ −+ − dx2ee xx 4. ∫ + dx x1 x 2 5. ∫ xdxcos 2 6. ∫ xdxtg 2 7. ∫ xdxsin 3 8. ∫ dx.xcos.xsin 2 9. dx.xa.x 22 ∫ − 10. ∫ + dx 1x x 4 3 11. ∫ − −+ dx )x1( xx1 32 2 12. ∫ + dx)bax( 32 13. dx) x 1 x( 3 + ∫ 14. dx)x2x( 2 3 + ∫ 15. ∫ xdxcosxsin 2 16. ∫ xdxsin 5 17. dx 2x2x 1 2 ∫ ++ 18. ∫ + + dx )x1(x )x1( 2 2 19. dx. xx |x1| 2 ∫ − 20. ∫ + dx)ba( 2xx 21. ∫ + dx )bxa( m 3 2 22. dx.2x.x 3 32 ∫ + 23. ∫ + )xln1(cos.x dx 2 24. ∫ + dx xcos21 xsin 25. ∫ + + dx tgx1 xtg1 2 26. ∫ + dx 4e e x2 x 27. ∫ + )1x(x dx 2 28. ∫ + +++ dx 1x 2xxx 6 456 29. ∫ + + dx e1 )e1( x2 2x Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 5 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1). +Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính dx theo dt và t. +Biến đổi f(x) theo t. +Đưa (1) về dạng: ∫ += C)t(Fdt)t(f (2) +Thay t trong biểu thức nguyên hàm bằng ϕ(x). Chú ý: Nếu (1) là tích phân xác định thì (2) là tích phân xác định cận từ ϕ(a) đến ϕ(b), khi đó không có bước cuối. Bài tập: 1. ∫ − dx)x1.(x 82 2. dx 4x2cos x4sin 2 ∫ + 3. ∫ + dx x 5x3 4. ∫ − dx)x21(x 43 5. ∫ + dx)xln1.(x x 6. ∫ + dx xcos1 xcos.xsin 2 3 7. ∫ +++ − dx 1x4x4x xx 246 3 8. ∫ + dx xcosxsin xsin 9. ∫ + dx xcosxsin xcos 10. ∫ + dx x)x1( xarctg 11. ∫ )xln(ln.xln.x dx 12. ∫ − + dx xcosxsin xcosxsin 3 13. ∫ + dx xln1x xln 14. dx x x1 6 ∫ + 15. dx x x1 4 3 ∫ + 16. ∫ − 2/32 )x1( dx 17. ∫ + dx x1 x 18. ∫ ++ 22 )x1x( dx 19. ∫ + dx 2 x cos1 xsin 2 20. ∫ xcos.x dx 21. ∫ xcos dx 22. ∫ xsin dx 23. ∫ + ax dx 2 24. ∫ + − dx 1x 1x 4 2 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 6 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 25. ∫ xdxcos 5 26. dx.xtg 6 ∫ 27. ∫ xdxcosxsin 3 28. ∫ + dx xcos49 xsinx 2 29. ∫ + dx xcos1 xsinx 2 30. ∫ + dx xsinxcos xcos 31. ∫ + dx xsinxcos xsin 32. dx 12 4x x 2 ∫ + + 33. ∫ + dx x2cos2 xcos 34. ∫ + dx xsinbxcosa xcosxsin 2222 (a ≠ b ≠ 0) 35. dxx1 2 ∫ + 36. ∫ + dx x1 x 3 2 3 37. ∫ + − dx e1 e1 x x 38. ∫ + dx )1x( xln 2 39. dx.gxcot. xsin xsinxsin 3 3 3 ∫ − 40. dx xsinxcos xcos 44 4 ∫ + 41. dx xcos2 xsinx 2 ∫ + Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 7 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Các vấn đề lý thuyết: +Định lý: Cho hai hàm u, v liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có: ∫∫ −= b a b a b a vdu|v.uudv +Để tính tích phân f(x)dx: -Phải biến đổi tích phân f(x)dx về dạng tích phân của u.dv. -Tính du và v. -Tính tích phân của v.du. +Các dạng thường gặp: a. ∫ dx.Ax).x(P (P(x) là một đa thức của x, Ax: e x , a x , sinx, cosx ) Thì ta sẽ đặt u = P(x), dv = Ax.dx. b. ∫ dx.Ax).x(P (P(x) là một đa thức của x, Ax: arsinx, arccosx, arctgx ) 2. Bài tập: 1. ∫ 1 0 x dxe.x 2. ∫ 1 0 xarctgxdx 3. ∫ xdxcosx 2 4. ∫ xdxln 5. ∫ xdxsine x 6. ∫ dx xcos x 2 7. ∫ dx)xcos(ln 8. ∫ + dx x1 xarcsin 9. ∫ dx)arctgx(x 2 10. ∫ + ++ dx x1 )x1xln(.x 2 2 11. dxxsine 2x2 ∫ 12. ∫ dx)x(arcsin 2 13. ∫ + dx )x1( dx 22 14. ∫ + 222 )xa( dx 15. ∫ − dx )1x( x 34 8 16. ∫ dx) x xln ( 3 17. ∫ dx.xsinex x2 18. dx.bx 2 ∫ + 19. dxxa 22 ∫ − 20. dx e earcsin x x ∫ Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 8 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 21. ∫ dx.xarccos.xarcsin 22. ∫ + dx)x1ln(.arctgx.x 2 23. ∫ + dx )x1( x 24 7 24. dx )x1( )1xxln(.x 22 2 ∫ − ++ 25. ∫ + dx x1 arctgx.x 2 4 26. dx.xsin.x ∫ 27. dx x1 arctgx.x 2 2 ∫ + 28. ∫ − dx x1 xarccos.x 2 3 29. ∫ + dx).xcos1ln(.xcos 30. ∫ + dx )x1( e.x 2/32 arctgx 31. ∫ dx.xarccos.x 2 32. dx x xarcsin 2 ∫ 33. ∫ dx).xcos(ln 34. ∫ dx).xsin(ln 35. ∫ + dx )x1(x arctgx 22 36. dx).xsin( 3 ∫ 37. ∫ − dx.x3cos.e x2 38. ∫ dx.xln.x 3 39. ∫ − dx.e.x 2/x 40. ∫ + dx).x1ln( 41. ∫ ++ dx)1xxln(.x 2 42. Tìm a để: [ ] 12dxx4x).a44(a 1 0 32 =+−+ ∫ Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 9 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ: 1. Hàm hữu tỷ: a. Dạng tổng quát: Tính tích phân dx. )x(g )x(f ∫ bậc của f(x) nhỏ hơn g(x). +Nếu bậc f(x) lớn hơn bậc g(x) thì chia đa thức đưa về phân số tối giản. +Nếu bậc f(x) nhỏ hơn bậc g(x) thì phương trình hàm hữu tỷ đã cho đưa về hàm hữu tỷ đơn giản hơn bằng phương pháp cân bằng hệ số bằng cách sau: 'cx'bx'a CBx bax A )'cx'bx'a)(bax( 1 22 ++ + + + = +++ Tương đương với: nn )ax( N ax A )ax( 1 − ++ − = − +Các dạng thường gặp khi tính tích phân xác định: Tích phân ∫ α − dx )ax( A = ∫ +α− − =−− +α− α− 1 )ax( .A)ax(d)ax(.A 1 Tích phân ∫ ∫ −= − − = − |ax|ln.A ax )ax(d .Adx )ax( A Tích phân ∫ ++ cbxax dx 2 tùy theo ax 2 +bx+c = 0 có nghiệm hay không. Nếu có nghiệm thì đưa về dạng: ∫       + − = − ax ax ln. a2 1 au du 22 Nếu không có nghiệm thì đưa về dạng sau: ∫ = − a u arctg. a 1 au du 22 b. Bài tập luyện: 1. ∫ +++ +− dx 2x3x3x 3xx2 23 2 2. ∫ ++ + dx )9x)(1x( 1x 22 3. dx )2x()1x( 5x18x17x5 3 23 ∫ −− −+− 4. ∫ ++ dx )x1).(x1( x2 22 5. ∫ + )1x.(x dx 2 6. ∫ + 210 )1x.(x dx 7. ∫ + − dx 1x xx 8 5 8. ∫ + + dx 1x 1x 6 4 9. ∫ +− + dx x2x3x 1x 23 4 10. ∫ ++ dx 2x3x x 24 5 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 10 [...]... 2 dx x + x2 + x +1 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 14 Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 Đào Kiên Cường TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1 Công thức newtown - lepnit: b ∫a f ( x ).dx = F(b) − F(a ) = F(x ) |a b 2 Một số chú ý trong phương pháp đổi biến: β b -Phải đổi cận: Đặt t = ϕ(x) ⇒ ∫a f ( x )dx = ∫α g( t )dt α = ϕ(a); β = ϕ(b) 3 Công thức tính tích phân từng phần: b b ∫a udv = uv |a... 2 )dx ĐỀ THI MỘT SỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC 1 ĐHQG - D/99: dx ∫ e x − 4e −x Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 17 Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 Đào Kiên Cường 2 ĐHBK -99: Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x a Tìm học nguyên hàm của hàm số g(x) π / 2 g( x ) b Tính: ∫−π / 2 x dx e +1 3 ĐHTN A/99: Chứng minh với mọi n nguyên dương ta có: 1 ∫0 2 (2x − 1) 2 x +1.e x − x dx = 0 4 ĐHSPII.99: sin 3 x Tìm nguyên hàm... = ∫ f ( x ) dx b) Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, ta có diện tích của hình phảng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai hàm số y1 = f1(x) và y2 = f2(x) liên tục trên [a, b] được cho bởi công b thức: S = ∫ f1 (x ) − f 2 ( x ) dx a Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 25 Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 Đào Kiên Cường Để tính diện tích S theo công thức trên trước hết... phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay xung quanh trục ox tạo thành vật thể tròn xoay T Thi t diện của vật thể T với mặt phẳng vuông góc với ox tại điểm x là một hình tròn bán kính y (y = f(x)) nên diện tích thi t diện S(x) = πy 2 Vậy: Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 26 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 b 2 V = π∫ y dx a Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay... của n phần tử đã cho Ví dụ: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi Mỗi phòng thi gồm hai giám khảo Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi? b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C k thì ta có: n n! Ck = n k!(n − k )! Ví dụ 1: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu tính điểm Thể lệ cuộc thi là bất kì hai đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần Hỏi phải... x +cos x ) 3 34 ĐH CÔNG ĐOÀN 2000: 1 dx I1 = ∫0 2 x e +3 2 ln( x + 1) dx I2 = ∫1 x2 35 ĐHSPHNII 2000: π/ 2 I1 = ∫0 I2 = ∫1 x I3 = ∫0 (1 + x n )n 1 + x n (cos10x + sin 10x − cos 4 x.sin 4 x ).dx 2 dx 1 1 + x3 dx ( n = 1, 2, ) 36 ĐHTHNGUYÊN 2000: I = 2π ∫0 sin(sin x + nx ).dx (n ∈ Z) 37ĐH DƯỢC 2000: π / 2 1 + sin x x e dx I = ∫0 1 + cos x 38 ĐHNNI 2000: Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 21 Sè... ĐHAN - 2001 ∫( Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 23 Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 Đào Kiên Cường xdx ∫ 3 x1 57 HVKTQS - 2001 b a − x2 ∫ (a + x 2 ) 2 dx Với a, b là các tham số cho trước 0 58 ĐH Y HN - 2001 3 ∫ x 2 − 1dx 2 59 ĐHSPKT TPHCM - A - 2001 π 2 ∫ cos n xdx Với n là số nguyên dương 0 60 ĐHSP TPHCM - A - 2001 1 ∫x 5 1 − x 3 dx 0 61 ĐHNT TPHCM - A - 2001 Tìm họ nguyên hàm của f(x) = 62 ĐHQG... 5 π 4 1 − 2 sin 2 x ∫ 1 + sin 2x dx 0 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 24 Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 Đào Kiên Cường 66 TSĐH - A - 2004 2 x ∫ 1 + x − 1 dx 1 67 TSĐH - B - 2004 e 1 + 3 ln x ln x dx ∫ x 1 68 TSĐH - A - 2005 69 TSĐH - B - 2005 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I - LÍ THUYẾT 1) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG a) Cho hàm số y = f(x), liên tục và không âm trên [a, b] Ta biết rằng diện tích S của hình thang... Tích phân các hàm số lượng giác: a Các vấn đề lý thuyết: +Tích phân có dạng: ∫ sin m x cos n xdx -Trường hợp 1: Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt cosx = t -Trường hợp 2: Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt sinx = t -Trường hợp 3: Nếu m, n cùng chẵn, khác dấu thì đặt tgx = t -Trường hợp 4: Nếu m, n cùng chẵn, cùng dương thì hạ bậc x +Tích phân có dạng: ∫ R (sin x, cos x )dx thì đặt tg = t 2 +Sử dụng phương pháp tích phân. .. 2 dx 4 4 dx sin x cos x sin 4 x + cos 4 x 5 x cos 5 xdx cos 3 x dx sin 2 x.sin x 30 ∫ 32 ∫ 34 ∫ 1 − sin x tgx dx dx 3 Tích phân của các hàm vô tỷ: a Các vấn đề về lý thuyết: Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 12 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 Giả sử tính tích phân của f(x)dx + f ( x ) = f ( x, a x , b x , c x ) Thì đặt s x = t với s là BSCNN của (a, b, c, ) ax + b n ax + b ax + b , . TRANG MỤC LỤC 1 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 2 I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: 5 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 15 I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 15 II. BÀI TẬP LUYỆN: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 25 I -. ∫ + + dx e1 )e1( x2 2x Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 5 Đào Kiên Cường Sè ®iÖn tho¹i: 0982814404 DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1). +Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính dx. C)t(Fdt)t(f (2) +Thay t trong biểu thức nguyên hàm bằng ϕ(x). Chú ý: Nếu (1) là tích phân xác định thì (2) là tích phân xác định cận từ ϕ(a) đến ϕ(b), khi đó không có bước cuối. Bài tập: 1. ∫ − dx)x1.(x 82 2.