Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai. Một số công thức thường được dùng trong phần này: 1/ 2 2 xdx x a C x a = + + + ∫ 2/ 2 2 ln | | dx x x a C x a = + ± + ± ∫ 3/ 2 2 2 ln | | 2 2 x a x adx x a x x a C± = ± + + ± + ∫ 4/ 2 1 arcsin 1 dx x C x = + − ∫ 5/ 2 1 arccos 1 dx x C x − = + − ∫ Mở rộng công thức 4 và 5: 6/ ( ) 2 2 1 arcsin 0 x C a a a x = + > − ∫ 7/ ( ) 2 2 arccos 0 dx x C a a a x − = + > − ∫ . Chú ý: Dạng 1 1 2 a x b dx ax bx c + + + ∫ ta có thể làm như sau: B1: Biến đổi: ( ) 1 1 2a x b ax b α β + = + + . 2a x b α α β = + + . Đồng nhất hệ số ta có: 1 1 2a a b b α α β = + = ( trong đó 1 1 ; ; ;a b a b đã biết.) B2: Giải hệ phương trình trên tìm ; α β B3: Ta có: ( ) 1 1 2 2 2ax b a x b I dx dx ax bx c ax bx c α β + + + = = + + + + ∫ ∫ 2 2 2ax b dx dx ax bx c ax bx c α β + = + + + + + ∫ ∫ Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 1 Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân Đặt 1 2 2 2 2ax b I dx ax bx c dx I ax bx c + = + + = + + ∫ ∫ B4: + Tính 1 2 2ax b I dx ax bx c + = + + ∫ . Đặt ( ) 2 2t ax bx c dt ax b dx= + + ⇒ = + . Từ đó suy ra: 1 2 dt I t C t = = + ∫ 2 2 ax bx c C= + + + + Tính 2 2 dx I ax bx c = + + ∫ Biến đổi: 2 2 2 4 b ax bx c a x a a ∆ + + = + − ÷ . Tuỳ thuôc vào dấu của a và ∆ mà ta có tích phân 2 I thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 2 2 2 dx x x− + ∫ 2/ 2 2 1 1 x dx x x − − + ∫ 3/ 2 2 2 2 2 x x dx x x − + − ∫ 4/ 2 1 dx x x+ + ∫ 5/ 2 2 3 4 1 x x dx x x − + − + ∫ 6/ 2 4 1 1 x dx x x + + ∫ 7/ 2 2 2x x dx− − ∫ 8/ 2 2 1 1 x dx x x + + − ∫ 9/ 2 3 2 3 2 x dx x x − − + ∫ 10/ 2 2 2 1 2 x x dx x x + − + − ∫ 11/ 2 1 2 dx x x− − ∫ 12/ 2 3 4 dx x x− − ∫ 13/ ( ) 2 2 3 2 2 x dx x x − − − ∫ 14/ 2 1 4 dx x x − − − ∫ 15/ ( ) 2 1 2 3 x dx x x − − + ∫ 16/ ( ) 2 2 2 3 1 x x dx x − + − ∫ 17/ ( ) 2 2 2 2 4 x x dx x − + − ∫ 18/ ( ) 2 2 2 3 1 4 x x dx x − + − ∫ 19/ ( ) 2 2 1 1 x x dx x + + − ∫ 20/ ( ) 2 2 1 1 x x dx x − + − ∫ Bài toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Dạng 1: Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 2 Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b cx d + + có dạng: , n ax b I R x dx cx d + = ÷ + ∫ với 0ad bc− ≠ . Phương pháp giải: B1: Thực hiện phép đổi biến: n ax b t cx d + = + n n n ax b b dt t x cx d ct a + − ⇒ = ⇔ = + − . Từ đó suy ra: ?dx dt= . B2: Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân này đã được học từ tiết trước. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ ( ) 3 1 1 dx x x+ + + ∫ 2/ 3 2 3 x dx x x + + ∫ 3/ 3 1 xdx x + ∫ 4/ 1 2 xdx x+ + ∫ 5/ 3 dx x x+ ∫ 6/ 3 1 dx x+ ∫ 7/ 1 1 dx x x+ + − ∫ 8/ 1 x dx x− ∫ 9/ 1 1 xdx x+ − ∫ 10/ 9 dx x x+ − ∫ 11/ 1 xdx x+ ∫ 12/ 2 2 1 x dx x+ ∫ 13/ 1x xdx− ∫ 14/ 4 1 dx x+ ∫ . 15/ 2 1 dx x − ∫ 16/ 2 3x x dx+ ∫ Dạng 2: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 ax bx c+ + có dạng: ( ) 2 ,I R x ax bx c dx= + + ∫ Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét các trường hợp sau: 1/ Nếu a>0 đặt 2 ax bx c t x a+ + = − hoặc t x a+ 2/ Nếu c>0 đặt 2 ax bx c tx c+ + = + hoặc tx c− 3/ Nếu tam thức 2 ax bx c+ + có biệt số 0∆ > thì ( ) ( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x+ + = − − . Khi đó đặt: ( ) 2 1 ax bx c t x x+ + = − . Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 3 Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân 1/ 2 2 4x x dx− ∫ 2/ 2 2x x dx− ∫ 3/ ( ) 2x x dx− + ∫ 4/ 2 1 dx x x x+ + + ∫ 5/ 2 1 1 2 dt x x+ − − ∫ 6/ ( ) ( ) 2 2 1 4 3 x dx x x x − − − + − ∫ 7/ 2 1 4 3 dx x x+ − + ∫ 8/ 2 2 2 4 dx x x x+ + + ∫ 9/ 2 1 dx x x x+ + ∫ 10/ 2 2 3 2 3 2 x x x dx x x x − + + + + + ∫ Dạng 3: Tính tích phân bất định: ( ) 2 1 1 dx I a x b ax bx c = + + + ∫ . Phương pháp giải. Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 1 1 t a x b = + 2 1 dt ax b pdx t t − ⇒ + = ⇒ = ; 1 1 x b a t = − ÷ . Khi đó: ( ) 2 1 1 dx I a x b ax bx c = + + + ∫ 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 dt a b a t b b c a t a t − = − + − + ÷ ÷ ∫ Sau khi rút gọn ta được: 2 2 2 ; 0 ; 0 dt t a t b t c dt t a t bt c − > + + = < + + ∫ ∫ B2: Tính các tích phân vừa tìm được. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ ( ) 2 1 2 2 dx x x x+ + + ∫ 2/ ( ) 2 1 2 2 dx x x x− − + ∫ 3/ ( ) 2 1 4 5 dx x x x+ − + ∫ 4/ ( ) 2 2 3 3 1 dx x x x+ + − ∫ 5/ ( ) 2 2 4 3 dx x x x+ − − ∫ 6/ ( ) 2 1 3 2 dx x x x− + + ∫ 7/ ( ) 2 2 1 2 2 dx x x x+ − + ∫ 8/ 4 2 2 1 dx x x x+ − ∫ Dạng 4: Tính tích phân bất định sau: ( ) 1 1 2 2 2 a x b I dx a x b ax bx c + = + + + ∫ Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 4 Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân Phương pháp giải: B1: Biến đổi: ( ) 1 1 2 2 a x b a x b α β + = + + 2 2 a x b α α β = + + Đồng nhất hệ số: 2 1 2 1 a a b b α α β = + = ( trong đó: 1 2 1 2 ; ; ;a a b b là các hằng số ). Giải hệ phương trình trên tìm , α β B2: ( ) ( ) 1 1 2 1 1 a x b I dx a x b ax bx c α β + + = + + + ∫ ( ) 2 2 1 1 dx dx ax bx c a x b ax bx c β α = + + + + + + ∫ ∫ B3: Tính 1 2 dx I ax bx c = + + ∫ ( ) 2 2 1 1 dx I a x b ax bx c = + + + ∫ Dễ thấy 1 2 ;I I là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 x dx x x x + + + + ∫ 2/ ( ) ( ) 2 2 1 1 3 2 x dx x x x − − − + ∫ 3/ ( ) ( ) 2 2 1 2 3 x dx x x x + + − + ∫ 4/ ( ) ( ) 2 2 3 2 1 2 x dx x x − − + ∫ 5/ ( ) ( ) 2 3 5 1 2 x dx x x x − + + ∫ 6/ ( ) ( ) 2 2 1 1 x dx x x + − + ∫ 7/ ( ) ( ) 2 3 4 2 1 x dx x x − − − ∫ 8/ ( ) ( ) 2 2 1 1 4 x dx x x + + − ∫ BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. ∫ + 32 5 2 4xx dx 2. ∫ − 2 3 2 2 1xx dx 3. ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4. ∫ + 2 1 3 1xx dx 5. ∫ + 2 1 2 2008dxx 6. ∫ + 2 1 2 2008x dx 7. ∫ + 1 0 22 1 dxxx 8. ∫ − 1 0 32 )1( dxx 9. ∫ + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x 10. ∫ − + 2 2 0 1 1 dx x x 11. ∫ + 1 0 32 )1( x dx 12. ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 5 Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân 13. ∫ + 1 0 2 1 dxx 14. ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx 15. ∫ + 2 0 2cos7 cos π x xdx 16. ∫ − 2 0 2 coscossin π dxxxx 17. ∫ + 2 0 2 cos2 cos π x xdx 18. ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 19. ∫ + 7 0 3 2 3 1 x dxx 20. ∫ − 3 0 23 10 dxxx 21. ∫ + 1 0 12x xdx 22. ∫ ++ 1 0 2 3 1xx dxx 23. ∫ ++ 7 2 112x dx 24. dxxx ∫ + 1 0 815 31 25. ∫ + 3ln 0 1 x e dx 27. ∫ − +++ 1 1 2 11 xx dx 28. ∫ + 2ln 0 2 1 x x e dxe 29. ∫ −− 1 4 5 2 8412 dxxx 30. ∫ + e dx x xx 1 lnln31 31. ∫ + + 3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx ∫ +− 4 0 23 2 33. ∫ − ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x 34. ∫ + 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35. ∫ + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos π dx x tgx x x 36. ∫ + 2ln 0 3 )1( x x e dxe 37. ∫ + 3 0 2cos2 cos π x xdx 38. ∫ + 2 0 2 cos1 cos π x xdx 39. dx x x ∫ + + 7 0 3 3 2 40. ∫ + a dxax 2 0 22 Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 6 . ra: ?dx dt= . B2: Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân này đã được học từ tiết trước. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ (. toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Dạng 1: Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 2 Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax. Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai. Một số công thức thường được dùng