Chuyên đề Tích phân và Ứng dụng

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x α 1 1 x C α α + + + ( )ax b α + a 1 1 ( ) 1 ax b C α α + + + + 1 x ln x C+ 1 ax b+ 1 ln ax b C a + + x a ln x a C a + x e x e C+ ax b e + 1 ax b e C a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a − + + cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a + + 2 1 cos x tgx + C 2 1 cos ( )ax b+ 1 ( )tg ax b C a + + 2 1 sin x -cotgx + C 2 1 sin ( )ax b+ 1 cot ( )g ax b C a − + + ' ( ) ( ) u x u x ln ( )u x C+ 2 2 1 x a− 1 ln 2 x a C a x a − + + tgx ln cos x C− + 2 2 1 x a+ 2 2 ln x x a C+ + + cotgx ln sin x C+ Phương pháp 1: • Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức . và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 83 1. 3 1 ( ) cos 1 f x x x x = + + − 2. 2 2x 5 f(x) x 4x 3 − = − + Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5 cos sinx xdx ∫ 2. cos tgx dx x ∫ 3. 1 ln x dx x + ∫ I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ] ;a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì : ( ) 0 b a f x dx = ∫ • Tính chất 2 : ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ • Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] ;a b thì: ( ) b a cdx c b a= − ∫ • Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫ • Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b và [ ] ( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≥ ∫ ∫ • Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a− ≤ ≤ − ∫ • Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b thì [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ • Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ 84 • Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên [ ] ;a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa là : ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x dx f t dt f u du= = = ∫ ∫ ∫ Bài 1: Tính các tích phân sau: 1) 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ 2) 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 3) 1 0 x 1 xdx− ∫ 4) 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫ 5) 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ 6) 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫ 7) 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫ 8) 3 2 0 4sin x dx 1 cosx π + ∫ 9) 4 2 0 1 sin 2x dx cos x π + ∫ 10) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 11) 2 6 1 sin 2x cos2x dx sin x cosx π π + + + ∫ 12) 1 x 0 1 dx e 1+ ∫ . 13) dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π 14) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 15) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 16) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 17) ∫ −+ − 0 2 2 32 4 dx xx 18) ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx Bài 2: 1) 3 2 3 x 1dx − − ∫ 2) 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 3) 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − − ∫ 4) 2 2 2 1 2 1 x 2dx x + − ∫ 5) 3 x 0 2 4dx− ∫ 6) 0 1 cos2xdx π + ∫ 7) 2 0 1 sin xdx π + ∫ 8) dxxx ∫ − 2 0 2 Bài 3: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện ' f (1) 2= và 2 0 f(x)dx 4= ∫ 2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + = ∫ II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = b ' a f[u(x)].u (x)dx ∫ bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫ = ∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= 85 Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ 3) 4 2 0 sin 4x dx 1 cos x π + ∫ 4) 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ 7) e 1 1 ln x dx x + ∫ 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ 9) e 2 1 1 ln x dx x + ∫ 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫ 11) 6 2 0 cos x dx 6 5sin x sin x π − + ∫ 12) 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ 13) 4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x π + + ∫ 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) ∫ + 2 0 2 )sin2( 2sin π dx x x 17) ∫ 3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 18) ∫ − 4 0 8 )1( π dxxtg 19) ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 20) ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 21) ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx 22) ∫ + 2 0 sin cos)cos( π xdxxe x 23) ∫ −+ 2 1 11 dx x x 24) ∫ + e dx x xx 1 lnln31 25) ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 2) DẠNG 2: Tính I = b a f(x)dx ∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dttdxtx )()( ' ϕϕ =⇒= 86 Bước 2: Đổi cận : α β = = ⇒ = = t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( (tiếp tục tính tích phân mới) Tính các tích phân sau: 1) 1 2 0 1 x dx− ∫ 2) 1 2 0 1 dx 1 x+ ∫ 3) 1 2 0 1 dx 4 x− ∫ 4) 1 2 0 1 dx x x 1− + ∫ 5) 1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫ 6) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ 7) 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ 8) 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ 9) 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ 10) 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ 11) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 12) 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ 13) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ 14) 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 15) 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ 16) ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx 17) ∫ ++ 1 0 311 x dx 18) ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính các tích phân sau: 1) 8 2 3 1 1 dx x x + ∫ 2) 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ 3) 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ 4) ln2 x 0 1 dx e 2+ ∫ 5) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫ 6) 2 2 3 0 1x x dx+ ∫ 7) ∫ + 32 5 2 4xx dx III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: 87 Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Bước 3 : Tính [ ] b a vu. và ∫ b a vdu Tính các tích phân sau: 1) 2 5 1 ln x dx x ∫ 2) 2 2 0 x cos xdx π ∫ 3) 1 x 0 e sin xdx ∫ 4) 2 0 sin xdx π ∫ 5) e 2 1 x ln xdx ∫ 6) 3 2 0 x sin x dx cos x π + ∫ 7) 2 0 xsin x cos xdx π ∫ 8) 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ 9) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 10) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+ ∫ 11) e 2 1 (x lnx) dx ∫ 12) 2 0 cos x.ln(1 cosx)dx π + ∫ 13) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ 14) 1 2 0 xtg xdx ∫ 15) ∫ − 1 0 2 )2( dxex x 16) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx 17) ∫ e dx x x 1 ln 18) ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx 19) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx 20) ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a f(x)dx 0 − = ∫ 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx − = ∫ ∫ Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: a) 2 2 0 0 f(sin x)dx f(cosx)dx π π = ∫ ∫ b) 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 π π π = ∫ ∫ ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 88 1 C y 2 C y 2 C x 1 C x 1) n 2 + n n 0 cos x dx với n Z cos x sin x π ∈ + ∫ 2) 4 2 4 4 0 cos x dx cos x sin x π + ∫ 3) 6 2 6 6 0 sin x dx sin x cos x π + ∫ 4) 5 0 xsin xdx π ∫ 5) 2 2 2 4 sin x cosx dx x π π − + − ∫ 6) 1 4 2 1 sin 1 x x dx x − + + ∫ 7) 2 0 xsin x dx 4 cos x π − ∫ 8) 4 3 0 cos sinx x xdx π ∫ Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì + 0 ( ) ( ) với R và a > 0 1 x f x dx f x dx a α α α α − = ∈ + ∫ ∫ ; a 1≠ ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 1) 1 4 1 2 1 x x dx − + ∫ 2) 1 2 1 1 1 2 x x dx − − + ∫ 3) 2 sin 3 1 x x dx π π − + ∫ IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : Công thức: [ ] ∫ −= b a dxxgxfS )()( [ ] ∫ −= b a dyygyfS )()( Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H 1 ): 2 2 x y 4 4 x y 4 2  = −     =   2) (H 2 ) : 2 y x 4x 3 y x 3  = − +   = +   3) (H 3 ): 3x 1 y x 1 y 0 x 0 − −  =  −  =   =   89        =∆ =∆ = = bx ax xgyC xfyC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1        =∆ =∆ = = by ay ygxC yfxC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 x y )(H a b )(:)( 1 xfyC = )(:)( 2 xgyC = ax = bx = O x y )(H a b )(:)( 1 yfxC = )(:)( 2 ygxC = ay = by = O 4) (H 4 ): 2 2 y x x y  =   = −   5) (H 5 ): 2 y x y 2 x  =   = −   6) (H 6 ): 2 y x 5 0 x y 3 0  + − =  + − =  7) (H 7 ): ln x y 2 x y 0 x e x 1  =    =   =  =   8) (H 8 ) : 2 2 y x 2x y x 4x  = −   = − +   9) (H 9 ): 2 3 3 y x x 2 2 y x  = + −    =  10) (H 10 ): 2 y 2y x 0 x y 0  − + =  + =  11)      −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC 12)      =∆ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức: [ ] dxxfV b a 2 )( ∫ = π [ ] dyyfV b a 2 )( ∫ = π Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x 2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0= = − = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 y (x 2)= − và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 2 4 ; 2y x y x= − = + . 90 a b 0=y )(:)( xfyC = b ax = bx = x y O b a x y 0=x O )(:)( yfxC = by = ay = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 2 1 ; 1 2 x y y x = = + Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox ------------------------------Hết------------------------------- 91 . C+ Phương pháp 1: • Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản • Cách phân tích : Dùng biến đổi. 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5 cos sinx xdx ∫ 2. cos tgx dx x ∫ 3. 1 ln x dx x + ∫ I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG