TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô tỷ (hàm chứa căn), tuy nhiên trong chương trình ôn thi đại học, ta chỉ cần quan tâm đến hai dạng sau đây. Dạng 1: Biểu thức trong căn là một nhị thức bậc nhất ; n I R x ax b dx , trong đó ; n R x ax b là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và n ax b , n là số tự nhiên, 2 n , 0 a . Phương pháp: Đặt n t ax b . Dạng 2: Biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai Phương pháp 1: Xét tích phân 2 ; I R x ax bx c dx , trong đó 2 ; R x ax bx c là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và 2 ax bx c , 0 a . Đặt 2 t ax bx c . Trong trường hợp phương pháp này không sử dụng được, ta chuyển qua dùng phương pháp 2. Phương pháp 2: Biến đổi căn của tam thức bậc hai về một trong các kiểu sau và áp dụng cách đặt ẩn phụ tương ứng. Kiểu Phép đặt ẩn phụ 2 2 a f x , 0 x sin f x a t , ; 2 2 t 2 2 a f x , 0 x tan f x a t , ; 2 2 t 2 2 f x a , 0 x cos a f x t , 0; \ 2 t BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính 1 0 1 I x xdx . Giải Đổi biến 1 t x 2 1 2 x t dx tdt . Đổi cận 0 x 1 t , 1 x 0 t . Suy ra I 0 2 1 1 2 t t tdt 1 2 4 0 2 t t dt 3 5 1 1 1 1 2 3 5 0 0 t t 4 15 . Ví dụ 2. [ĐHA04] Tính 2 1 1 1 x I dx x . Giải Đổi biến 1 t x 2 1 2 x t dx tdt . Đổi cận 1 x 0 t , 2 x 1 t . Do đó I 1 3 0 2 1 t t dt t 1 2 0 2 2 2 1 t t dt t 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2ln 1 3 2 0 0 0 0 t t t t 1 1 2 2 2ln 2 3 2 11 4ln2 3 . Ví dụ 3. Tính 64 3 1 dx I x x . Giải BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Ta có 64 3 2 6 6 1 dx I x x . Đổi biến: 6 t x 6 5 6 x t dx t dt . Đổi cận: 1 x 1 t , 64 x 2 t . I 2 5 3 2 1 6 t dt t t 2 3 1 6 1 t dt t 2 2 1 1 6 1 1 t t dt t 3 2 2 2 2 2 1 1 6 ln 1 3 2 1 1 1 1 t t t t 11 6ln3 6ln 2 . Ví dụ 4. [ĐHA05] 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x . Giải Ta có 2 0 2cos 1 sin 1 3cos x xdx I x . Đổi biến: 1 3cos t x 2 1 cos 3 2 sin 3 t x xdx tdt . Đổi cận: 0 x 2 t , 2 x 1 t . I 2 1 2 1 3 3 2 2. 1 t tdt t 2 2 1 2 2 1 9 t dt BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 3 2 2 2 2 9 3 1 1 t t 34 27 . Ví dụ 5. Tính 3 3 2 0 1 x dx I x . Giải Ta có 2 3 2 0 1 x xdx I x . Đổi biến: 2 1 t x 2 2 1 x t xdx tdt . Đổi cận: 0 x 1 t , 3 x 2 t . I 2 2 1 1 t tdt t 2 2 1 1 t dt 3 2 2 1 3 1 1 t t 4 3 . Ví dụ 6. Tính 2 2 2 1 dx I x x . Giải Ta có 2 2 2 2 1 xdx I x x . Đổi biến: 2 1 t x 2 2 1 x t xdx tdt . Đổi cận: 2 x 1 t , 2 x 3 t . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 I 3 2 1 1 tdt t t 3 2 1 1 dt t . Đổi biến tan t u , ; 2 2 u 2 2 2 cos 1 1 cos du dt u t u . Đổi cận 1 t 4 u , 3 t 3 u . Do đó 3 3 4 4 3 2 2 4 cos 1 12 cos du u I du u u . Ví dụ 7. Tính 1 2 0 1 2 2 dx I x x x . Giải Ta có 1 2 2 0 1 2 1 2 2 x dx I x x x x . Đổi biến: 2 2 2 t x x 2 2 2 2 1 x x t x dx tdt . Đổi cận: 0 x 2 t , 1 x 5 t . I 5 2 2 1 tdt t t 5 2 2 1 dt t 5 1 1 ln 2 1 2 t t BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 1 5 1 2 1 ln ln 2 5 1 2 1 ln 5 1 ln 5 1 ln 2 . Ví dụ 8. Tính 1 2 1 2 8 2 dx I x x . Giải Ta thấy 2 2 2 2 8 2 9 1 2 3 1 x x x x x . Đổi biến 1 3sin x t , ; 2 2 t 2 2 2 2 8 2 3 3 sin 3 cos 3cos x x t t t , 3cos dx tdt . Đổi cận 1 2 x 6 t , 1 x 0 t . Do đó 6 6 0 0 6 0 3cos 3cos 6 tdt I dt t t . Ví dụ 9. Tính 3 2 2 1 1 x dx I x . Giải Đặt tan x t , ; 2 2 t 2 2 2 2 1 2 2 cos cos 2 2 sin cos sin cos 1 1 tan tan tan dt t t dt t t t t x dx td t x t . Đổi cận 1 x 4 t , 3 x 3 t . I 3 4 2 sin cos dt t t 3 4 2 2 cos sin cos tdt t t BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 3 4 2 2 sin sin 1 sin d t t t 3 2 2 2 2 2 1 du u u ( sin u t , 0 t 0 u , 6 t 1 2 t ) 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 u u du u u 3 2 2 2 2 2 1 1 1 du u u 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 2 1 u u u 2 3 ln 2 1 ln 2 3 2 3 . Ví dụ 10. Tính 2 2 2 1 dx I x . Giải Đặt 1 cos x t , 0; \ 2 t 2 sin cos sin 2 cos cos 1 tdt t t t dx dt t x . Đổi cận 2 x 4 t , 2 x 3 t . I 3 4 cos dt t 3 4 2 cos cos tdt t 3 4 2 sin 1 sin d t t BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 3 4 1 1 sin ln 2 1 sin t t ln 2 1 ln 2 3 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 C. BÀI TẬP Tính các tích phân sau. 1) 1 0 3 2 dx I x . 2) 1 0 2 1 xdx I x . 3) [ĐHD12] 4 0 4 1 2 1 2 x I dx x . 4) 7 3 3 0 1 3 1 x I dx x . 5) [ĐHB04] 1 1 3ln ln e x x I dx x . 6) [ĐHA06] 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin x I dx x x . 7) ln2 0 1 x I e dx . 8) 1 2 0 1 5 I x x dx . 9) 1 3 2 0 1 I x x dx . 10) [ĐHA03] 2 3 2 5 4 dx I x x . 11) 4 2 2 16 dx I x x . 12) 6 2 2 3 9 dx I x x . 13) 4 2 4 3 3 4 x I dx x . 14) 2 2 2 2 1 1 x I dx x x . 15) 2 2 2 1 4 I x x dx . 16) 1 2 2 3 4 dx I x x . . HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô. GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 C. BÀI TẬP Tính các tích phân sau. 1) 1 0 3 2 dx I x 0 x cos a f x t , 0; 2 t BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84