TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Trang 1A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô tỷ (hàm chứa căn), tuy nhiên trong chương trình
ôn thi đại học, ta chỉ cần quan tâm đến hai dạng sau đây
Dạng 1: Biểu thức trong căn là một nhị thức bậc nhất
I R x ax b dx , trong đó R x ;n ax b là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và n
ax b , n là số tự nhiên,
2
Phương pháp: Đặt n
t ax b
Dạng 2: Biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai
Phương pháp 1: Xét tích phân
;
I R x ax bx c dx ,
;
R x ax bx c là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và 2
Trong trường hợp phương pháp này không sử dụng được, ta chuyển qua dùng phương pháp 2
Phương pháp 2: Biến đổi căn của tam thức bậc hai về một trong các kiểu sau và áp dụng cách đặt ẩn phụ tương ứng
Kiểu Phép đặt ẩn phụ
a f x , x 0 f x asint, ;
2 2
t
a f x , x 0 f x atant, ;
2 2
t
f x a , x 0
cos
a
f x
t
, 0; \
2
Trang 2B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1 Tính
1
0 1
Giải
Đổi biến
1
t x
2 1 2
Đổi cận
0
x t 1, x 1 t 0 Suy ra
0 2 1
1 t t 2tdt
1
2 4 0
2
4 15
Ví dụ 2 [ĐHA04] Tính
2
x
x
Giải
Đổi biến
1
t x
2 1 2
Đổi cận
1
x t 0, x 2 t 1
Do đó
I
1 3
0
2
1
dt t
1 2 0
2
1
t
1 1
3 2
11
4 ln 2 3
Ví dụ 3 Tính
64
3
dx
I
Trang 3Ta có
64
1
dx I
Đổi biến: 6
t x
6 5
6
x t
dx t dt
Đổi cận: x 1 t 1, x 64 t 2
I
3 2 1
6 t dt
t t
2 3
1
6 1
t dt t
2 2 1
1
1
t
11 6 ln 3 6 ln 2
Ví dụ 4 [ĐHA05]
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x
Giải
Ta có
2
0
2 cos 1 sin
1 3cos
x xdx I
x
Đổi biến: t 1 3cos x
2
1 cos
3 2 sin
3
t x
xdx tdt
Đổi cận: x 0 t 2,
2
t 1
I 1 2 1 2
2
2.t 1 tdt
t
2 2 1
2
Trang 42 2
9 3
t t
34 27
Ví dụ 5 Tính
3 3
2
x dx I
x
Giải
Ta có
2 3
2
x xdx I
x
Đổi biến: t x21
1
Đổi cận: x 0 t 1, x 3 t 2
I 2 2
1
1
t tdt t
2 2 1
1
t dt
3
1 3
4 3
Ví dụ 6 Tính
2 2
dx I
x x
Giải
Ta có
2
xdx I
Trang 5I
3 2
tdt
t t
3 2
dt t
Đổi biến ttanu, ;
2 2
u
2 2
2
cos 1 1 cos
du dt
u t
u
Đổi cận t 1
4
, t 3
3
Do đó
3 2
cos
cos
du u
u
Ví dụ 7 Tính
1
2
dx I
Giải
Ta có
1
0
1
x dx I
Đổi biến: t x22x2
1
x x t
x dx tdt
Đổi cận: x 0 t 2, x 1 t 5
I
5 2
tdt
t t
5 2
dt t
5
ln
2
t t
Trang 61 5 1 2 1
ln 5 1 ln 5 1 ln 2
Ví dụ 8 Tính
1
1
2
8 2
dx I
x x
Giải
8 2 xx 9 1 2 xx 3 x1
Đổi biến
x 1 3sint, ;
2 2
t
8 2 xx2 323 sin2 2t 3 cost 3cost, dx3costdt
Đổi cận 1
2
6
, x 1 t 0
Do đó
6
0 3cos
tdt
t
Ví dụ 9 Tính
2 1
1 x dx
I
x
Giải
Đặt xtant, ;
2 2
t
2
1
cos cos
cos
tan
dt
t t t
t
Đổi cận x 1
4
, x 3
3
I
3
4
2
sin cos
dt
t t
3
4
cos sin cos
tdt
t t
Trang 7
3
4
sin sin 1 sin
d t
3
2
1
du
u u
(usint, t 0 u 0,
6
1
2
3
2
1 1
du
u u
3
2
1 u u du
ln
2 1
u
3
Ví dụ 10 Tính
2 2
dx I
x
Giải
Đặt 1
cos
x
t
, 0; \
2
sin cos sin 2
cos cos 1
tdt t t t
t x
Đổi cận x 2
4
, x 2
3
I
3
4
cos
dt t
3
4
2
cos cos
tdt t
3
4
2
sin
1 sin
d t t
Trang 84
1 1 sin ln
2 1 sin
t t
ln 2 1 ln 2 3
Trang 9C BÀI TẬP
Tính các tích phân sau
1)
1
0 3 2
dx
I
x
1
xdx I
x
3) [ĐHD12]
4
0
x
x
4)
7 3 3 0
1
3 1
x
x
5) [ĐHB04]
1
1 3ln ln
e
x
2
0
sin 2 cos 4 sin
x
7)
ln 2
0
1
x
1
2 0
1 5
9)
1
0
1
2 3
2
dx I
x x
11)
4
2
2 16
dx
I
6
2
dx I
x x
13)
4 3
3
4
x
x
2 2
1 1
x
x x
15)
2
1
4
1
dx I