cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 1 Cung cấp bởicbook.vn Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 2 Cung cấp bởicbook.vn LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề Tích phân và ứng dụng” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 3 Cung cấp bởicbook.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................... 2 MỤC LỤC................................................................................................................................ 3 KIẾN THỨC BỔ TRỢ........................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ....................................................... 10 I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. ...................................................................................... 10 I.2 TÍCH PHÂN................................................................................................................... 13 VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .................................. 14 VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ ............................... 17 Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) ..................................................................... 18 Một số trường hợp thường gặp ............................................................................................ 18 Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) ..................................................................... 24 Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến ................................................................. 33 VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP................................................ 36 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN.......................................................................................... 36 VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ .............................................................................. 49 VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN............................................................ 49 VẤN ĐỀ 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ......................................................................... 50 PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ ............................................................... 50 VẤN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ ........................................................... 52 VẤN ĐỀ 7: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ .............................................................. 73 VẤN ĐỀ 8: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC ...................................................... 92 VẤN ĐỀ 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT........................................................... 111 VẤN ĐỀ 10: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX....................... 116 VẤN ĐỀ 11: ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ....................................................................... 117 VẤN ĐỀ 12: TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ......................... 120 VẤN ĐỀ 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN .............................................................. 123 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN .............................................................. 126 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 4 Cung cấp bởicbook.vn CƠ SỞ LÝ THUYẾT. ....................................................................................................... 126 BÀI TẬP VẬN DỤNG. .................................................................................................... 127 BÀI TẬP TỰ LUYỆN....................................................................................................... 129 BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: .................................................................... 132 TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ........................... 134 KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 214 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 5 Cung cấp bởicbook.vn KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số… A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau sin sin cos cos cot cot tan tan 2. Cung bù nhau sin sin cos cos cot cot tan tan 3. Cung phụ nhau sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 4. Cung hơn kém 2 sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 5. Cung hơn kém sin sin cos cos cot cot tan tan cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 6 Cung cấp bởicbook.vn II. Công thức lượng giác 1. Các hệ thức cơ bản 2 2 sin cos 1 tan .cot 1 sin tan cos cos cot sin 2 2 1 1 tan cos 2 2 1 1 cot sin 2. Công thức cộng cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin a b a b a b a b a b a b sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin a b a b a b a b a b a b tan tan tan 1 tan tan a b a b a b tan tan tan 1 tan tan a b a b a b 3. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 4 4 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin cos 2 2tan tan2 1 tan 4. Công thức nhân ba 3 3 3sin sin3 sin3 3sin 4sin sin 4 3 3 3cos cos3 cos3 4cos 3cos cos 4 5. Công thức hạ bậc 2 1 cos2 sin 2 2 1 cos2 cos 2 2 1 cos2 tan 1 cos2 sin ,cos ,tan tan 6. Công thức tính theo 2 t cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 7 Cung cấp bởicbook.vn 2 2 sin 1 tt 2 2 cos 1 tt 2 2 tan 1 tt 7. Công thức biến đổi tích thành tổng cos cos cos cos1 2 a b a b a b sin sin cos cos1 2 a b a b a b sin cos sin sin1 2 a b a b a b 8. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b sin tan tan cos cos a b a b a b sin tan tan cos cos a b a b a b 9. Các công thức thường dùng khác sin cos 2sin 2 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 4 4 B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 8 Cung cấp bởicbook.vn y y u u u x u x x y . Cho là hàm số theo và là hàm số theo thì ta có: u u x v v x 2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây ; ) u v u v u v u v u v u v u v. . . 2 u u v uv v v u u x 3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây ) c c 0 ( là hằng số) x 1 x x . 1 2 1 1 , 0x x x x x 2 0 1 x , k u k u. . u u u . . 1 2 1 u , 0u u u u u 2u u , 0 4. Đạo hàm của hàm lượng giác sin cosx x cos sinx x tan 12 cos x x cot 12 sin x x sin .cosu u u cos .sinu u u tan 2 cos u u u cot 2 sin u u u 5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 1 Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 2 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề Tích phân và ứng dụng” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 3 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 2 MỤC LỤC 3 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5 CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 10 I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. 10 I.2 TÍCH PHÂN. 13 VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 14 VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ 17 Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) 18 Một số trường hợp thường gặp 18 Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) 24 Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến 33 VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP 36 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 36 VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ 49 VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 49 VẤN ĐỀ 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG 50 PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ 50 VẤN ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ 52 VẤN ĐỀ 7: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 73 VẤN ĐỀ 8: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 92 VẤN ĐỀ 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM ĐẶC BIỆT 111 VẤN ĐỀ 10: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX 116 VẤN ĐỀ 11: ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 117 VẤN ĐỀ 12: TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 120 VẤN ĐỀ 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 123 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 126 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 4 CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 126 BÀI TẬP VẬN DỤNG. 127 BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 129 BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: 132 TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 134 KẾT LUẬN 214 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 5 KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết khi biến đổi các biểu thức lượng giác cần tính nguyên hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số… A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau sin sin cos cos tan tan cot cot 2. Cung bù nhau sin sin cos cos tan tan cot cot 3. Cung phụ nhau sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 4. Cung hơn kém 2 sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 5. Cung hơn kém sin sin cos cos tan tan cot cot cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 6 II. Công thức lượng giác 1. Các hệ thức cơ bản 22 sin cos 1 tan .cot 1 sin tan cos cos cot sin 2 2 1 1 tan cos 2 2 1 1 cot sin 2. Công thức cộng cos cos cos sin sina b a b a b cos cos cos sin sina b a b a b sin sin cos cos sina b a b a b sin sin cos cos sina b a b a b tan tan tan 1 tan tan ab ab ab tan tan tan 1 tan tan ab ab ab 3. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 4 4 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin cos 2 2tan tan2 1 tan 4. Công thức nhân ba 33 3sin sin3 sin3 3sin 4sin sin 4 33 3cos cos3 cos3 4cos 3cos cos 4 5. Công thức hạ bậc 2 1 cos2 sin 2 2 1 cos2 cos 2 2 1 cos2 tan 1 cos2 6. Công thức tính sin ,cos ,tan theo tan 2 t cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 7 2 2 sin 1 t t 2 2 cos 1 t t 2 2 tan 1 t t 7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos cos cos cos 2 a b a b a b 1 sin sin cos cos 2 a b a b a b 1 sin cos sin sin 2 a b a b a b 8. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 22 a b a b ab cos cos 2sin sin 22 a b a b ab sin sin 2sin cos 22 a b a b ab sin sin 2cos sin 22 a b a b ab sin tan tan cos cos ab ab ab sin tan tan cos cos ab ab ab 9. Các công thức thường dùng khác sin cos 2sin 2cos 44 sin cos 2sin 2cos 44 B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 8 Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có: ' ' ' . x u x y y u 2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây u u x ; v v x ) ' ' 'u v u v ' ' 'u v u v . ' '. . 'u v u v u v ' 2 ''u u v uv vv 3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây u u x ) '0c ( c là hằng số) ' 1x ' 1 .xx ' 2 11 ,0x xx ' 1 , 2 x x 0x ' . . 'k u k u ' 1 . . 'u u u ' 2 1' ,0 u u uu ' ' ,0 2 u uu u 4. Đạo hàm của hàm lượng giác sin ' cosxx cos ' sinxx 2 1 tan ' cos x x 2 1 cot ' sin x x sin ' '.cosu u u cos ' '.sinu u u 2 ' tan ' cos u u u 2 ' cot ' sin u u u 5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít ' .ln xx a a a ' xx ee ' . '.ln uu a a u a ' '. uu e u e cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 9 ' 1 log .ln a x xa 1 ln 'x x ' ' log .ln a u u ua ' ln ' u u u C. VI PHÂN Nhớ lại: 'y f x dy d f x f x dx Vậy có: • .d ax b a dx • 2 11 d dx xx • 2 dx dx x • sin cosd x xdx • cos sind x xdx • 2 1 tan cos d x dx x • 2 1 cot sin d x dx x • xx d e e dx • ln dx dx x cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 10 CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. I.1 NGUYÊN HÀM. 1). Định nghĩa : Hàm số Fx gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên ,ab nếu ,,F x f x x a b . Ghi nhớ : Nếu Fx là nguyên hàm của fx thì mọi hàm số có dạng F x C ( C là hằng số) cũng là nguyên hàm của fx và chỉ những hàm số có dạng F x C mới là nguyên hàm của fx . Ta gọi F x C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số fx và ký hiệu là f x dx . Như vậy: f x dx F x C 2). Tính chất: a.TC1: 0;kf x dx k f x dx k b.TC2: f x g x dx f x dx g x dx c.TC3: Nếu f x dx F x C thì f u du F u C . 3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ a,b a 0 : dx x C 1 ln dx ax b C ax b a 1 1 1 , x x dx C xx e dx e C sin cosxdx x C 1 ax ax e dx e C a [...]... bởi cbook.vn a TC1: a 13 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 b g TC7: Nếu m f x M, x a; b thì m b a f x dx M b a a Ghi nhớ: Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử... 0 thì t=0 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn a Bài 2: Tính tích phân( với a >0) 19 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 Với x= a thì t = 4 Do đó: a(tg t 1)dt 4 dt 1 a 2 a 2tg 2t a a ( 4 0) 4a 0 0 2 4 I= 1 x2 dx x2 1 Bài 3: Tính tích phân: I 2 2 Lời giải: Khi x = Đặt x = sint, dx = costdt 2 thì t = 4... cbook.vn Bài 10: Tính tích phân I = 2 2 22 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 4 I= 1 cos t sin tdt 1 cos t 2 4 2 t t t 2 cos 2 cos t t 2 sin tdt t2 sin tdt t2 2 sin 2 cos 2 dt t sin 2 sin 2 sin 4 4 2 2 2 2 cos 2 2 t 2 2 = 2 cos 2 dt (1 cos t )dt (t sin t ) 1 2 4 2 4 2 4 4 3 Bài 11: Tính tích phân: ... cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 =2( 1 t3 1 2 5 t t ln t 1 ) ln 2 3 2 6 0 3 Bài 13: Tính tích phân I = 0 3x 4 dx 4 x Lời giải: Đặt t = 4 x t2 = 4 – x x = 4 – t2 dx = -2tdt Khi x = 0 thì t = 2 Khi x= 3thì t = 1 Do đó: 2 3(4 t 2 ) 4 (2tdt) (16 6t 2 )dt t 2 1 1 I= 2 =(16t – 2t3) 2 1 ln 2 Bài 14: Tính tích phân I = 0... 2 dx 29 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 Bài 16: Tính tích phân I = 2 dx sin x 3 (Đại học Quốc gia TPHCM Khối B –2000) Lời giải: Đặt t = tg 2dt x 1 x dt = (tg 2 1)dx dx = 2 2 2 2 t 1 3 thì t= 3 3 Với x = thì t = 1 2 Với x = 2dt 1 t 2 Do đó: I = 2t 3 2 3 1 t 1 1 dt 3 t ln t 3 1 1 ln 3 3 2 3 Bài 17: Tính tích phân I = 2 sin x ... (Đề thi ĐH y dược TPHCM 1997 – 1998) 26 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 3 Bài 7: Tính tích phân I = 0 x2 1 dx x 1 (Đại học Cần Thơ khối D 1998) Lời giải: Đặt t = x 1 t2 = x+1 x = t2 -1 dx = 2tdt Khi x = o thì t= 1 Khi x = 3 thì t = 2 Do đó: 2 (t 2 1) 2 1 2tdt 2 (t 4 2t 2 2)dt t 1 1 2 I= 2 t5 2 3 53 t 2t ) 5 3 15 1 =2( 1 Bài. .. Thương 2001) Lời giải: Ta có: sin6x+cos6x = (sin2x+cos2x)2-3sin2x.cos2x =1 Viế lại tích phân: I = 4 2 sin 2 x cos 2 x dx 3 2 0 1 sin 2 x 4 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com 3 2 sin 2x 4 Cung cấp bởi cbook.vn Bài 19: Tính tích phân I = 31 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 Đặt t = sin2x dt = 2cos2xdx Với x = 0 thì t = 0 Với x = thì t = 1 4 3 d (1... 21: Tính tích phân I = 8 3 1 3 0 3 9 24 dx (11 5x) 2 3 Đặt t = 11 + 5x dt = 5dx dx = dt 5 Với x = -2 thì t = 1 Với x = -1 thì t = 6 6 1 6 dt 1 1 Do đó: I = ln t ln 6 51 t 5 5 1 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn Lời giải: 32 cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 6x 1 dx 2 x 1 2 Bài 22: Tính tích phân: I = 3x... cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 Với x = 0 thì t = Với x = 4 thì t = 0 4 Do đó: 4 1 tgt ln[ 1 tg( t )]( dt ) ln( 1 )dt I= 4 1 tgt 0 0 4 4 = ln 0 4 2 dt ln 2dt I 1 tgt 0 2I = ln2.t 4 0 4 ln 2 I 8 ln 2 VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN * Lưu ý: 1 Công thức tính tích phân từng phần... 2 Khi tính tích phân : I f ( x)dx , ta không thể sử dụng các phương pháp : Phân tích để sử dụng trực tiếp bảng nghuyên hàm cơ bản , cũng như phương pháp phân tích để tính trực tiếp , thì khi đó ta phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân I Trong những năm thi tuyển sinh đại học gần đây , nhất là từ khi đề chung cho đến nay , số đề tích phân cho dưới dạng tích phân từng phần . Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 4 CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 126 BÀI TẬP VẬN DỤNG. 127 BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 129 BÀI. nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com. cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_ Tài liệu lý thuyết và bài tập_ 2015 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 1 Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn