CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN KIẾN THỨC CƠ BẢN A. ĐẠO HÀM : I. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp : (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ; (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số) (u.v)’ = u’.v + v’.u ; y’ x = y’ u .u’ x ' 2 u u '.v v '.u v v −   =  ÷   ; ' 2 1 v ' v v −   =  ÷   II. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản, hàm số hợp (u = u(x)) : Đạo hàm của các hàm số cơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (x α )’ = α.x α - 1 ' 2 1 1 x x   = −  ÷   ( x )’ = 1 2 x (u α )’ = α.u α - 1 .u’ ' 2 1 u ' u u   = −  ÷   ( u )’ = u ' 2 u (sinx)’ = cosx (cosx)’ = − sinx (tgx)’ = 2 1 cos x = 1 + tg 2 x (cotgx)’ = 2 1 sin x − = −(1 + cotg 2 x) (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = −u’. sinu (tgu)’ = 2 u ' cos u = u’.(1 + tg 2 u) (cotgu)’ = 2 u ' sin u − = −u’.(1 + cotg 2 u) (e x )’ = e x (a x )’ = a x .lna (e u )’ = u’.e u (a u )’ = u’.a u .lna ( ln x )’ = 1 x ( log a x )’ = 1 x.ln a ( ln u )’ = u ' u ( log a u )’ = u ' u.ln a 1 LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ B. NGUYÊN HÀM : I. LÝ THUYẾT : 1. Định nghĩa : Giả sử f(x), F(x) là các hàm số xác định trong khoảng (a, b). F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng (a, b) nếu : F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) 2. Định lý : Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số dạng F(x) + C (C là hằng số tùy ý) cũng là nguyên hàm của f(x). Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C 3. Tính chất : Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x) thì : • F(x) ± G(x) là nguyên hàm của f(x) ± g(x) • k.F(x) là một nguyên hàm của k.f(x) (k là hằng số) 4. Bảng các nguyên hàm cơ bản : Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Nguyên hàm của các hàm số hợp dx ∫ = x + C x x dx 1 α + 1 α = α+ ∫ + C (α ≠ −1) dx ln x x = ∫ + C (x ≠ 0) x x e dx e C= + ∫ x x a a dx ln a = ∫ + C (0 < a ≠ 1) cos xdx ∫ = sinx + C sin xdx ∫ = − cosx + C 2 dx cos x ∫ = tgx + C 2 dx sin x ∫ = − cotgx + C du ∫ = u + C u u du 1 α + 1 α = α+ ∫ + C (α ≠ −1) du ln u u = ∫ + C (u ≠ 0) u u e du e C= + ∫ u u a a du ln a = ∫ + C (0 < a ≠ 1) cos udu ∫ = sinu + C sin udu ∫ = − cosu + C 2 du cos u ∫ = tgu + C 2 du sin u ∫ = − cotgu + C 5. Bảng các nguyên hàm đặc biệt : 2 2 dx 1 a x ln C 2a a x a x + = + − − ∫ 2 2 dx ln x x k C x k = + + + + ∫ 1 1 (ax b) (ax b) dx . C a 1 α+ α + + = + α + ∫ ax b ax b 1 e dx .e C a + + = + ∫ dx 1 ln ax b C ax b a = + + + ∫ 1 cos(ax b)dx sin(ax b) C a + = + + ∫ 6. CHÚ Ý: 2 Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN 1. Trường hợp f(x) = sin 2n x.cos 2n x. Ta dùng các công thức hạ bậc chẵn : sin 2 x = 1 cos 2x 2 − cos 2 x = 1 cos 2x 2 + sinx.cosx = 1 2 sin2x 2. Trường hợp f(x) = cosmx.cosnx ( hoặc sinmx.sinnx, hoặc sinmx.cosnx). Ta dùng các công thức biến đổi tích thành tổng : cosa.cosb = 1 2 [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a – b) – cos(a + b)] sina.cosb = 1 2 [sin(a – b) + sin(a + b)] II. BÀI TẬP: 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : a) f(x) = x 2 – 2x + 1 x ĐS: 3 2 x x ln x 3 − + + C b) f(x) = 2 ( x 1) x − ĐS: x 4 x ln x− + + C c) f(x) = x 10 (x 1)− ĐS: 8 9 1 1 8(x 1) 9(x 1) − − − − + C d) f(x) = x e x e 1 2 cos x    ÷  ÷   − + ĐS: e x + tgx + C e) f(x) = 2tg 2 (2x + 1) ĐS: tg(2x+1) – 2x – 1 + C f) f(x) = cos 2x sin x cos x+ ĐS: sinx + cosx + C g) f(x) = x x 2 3+ ĐS: x x 2 3 ln 2 ln 3 + + C h) f(x) = 3 1 1 x x − ĐS: 2 3 3 2 x .x 2 − + C i) f(x) = 1 3 x ln x ĐS: 2 1 1 . 2 ln x − + C j) f(x) = x 2a x+ ĐS: x 3 2a 2 x ln a 3 + + C k) f(x) = 1 2 x(x 1)+ ĐS: 1 ln(x 1) ln x x 1 − + + + + C l) f(x) = 2 2x x x 1+ − ĐS: 3 2 2 3 2 (x (x 1) 3 − − ) + C 3 LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ m) f(x) = 3 x x 1− ĐS: 3 2 x x x ln(x 1) 3 2 + + + − + C 2. a) Xác định các hằng số A, B sao cho: 3x 1 A B 3 3 2 (x 1) (x 1) (x 1) + = + + + + b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 1 3 (x 1) + + ĐS: a) A = −2 , B = 3 ; b) F(x) = 2 3 1 x 1 (x 1) − + + + + C 3) Cho hàm số : y = 2 3x 3x 3 3 x 3x 2 + + − + a) Tìm A, B, C để y = A B C 2 x 1 x 2 (x 1) + + − + − b) Tìm họ nguyên hàm của y  ĐS: A = 3, B = 2, C = 1 ; b) F(x) = 3 2ln(x 1) ln(x 2) C x 1 − + − + + + − 4. Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau : a) f(x) = tgx ĐS: −ln(cosx) + C b) f(x) = cotgx ĐS: ln(sinx) + C c) f(x) = tg 3 x ĐS: 1 2 (tg 2 x – ln(1 + tg 2 x))+ C d) f(x) = 1 2 2 sin x cos x + ĐS: x + C e) f(x) = sinx.cos2x ĐS: 1 1 cos3x cos x 6 2 − + + C f) f(x) = cos 3 x.sin8x ĐS: 1 3 1 1 cos5x + cos7x + cos9x + cos11x 40 56 24 88   −  ÷   +C g) f(x) = sin 3 x. cos x ĐS: 2 2 4 6 8 x x x x 2.cos 1 1 cos 9cos 6cos 21 2 2 2 2   − + − +  ÷   +C h) f(x) = cos x sin x cos x+ ĐS: 2 1 1 ln(tgx 1) l n(1 tg x) x 2 2   + − + +  ÷   + C i) f(x) = x e x x e e − + ĐS: ( ) 2x 1 ln e 1 2 + + C j) f(x) = cosx.cos2x.sin4xĐS: 3 2 4 cos x(35 84cos x 60cosx) 105 − − + + C _________________________________________________________ Chủ đề 1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4 Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Hiệu F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Kí hiệu : b b a a f (x)dx F(x) F(b) F(a)= = − ∫ 2. Chú ý : b b a a f (x)dx f (t)dt= ∫ ∫ , t tùy ý 3. Các tính chất : i) a a f (x)dx ∫ = 0 ii) b a a b f (x)dx f (x)dx= − ∫ ∫ iii) b a cdx c(b a)= − ∫ iv) x a F(x) f (t)dt= ∫ là một nguyên hàm của f(x) v) b c b a a c f (x)dx f (x)dx f (x)dx= + ∫ ∫ ∫ với c∈(a, b) vi) b b a a k.f (x)dx k f (x)dx= ∫ ∫ vii) b b b a a a [f(x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx± = ± ∫ ∫ ∫ viii) Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x∈[a, b] thì b b a a f (x)dx g(x)dx≥ ∫ ∫ Đặc biệt, nếu f(x) ≥ 0, ∀x∈[a, b] thì b a f (x)dx 0≥ ∫ ix) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀x∈[a, b] thì : m(b – a) ≤ b a f (x)dx ∫ ≤ M(b – a) II. BÀI TẬP: 1) 2 2 sin x dx π π − ∫ ĐS: 2 2) 3 6 dx 2 2 sin x.cos x π π ∫ ĐS: 4 3 3 3) 3 1 dx x 1 x 1+ + − ∫ ĐS: 4 (2 2) 3 − 4) 2 0 1 sin xdx π + ∫ ĐS: 5) 1 0 dx 4 2 x 4x 3+ + ∫ ĐS: 6) 0 4 cos xdx π ∫ ĐS: 3 8 π 5 LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ 7) 4 0 4 4 (sin x cos x)dx π + ∫ ĐS: 3 16 π 8) 4 dx 4 sin x π 2 π ∫ ĐS: 4 3 9) 1 2 0 4 x dx 2 x 1− ∫ ĐS: 13 1 ln 3 24 2 − 10) a) Cho hàm số f(x) = sin x sin x cos x+ . Tìm a, b để : f(x) = a + b cos x sin x cos x sin x − + b) Tính I = 2 0 f (x)dx π ∫ 11) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình : x 2 0 cos(t x )dt sin x− = ∫ 12) Cho a, b là 2 hằng số. Giả sử f(x) là một hàm số xác định trên R và : af(x) = f(x) f(0) = c    ∀x∈R Chứng minh rằng f(x) = c.e ax . Từ đó tìm hàm g(x) nếu biết : x 0 g(t)dt g(x)= ∫ , ∀x∈ R 13) Tính I(α) = 1 0 x x dx− α ∫ , α là tham số. 14) a) Tính đạo hàm của hàm số F(x) = 2 2 x 2x 1 ln x 2x 1 − + + + b) Tính I = 1 2 4 0 x 1 dx x 1 − + ∫ 15) Tính : 1 n 0 (x 1) dx+ ∫ , n∈N. Từ kết quả đó chứng minh : 1+ n 1 1 2 n n n n 1 1 1 2 1 C C . C 2 3 n 1 n 1 + − + + + = + + Chủ đề 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 6 Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN A. LÝ THUYẾT: 1. Công thức đổi biến số : Nếu hàm x = ϕ(t) thỏa các điều kiện sau : • ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên [α, β], trong đó a = ϕ(α), b = ϕ(β) • Khi t biến thiên trong [α, β] thì x biến thiên trong [a, b] Ta có : b a f(x)dx f[ (t)]. '(t)dt ϕ ϕ β α = ∫ ∫ 2. Chú ý: Khi tính tích phân ta thường dùng phép đổi biến t = ψ(x) sau : Giả sử hàm t = ψ(x) thỏa : • ψ(x) đơn điệu trên đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tục • f(x)dx = g[ψ(t)].ψ’(t)dt với g là hàm liên tục trên đoạn [ψ(a), ψ(b)] Khi đó ta có: (b ) b a (a ) f (x)dx g(t)dt ψ ψ = ∫ ∫ 3. Nhận xét: i) Với a 2 2 t f ( a x , x)dx− ∫ ta đặt x = sint, (0 < t < 4 π ) ii) Với b a f (sin mx,cos nx, , x)dx ∫ ta dùng phép thế vạn năng t = tg mx 2 B. BÀI TẬP : Tính các tích phân : 1) 5 2 2 10 1 x(4x 5) dx− ∫ ĐS : 1 88 2) 1 3 0 xdx (x 1)+ ∫ ĐS : 1 8 3) 2 2 1 dx x x 1+ ∫ ĐS : ( 5 1)( 2 1) ln 2 − + 4) 5 2 2 dx x x 1− ∫ ĐS : 5) 3 3 2 0 x . x 1dx+ ∫ ĐS : 6) 3 2 0 2sin x dx 1 cos x π + ∫ ĐS : 7) 2 0 cos x dx 2 cos 2x π + ∫ ĐS : 7 LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ 8) 4 dx sin x π 2 π 1 ∫ ĐS : 9) 1 2 1 dx x 2x cos 1 − − α + ∫ (0<α<π) ĐS: 10) a) Tìm a, b để : 1 a cos x bcos x cos x 1 sin x 1 sin x = + + − , ∀x ∈ 0, 4 π       b) Tính I = 4 0 dx cos x π ∫ ĐS : 11) 1 x x x 0 e dx e e − − ∫ ĐS : 12) 2 2 2 2 2 0 sin x cos x dx a cos x b sin x π + ∫ ĐS : 13) 8 4 4 0 dx sin x cos x π + ∫ ĐS : 14) a b 2 3a b 4 dx (x a)(b x) + + − − ∫ ĐS : 15) ln 2 x 0 e 1dx− ∫ ĐS : 16) 2 2 0 4 x dx− ∫ ĐS : 17) 1 2 2 0 x . 1 x dx− ∫ ĐS : 18) Xác định các hằng số A, B, C sao cho : sinx – cosx + 1 = A(sinx + 2cosx) + B(cosx – 2sinx) + C Dựa vào kết quả đó tính : 0 sin x cos x 1 dx sin x 2 cos x 3 π − + + + ∫ 19) a) Cho hàm số F(x) = ln(x + 2 1 x+ ). Tính F’(x) b) Cho tích phân I = a n 3 3 0 x dx x a+ ∫ (n∈Z, a ≥ 0) Với giá trị nào của n thì I độc lập đối với a. Tính I với n vừa tìm được 20) Tính các tích phân : 8 Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN I n = n 2 n n 0 sin x dx sin x cos x π + ∫ J n = n 2 n n 0 cos x dx sin x cos x π + ∫ _____________________________________________________________ Chủ đề 3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. Lý thuyết: 1. Công thức : Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm trên [a, b] thì: b b b a a a u(x).v'(x)dx u(x).v(x) u '(x).v(x)dx= − ∫ ∫ 2. Chú ý : • Chọn v’(x) sao cho tìm được v(x) dễ dàng • Chọn u(x) sao cho tích phân b a u '(x).v(x)dx ∫ đơn giản hơn. 3. Nhận xét : • Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng P(x).lnx (với P(x) là đa thức) thì chọn u(x) = lnx • Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng P(x).e ax , P(x).sinbx, P(x).coscx, . . .(với P(x) là đa thức) thì chọn u(x) = P(x). II. BÀI TẬP: Tính các tích phân sau : 1) 4 2 0 x dx cos x π ∫ 2) e 3 1 ln x dx x ∫ 3) e 2 1 x.ln xdx ∫ 4) 1 2 0 ln(x 1 x )dx+ + ∫ 5) 2x 2 0 e .sin xdx π ∫ 9 LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ 6) 2 2 1 1 x ln 1 dx x   +  ÷   ∫ 7) 4 3 0 1 dx cos x π ∫ 8) n 0 cos x.cos(nx)dx π ∫ 9) b ax 0 e .cos(bx)dx π ∫ 10) b ax 0 e .sin(bx)dx π ∫ 11) e 1 sin(ln x)dx π ∫ 12) e 1 cos(ln x)dx π ∫ 13) a) Chứng tỏ nếu y = 2 2 ln(x x a+ + thì y’ = 2 2 1 x a+ b) Tính I = a 2 2 0 x a dx+ ∫ 14) a) Tính tích phân : 2 1 x x 0 (2x 1)e dx − − ∫ b) Chứng minh : 2 1 2n 1 x x 0 (2x 1) .e dx 0 + − − = ∫ , ∀n ≥ 0 __________________________________________________________ Chủ đề 4 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Để chứng minh một đẳng thức tích phân ta vận dụng các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân và các phép biến đổi đồng nhất hoặc tương đương của các đẳng thức thông thường BÀI TẬP: 1) Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a, b]. Chứng minh rằng : b 1 a 0 f (x)dx (b a) f[a (b a)x]dx= − − − ∫ ∫ 2) Chứng minh : 2 a a 3 2 0 0 1 x .f (x )dx x.f (x)dx 2 = ∫ ∫ 3) Cho f(x) liên tục trên [0, 1]. Chứng minh : 10 [...]... a a π 4 b) Tính tích phân : ln(1 + tgx)dx ∫ 0 1 c) Tính tích phân : ln(x + 1) dx 2 0 1+ x ∫ Chủ đề 5 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 11 LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ Để chứng minh một bất đẳng thức tích phân ta vận dụng các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân, các phép biến đổi thông thường về bất đẳng thức, cũng như vận dụng các bất đẳng thức khác Cần phân biệt giữa bất... x +x dx Áp dụng tính tích phân : ∫ x −e e + 1 6) a) Chứng minh nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [−a, a] thì : a ∫ f (x)dx = 0 −a 1 b) Tính tích phân I = ∫ ln 3 (x 1 + x 2 )dx −1 7) a) Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [0, 1] Chứng minh rằng : π ππ ∫ x.f (sin x)dx = 2 ∫ f (sin x)dx 0 0 π x.sin x dx b) Tính tích phân : ∫ 2 0 1 + cos x 8) a) Cho hàm số f(x) liên tục trên [a, b] Chứng minh rằng... thi Đại học TÍCH PHÂN π 2 π 2 0 0 ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx 4) a) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T Chứng minh T +a a rằng : T a ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx , a ∈ R 100 π ∫ b) Tính tích phân : 1 − cos 2xdx 0 5) Cho a, b > 0, f(x) là hàm số chẵn, liên tục và xác định trên R b b −b 0 a) Chứng minh : ∫ f (x)dx = 2 ∫ f (x)dx a a f (t) dt = ∫ f (t)dt b) Chứng minh ∀a∈R, ta đều có : ∫... giữa bất đẳng thức không nghiêm ngặt và bất đẳng thức nghiêm ngặt BÀI TẬP: π 3 1) Chứng minh : 3 sin x 1 . Chủ đề 4 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Để chứng minh một đẳng thức tích phân ta vận dụng các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân và. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 11 LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ Để chứng minh một bất đẳng thức tích phân ta vận dụng các tính chất của tích