LTDH chuyen de tich phan

Chun đề TÍCH PHÂN CƠNG THỨC Bảng ngun hàm Ngun hàm hàm số sơ cấp thường gặp ∫ dx = x + C ∫ x α dx = x α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 dx ax a dx = + C ( < a ≠ 1) ln a cos xdx = sin x + C ∫ ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C x x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ sin ∫ du = u + C ∫ x dx = − cot x + C Nguyên hàm hàm số hợp ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ e dx = e + C x Nguyên hàm hàm số thường gặp ∫ α +1 ( ax + b ) dx = ( ax + b ) + C (α ≠ 1) a α +1 dx = ln ax + b + C ( x ≠ ) ax + b a e ax + b dx = e ax +b + C a cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C a 1 dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 1 dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) α u α du = u α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ∫ e du = e + C u u au + C ( < a ≠ 1) ln a cos udu = sin u + C ∫ ∫ ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C a u dx = ∫ sin u du = − cot u + C I ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b Để tính tích phân ò f[u(x)]u/ (x)dx ta thực bước sau: a Bước Đặt t = u(x) tính dt = u/ (x)dx Bước Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a, x = b Þ b t = u(b) = b b Bước ò f[u(x)]u/ (x)dx = ò f(t)dt a a e2 Ví dụ Tính tích phân I = dx ò x ln x e Giải dx x x = e Þ t = 1, x = e Þ t = Đặt t = ln x Þ dt = Þ I = ò dt = ln t t Vậy = ln2 I = ln2 p cosx Ví dụ Tính tích phân I =ò dx (sinx+cosx) Hướng dẫn: p I = cosx p ò (sin x + cosx) dx = ĐS: ò (tan x + 1) dx cos2 x Đặt t = tan x + I = Ví dụ Tính tích phân I = dx 2x + ò (1 + x) Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 ĐS: I = ln Ví dụ 10 Tính tích phân I = 3- x dx 1+ x ò Hướng dẫn: Đặt 3- x t2dt t= Þ L 8ò 1+ x (t + 1)2 p I = - + ; đặt t = tan u L ĐS: Chú ý: Phân tích I = ò 3- x dx , 1+ x đặt t = 1+ x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính ∫ f ( x)dx ta thực a bước sau: Bước Đặt x = u(t) tính dx = u / (t )dt Bước Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β β b Bước ∫ a f ( x) dx = ∫ α β f [u (t )]u / (t ) dt = ∫ g (t )dt Ví dụ Tính tích phân α I = ò dx - x2 Giải Đặt p Þ I = ò p p x = sin t, t Î é - ; ù Þ dx = costdt ê ë 2ú û p x = Þ t = 0, x = Þ t = cost dt = - sin2 t p ò cost dt = cost Vậy I = p p ò dt = t 06 = p p - 0= 6 p Ví dụ Tính tích phân I = ò - x2 dx Hướng dẫn: Đặt x = 2sin t ĐS: I = p Ví dụ Tính tích phân I = dx ò1+ x Giải Đặt ỉ p pư x = tan t, t ẻ ỗ - ; ữ ị dx = (tan2 x + 1)dt ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ p x = Þ t = 0, x = Þ t = p Þ I = 3- I = tan t + dt = t p Vậy I = ò + tan Ví dụ Tính tích phân ò dx x + 2x + 2 Hướng dẫn: 3- I = ò dx = x + 2x + 3- dx ò + (x + 1) Đặt x + = tan t p ĐS: I = 12 Ví dụ Tính tích phân ĐS: I = I = ò p 3- Ví dụ Tính tích phân p I = 12 I = ò dx - x2 dx x + 2x + 2 ĐS: Các dạng đặc biệt p p ò dt = 3.1 Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân p I = ò cos x sin3 xdx Hướng dẫn: Đặt t = cosx ĐS: I = 15 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân p I = ò cos xdx Hướng dẫn: Đặt t = sin x ĐS: I = 15 Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân p I = ò cos x sin2 xdx Giải p I = ò cos p x sin2 xdx = p p 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos4x)dx + ò cos2x sin2 2xdx ò ò 16 p p p ỉx sin3 2x p 1 ữ ỗ = sin 4x + = = (1 cos4x)dx + sin 2xd(sin2x) ữ ữ ỗ ũ ò è16 64 24 ø0 32 16 p Vậy I = 32 Ví dụ 14 Tính tích phân p I = dx ò cosx + sin x + Hướng dẫn: Đặt ĐS: x I = ln2 t = tan Biểu diễn hàm số LG theo 3.2 Dạng liên kết Ví dụ 15 Tính tích phân p I = t = tan a : sin a = xdx ò sin x + Giải Đặt x = p - t Þ dx = - dt x = Þ t = p, x = p Þ t = 2t 1+ t ; cos a = 1− t2 1+ t ; tan a = 2t 1− t2 (p - t)dt Þ I =- ò = sin(p - t) + p p ò ( sin t + p p ) t dt sin t + p dt p dt = pò - I Þ I = ò sin t + sin t + p = p 2ò dt ( ỉt p ç d - ÷ ÷ p ç p dt ÷ ç ỉt p è2 ø p p = ũ ữ ỗ = tan ỗ - ữ cos2 t - p = ũ ữ =p ỗ æ ö è ø t p 2 4 cos2 ỗ - ữ ữ ỗ ữ ỗ ố2 ứ p t t sin + cos 2 ) p ( ) Vậy Tổng quát: I = p p p p ò0 xf(sin x)dx = ò0 f(sin x)dx Ví dụ 16 Tính tích phân p I = sin2007 x ò sin2007 x + cos2007 x dx Giải ( Þ I =- ò sin 2007 p Mặt khác p Đặt x = - t Þ dx = - dt p p x = 0Þ t = , x = Þ t = 2 p 2007 p sin - t 2 cos2007 t dx = p p ò0 sin2007 t + cos2007 t dx = J - t + cos2007 - t 2 ( ) p I +J = ò dx = Tổng quát: p ) p ( (2) Từ (1) (2) suy sin x ò0 sinn x + cosn x dx = n Ví dụ 17 Tính tích phân ) p I = I = p (1) cosn x p ò0 sinn x + cosn x dx = , n Ỵ Z+ sin x ò0 sin x + 3cosx dx p J = dx p dx ò sin x + p 3cosx p Đặt t = x + Þ dt = dx ⇒I + J = ln (2) 1- 1- ln Từ (1) (2)⇒I = 16 ln + , J = 16 I +J = ò sin x + dx = p p Giải I - 3J = - (1) ( ) cos2 x ò0 sin x + 3cosx dx Ví dụ 18 Tính tích phân I = ò ln(1 + x) dx + x2 Giải Đặt x = tan t Þ dx = (1 + tan2 t)dt p x = Þ t = 0, x = Þ t = p Þ I = p ln(1 + tan t) ( + tan2 t ) dt = ò ln(1 + tan t)dt + tan t p Đặt t = - u Þ dt = - du p p t = 0Þ u = , t = Þ u = 4 ò p 0 p = é ỉp ứ du ÷ ÷ú ú ø û ò ln(1 + tan t)dt = - ũ ln ờờở1 + tan ỗỗỗố4 - ị I = p ỉ p - tan u ổ ữ ỗ ữ ữ ỗ ũ ln ỗỗỗố1 + + tan u ø÷ ÷du = ò ln è ữdu ỗ1 + tan u ứ = p p 0 p ò ln2du - ò ln ( + tan u) du = ln2 - I Vậy p Ví dụ 19 Tính tích phân I = I = p ln2 cosx dx x +1 ò 2007 - p Hướng dẫn: Đặt x = - t ĐS: I = Tổng quát: Với a > , a > 0, hàm số a f(x) chẵn liên tục đoạn [ - a; a f(x) dx = +1 òa Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục Tính tích phân ¡ thỏa p I = Giải f(- x) + 2f(x) = cosx ò f(x)dx - ò f(x)dx x - a a] p p Đặt ò f(- x)dx , J = - p p p p Þ t= , x= Þ t=2 2 x=p Þ I = x = - t Þ dx = - dt p ò f(- t)dt = J p Þ 3I = J + 2I = p ò[ f(- x) + 2f(x) ] dx - p = p p ò cosxdx = 2ò cosxdx = - p Vậy I= 3.3 Các kết cần nhớ i/ Với a > 0, hàm số f(x) a lẻ liên tục đoạn [–a; a] ò f(x)dx = - a ii/ Với a a > 0, a hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a] ò f(x)dx = 2ò f(x)dx - a iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) ïìï (n - 1)!! , nế un lẻ ïï n n n!! ò cos xdx = ò sin xdx = íïï (n - 1)!! p 0 , neá un chẵ n ïï ïỵ n!! p p Trong n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0!! = 1; 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9; 10!! = 2.4.6.8.10 p Ví dụ 21 ò cos11 xdx = 10!! = 2.4.6.8.10 = 256 11!! 1.3.5.7.9.11 693 p Ví dụ 22 ò sin10 xdx = 9!! p = 1.3.5.7.9 p = 63p 10!! 2.4.6.8.10 512 II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có ( uv ) / = u/ v + uv/ Þ ( uv ) / dx = u/ vdx + uv/ dx b Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ b b ò d(uv) = ò vdu + ò udv a a a b Þ uv b a = b b b ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv a a b a - a ò vdu a Cơng thức: b b ò udv = uv b a ò vdu (1) - a a Cơng thức (1) viết dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a a - ò f (x)g(x)dx (2) / a Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực a Cách Bước Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm b v(x) vi phân / du = u (x)dx không q phức tạp Hơn nữa, tích phân ò vdu a phải tính Bước Thay vào cơng thức (1) để tính kết Đặc biệt: b b b i/ Nếu gặp ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, ò eax P(x)dx với P(x) đa thức đặt a a a u = P(x) b ii/ Nếu gặp ò P(x) ln xdx đặt u = ln x a Cách b b Viết lại tích phân ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G/ (x)dx sử dụng trực tiếp cơng thức a a (2) Ví dụ Tính tích phân I = ò xe dx x Giải Đặt ìï du = dx ìïï u = x ù ị dv = ex dx ùùợ ùù v = ex ợ ị C = 0) ò xe dx = xe x x ò e dx = (x x - 0 e Ví dụ Tính tích phân (chọn I = ò x ln xdx Giải 1)ex = dx ìï ïï du = x ïí Đặt ïï x ïï v = ỵ e e e x e2 + Þ ò x ln xdx = ln x - ò xdx = 21 1 ìï u = ln x ïí Þ ïï dv = xdx ỵ p Ví dụ Tính tích phân I = òe x sin xdx Giải Đặt p ì du = cosxdx ìï u = sin x ïí ïíï Þ ïï dv = ex dx ïï v = ex ỵ ỵ ò ex sin xdx = ex sin x Þ I = Đặt p Þ J = òe x p p - p ò ex cosxdx = e2 - J ïì du = - sin xdx ïìï u = cosx ï Þ í dv = ex dx í ïỵï ïï v = ex ỵ cosxdx = ex cosx p 0 p + ò ex sin xdx = - + I p Þ I = e - (- + I) Þ I = p e + Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân p2 I = ò cos xdx Hướng dẫn: Đặt t= p x L Þ I = 2ò t costdt = L = p - e Ví dụ Tính tích phân I = ò sin(ln x)dx ĐS: I = (sin1 - cos1)e + III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b Giả sử cần tính tích phân I = ò f(x) dx , ta thực bước sau a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x1 a x + f(x) b Bước Tính I = x2 - x1 b + x2 b ò f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx a a x1 x2 Ví dụ Tính tích phân òx I = - 3x + dx - Giải Bảng xét dấu x - + x - 3x + I = - 0 ò( x ò( x - 3x + 2) dx - - Vậy Ví dụ 10 Tính tích phân - 3x + 2) dx = p I = 59 59 I = - 4cos2 x - 4sin xdx ò p I = - 2- ĐS: Dạng b Giả sử cần tính tích phân I = ò [ f(x) ± g(x) ] dx , ta thực a Cách b Tách I = ò [ f(x) b ± g(x) ] dx = a b ò f(x) dx ± ò g(x) dx sử dụng dạng a a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11 Tính tích phân I = ò( x - x - ) dx - Giải Cách I = ò ( x - - =- x - ) dx = ò x dx - ò x - ò xdx + ò xdx + ò (x - x =2 - 2 x + ò (x - 1)dx - - ổx +ỗ - xữ ữ ç ÷ è2 ø - 10 1)dx 1 dx - 2 ổx ỗ - xữ ữ ỗ ữ = ố2 ứ Cách Bảng xét dấu x –1 x – x–1 – 0 I = ò +  – ( - x + x - 1) dx + - =- x + + ò ( x + x - 1) dx + 0 - ò( x - x + 1) dx 1 + ( x - x) Vậy + x = I = Dạng b Để tính tích phân b ò max { f(x), g(x)} dx I = J = a ò { f(x), g(x) } dx , a thực bước sau: Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) đoạn [a; b] Bước + Nếu h(x) > max { f(x), g(x)} = f(x) { f(x), g(x)} = g(x) + Nếu h(x) < max { f(x), g(x)} = g(x) { f(x), g(x)} = f(x) Ví dụ 12 Tính tích phân I = ò max { x + 1, 4x - 2} dx Giải Đặt h(x) = ( x + 1) - ( 4x - 2) = x2 - 4x + Bảng xét dấu x h(x) + I = – ò( x + + 1) dx + ò ( 4x - 2) dx + ò ( x2 + 1) dx = Vậy I = 80 80 Ví dụ 13 Tính tích phân I = ò { , x - x } dx Giải Đặt h(x) = - ( - x ) = 3x + x - x Bảng xét dấu x h(x) 1 – + 2 3x ỉ x2 ÷ I = ò dx + ò ( - x ) dx = +ỗ 4x = + ữ ç ÷ ln è ø1 ln x Vậy I = + ln 11 ta IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải tốn Dạng b b Để chứng minh ò f(x)dx ³ (hoặc ò f(x)dx £ 0) ta chứng minh a f(x) £ ) với f(x) ³ (hoặc a " x Ỵ [ a; b ] Ví dụ 14 Chứng minh ò - x6 dx ³ Giải Với " x Ỵ [ 0; 1] : x £ Þ 1- x ³ Þ ò - x6dx ³ Dạng b b Để chứng minh ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh a f(x) ³ g(x) với " x Ỵ [ a; b ] a p p 0 Ví dụ 15 Chứng minh ò dx 10 £ ò dx 11 + sin x + sin x Giải p Với " x Ỵ éêë0; ùúû: £ sin x £ Þ £ sin11 x £ sin10 x 1 Þ + sin10 x ³ + sin11 x > Þ £ 10 + sin x + sin11 x p dx ò0 + sin10 x £ Vậy p dx ò + sin 11 x Dạng b Để chứng minh A£ ò f(x)dx £ B ta thực bước sau a Bước Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m £ f(x) £ M b Bước Lấy tích phân A = m(b - a) £ ò f(x)dx £ M(b - a) = B a Ví dụ 16 Chứng minh 2£ ò + x2 dx £ Giải Với " x Ỵ [ 0; 1] : £ + x2 £ Þ £ + x2 £ Vậy 2£ ò + x2 dx £ Ví dụ 17 Chứng minh p £ 3p ò 3p dx p £ 2 2sin x 12 5 Giải ép 3p ù "x Ỵ ê ; £ sin x £ Þ £ sin2 x £ ú: ë4 û 1 Þ £ - 2sin2 x £ Þ £ £1 - 2sin2 x Với ( ) 3p p £ 4 Þ Vậy Ví dụ 18 Chứng minh £ 12 p ò p 3p ( dx 3p p £ 4 2sin x ò 3- p £ p 3p ) dx p £ 2 2sin x ò 3p cotx dx £ x Giải Xét hàm số cotx , xỴ x f(x) = ép p ù ê ; ú ta ê ë4 ú û có -x - cotx ép p ù sin x / f (x) = < "x Ỵ ê ; ú ê x ë4 ú û p p p p ị ff Ê (x) Ê f "x ẻ é ; ù ê ë4 ú û ép p ù cotx Þ £ £ "x Î ê ; ú ê p x p ë4 ú û ( ) Þ ( ) 3ỉ p pư ç - ÷ ÷£ ç ÷ è3 ø p ç p cotx 4ỉ p pư ç dx £ - ữ ữ ỗ ũ x ữ ỗ3 ứ è p p Vậy £ 12 p ò p cotx dx £ x Dạng (tham khảo) b Để chứng minh A£ ò f(x)dx £ B (mà dạng không làm được) ta thực a Bước Tìm hàm số g(x) cho Bước Tìm hàm số h(x) cho ïìï f(x) £ g(x) " x Ỵ [ a; b] b ïï b Þ ò f(x)dx £ B í ïï g(x)dx = B a ïï ò ỵ a ìï h(x) £ f(x) " x Ỵ [ a; b] ïï b ï b Þ A £ ò f(x)dx í ïï h(x)dx = A a ò ïï a ỵ 13 £ Ví dụ 19 Chứng minh 2 ò dx p £ 2007 1- x Giải é " x Ỵ ê0; ê ë 2ù ú: £ x2007 £ x2 £ û ú 1 Þ £ - x2 £ - x2007 £ Þ £ £ - x2007 Với 2 2 0 dx £ - x2007 ò dx £ ò Þ 2 ò dx - x2 1 - x2 Đặt x = sin t Þ dx = costdt p x = Þ t = 0, x = Þ t= 2 Þ ò Vậy 3+1 £ Ví dụ 20 Chứng minh dx = - x2 2 £ p ò costdt p = cost dx p £ - x2007 ò xdx £ x +2- ò 2+1 Giải Với " x Ỵ [ 0; 1] : - £ x2 + - £ - x x x Þ £ £ 3- 2- x +2- 1 Þ ò Vậy xdx £ 3- 1 xdx £ x +2- ò 3+1 £ ò xdx 2- ò xdx £ x2 + - 2+1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn b đường y = f(x), x = a, x = b trục hoành S= ò f(x) dx a Phương pháp giải tốn Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) dx a 14 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, Giải Do ln x ³ " x Ỵ [ 1; e] nên e S= x = 1, x = e e ò ln x dx = ò ln xdx = x ( ln x 1) e = 1 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - x2 + 4x Ox Giải Bảng xét dấu x y – + S=- Ox 3, x = 0, x = 3 ò( - x + 4x - 3) dx + ò ( - x2 + 4x - 3) dx 1 æ x ỉ x3 2 ÷ ÷ ç =- ç + 2x + 3x + + 2x + 3x = ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ÷ è ø ø1 Vậy S = (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng b giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b S= ò f(x) - g(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) - g(x) dx a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng b giới hạn đường y = f(x), y = g(x) S= ò f(x) - g(x) dx Trong a, b a nghiệm nhỏ lớn phương trình f(x) = g(x) ( a £ Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) = g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) đoạn [ a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) a 15 g(x) dx a < b £ b) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = Û x = Ú x = Ú x = (loại) Bảng xét dấu x h(x) – + S=- ò( x - 6x + 11x - 6) dx + ò ( x3 - 6x2 + 11x - 6) dx 1 ỉx ỉx 11x 11x2 3 ữ ỗ ỗ = - ỗ - 2x + - 6x ữ + ỗ - 2x + - 6x ÷ = ÷ ÷ ÷ è4 ø0 è ø1 2 Vậy S = (đvdt) 4 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = Û x = Ú x = Ú x = Bảng xét dấu x h(x) + – S= ò( x ò( x - 6x + 11x - 6) dx 2 ổx 11x =ỗ - 2x3 + - 6x ữ ữ ữ ỗ ố4 ứ Vậy Chú ý: Nếu đoạn [ a; b] - 6x2 + 11x - 6) dx ỉx 11x2 ỗ - 2x3 + - 6x ữ = ữ ữ ỗ ố4 ứ2 2 S = (đvdt) phương trình f(x) = g(x) b khơng nghiệm b ta dùng cơng thức ò f(x) - g(x) dx = a ò [ f(x) - g(x) ] dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3, y = 4x Giải Ta có x = 4x Û x = - Ú x = Ú x = Þ S= ò( x - 4x ) dx + - ò( x 16 - 4x ) dx ổx4 ổx4 2ử 2ử ữ ữ ỗ = ỗ 2x + 2x ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ = è4 ø è4 ø - Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn hồnh Giải Ta có x - x + = Û t2 - 4t + = 0, ét = Û ê êt = Û ë éx = ê êx = Û ë òx - t= x ³ éx = ±1 ê êx = ±3 ë - x + dx = 2ò x2 - 4x + dx é ù 2 ú = 2ê x 4x + dx + x 4x + dx ( ) ( ) ò êò ú ê0 ú ë û 3 éæx ổx ự 16 = ờỗ - 2x2 + 3x ữ + ỗ - 2x2 + 3x ữ = ữ ữ ỳ ữ ữ ỗ ỗ ỳ ø0 è3 ø û ëè 16 Vậy S = (đvdt) diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - 4x + Ví dụ Tính trục Þ S= y = x2 - x + 3 y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - 4x + = x + ìï x + ³ ïï x2 - 4x + = x + Û Û ïí é ïï ê ïï ê êx - 4x + = - x - ỵë éx = ê êx = ë Bảng xét dấu x + x2 - 4x + + - 5x ) dx + ò ( - x2 + 3x - 6) dx + ò ( x2 - 5x ) dx 1 3 æx æ- x ö æx 5x ö 3x 5x2 ö 109 ữ ữ ữ ỗ ỗ = ỗ + + 6x + ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗ ữ ữ ÷ è3 ø1 è ø0 è 2 ø3 109 Vậy S = (đvdt) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - , y = x + Ví dụ – 3 ò( x Þ S= 3 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - = x + Û t2 - = t + 5, t = x ³ 17 ìï ïï Û ïí ïï ïï ỵ t= x ³ ïì t = x ³ Û x = ±3 íï ïï t = ỵ ét2 - = t + Û ê êt2 - = - t - ê ë Þ S= ò x - 1- x + 5) dx = 2ò x2 - - ( - ( x + 5) dx Bảng xét dấu x – x - 1 Þ S=2 + ò( - x - x - 4) dx + ò ( x2 - x - 6) dx 1 ổ- x ổx x x2 73 ữ ỗ ç =2ç - 4x ÷ +ç - 6x ÷ = ÷ ÷ ÷ è ø0 è ø1 2 73 Vậy S = (đvdt) 3 Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) ³ 0" x Ỵ [ a;b ] , y = , x = a x = b (a < b) quay quanh trục Ox b V = pò f 2(x)dx a Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x2 + y2 = R quay quanh Ox Giải Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 = R Û x = ±R Phương trình (C) : x2 + y2 = R Û y2 = R - x2 R R Þ V = pò ( R - x ) dx = 2pò ( R - x2 ) dx 2 - R R ổ2 x 4pR ữ = 2p ỗ R x = ữ ữ ỗ ố 3ứ 4pR V = Vậy (đvtt) 3 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x = g(y) ³ 0" y Ỵ [ c;d ] , x = , y = c y = d (c < d) quay quanh trục Oy d V = pò g2(y)dy c 18 Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse x2 y2 + =1 a2 b2 (E) : quay quanh Oy Giải y2 = Û y = ±b b2 x2 y2 a2y2 2 (E) : + = Û x = a Phương trình a2 b2 b2 b b ỉ a2y2 ổ a2y2 ữ ữdy ỗa ị V = pũ ỗ a dy = p ữ ữ ữ ũ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ b b - b Tung độ giao điểm (E) Oy R ỉ2 a2y3 4pa2b ÷ = 2p ỗ a y = ữ ỗ ữ ố 3b2 ø 4pa2b V = Vậy (đvtt) 3 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x) , x = a x = b (a < b, f(x) ³ 0,g(x) ³ " x Ỵ [ a; b ]) quay quanh b trục Ox V = pò f 2(x) - g2(x) dx a Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y2 = x quay quanh Ox Giải Hồnh độ giao điểm ìï x ³ éx = ïí ê Û êx = ïï x4 = x ợ 1 ị V = pũ x - x dx = p =p ( 15 x - x ) dx 1 3p x = 10 3p V = 10 (đvtt) Vậy ) ò( x - Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x = f(y), x = g(y) , y = c y = d (c < d, f(y) ³ 0,g(y) ³ " y Î [ c; d ]) quay quanh d trục Oy V = pò f 2(y) - g2(y) dy c Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x = - y2 + , x = - y quay quanh Oy Giải Tung độ giao điểm éy = - - y2 + = - y Û ê êy = ë 2 Þ V = pò ( - y2 + 5) - ( - y ) dy - 19 =p ò( y - 11y2 + 6y + 16) dy - ổy5 11y3 153p =pỗ + 3y2 + 16y ữ ữ = ỗ ỗ ữ ố5 ø - 153p Vậy V = VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 Tính I= ∫ ( − x ) 10 dx (đvtt) Áp dụng kết tính tổng sau: S =1− 1 C10 + C10 − + C1010 11 I = x ( − x) ∫ Tính: 19 dx Áp dụng kết tính tổng sau: S= 1 1 18 19 C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 20 21 1 Chứng minh rằng: + Cn1 + Cn2 + + n + Cnn = 2n +1 − n +1 BÀI TẬP TỰ GIẢI sin x + cos x Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x − cos x , biết Tính tích phân sau: e2 A= ∫ A= ∫ e ∫1+ B= ∫ C= ∫ x -1 dx x ln 2dx -2 e cos x sin xdx 2 x + - 7x dx x Tính tích phân sau: π π F  − ÷ = ln  4 ln x dx x B= ∫ C*= ∫ dx D*= x x2 + x dx x -1 Tính tích phân sau: e sin(ln x) I= ∫1 x dx π dx J= π∫ sin x cot x 10 K= ∫ lg xdx ln dx L= ∫ e x + 2e− x − ln π C= ∫ π sin xdx M= ∫ cos x + sin x dx N= ∫ x - sin x dx (1 + cos2 x)2 Tính tích phân sau: A= ∫ dx 4- x B= ∫ dx x +3 20 C= ∫ 16 - x dx ln D= ∫ 1- e x dx + ex E= ∫ x 2 dx −1 Tính tích phân sau: e2 ln x A= ∫ x dx D B eπ * π x sin x = ∫ + cos2 x dx * 3x − x E= ∫ x3 dx 1 ln x dx x 1 = ∫ cos(ln x)dx C =∫ * F* = x2 − ∫−1 + x dx Tính: π π A= ∫ cos xdx B= ∫ cos xdx C= ∫ xe x dx D= ∫ 0 e x x dx E= ∫ x ln xdx e ln x + F= ∫ x dx 1 x ∫1+ x 2 G= ∫ x + x dx H= ∫ x + xdx x I= ∫ x + dx J= dx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a x=1; x=e; y=0 y= + ln x x b y=2x; y=3−x x=0 π c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x= Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x −2x +4x−3 (C) tiếp tuyến với đường cong (C) điểm có hồnh độ 10 Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1 quay quanh: A) Trục Ox B) Trục Oy −Hết− 21