Đang tải... (xem toàn văn)
Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ.[r]
(1)NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1:
Xác định nguyên hàm hàm số vô tỉ dựa tam thức bậc hai. Một số công thức thường dùng phần này:
1/ xdx2 x2 a C
x a
2/ dx2 ln |x x2 a| C
x a
3/ 2 ln | |
2
x a
x adx x a x x a C
4/ 2 arcsin
1 x dx x C
5/ 2 arccos
1 x dx x C
Mở rộng công thức 5:
6/ 21 2 arcsin x C a 0
a
a x
7/ 2dx 2 arccosax C a 0
a x
Chú ý:
Dạng a x b12 dx ax bx c
ta làm sau:
B1:
Biến đổi: a x b1 12ax b . 2a x b Đồng hệ số ta có:
1
2a a
b b
( a b a b1 1; ; ; biết.)
B2:
Giải hệ phương trình tìm ;
B3:
Ta có: I a x b12 dx 2ax b2 dx
ax bx c ax bx c
22ax b dx 2dx
ax bx c ax bx c
(2)Đặt
1 2
2 2
2ax b
I dx
ax bx c dx I
ax bx c
B4:
+ Tính 2
2ax b
I dx
ax bx c
.
Đặt t ax bx c dt 2ax b dx .
Từ suy ra:
dt
I t C
t
2 ax2 bx c C
+ Tính 2
dx I
ax bx c
Biến đổi:
2
2
b
ax bx c a x
a a
.
Tuỳ thuôc vào dấu a mà ta có tích phân I2 thuộc dạng 2;4;5;6;7
Bài tập áp dụng:
Tính tích phân bất định sau:
1/ 2
2
dx x x
2/ 22
1
x
dx
x x
3/
2
2
2
x x
dx
x x
4/ 2
1
dx x x
5/
2
3
1
x x
dx
x x
6/
2
1
x
dx x x
7/ x2 2x 2dx
8/
2
1
x
dx
x x
9/ 23
3
x
dx
x x
10/
2
2
2
x x
dx
x x
11/ 2
1
dx x x
12/ 2
3
dx x x
13/ 2 3 2
2
x dx
x x
14/ 2
1
dx x x
15/ 2 1
2
x dx
x x
16/
2
2
2
1
x x
dx x
17/
2
2
2
4
x x dx
x
18/
2
2
4
x x dx
x
19/
2
2
1
x x dx
x
20/
2
2
1
x x dx
x
Bài toán 2:
(3)Tính tích phân bất định hàm hữu tỉ x n ax b
cx d
có dạng: I R x,n ax b dx
cx d
với ad bc 0.
Phương pháp giải:
B1: Thực phép đổi biến: t n ax b
cx d
n n
n
ax b b dt
t x
cx d ct a
.
Từ suy ra: dx?dt
B2:
Thay biến x t Đưa tích tích phân bất định hàm hữu tỉ Mà tích phân này học từ tiết trước.
Bài tập áp dụng:
Tính tích phân bất định sau:
1/
3
1
dx x x
2/
2
x
dx x x
3/ 3
1
xdx x
4/
1
xdx x
5/ dx3
x x
6/ 3
1
dx x
7/
1
dx x x
8/
1
x dx x
9/
1
xdx x
10/
9
dx x x
11/
1
xdx x
12/
2
2
x dx x
13/ x 1 xdx 14/ 4
1
dx x
15/ 2
1
dx x
16/ x 3x dx2
Dạng 2:
Tính tích phân bất định hàm hữu tỉ x ax2 bx c
có dạng:
,
I R x ax bx c dx
Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét trường hợp sau:
1/ Nếu a>0 đặt ax2 bx c t x a
t x a
2/ Nếu c>0 đặt ax2 bx c tx c
hoặc tx c
3/ Nếu tam thức ax2 bx c
có biệt số 0 ax2 bx c a x x 1 x x 2 Khi
đặt:
1
ax bx c t x x .
Bài tập áp dụng:
(4)1/ x2 4 x dx2 2/ 2x x dx 3/ x x 2dx
4/ 2
1
dx x x x
5/ 2
1
dt x x
6/
2
1
x dx
x x x
7/ 2
1
dx
x x
8/ 2
2
dx x x x
9/ 2
1
dx x x x
10/
2
3
3
x x x
dx
x x x
Dạng 3:
Tính tích phân bất định:
1
dx I
a x b ax bx c
.
Phương pháp giải.
Bước 1: Thực phép đổi biến:
1
t
a x b
ax b pdx dt2
t t
; x 1 b a t
. Khi đó:
1
dx I
a x b ax bx c
2
1 1
1
1
dt
a b
a t b b c
a t a t
Sau rút gọn ta được: 2
2
;
;
dt
t a t b t c
dt
t a t bt c
B2: Tính tích phân vừa tìm được
Bài tập áp dụng:
Tính tích phân bất định sau:
1/
1 2
dx
x x x
2/
1 2
dx
x x x
3/
1
dx
x x x
4/
2 3
dx
x x x
5/
2
dx
x x x
6/
1
dx
x x x
7/
2 1 2
dx
x x x
8/ 4 2
2
dx x x x
Dạng 4:
Tính tích phân bất định sau:
1
2
a x b
I dx
a x b ax bx c
(5)Phương pháp giải:
B1:
Biến đổi: a x b1 a x b2 2 a x b2 2 Đồng hệ số:
2
a a
b b
( đó: a a b b1; ; ;2 2 số ). Giải hệ phương trình tìm ,
B2:
1 1
a x b
I dx
a x b ax bx c
2
1 dx
dx
ax bx c a x b ax bx c
B3: Tính 2
dx I
ax bx c
2 2
1
dx I
a x b ax bx c
Dễ thấy I I1; 2 hai dạng tích phân nói đến phần trên. Bài tập áp dụng:
Tính tích phân bất định sau:
1/
2
1 2
x dx
x x x
2/
2
1
x dx
x x x
3/
2
1
x dx
x x x
4/
2
2
x dx
x x
5/
3
1
x
dx
x x x
6/
2
1
x
dx x x
7/
3
2
x dx
x x
8/
2
1
x dx
x x
BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1
2
5 x x2 dx
2
2
3
2 x x2
dx
3
1
2
1(2x 3) 4x2 12x
dx
4
1 x x3 dx
5
2
1
2 2008dx
x 6
1 x2 2008 dx
7
1
0
2 1 x dx
x 8
1
0
3 2)
1
( x dx 9
1 2
1
dx x
x x
10
2
0
1
dx x
x 11
0 (1 x2)3 dx
12
2
(6)13
0
2
1 x dx 14
2
0 2
1 x
dx
x 15
2
0 cos2
cos
x xdx
16 2
0
2
cos cos
sin
dx x x
x 17
2
0 cos2
cos
x
xdx 18
2
0 3cos
sin sin
dx x
x x
19
7
03
1 x
dx x
20
3
0
2 10 x dx
x 21
0 2x xdx
22
0
3
1
x x
dx x
23
7
2 2x 1
dx
24 x x dx
1
0
8 15 1 3
25
ln
0 ex
dx 27
1
11 x x2
dx 28
ln
0
1
x x
e dx e
29
1
4
2 8
4
12x x dx 30.
e
dx x
x x
1
ln ln
31
0
3
1 x dx x x
32 x x xdx
0
2 2
33
0
1
3 1)
(e x dx
x x
34
3 ln
2 ln
2
1 ln ln
dx x x
x
35
3
2
cos cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
ln
0 ( x 1)3
x
e dx e
37
3
0 cos2
cos
x xdx
38
2
0 cos2
cos
x
xdx 39 dx
x x
7
0 3
2
40
a
dx a x
0