CHUYEN DE TICH PHAN HAM HUU TY

Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN CHUYÊN ĐỀ ĐỀ 3 CHUYÊN TÍCH PHÂN PHÂN HÀM HÀM SỐ SỐ HỬU HỬU TỶ TỶ TÍCH BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN dx 1) ∫ x 2) ∫x = ln x + C dx = − a2 dx ∫ ( x −a) ( x + a) =  1   dx dx  ∫  − ∫ −∫ ÷.dx = 2a  x − a x + a  2a  x − a x + a  d( x + a)   d( x − a) 1 x −a ∫ −∫ ln x − a − ln x + a  = ln +C  = 2a  x − a x+a  2a 2a x+a = ( ) 3) 2 x.dx d x ±a ∫ x ± a = ∫ x ± a 4) dx d ( ax + b ) = ∫ ax + b a ∫ ax + b = a ln ax + b + C 5) dx ∫ ( ax + b ) n = d ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) n = ln x ± a + C 1 ( ax + b ) −n = ∫ ( ax + b ) d ( ax + b ) = a a ( − n + 1) − n +1 +C P( x) dx α Q( x) β I=∫ Tích phân dạng - Trong bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho Q(x) - Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai - Trong nội dung chương trình phổ thông ta tiếp xúc với dạng sau Q(x) ● Dạng - Q ( x ) = ( x + a1 ) ( x + a ) ( x + a n ) Ta phân tích : P( x) Q( x) = = - P( x) ( x + a1 ) ( x + a ) ( x + a n ) A1 A2 An + + + x + a1 x + a x + an Dùng phương pháp đồng hệ số tìm A1 , A , , A n ● Dạng Q ( x ) = ( x + a1 ) ( x + a ) ( x + a n ) ( x + b ) m Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 - Ta phân tích : P( x) Q( x) = = - ( x + a1 ) ( x + a ) ( x + a n ) ( x + b ) A1 A2 An + + + x + a1 x + a x + an m B1 B2 Bm + + + m x + b ( x + b) ( x + b) + ( ) (p Q ( x ) = ( x + a1 ) ( x + a ) ( x + a n ) x + px + q , Ta phân tích : P( x) Q( x) = = - P( x) Dùng phương pháp đồng hệ số tìm A1 , A , , A n , B1 , B2 , , Bm ● Dạng - Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN P( x) − 4q < ) ( x + a1 ) ( x + a ) ( x + a n ) ( x + px + q ) A1 A2 An Bx + C + + + + x + a1 x + a x + an x + px + q ( ) Dùng phương pháp đồng hệ số tìm A1 , A , , A n , B, C ● Dạng ( )( ) (p Q ( x ) = x + p1x + q1 x + p x + q , P( x) = P( x) - Ta phân tích : - Dùng phương pháp đồng hệ số tìm B1 , C1 , B2 , C2 Q( x) (x )( ) + p1x + q1 x + p x + q 2 − 4q1 < 0; p 2 − 4q < = β ( dx , ax + bx + c α I=∫ Tích phân dạng Trong ax + bx + c ≠ 0, ∀∈ [ α ; β ] ) B1x + C1 B x + C2 + 2 x + p1x + q1 x + p2 x + q 2 ) ( ( a ≠ 0) Xét ∆ = b − 4ac b   ● Nếu ∆ = ax + bx + c = a  x − ÷ 2a   β β dx dx dx I = ∫ = ∫ 2 a α Khi : n b  b  ===> Dạng ∫ α  ( ax + b ) ax − ÷ x − ÷ 2a  2a    ● Nếu ∆ > ax + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x ) , với x1 , x nghiệm phương trình β dx Khi : I = ∫ ===> Dạng a α ( x − x1 ) ( x − x )  bΔ   ax + bx + c = a x + ● Nếu ∆ <  ÷ + 2a     β β dx dx I = ∫ = ∫ a α α ax + bx + c Khi : bΔ   x + ÷ +  2a     BÀI TẬP ∫x − 4a dx − a2    ÷ ÷   2 −   === > Dạng ÷ 4a    ∫x dx + a2 ) Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 Bài Tính tích phân : ∫x Bài Tính tích phân : ∫x Bài Tính tích phân : ∫x 0 Bài Tính tích phân : ∫x −1 Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN dx − 2x + ĐS : π dx + 2x + ĐS : π dx + x +1 ĐS : π dx + 2x + ĐS : π 18 β mx + n dx , ( a ≠ ) α ax + bx + c I=∫ Tích phân dạng Trong f ( x ) = mx + n ax + bx + c A ( 2ax + b ) mx + n B = + 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c - Ta phân tích : - Bằng phương pháp đồng thức ta tìm A, B - Khi I = ∫ β α [α; β ] liên tục đoạn β β mx + n 2ax + b dx = A.∫ dx + B.∫ dx ax + bx + c α ax + bx + c α ax + bx + c β 2ax + b + Tích phân ∫ dx = α ax + bx + c β + Tích phân ∫ α ax β ∫ ( d ax + bx + c α ax + bx + c ) = ln ax + bx + c α β dx tính + bx + c BÀI TẬP Bài Tính tích phân : ( 2x + ) ∫x dx ĐS : π ln − 4x + 11 dx + 5x + ĐS : ln 2 −2 Bài Tính tích phân : ∫x + 4x + Tích phân dạng (tham khảo thêm) In = ∫ x2 dx n ( ax + b ) Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 - 2 1 a x = ( ax ) = ( ax + b ) − b  a a a Sử dụng đồng thức : x =  ax + b ) − 2b ( ax + b ) + b  (  a = - - Do : x2 ( ax + b ) Vậy : I n = n Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN 2  ( ax + b ) − 2b ( ax + b ) + b  2b b2 = = − +   n a a  ( ax + b ) n − ( ax + b ) n −1 ( ax + b ) n  ( ax + b )   x2 ∫ ( ax + b )  dx dx dx   − 2b + b ∫ ( ax + b ) n −1 ∫ ( ax + b ) n  a  ∫ ( ax + b ) n −2   n dx =  I − 2b.I n −1 + b I n   n −2 a = BAØI TAÄP Bài x2 ∫ ( 1− x ) Tính tích phân : 39 dx - HD: Phân tích: x = ( − x ) − ( − x ) + Bài x3 ∫ ( 1− x ) Tính tích phân : 10 ĐS : dx - HD: Phân tích: x = + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) ĐS : I=∫ Tích phân dạng - dx x + a2 Đặt : x = a.tan t ( ) ==> dx = a + tan t dt - Khi dx ∫ x2 + a2 = ∫ ( ) a + tan t dt a tan t + a 2 = dt ∫ = ln t + C a t a BÀI TẬP Bài Tính tích phân : ∫x dx +4 Bài Tính tích phân : ∫ 2x dx + 6x + Tích phân dạng (tham khảo thêm) ĐS : ĐS : In = ∫ dx ( x2 + a2 ) n Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 -  u = x + a2 Đặt:   dv = dx ( ) Học viên CAO HỌC TOÁN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN −2nx  dx n +1 du = x + a2 ⇒   v = x ( n ) β In = ∫ Tích phân dạng (tham khảo thêm) α ( ax dx + bx + c ) n ( a ≠ 0, n ≥ ) , Trong ax + bx + c ≠ 0, ∀∈ [ α ; β ] - β ∫ In = Ta có: α β dx ( ax + bx + c ) dx β = n ∫ dx n I = a α   n ===> Dạng ∫ b  ∆ 2 α x +a  x + ÷ −  2a  4a   n ( BÀI TẬP Bài Tính tích phân : ∫ (x dx + 4x + 3) Bài Tính tích phân : ∫ (x ĐS : ĐS : dx + 3x + ) Ik = ∫ Tích phân dạng (tham khảo thêm) - = - Do : - Ta thu tích phân : + ∫ + ∫ ( ( ax + bx + c ( 2ax + b ) ax + bx + c ( ax + bx + c ) k ) k dx = ) k dx mx + n ( ax + bx + c ) k dx , ( a ≠ 0, k ≥ ) m mb ( 2ax + b ) + n − 2a 2a Phân tích : mx + n = mx + n − 4ln2 + 2ln3 ( 2ax + b ) m 2a ax + bx + c ( ∫ ∫ ( 2ax + b ) ( ax + bx + c ( ) k d ax + bx + c ( ax + bx + c ) ) k ) k mb   +n − ÷ 2a  ax + bx + c  dx ( ∫ ( ax + bx + c )   =  ÷  − k  ax + bx + c ( k ) ) k dx k −1 +C tính Tích phân dạng (tham khảo thêm) I=∫ dx n ( x + a ) ( x + b) m ) n Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN Trong m, n ∈ ¥ số ngun dương, ngồi phương pháp hệ số bất định, ta sử dụng phép đặt t = x+a để giải x+b Ví dụ : Tính tích phân I = ∫ + Đặt : t = ⇒ dt = + dx ( x − ) ( x + 3) x−2 1− t = 1− ⇒ = x+3 x +3 x +3 5dt 1− t  dx =  ÷ dx ⇒ dx = 2   ( x + 3) ( 1− t ) dx ( x − ) ( x + 3) = ( 1− t)  x+3  − t  5dt = dt ÷ dx =  ÷  t   t (1− t) ( x + 3)  x −  + Đổi cận : x = ⇒ t = − ; x = ⇒ t = − + Khi : I = 54 − ∫ − ( 1− t ) t dt = 54 − 1 ∫  t − 2  − + − t ÷dt t  LUYỆN TẬP Bài Tính tích phân : xdx ∫ ( x − 1) ( x + 1) ĐS : 1 − ln + ln + 4 ĐS : π 2ln2 + Bài Tính tích phân : 2x + x + ∫0 ( x + 1) ( x + 1) dx Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 Bài Tính tích phân : Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN dx ∫ ( x − ) ( x + 3) ĐS :  1135  + 9ln2 − 3ln3 ÷  625  288  ĐS : 1 + ln ĐS : ln 3 Bài Tính tích phân : x3 ∫0 x − 1.dx Bài Tính tích phân : ( ) dx + 1) ∫ x.( x ( ) HD : x x + = x ( x + 1) x − x + 1 Bài Tính tích phân : x 3dx ∫0 x + ĐS : (Dự bị 2…….khối D năm 2002) Bài Tính tích phân : ∫ x − x +1 dx x2 + 4 ĐS : (Dự bị 2…….khối A năm 2004) Bài Tính tích phân : dx ∫ x+x ĐS : 1 Bài Tính tích phân : ∫ x ( x − 1) x2 − (Dự bị 1…….khối B năm 2004) dx ĐS : (Dự bị 1…….khối D năm 2007) Bài 10 Tính tích phân : ∫x x.dx + x2 +1 ĐS : π 18 4x + dx − 3x + ĐS : 18ln − ln ĐS : 1− ĐS : 32008 − 22008 2008 ĐS : ln − ĐS : 4 Bài 11 Tính tích phân : ∫x 3 Bài 12 Tính tích phân : dx ∫ x (x 2 + 1) 2007 Bài 13 Tính tích phân :  1 ∫1 x 1 + x ÷ Bài 14 Tính tích phân : x ∫ ( x + 3) dx dx Bài 15 Tính tích phân : x.dx ∫ ( x + 1) 3π − 12 BAØI TẬP NÂNG CAO Bài Tính tích phân : ∫(x dx − 4x + ) ( x − 4x + ) Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 - HD :  ( x − ) + 1  − ( x − )   = 2 ( x − 4x + ) ( x − 4x + 5) ( x − ) ( x − ) + 1 1 Bài 2* ∫x Tính tích phân : - HD : Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN ( ) Dat t =( x − ) = 1 − t t +1 dx +1 ( )( ) x + = x + − 2x = x − x + x + x + 1 Ax + B Cx + D = + Do phân tích : x + x2 + x +1 x2 − x +1 ( Ta tìm : A = Nên 2 ) ( , C=− ) 1 , B=D= 2  1 2x + 2x − = − x +1  x2 + x +1 x2 − x +1  ( ) ( )     x2 −1 ∫1 x + 1.dx Bài Tính tích phân : - 1− x2 −1 x Do ta đặt t = x + = x +1 x2 + x x2 HD : x2 −1 ∫0 x + 1.dx Bài Tính tích phân : - x + = x + − 2x = x − x + x + x + HD : ( ) ( )( ) x −1 Ax + B Cx + D + Do phân tích : x + = x − x +1 x + x +1 ( - NX : Tính tích phân : ∫x - HD : ) Ở ta chia tử mẫu cho x cận tích phân khác Bài 5* ) ( dx +1 Ta biến đổi hàm dấu tích phân ( ) ( ) ( ) ( ) x4 +1 + 1− x4 x4 +1 1− x4 = = + x6 +1 x6 +1 x6 +1 x6 +1 ( ) ( ) ( ) Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 = = ( (x ) ( 1− x ) ( 1+ x ) + + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) − x2 +1 + x2 )( x2 +1 x4 − x2 ( Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN ) x2 +1 + 2 x2 x2 −1 − x6 +1 x4 − x2 +1 ( ) ( ) Hai đẳng thức đầu tính tích phân cách dễ dàng Ta tìm dạng phân tích hạng x −1 x2 −1 Ax + B Cx + D thức cuối cùng: = 22 = + 2 x − x +1 x − x +1 x + 3x + x − 3x + ( ) ( ) ( ) ( ) Dùng phương pháp đồng thức ta tìm được: A = −C = 1/ 3; B = D = 1/ Bài Tính tích phân : ∫x - HD : dx −1 Ta biến đổi hàm dấu tích phân 1 1 1  = =  −  x −1 x −1 x +  x − x + 1 ( )( ) Bài Tính tích phân : - HD : x2 + x ∫0 x + dx = x2 + x ∫0 x + dx x2 ∫0 x + 1.dx + ∫x x dx +1 + Tích phân x2 ∫0 x + 1.dx đặt t = x 1 1 dt dt x = ∫ + Tích phân ∫ dx đặt t = x ta thu ∫ t + ( t + 1) ( t − t + 1) x +1 x4 +1 ∫0 x + 1.dx Bài Tính tích phân : - x − x + 1) + x ( x4 +1 x2 = = + x + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) x + HD : Bài Tính tích phân : ∫x 4 3 x 1 ( x + 1) − ( x − 1) 2 ∫2 x8 − 1.dx = ∫2 x − 1.d ( x ) = ∫2 ( x − 1) ( x + 1) d ( x ) - HD : x dx −1 Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 Học viên CAO HỌC TỐN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN Bài 10 - HD : x5 − x ∫1 x8 + dx Tính tích phân : x −x x −1 dx = ∫ d ( x ) +1 x +1 ∫x ∫x   dx + ÷ x   x d ( x ) = = ∫ ∫ x4 + 1   x + ÷− x x   1− dx (Bài toán TRẦN PHƯƠNG) +1 Bài 11* Tìm nguyên hàm: - 6 1 ( x + 1) − ( x − 1) ∫ x8 + 1.dx = ∫ x + 2x + − 2x dx HD : 2 ( x + 1) ( x − x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) = ∫ dx − dx ( x + 1) − 2x 2 ∫ ( x + 1) − 2x 2 ( ( ) ) ( ( ) ) 2 2  ( x + 1)  x − 2x + + − x  = ∫ dx x − 2x + x + 2x + 1 4 4 4 44 4 4 4 43 ( )( A ) ( ( - A=∫ =∫ (x ( ) ( ( x2 +1 )( dx + ( x + 2x + 1) 4 4 43 ( )∫ −1 A1 + + B (x + 1) x 4 A1 tính đơn giản A2 = ∫ (x (x ) +1 x2 )( ) − 2x + x + 2x + dx ( x − 2x + 1) ( x + 2x + 1) 4 4 4 4 4 43 A2 dx x2 =∫ dx 2     1 1  x − ÷ + −   x − ÷ + +  x x       1 1     dx − ÷ dx − ÷   x x   = − ∫ ∫  2     2  1 1 x − + − x − + +    ÷ ÷   x x       B tính tương tự A 1+ - ) ) )( + 1)  x − 2x + + − x    dx 4 x − 2x + x + 2x + ) ( ) ) 2 2  ( x − 1)  x − 2x + + + x  − dx 2∫ x − 2x + x + 2x + 1 4 4 4 44 4 4 4 43 Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 Bài 12 - HD : ∫ x Tính tích phân : ∫ x dx (x 10 + 1) =∫ dx (x + 1) 10 x dx x ( x10 + 1) 2 Đặt t = x ( − x ) dx ∫ x.( + x ) Bài 13 Học viên CAO HỌC TOÁN – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN Tính tích phân : ( 1− x ) ( − x ) x ∫ x.( + x ) dx = ∫ x ( + x ) dx Đặt t = x - HD : 7 7 Bài 14 Tính tích phân : ∫ x( x dx + 2011) 2010 - HD : x 2009 ∫1 x 2010 ( x 2010 + 2011) dx Đặt t = x 2009 Bài 15 Tính tích phân : - HD : ∫ x 2001 (1+ x ) Đặt t = 1002 x 2001 ∫ (1+ x ) dx = ∫ 1002 x 2004 x (1+ x dx ) 1002 dx = ∫ 1 1002   x  + 1÷ x   + ⇒ dt = − dx x x HẾT dx ... dx ĐS : π ln − 4x + 11 dx + 5x + ĐS : ln 2 −2 Bài Tính tích phân : ∫x + 4x + Tích phân dạng (tham khảo thêm) In = ∫ x2 dx n ( ax + b ) Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 - 2 1 a x = ... t a BÀI TẬP Bài Tính tích phân : ∫x dx +4 Bài Tính tích phân : ∫ 2x dx + 6x + Tích phân dạng (tham khảo thêm) ĐS : ĐS : In = ∫ dx ( x2 + a2 ) n Biên soạn : HUỲNH ĐỨC KHÁNH- 0975.120.189 -  u... – K14 GIẢI TÍCH – ĐHQN −2nx  dx n +1 du = x + a2 ⇒   v = x ( n ) β In = ∫ Tích phân dạng (tham khảo thêm) α ( ax dx + bx + c ) n ( a ≠ 0, n ≥ ) , Trong ax + bx + c ≠ 0, ∀∈ [ α ; β ] - β ∫